Дополнительный материал по математике 5 класс

Задачи повышенной трудности. 5 класс.

1. Сколько всего различных незамкнутых ломаных можно построить с вершинами в точках A, B, C, D (рис. 1)?

Из точки А можно пойти в точку B или в точку C или в точку D.

Куда мы можем пойти из точки B, из точки C, из точки D, и т.д.

Можно построить 6 ломаных с началом в точке A. Запишем их названия. Проделаем такую же работу с остальными точками? Каждая ломаная повторяется дважды, поскольку, например, ABCD и DCBA - это одна и та же ломаная. Поэтому всего различных ломаных получится не 6  4 = 24, а вдвое меньше - 12.

2. Сколько всего различных замкнутых ломаных можно построить с вершинами в точках A, B, C, D (рис. 1)?

а)Превратим незамкнутые ломаные в замкнутые: добавим необходимое звено. Замкнутые ломаные ABCD, BCDA, CDAB и DABC - это одна и та же ломаная,

т. е. число различных замкнутых ломаных в 4 раза меньше числа незамкнутых: 12 : 4 = 3.»

б)Рассмотрим замкнутую ломаную ABCD. Ее название можно записать 8-ю способами (по два названия для каждой из начальных точек A, B. C, D). Это значит, что число замкнутых ломаных в 8 раз меньше числа всех возможных вариантов записи названий ломаных с вершинами в точках A, B, C и D: 24 : 8 = 3.

3. Однажды на досуге Иа-Иа и Пятачок решили попробовать зашифровать цифры буквами. Иа-Иа удалось записать некоторое трехзначное число, затем сумму его цифр, а затем сумму цифр этой суммы. Вот что у него получилось:

.

А Пятачок проделал то же самое с другим трехзначным числом. У него получилось так:

Постарайтесь разгадать, какое число записал Иа-Иа, а какое Пятачок.

1) И + О = И, значит, О = 0. Сумма цифр трехзначного числа не может быть больше 27 (9 + 9 + 9 = 27). Поскольку, О = 0, а И может быть равно только 2 или 1, сумма цифр задуманного числа равна либо 20, либо 10. Проверим оба варианта.

Если И = 2, то ИО=20, тогда А должно быть равно 16. Но цифры 16 не существует.

Если И = 1, то ИО=10, тогда А должно быть равно 8. Это возможно.

Значит, Иа-Иа задумал число 181.

2) Аналогично у Пятачка: число ЧО может быть равно 20 или 10, т.е. Ч может быть равно 2 или 1. Проверим эти варианты.

Если Ч = 2, то П = 9. Это возможно.

Если Ч = 1, то П определить невозможно, так как П + П = 9, а 9 не делится на 2.

Значит, Пятачок задумал число 929.

4. Прохожий заметил идущий на остановку автобус в 180 метрах позади себя. Чтобы не опоздать, он побежал и через 12 секунд прибежал на остановку одновременно с автобусом. С какой скоростью пришлось бежать прохожему, если известно, что автобус движется со скоростью 19 м/сек?

I способ.

1) 19  12 = 228 (м) - расстояние, которое проехал автобус;

2) 228 - 180 = 48 (м) - расстояние, которое пробежал прохожий;

3) 48 : 12 = 4 (м/с) - скорость прохожего.

Ответ: 4 м/с.

II способ.

1) 180 : 12 =15 (м/с) - скорость, с которой автобус догоняет прохожего;

2) 19 - 15 = 4 (м/с) - скорость прохожего.

Ответ: 4 м/с.

5. а) 1000 л бензина стоят 8 500 рублей. Определите стоимость 210 л бензина. Постарайтесь решить эту задачу, не переводя рубли в копейки.

б) Рабочий изготовил 10 деталей на своем станке за 52 часа 30 минут; станок-автомат изготовил 25 таких же деталей за 43 часа 45 минут. Во сколько раз автомат работал быстрее рабочего?

а) Подсказка. Определите стоимость 10 л бензина.

б) Аналогичный прием применить не удается. Но уже попытки предпринять что-либо способствуют накоплению опыта в работе с единицами измерения времени. В конечном итоге приходим к необходимости выразить время работы в минутах.

6. Аэроплан совершал перелет из одного пункта в другой со средней скоростью 180 км/ч. Если бы его скорость была 200 км/ч, то на тот же путь он затратил бы на 30 минут меньше. Определите расстояние между пунктами.

