Решение задач. Прямоугольный параллелепипед. 11 класс

Решение задач на тему «Прямоугольный параллелепипед»

Задача 1.Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Пояснение.

Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как . Выразим : , откуда неизвестное ребро

.

Ответ: 5.

Задача 2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Пояснение.

Пусть длина третьего ребра, исходящего из той же вершины, равна , тогда площадь поверхности параллелепипеда даётся формулой . По условию площадь поверхности равна 16, тогда откуда

Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда равна квадратному корню из суммы квадратов его измерений, поэтому .

Ответ: 3.

Примечание о том, как не надо решать эту задачу.

Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как . Выразим :

,

откуда неизвестное ребро

,

Диагональ параллелепипеда находится как

.

Ответ: 3.

Задача3.Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

Пояснение.

Высота и сторона такого параллелепипеда равны диаметру сферы, то есть это куб со стороной 2. Площадь поверхности куба со стороной :

Ответ: 24.

Задача 4. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

Пояснение.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен , где - площадь грани, а - высота перпендикулярного к ней ребра. Имеем

.

Ответ: 48.

Задача 5.Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Пояснение.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен , где - площадь грани, а - высота перпендикулярного к ней ребра. Тогда площадь грани

.

Ответ: 8.

Задача 6.Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

Пояснение.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен , где - площадь грани, а - высота перпендикулярного к ней ребра. Тогда

Ответ: 5.

Задача 7. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

Пояснение.

Объем куба равен объему параллелепипеда

Значит, ребро куба

Ответ: 6.

Задача 8.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

Пояснение.

Длина диагонали параллелепипеда равна

.

Длина третьего ребра тогда . Получим, что объем параллелепипеда

.

Ответ: 32.

Задача 9. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ.

Пояснение.

Объем параллелепипеда равен

.

Отсюда найдем третье ребро:

.

Длина диагонали параллелепипеда равна

.

Ответ: 7.

Задача 10. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 30, 30 и 45 с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Пояснение.

Ребро параллелепипеда напротив угла в равно , поскольку образует с заданной диагональю и диагональю одной из граней равнобедренный треугольник. Два другие ребра по построению лежат в прямоугольных треугольниках напротив угла в и равны, поэтому половине диагонали. Тогда объем параллелепипеда:

Ответ: 4.

Задача 11.

Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите его площадь поверхности.

Пояснение.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме попарных произведений его измерений

.

Ответ: 22.

Задача 12.Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Пояснение.

Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как

.

Диагональ параллелепипеда находится как

.

Выразим :

.

Тогда площадь поверхности

Ответ: 64.

Задача 13.Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.

Пояснение.

Найдем третье ребро из выражения для объема:

.

Площадь поверхности параллелепипеда

.

Ответ: 22.

Задача 14.Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого , , . Дайте ответ в градусах.

Пояснение.

В прямоугольнике отрезок является диагональю, По теореме Пифагора

Прямоугольный треугольник равнобедренный: , значит, его острые углы равны

Ответ: 45.

Задача 15. Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого =4, =3, =5. Дайте ответ в градусах.

Пояснение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора

Рассмотрим прямоугольный треугольник Так как == то треугольник является равнобедренным, значит, углы при его основании равны по .

Ответ: 45.

Задача 15. В прямоугольном параллелепипеде известно, что , , . Найдите длину ребра .

Пояснение.

Найдем диагональ прямоугольника по теореме Пифагора:

.

Рассмотрим прямоугольный треугольник . По теореме Пифагора

.

Ответ: 1.

Задача16. В прямоугольном параллелепипеде ребро , ребро , ребро . Точка - середина ребра Найдите площадь сечения, проходящего через точки и .

Пояснение.

Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому четырехугольник - параллелограмм. Кроме того, ребро перпендикулярно граням и , поэтому углы и - прямые. Следовательно, сечение - прямоугольник.

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем

Тогда площадь прямоугольника равна:

Ответ:5.

Задача 17. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: , , . Найдите площадь сечения, проходящего через вершины , и .

Пояснение.

Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому сечение − параллелограмм. Кроме того, ребро перпендикулярно граням и . Поэтому углы и − прямые.Поэтому сечение - прямоугольник.

Из прямоугольного треугольника найдем

Тогда площадь прямоугольника равна:

Ответ:572.

Задача 18. Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 2, а объём параллелепипеда равен 144. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

Пояснение.

Найдем третье ребро прямоугольного параллелепипеда: . Найдем площадь поверхности параллелепипеда:

Ответ: 212

Задача 19. Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 6 и 4, а объём параллелепипеда равен 240. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

Пояснение.

Найдем третье ребро прямоугольного параллелепипеда: . Найдем площадь поверхности параллелепипеда:

Ответ: 248

Задача 20.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, а объём параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

Пояснение.

Найдем третье ребро прямоугольного параллелепипеда: . Найдем площадь поверхности параллелепипеда:

Ответ: 262

Задача 21. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра AB, BC и диагональ боковой стороныBC₁ равны соответственно 7, 3 и Найдите объём параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.

Пояснение.

C помощью теоремы Пифагора найдём CC₁:

Найдём площадь основания прямоугольного параллелепипеда:

Найдём объём параллелепипеда:

Ответ: 126.

Задача 22.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 7 и 4, а объём параллелепипеда равен 140. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

Пояснение.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин его рёбер: откуда третье ребро Площадь поверхности параллелепипеда - сумма площадей всех его граней:

Ответ: 166.