Нестандартные задачи как средство развития математического мышления

Пути и средства повышения качества математического образования

Повышение качества математического образования школьников в общеобразовательной школе является одной из наиболее актуальных проблем. Бесспорно, что хорошее математическое образование необходимо не только будущим математикам, но и инженерам, экономистам, политикам, управленцам, квалифицированным рабочим.

Ведь математика показывает, как можно прийти к соглашению, высказывая друг другу свои взгляды и свои мнения понятным и разумным образом, стремясь таким путем или найти решение, или всем вместе установить, что решения нет

Главной целью математического образования школьников является развитие математического способа мышления. Под математическим способом мышления понимается умение открывать закономерности между разнородными на первый взгляд явлениями, умение принимать решение. Овладев этими умениями, ученик может приступить к решению задачи, не ожидая помощи учителя, обоснованно составить ход её решения и оценить полученный результат, то есть он нацеливается на самостоятельные рассуждения, выработку собственных идей и аргументацию своих решений.

Формирование математического стиля мышления непосредственно зависит от развития математических способностей. Для успешного развития способностей к математической деятельности необходимы соответствующие задатки. Но само по себе наличие задатков ещё не решает вопроса о проявлении и развитии способностей. Даже самые ярко выраженные задатки могут дальше развиваться лишь в процессе труда, учения, в условиях усвоения знаний, умений, навыков.

В школе процесс формирования у детей способностей приобретает целенаправленный и активный характер. Для успешного формирования у школьников как общих, так и специальных (математических) способностей необходимо, прежде всего, развивать у них интерес к учебным занятиям и научить систематически и рационально трудиться.

Постоянное усвоение разнообразных знаний, наличие проблемных ситуаций в решении тех или иных учебных задач, необходимость постоянного сравнения, обобщения, анализа и синтеза изучаемого материала в процессе обучения в школе есть та основа, на которой развиваются умственные способности учащихся.

К тому же ученик с радостью станет союзником учителя тогда, когда он с увлечением решает нестандартные задачи, выполняет более сложные для себя задания, чувствует себя одаренным исследователем, так как в основу заложен надежный, а значит неиссякаемый источник познавательного интереса. В связи с этим возникает необходимость использования на уроках математики нестандартных, логических и занимательных задач.

Например: вывести формулу для нахождения площади треугольника

План исследования.

I этап.

Конечная цель: формула площади прямоугольного треугольника.

Ход исследования.

1. Изобразить прямоугольник АВСD. Провести диагональ АС.

2. Сравнить треугольники АВС и ACD. Сравнить их площади.

3. На основе полученного вывода, второй аксиомы площадей и формулы для площади прямоугольника получить формулу площади прямоугольного треугольника.

II этап.

Конечная цель: выявить зависимость между высотой, основанием и площадью остроугольного треугольника.

Ход исследования.

1. Изобразить произвольный остроугольный треугольник.

2. Опустить высоту.

3. Используя вывод I этапа, получить формулу площади треугольника, в которой будут присутствовать высота и основание треугольника.

III этап.

Конечная цель: проверить, является ли полученная формула верной для тупоугольного треугольника, т.е. в том случае, когда высота треугольника не принадлежит его внутренней области.

Ход исследования составить самостоятельно.

Анализ данных. Что можно найти, исходя из данных, а что нельзя?

П р и м е р. В трапеции ABCD известны основания BC = a, AD = b и высота BH = h. Диагонали пересекаются в точке K. Какие из следующих величин можно найти, исходя из этих данных?

а) Сторону AB.

б) Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

в) Диагональ AC.

г) Площадь треугольника AKD.

Ответ обязательно поясните: если величину можно найти, то найдите ее, если данных недостаточно, то приведите пример двух трапеций с данными основаниями и высотой, но имеющих разные другие величины.

Особенностью таких заданий на уроках является то, что кроме требования произвести те или иные вычисления они содержат вопросы, направленные на развитие логического мышления, математической речи. В условии такого рода задач изображена система расположенных в определенном порядке объектов, которыми могут быть числа, слова, буквы, фигуры, алгебраические выражения, рисунки или разные их комбинации, один или несколько из которых известны. Требуется, проанализировав систему выявить принципы её построения, то есть выделить отношения, которые существуют между её элементами и, исходя из этих отношений и имеющихся элементов, найти неизвестный.

Для выполнения таких заданий требуется весь комплекс основных мыслительных операций. Логические задания влияют на развитие наблюдательности, углубление взаимосвязи наглядно - образных и словесно - логических компонентов мышления школьников.

Например:

1. Двое мальчиков катались на лодке. К берегу подошел отряд солдат. Лодка так мала, что на ней могли переправиться двое мальчиков или только один солдат. Как солдаты смогли переправиться через реку?