Первая Подсказка. Какие величины надо знать, чтобы определить расстояние? Какие из них известны? Представьте, что вылетели одновременно два аэроплана: первый со скоростью 180 км/ч, а второй - со скоростью 200 км/ч.

Вторая Подсказка. На каком расстоянии от пункта прибытия был первый аэроплан в тот момент, когда второй туда прилетел? Как бы вы охарактеризовали это расстояние? Целесообразно вместе с учащимися построить графическую модель ситуации:

Третья Подсказка. Скорость известна. Что нужно знать, чтобы определить время в пути, зная, на какое расстояние за это время второй аэроплан обогнал первый?

1) Представим, что вылетели одновременно два аэроплана, первый со скоростью 180 км/ч, а второй - со скоростью 200 км/ч. Тогда, в тот момент, когда второй совершил посадку, первый был от пункта назначения в 30 мин полета. Поскольку его скорость 180 км/ч, ему осталось лететь

180 : 2 = 90 (км).

2) 90 км - это расстояние, на которое второй аэроплан обогнал первый за время полета. Чтобы найти расстояние между городами, надо знать время полета. Это то самое время, за которое второй аэроплан обогнал первый на 90 км. Его можно найти, если определить скорость удаления:

200 - 180 = 20 (км/ч).

3) 90 : 20 = 4 ч (10 км ост).

Если за 1 час расстояние между самолетами увеличивается на 20 км, то на 10 км оно увеличится за полчаса. Значит, второй аэроплан был в полете 4 ч 30 мин.

4) 200  4 = 800 (км) - расстояние, которое пролетел второй аэроплан за 4 часа.

И еще за полчаса он пролетел 100 км.

5) Значит расстояние между городами: 800 + 100 = 900 (км).

Ответ. 900 км.

7. Изобразите отрезок MN. Отметьте на нем точки K и L так, чтобы отрезок KN составлял , а отрезок ML - отрезка MN. Какую часть отрезков MN, NK, ML, MK и NL составляет отрезок KL? Прежде чем решать задачу подумайте, какой длины удобно взять отрезок MN.

Ответ: отрезок KL составляет длины отрезка MN, длины отрезка NK, длины отрезка ML, 1 длины отрезка MK, 1 длины отрезка NL.

8. Библиотеке надо переплести 960 книг. Одна переплетная мастерская может выполнить эту работу за 16, другая - за 24 и третья - за 48 дней. В какой срок могут выполнить эту работу три мастерские, работая одновременно, и сколько книг успеет переплести каждая мастерская? Можно ли распределить книги между мастерскими так, чтобы эта работа была выполнена за более короткий срок?

1) Сколько книг может переплести за один день первая мастерская?

960 : 16 = 60 (книг).

2) Сколько книг может переплести за один день вторая мастерская?

960 : 24 = 40 (книг).

3) Сколько книг может переплести за один день третья мастерская?

960 : 48 = 20 (книг).

4) Сколько книг могут переплести за один день три мастерские, работая одновременно?

60 + 40 + 20 = 120 (книг).

5) За какой срок выполнят работу три мастерские, работая одновременно?

960 : 120 = 8 (дней).

6) Сколько книг успеет переплести первая мастерская за 8 дней?

60  8 = 480 (книг).

7) Сколько книг успеет переплести вторая мастерская за 8 дней?

40  8 = 320 (книг).

6) Сколько книг успеет переплести третья мастерская за 8 дней?

20  8 = 160 (книг).

Ответ: 8 дней, I мастерская успеет переплести 480 книг, II мастерская - 320 книг, III мастерская - 160 книг.

9. В первой фляге молока в 3 раза больше, чем во второй. Когда из первой фляги перелили во вторую 15 л, молока в обеих флягах стало поровну. Сколько литров молока было в каждой фляге первоначально?

Наводящий вопрос: покажите то количество молока, которое надо перелить из первого бидона во второй, чтобы уравнять количество молока в обоих бидонах.

Как только учащиеся поняли, что 15 л это треть молока, содержащегося в первом бидоне, задача решена.

10. 1) Решите задачу подбором. Из 29 коробок часть содержит по 14 кг конфет, а часть по 15 кг. Сколько тех и других коробок, если общая масса конфет в коробках обоих типов одинаковая?

