Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ

по математике по теме

«Решение неравенств алгебраическим методом».

Содержание.

1. Примерное планирование учебного времени.

2. План-конспект урока по теме «Рациональные и дробные рациональные неравенства».

3. Проверочная работа (в одном варианте).

1. Примерное планирование учебного времени. Всего 15ч.

№

Тема

Всего часов

Содержание

Форма контроля

1

Равносильные неравенства

1

Равносильные преобразования неравенств, тождественные преобразования выражений, входящих в неравенство, посторонние решения, потеря решений.

2

Обобщённый метод интервалов

1

Классический метод интервалов. Обобщённый метод интервалов. Точки чётной и нечётной кратности. Нетрадиционный алгоритм решения неравенств методом интервалов.

3

Рациональные и дробные рациональные неравенства

2

Целые рациональные неравенства. Дробные рациональные неравенства. Алгоритм решения целых рациональных неравенств и дробных рациональных неравенств методом интервалов. Решение рациональных и дробных рациональных неравенств обобщённым методом интервалов.

Тест для проверки теоретических знаний

Контрольный тест.

4

Неравенства, содержащие иррациональные выражения.

2

Решение иррациональных неравенств, основанное на свойствах числовых неравенств. Схема решения неравенств обобщённым методом интервалов. Некоторые нюансы в определении знака и особенности упрощенной записи.

Тест для проверки теоретических знаний.

5

Неравенства, содержащие выражения под знаком модуля.

2

Геометрический смысл модуля. Решение неравенств разбиением ОДЗ на подмножества. Решение неравенств, содержащих модули обобщенным методом интервалов и особенности упрощённой записи.

Проверочная работа.

6

Показательные неравенства

2

Решение показательных неравенств. Метод замены. Показательно-степенные неравенства и логарифмирование обеих частей неравенства. Метод интервалов для решения показательно-степенных неравенств.

Самостоятельная работа

Взаимоконтроль.

7

Логарифмические неравенства

2

Схемы решения логарифмических неравенств и потенцирование обеих частей неравенства. Метод замены и использование метода интервалов для упрощения решений.

Самостоятельная работа.

Самоконтроль.

8

Смешанные неравенства

2

Решение смешанных неравенств обобщённым методом интервалов. Решение сложных комбинированных неравенств. Решение неравенств с параметрами методом интервалов.

Контрольный тест

9

Контрольная работа

1

Контрольная работа

2. План-конспект одного из уроков.

Рациональные и дробные рациональные неравенства

( 2 часа)

Цель. Формирование умения применять алгоритм обобщённого метода интервалов для решения рациональных и дробных рациональных неравенств.

Целым рациональным неравенством называют неравенство вида

f(x) - алгебраический многочлен.

Дробным рациональным неравенством называют неравенство вида

- алгебраические многочлены. Очевидно, что множество решений дробно-рационального неравенства не должно содержать корней многочлена

Решая целые рациональные неравенства методом интервалов, будем следовать алгоритму:

1) запишем неравенство в виде f(x) и рассмотрим функцию f(x);

2) найдём нули функции, решая уравнение f(x)=0;

3) нанесём нули функции на координатную прямую и определим знаки функции на полученных промежутках, учитывая точки чётной и нечётной кратности ;

4) запишем решение неравенства, учитывая его смысловой знак.

Решая дробные рациональные неравенства методом интервалов, будем следовать алгоритму:

1) запишем неравенство в виде и рассмотрим функцию F(x)=

2) найдём нули и точки разрыва функции, решая уравнения f(x)=0 и=0;

3) нанесём нули и точки разрыва функции на координатную прямую и определим знаки функции на полученных промежутках, учитывая точки чётной и нечётной кратности;

4) запишем решение неравенства, учитывая его смысловой знак.

При решении неравенств вида и корни числителя будем отмечать на координатной прямой «заштрихованными» точками, а корни знаменателя - «пустыми».

Пример 1. Решить неравенство

1) Рассмотрим функцию f(x)=.

2) Найдём нули функции, решая уравнение

Получим х_1,2 = 2, х_3,4,5 = - 3, х₆ = 7.

3) Корни нечётной кратности: - 3 и 7, а 2 - корень нечётной кратности.

+ - - +

-3 2 7

4) Объединив промежутки, в которых функция отрицательна, запишем ответ

Ответ: (-3;2) U(2;7).

Пример 2. Решить неравенство

1) Рассмотрим функцию f(x)=

2) Найдём нули функции, решая уравнение Получим х_1,2 = 0, х₃ = - 1.