Решение.

Мальчики на лодке плывут к другому берегу. Один из них остается там, а другой возвращается. Один солдат переправляется, вылезает, а мальчик возвращает лодку. Таким образом, чтобы переправить одного солдата, лодка 4 раза плывет от берега до берега. Аналогично переправляются остальные.

2. Длина спички 5 см. Как из 13 спичек сложить метр?

Решение: Сложить слово «метр».

3. Три студента: Андреев, Борисов и Воронов - учатся на различных факультетах Новгородского педагогического института (историческом, физико-математическом и иностранных языков). Все они приехали из различных городов: Таллинна, Твери, Вышнего Волочка, причем один из них увлекается футболом, другой - баскетболом, третий - волейболом. Известно, что:

1) Андреев не из Вышнего Волочка, а Борисов не из Твери.
2) Студент, приехавший из Вышнего Волочка, учится не историческом факультете.
3) Тверянин учится на факультете иностранных языков и увлекается футболом.
4) Воронов учится на историческом факультете.
5) Студент физико-математического факультета не любит волейбол.

Из какого города приехал каждый студент, на каком факультете он учится и каким видом спорта увлекается?

Решение.

Воспользуемся тремя таблицами.

Фамилия

Город

Таллинн

Тверь

В. Волочек

Андреев

-

+

-

Борисов

-

-

+

Воронов

+

-

-

Из первого условия следует, что на пересечении строки "Андреев" и столбца "В. Волочек", а также в клетке "Борисов - Тверь" надо поставить знак минус.

Из второго условия следует, что в клетке "В. Волочек - исторический" третьей таблицы следует поставить знак минус.

Из третьего условия следует, что в клетке "Тверь - иностранный язык" третьей таблицы следует поставить знак плюс. Но тогда студенты из Таллинна и В. Волочка не могут учиться на факультете иностранных языков. Кроме того, студент из Твери не учится на историческом и физико-математическом факультетах. Поставим знак минус в соответствующих клетках. Но тогда, очевидно, что таллиннец учится на историческом, а студент из В. Волочка - на физико-математическом.

По четвертому условию Воронов учится на историческом факультете, и поэтому Воронов из г. Таллинна, а Андреев и Борисов живут в другом городе. Отметим это в таблице. Воронов не житель Твери и В. Волочка. В этих клетках можно поставить знак минус. Тогда, очевидно, что Борисов живет в В. Волочке, а Андреев - в Твери. Первая таблица заполнена.

По условию 3 тверянин увлекается футболом. Но тверянином является студент факультета иностранных языков Андреев. Значит, Андреев увлекается футболом, и поэтому в соответствующей клетке второй таблицы поставим знак плюс и отметим, что Андреев не играет в баскетбол и волейбол, а Борисов и Воронов не увлекаются футболом.

Наконец, студент физико-математического факультета не любит волейбола. Этот студент - житель В. Волочка, т. е. Борисов. Во второй таблице ставим знак минус в строке "Борисов" и столбце "Волейбол". Таблица легко заполняется до конца.

Высоким развивающим потенциалом обладают провоцирующие задачи. С их помощью можно предупредить различного рода заблуждения или ошибки школьников. Попадая в заранее подготовленную ловушку, ученик испытывает сожаление от того, что не придал особого значения некоторым нюансам условия задачи. Эти задачи способствуют воспитанию одного из важнейших качеств мышления - критичности, приучают к анализу воспринимаемой информации.

1. Что больше, число а или число 2а?
   
   Обычно учащиеся отвечают: 2а, ведь, чтобы получить 2а, нужно а умножить на 2. Но при отрицательных значениях а справедливо обратное неравенство. Правильный ответ: «Не известно».
   
   

2. Функция у=k/x является возрастающей или убывающей на каждом из промежутков (-∞; 0) и (0; +∞) ?
   
   Напрашивается ответ: «убывающей». Он неверен, так как при отрицательных значениях k функция возрастает и на промежутке ( -∞ ;0), и на промежутке (0; +∞). Правильный ответ: «Не определено».

3. Сколько цифр потребуется, чтобы записать двенадцатизначное число?
   
   Навязывается ответ: «12 цифр», но это не так, поскольку десятичная система счисления обходиться всего лишь десятью цифрами. Правильный ответ: «Двенадцатизначное число можно записать с помощью одной, двух, трёх, четырёх, пяти, шести, семи, восьми, девяти, десяти цифр».

4. Периметр треугольника равен 6 см, его стороны относятся как 1:2:3. Найти среднюю по величине сторону треугольника.

Обычно учащиеся называют ответ: 2. Но этот ответ неверный, т.к. не выполняется неравенство треугольника.