2) Придумайте сами аналогичную задачу.

Внимательно изучив данные, видим, что 14 + 15 = 29. Значит коробок, в которых по 14 кг должно быть 15, а тех, в которых по 15 кг - 14.

11. Пассажир поезда, идущего со скоростью 50 км/ч, заметил, что встречный поезд шел мимо него в течение 10 секунд. Определите длину встречного поезда, если его скорость - 58 км/ч.

Какие величины в задаче известны? Сделаем рисунок:

Длина поезда - это расстояние от начала головного вагона до конца хвостового вагона. Какие величины мы обычно используем, чтобы найти расстояние?

1) 50 + 58 = 108 км/ч скорость, с которой встречный поезд проехал мимо пассажира.

2) 108 (км/ч) = (108  1000) : 3600 (м/с) = 30 (м/с).

3) 30  10 = 300 (м) - длина поезда.

Ответ: 300 м.

12. а). От пристани А вниз по течению реки отправился катер. В это же время от пристани В навстречу ему вышел второй катер с такой же собственной скоростью. Первый катер достиг пристани В через 4 ч. На каком расстоянии от пристани А был в это время второй, если скорость течения 2 км/ч?

б) В случае затруднений, постарайтесь определить, на сколько первый катер проходит больше километров за 1 час, чем второй

в) Если вы так и не смогли решить задачу, постарайтесь разобраться в том, как это можно сделать, из следующего текста.

Первый катер при движении по течению за 4 ч «выиграл» 8 км (4  2) по сравнению с тем расстоянием, которое он прошел бы за это время, двигаясь в стоячей воде, а второй катер столько же километров «проиграл», так как двигался против течения. Всего же второй катер за 4 ч «проиграл» первому 16 км. Значит, на таком расстоянии он был от A тогда, когда первый прибыл в B.

Подсказки и решение этой задачи следуют сразу после условия, под буквами б) и в).

13. Начертите с помощью циркуля окружность и проведите диаметр. Обозначьте его АВ. На окружности отметьте две любые точки С и D. Соедините их с точками А и В. Какими (острыми, прямыми или тупыми) получились углы АСВ и ADB? Сделайте вывод.

14. Начертите окружность и проведите отрезок АВ с концами на этой окружности. Отметьте на окружности точки C, D и Е так, чтобы угол АВС был острым, угол АВD - прямым, а угол АВE - тупым.

15. На отдельном листе бумаги, используя чашку вместо циркуля, проведите карандашом окружность. Вырежьте получившийся круг и подумайте, как при помощи перегибания найти его центр. Подумайте, как найти центр круга в случае, если круг перегнуть нельзя.

Выполнение первого задания - найти центр вырезанного круга перегибанием, как правило, затруднений не вызывает.

16. Найдите длину забора, окружающего дом прямоугольной формы, длиной 15,5 м и шириной 4,8 м, если забор поставлен на расстоянии 10 м от него.

17. Катер, встретив плот, продолжал движение еще в течение получаса в том же направлении, а затем развернулся и направился обратно. Сколько ему понадобится времени, чтобы догнать плот?

Скорость удаления катера от плота (движение против течения):

(v_{собст. катера} - v_{течения} ) + v_{плота(течения)} = v_{собст. катера} .

Скорость сближения катера и плота (движение по течению):

(v_{собст. катера} + v_{течения} ) - v_{плота(течения)} = v_{собст. катера} .

18. Приведите пример для утверждения: любые два прямоугольных параллелепипеда, имеющие равные объемы, имеют и равные площади поверхности.

Подсказка: для наглядности можно использовать кубики. Например:

19. Пассажир поезда, идущего со скоростью 79,2 км/ч, заметил, что встречный поезд шел мимо него в течение 12 с. Определите скорость встречного поезда, если его длина - 480 м.

1) Выразим скорость поезда, в котором ехал пассажир, в метрах в секунду:

79,2 (км/ч) = (79,2  1000) : 3600 (м/с) = 22 (м/с).

2) 480 : 12 = 40 (м/с) - скорость, с которой встречный поезд проехал мимо пассажира.

3) 40 - 22 = 18 (м/с) - скорость встречного поезда.

4) Выразим скорость встречного поезда в км/ч:

(18  3600): 1000 = 64,8 (км/ч).

Ответ: 64,8 км/ч.