Найдём точки разрыва, решая уравнение Получим х₄ = - 2, х₅ = 2.

3)

- + - - +

-2 -1 0 2 х

4) Так как функция f(x)= может быть как положительной, так и равной нулю (на это указывает смысловой знак неравенства), то решением неравенства является объединение промежутков, на которых функция неотрицательна и изолированная точка 0.

Ответ: (-2; 1] U (2; +) U {0}.

Тест для проверки теоретических знаний по теме «Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств».

Укажите все необходимые действия(1,2)

1. Чтобы решить целое рациональное неравенство вида необходимо:

1) найти нули функции ;

2) найти точки разрыва функции ;

3) нанести нули функции на координатную прямую и определить знаки функции на полученных промежутках;

4) нанести точки разрыва функции на координатную прямую и определить знаки функции на полученных промежутках;

5) записать промежутки, на которых функция не положительна;

6) записать промежутки, на которых функция отрицательна;

7) записать промежутки, на которых функция положительна.

2. Чтобы решить дробное рациональное неравенство вида необходимо:

1) найти нули функции ;

2) найти нули функции ;

3) отметить на координатной прямой нули функции «заштрихованными» кружочками, а нули функции - «пустыми»;

4) отметить на координатной прямой нули функции «пустыми» кружочками, а нули функции - «заштрихованными»;

5) отметить на координатной прямой нули функции и нули функции «заштрихованными» кружочками;

6) записать промежутки, на которых функция положительна;

7) записать промежутки, на которых функция не отрицательна.

3 Установите соответствие:

Неравенство

1) х(х-1)(х+2)>0;

3) ;

2) 0

4)

рисунок

решение (ответ)

Ответы

Номер задания

1

2

3

Вариант правильного отвена

1; 3; 5.

1; 2; 3; 7.

1 - б - и, 2 - г - к,

3 - а - л, 4 - в - ж.

Самостоятельная работа по карточкам с последующей проверкой по листам самопроверки по теме «Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств».

Карточка 1.

№1 Найти целые решения неравенства

№2 Решить неравенство

Карточка 2.

№1 Решить неравенство

№2 Решить неравенство

Карточка 3.

№1 Решить неравенство

№2 Решить неравенство

Карточка 4.

№1 Решить неравенство

№2 Решить неравенство

Лист самопроверки к карточке 1.

№1 Найти целые решения неравенства

Решение:

Рассмотрим функцию:

Найдём нули:

Точки разрыва:

Так как функция не положительна, то решением данного неравенства является промежуток: .

Запишем целые решения неравенства: - 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Ответ:

№2 Решить неравенство

Решение. Преобразуем неравенство следующим образом: . Числитель и знаменатель нужно разложить на множители, для этого их приравняем к нулю: ,. Корни первого уравнения 2 и 3. Второе уравнение корней не имеет. Значит, числитель раскладывается на множители следующим образом: , а знаменатель на линейные множители не раскладывается. Запишем неравенство в таком виде: . Отмечаем на числовой прямой точки и и выбираем нужные промежутки.

Ответ: (2;3).

Лист самопроверки к карточке 2.

№1 Решить неравенство

Решение. Пункты 1), 2), 3) уже выполнены. Отмечаем на числовой прямой точки. При выражение отрицательно, положительны все сомножители, кроме одного: При переходе через точки знак выражения меняется (линейные сомножители в нечетной степени), а при переходе через точкузнак не меняется (особая точка).

Включаем в ответ все промежутки, на которых левая часть неравенства отрицательна.

Ответ:

№2 Решить неравенство

Решение. Числитель и знаменатель нужно разложить на множители, для этого их приравняем к нулю: ,. Корни первого уравнения -1 и -6, второе уравнение имеет один корень -2. Но правильнее в данном случае говорить, что оно имеет два одинаковых корня, поэтому, данный квадратный трехчлен разлагается на два одинаковых сомножителя. В этом случае, что уравнение имеет корень чётной кратности. Получаем: - . Отмечаем на числовой прямой точки: -6, -2, -1.

Расставим знаки, учитывая, что при выражение отрицательно, а при переходе через точку -2 знак не меняется. Остается выбрать нужные промежутки.

Ответ: (-6;-2)(-2;-1).

Лист самопроверки к карточке 3.

