Тема урока Корень n-ой степени из действительного числа и его свойства

Тема: Корень n-ой степени из действительного числа и его свойства

Цель урока: рассмотреть свойства корня n-ой степени из действительного числа

Задачи урока: решение примеров по данной теме

Ход урока:

I этап: Организационный момент, приветствие, проверка домашнего задания

II этап: Новая тема:

Корнем -ной степени, где- натуральное число и , из числа называют такое число , -я степень которого равна . Записывают: или . Тогда, если , то . Число называют подкоренным выражением, а число - показателем корня.

Неотрицательный корень -ной степени из неотрицательного числа называют арифметическим корнем -ной степени из числа . Например: , . Если показатель корня четное число, то подкоренное выражение не может быть отрицательным числом, так как четная степень и положительного и отрицательного числа есть число положительное. Если показатель корня равен числу , то имеем корень второй степени или квадратный корень из неотрицательного числа , который принято обозначать или . Например: ; . Если показатель корня нечетное число, то подкоренное выражение может быть положительным числом, отрицательным числом и числом . Если показатель корня равен числу , то имеем корень третьей степени или кубический корень из числа , который принято обозначать . Например: ;

Свойства корней:

; (1.16) ; (1.17) ; (1.18)
; (1.19) . (1.20)

При четном значении свойства 1.16 и 1.17 справедливы, если значения и неотрицательные, а свойство 1.18 справедливо, если к тому же . Свойства 1.19 и 1.20 справедливы при любых значениях и .

Например: ; ; ; ; .

Внесение множителя под знак корня

Если показатель корня нечетное число, то для любого числа и натурального числа справедливо равенство:

. (1.21) Если , то .

Например, .

Вынесение множителя из-под знака корня

Если показатель корня нечетное число, то справедливо равенство:

. (1.22)

Если показатель корня четное число, то справедливо равенство:

. (1.23)

Например: ; .

Сравнение выражений, содержащих корни

1. Если , то . Например, .

2. Если и , то . Например, .

3. Если и , то . Например, .

4. Чтобы сравнить числа и , необходимо представить их в виде корня одной и той же степени.

5. Чтобы сравнить числа и необходимо или извлечь корень -ой степени из или представить число в виде .

Степень с действительным показателем

Степени с действительным показателем обладают всеми свойствами степеней с целым показателем. При этом следует помнить, что:

а) степень числа с натуральным показателем имеет смысл для любого основания, так как эта степень определяется с помощью операции умножения;

б) степень с целым отрицательным показателем имеет смысл для любого основания, кроме основания , так как эта степень определяется с помощью операций умножения и деления;

в) степень с рациональным показателем определяется с помощью операции извлечения корня, которая всегда выполнима, если основание степени положительное число и не всегда выполнима, если основание степени отрицательное число;

г) степень с любым действительным показателем всегда определена, если ее основание - положительное число.

Среднее арифметическое и среднее геометрическое

Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел необходимо сумму этих чисел разделить на их количество.

Например, среднее арифметическое чисел , и равно .

Чтобы найти среднее геометрическое двух положительных чисел, необходимо извлечь корень второй степени из произведения этих чисел. Чтобы найти среднее геометрическое положительных чисел, необходимо извлечь корень степени из произведения этих чисел. Например, среднее геометрическое чисел , , и равно .

III этап: подведение итогов

IV этап: домашнее задание ?