Методическая разработка олимпиадных заданий по математике

ГБОУ АО СПО «Астраханский технологический техникум»

Рассмотрено на заседании

цикловой методической

комиссии

протокол №

от 2013г.

«УТВЕРЖДАЮ»

Зам. директора по УМР

/Трубицына Е.В./

Задания

Олимпиады по математике

Разработала и составила

ПреподавательУтешева Е.Ф.

Пояснительная записка

Цель: развитие интереса учащихся к математике, выявление и развитие математических способностей учащихся.

Олимпиада состоит из двух частей. В первой части 10 заданий, в которых требуется выбрать один ответ из четырех предложенных. Во второй части 4 заданий к которым необходимо дать полное решение.

Каждое задание 1 части оценивается в 1 балл, а задания

2 части -в 5 баллов. Участник набравший наибольшее количество баллов становится победителем олимпиады.

К предложенным заданиям в конце прилагается ключ правильных ответов.

Задания:

Часть 1

1. Какое из выражений равно степени 5^2-k?

а); б) 5²-5^k; в) (5²)^k; г)

2. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 4. Найдите его объем.

а) 512; б) 516; в) 64; г) 256

3. У цилиндра объем равен 36 дм³ м. Высоту цилиндра увеличили в 3 раза, а радиус уменьшили в 3раза. Найдите объем получившегося цилиндра.

а) 36; б) 12; в) 108; г) 6

4. В треугольнике АВС угол С равен 90⁰, АВ =5, АС =4. Найдите sinA.

а) 0,3; б) 0,6; в) 0,2; г) 0,8

5. Решите неравенство: ≤ 0

а) (-∞; - 6]U (-1; 1,5); б) (-6; - 1) U (1,5; ∞); в) (-1; 1,5]; г) (-6; -1).

6. Упростите выражение

а) ; б) ; в) ; г)

7. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:^х-11 ≤ 36

а) (- ∞; 9); б) (9; ∞); в) [9; ∞); г) (- ∞; 9].

8. Упростите выражение и найдите его значение:

-tg² x cos²x, если sin x = 0,2

а) 1,96; б) 1,2; в) -1,6; г) -0, 04

9. Вычислите: ·

а) -0,25; б) 0,25; в) 0,5; г) -0,5.

10.

Часть 2

1. Решите уравнение:

1. sin 2x = (cos - sin )²

2. Решите неравенство:

25·2^х- 10^х +5^х > 25

3. Решите уравнение:

log x + 4 logx² x + log8 x = 16

4. Найдите производную функции:

f (x) =sin 5x sin 3x + cos 5x cos 3x

5. Решите задачу:

В класcе 35 учеников, из них 20 школьников занимаются в математическом кружке, 11- в литературном, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько литераторов увлекаются математикой?

Ключ к заданиям части 1:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

г

а

б

б

нет

в

а

а

184 900

б

б

в

г

в

в

Решение заданий части 2:

1. Решение:

1. sin2x = (cos - sin )²

1. sin2x = cos² - 2 cos sin + sin²

1 - sin2x = 1- sin x

sin x - 2sin x cos x =0

sin x(1- 2cos x) = 0

sin x =0 1- 2cosx =0

x =, n cos x=

x= , n

x= , n

Ответ:, n ; , n

2. Решение неравенства:

25·2^х- 10^х +5^х > 25

25·2^х- (5·2)^х + 5^х > 25

25·2^х- 5^х·2^х + 5^х - 25 > 0

(25·2^х- 5^х·2^х)- (25- 5^х) > 0

2^х(25 -5^х)- (25- 5^х) > 0

(25 - 5^х)(2^х- 1) > 0

1 случай:

25 - 5^х > 0 2^х- 1 > 0

- 5^х > -25 2^х > 1

5^х < 25 2^х > 2⁰

5^х < 5² х > 0

Х < 2

2 случай:

25 - 5^х < 0 2^х- 1 < 0

- 5^х < -25 2^х < 1

5^х > 25 2^х < 2⁰

5^х > 5² х < 0

Х > 2

Ответ: (0; 2)

3. Решение:

log x + 4 log x + log₈ x = 16

применяя формулу: log_a^p b = log_a b, получаем

2 log₂ x + 2 log_х x + log₂ x = 16

log₂ x = 16 -2

log₂ x = 14·

log₂ x = 6

x = 2⁶

x = 64

ОДЗ: х > 0; х ≠ 1

Ответ: 64

4. Решение:

f ^' (x) = (sin 5x sin 3x + cos 5x cos 3x)^' = (cos(5x-3x))^'= (cos 2x)^'= -2 sin 2x

Ответ: -2 sin 2x.

5. Решение:

Всего 35 учеников. 10 кружки не посещают. Значит, посещают кружки 35-10=25 учеников.
25 учеников посещают кружки. 20 учеников занимаются в математическом кружке. Значит, только литературный кружок посещают 25-20=5 человек. В литературном кружке 11 человек. Лишь 5 из них посещают только литературный кружок.
Значит, 11-5 = 6 человек-литераторов посещают ещё и математический кружок.

Литература:

1. «Математические олимпиады школьников» Петраков И. С.

2. Тесты. Геометрия 11 класс.

3. «Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ»: 2011: Математика / Высоцкий И.Р. и др.

4. ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания. И.Р. Высоцкий и др.