№1 Решить неравенство

Решение. Числитель и знаменатель нужно разложить на множители, для этого их приравняем к нулю: ,. Первое уравнение имеет два одинаковых корня, -1, корни второго уравнения -2 и 3.Разкладываем числитель и знаменатель на множители: ,

.

Получаем неравенство: . Отмечаем на числовой прямой "выколотые" точки -2 и 3 и особую точку -1.

Расставим знаки, учитывая, что при выражение положительно, а при переходе через точку -1 знак не меняется. Не забудем включить в ответ особую точку -1. Ответ:

№2 Решить неравенство

Решение. Переносим все члены неравенства в левую часть и приводим к общему знаменателю. После приведения подобных членов получаем следующее дробно-рациональное выражение:

Раскладывая числитель на множители, получим: .

Теперь отмечаем на числовой прямой точки: -2, , , , нули знаменателя, "выколотые" точки, нули числителя, так как неравенство нестрогое.

При>5 выражение положительно. Так как все сомножители первой степени, то знак меняется во всех точках.

Осталось выбрать нужные промежутки.

Ответ:

Лист самопроверки к карточке 4.

№1 Решить неравенство

Запишем неравенство в виде ,

Рассмотрим функцию:

Найдём нули функции, решив уравнение

Ответ:

№2 Решить неравенство

Решение. Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю, разложив предварительно квадратные трехчлены на сомножители: и после преобразований получим . Отметим нули числителя и знаменателя на числовой прямой: точки 0 и 4 - «заштрихованные», точки -1,-3, и 2 - "выколотые". Расставим знаки, учитывая, что на самом правом промежутке левая часть положительна, и знак меняется во всех отмеченных точках, кроме -1.

Ответ: UU

Разноуровневая домашняя работа по теме «Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств».

(вариант А).

Решите следующие неравенства:

1. (6)(х+4) Ответ:

2. ()() Ответ: (-4;-1)

3. ()()(х - 1) Ответ:

4. () () Ответ: (4; 6,5)

5. Ответ:

(вариант В).

Решите следующие неравенства:

1. Ответ: [-]

2. Ответ: {2}.

3. Ответ: .

4. Ответ:

5.

Ответ: (-

6. Ответ:

7. Ответ:

8. Ответ:

Упражнения для самостоятельного решения.

1. (Ответ: [-2;1] U [-2; +

2. Ответ: (-2;-1) U (-1;1) U(3; +

3. Ответ: (-∞;1] U(2;4]

4. Ответ:

5. Ответ: (-5;-1) U(1; +

6. Ответ:

7. + Ответ: [-) U

8. Ответ: (-2;-1] U[2;3)

9. Ответ: х(- 2;3)

10. Ответ: х(-∞; - 6) U [-;1) U [1,5;] U [7;+ ∞).

11. Ответ: х

12. Ответ: х

13. Ответ: x

14. Ответ:

15. Ответ:

16. Ответ: x

17. Ответ:

18. Ответ:( - 7; - 1];{2}

Контрольный тест по теме «Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств».

№

Задания

Варианты ответов

Наименьшее целое решение неравенства равно

1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) -2; 5) -3

Количество целых отрицательных чисел, не являющихся решениями неравенстваравно

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 5; 5) 6

Среднее арифметическое целых чисел, не удовлетворяющих условиюравно

1)-1,5; 2)-3; 3)3; 4)4,5; 5)18

Длина отрезка, являющегося решением неравенства равна

1) 3; 2) 6; 3) 6 - ; 4) ; 5)

Среднее арифметическое неположительных решений неравенства равно

1)-3; 2)-1,5; 3)-1; 4)-2; 5)-0,5

Количество отрицательных решений неравенства равно

1) 14; 2) 11; 3) 3; 4) 1; 5) 2

Количество целых решений неравенства равно

1) 6; 2) 7; 3) 4; 4) 2; 5) 14

Количество целых неотрицательных решений неравенства равно

1) 2; 2) 1; 3) 13; 4) 4; 5) 11

Количество целых неотрицательных чисел, не принадлежащих области определения функции равно

1) 8; 2) 4; 3) 1; 4) 3; 5) 2

Количество целых чисел, не принадлежащих области определения функции

равно

1) 6; 2) 5; 3) 4; 4) 3; 5) 10

Ответы

Номер задания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Номер правильного ответа

2

3

1

5

3

5

1

2

4

3

3. Проверочная работа (в одном варианте).

1. . Ответ:

2. Ответ:

3. Ответ:

4. 

7. Ответ: (3,5; 4)