Научить ученика учиться - основная задача педагога. Одним из способов решения этой задачи может быть проведение самостоятельных и исследовательских работ, которые позволяют ученику приобретать знания в процессе деятельности. Например, сформулировав теорему, можно предложить самостоятельную работу, которая спровоцировала бы у учащихся сомнения в истинности формулировки, а значит, побудила бы потребность в доказательстве. Тогда доказательство стало бы естественным ответом на сомнения ученика. Следовательно, самостоятельная работа побудила учащихся к самообразовательной деятельности, связанной с их самопознанием и овладением основными приемами мышления.

Развивая математические способности, формируется математический способ мышления, с помощью которого повышается уровень успеваемости учеников. Таким образом, использование в учебном процессе развивающих заданий, разработанных с учетом интеллектуальных способностей учащихся, развивает творческие силы и математические способности детей, а так же оказывает значительное влияние на успешность обучения в школе.

Творческая активность, успех урока зависят от методических приемов, которые выбирает педагог. Уход от обычных форм обучения, привлечение дополнительных знаний, проявление разнообразных умений, которые широко используются в повседневной жизни, дают возможность отличиться ученику, служат началом для самовыражения его личности. Элементы игры, включаемые в урок, оказывают заметное влияние на деятельность учащихся. Игровой мотив является действенным подкреплением познавательному мотиву, способствует активизации мыслительной деятельности, повышает концентрацию внимания, настойчивость, работоспособность, создает дополнительные условия для проявления радости, удовлетворенности, чувства коллективизма. Во время дидактической игры создается неформальная обстановка; не под давлением, а по желанию учащихся происходит многократное повторение материала, что заставляет учащихся не просто механически, а, думая, подбирать нужный ответ. Побеждает чаще всего тот, кто не просто знает, а имеет развитое воображение, умеет наблюдать, подмечать, выделять. Кроме этого, если учащийся видит творческий подход наставника, то и у него возникает потребность творчества.

Например, рассмотрим задания из темы " Признаки делимости" 6класс.

На 4 делятся числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры составляют число, делящееся на 4.

189512 делится нацело на 4, т.к. две последние цифры составляют число 12. Ответь на вопросы:

а) делятся ли на 4 числа и почему: 315668; 109814748; 400044014,578600?

б) будут ли делиться на 4 числа, если вместо * поставить любые цифры?

**32; **76; **16; **70; **48; **61; **50; **20?Объясните свой ответ.

в) придумайте свои многозначные числа, которые будут делиться на 4.

Мы видим на этом примере, как творческое задание в комплексе решает ряд обозначенных ранее проблем. Происходит обновление ранее усвоенных знаний, т.к. задание несёт новую информацию для учащихся, в то же время основывается на имеющихся знаниях, умениях и навыках (признаки делимости на 2, на5, на 10,на 3, на 9 и др.). Мы видим также тренинг с наличием нового элемента - деление на 4.

Проанализируем в качестве примера ещё одно задание по теме " Разложение числа на простые множители" 6 класс.

" Простая ромашка".

а) Запишите простые числа в лепестках ромашки так, чтобы произведение всех этих чисел равнялось 240.

б) Нарисуйте " простую ромашку" для числа 144. Сколько у неё будет лепестков?

в) Можно ли нарисовать " простую ромашку" для числа 47? Обоснуйте ответ.

г) Выберите какое-нибудь своё число, нарисуйте для него " простую ромашку", если это возможно.

Мы видим, что это задание носит характер занимательности. В ходе урока это задание можно обыграть. Этапы а), б), в) можно использовать в ходе небольшого соревновательного момента на уроке. В зависимости от целей и задач урока задание " простая ромашка" может быть использована как на повторении, на закреплении, так и в домашнем задании.

На наш взгляд, творческие задания могут с успехом использоваться для решения целой группы задач в педагогическом процессе: образовательных, развивающих, воспитывающих. Таких как развитие познавательных процессов личности школьника; развитие эмоционально - волевой сферы учащихся; воспитание интереса; развитие мотивационной сферы учащихся; развитие коммуникативных умений и др.

Умение заинтересовать математикой - дело не простое. Многое зависит от мастерства педагога, от умения поставить вопрос, подобрать задание. Ведь в математике есть нечто, вызывающее восторг. Логические цепочки украшают математику подобно тому, как гирлянды украшают елку. Логика - наука, которая учит, как нужно рассуждать, чтобы наше мышление было определенным, связным, последовательным, непротиворечивым. Без логики не может быть математики. Само изучение математики, в свою очередь, полезно для овладения правилами и законами мышления.

Надо учить учащихся работать головой, ведь К.Боуви писал: "Немногие умы гибнут от износа, по большей части они ржавеют от неупотребляемости".