Урок по математике: «Введение декартовых координат в пространстве. Формулы середины отрезка и расстояния между двумя точками»

Урок математики по теме:

«Введение декартовых координат в пространстве.

Формулы середины отрезка и расстояния между двумя точками.»

Цели урока:

1. Повторить применение координат на прямой и на плоскости; формулы середины отрезка и расстояния между точками.

2. Ввести декартовы координаты в пространстве.

3. Познакомить с формулами середины отрезка и расстояния между двумя точками в пространстве.

4. Развивать пространственное и логическое мышление.

5. Прививать интерес к истории математики.

6. Воспитывать эстетический вкус и культуру оформления работы.

Методическое обеспечение урока:

1. Модель трёхмерной системы координат.

2. Чертежные инструменты.

3. Портрет Р. Декарта.

4. Учебник «Геометрия 10-11» А.В.Погорелова, Москва «Просвещение» 2008 г.

5. Презентация.

6. Дидактический материал (карточки).

Тип урока: комбинированный

Ход урока

I. Организационный момент.

Приветствие и размещение на рабочих местах.

Сообщение темы и цели урока:

- Тема нашего урока «Введение декартовых координат в пространстве.

Формулы середины отрезка и расстояния между двумя точками.»

Сегодня на уроке мы с вами повторим применение координат на прямой и на плоскости, а также формулы середины отрезка и расстояния между точками. Затем ознакомимся с декартовыми координатами в пространстве, с формулами середины отрезка и расстояния между двумя точками в пространстве, для того чтобы

расширить ваш кругозор и научиться применять данный метод при решении задач. Желаю вам успехов!

Выбор этой темы не случаен. Мы с вами практически закончили изучение геометрии, однако, решая задачи, вы показали, что некоторые вопросы у вас вызывают затруднения, кроме этого, тема имеет большую прикладную значимость не только в геометрии, но и в физике.

Назовите раздел физики, где вам постоянно приходится встречаться с координатами и векторами.

В кинематике задачи решаются координатным способом.

В динамике и в задачах на закон сохранения импульса используют векторный способ решения задач.

Координатный метод используется при выводе основного уравнения МКТ.

При изучении изопроцессов в газах. Электромагнитные волны.

Но оказывается, в современном мире это не самое главное приложение выбранной темы.

Главное - это ставшие возможными, благодаря развитию вычислительных средств, приложения к техническим наукам и непосредственно к технике, к практике. Вы знаете, что электронно-вычислительные машины умеют оперировать только с числами или с информацией, записанной с помощью чисел, но не с геометрическими объектами-точками, векторами и т.д. И когда ЭВМ управляет самолётом, подводной лодкой или космическим кораблём, она обрабатывает данные о положении, расположении, скорости, ускорения движущегося объекта, т.е. с геометрической точки зрения данные о точках и векторах не в геометрической форме, а в переводе их на язык чисел. Переход от точек и векторов к их координатам и представляет собой такой перевод. Таким образом, введение координат, даёт возможность использовать современной вычислительной технике в самых различных, геометрических с внешней точки зрения, ситуациях.

II. Повторение. Актуализация знаний.

- Сейчас мы с вами совершим небольшой экскурс в историю математики. Слово предоставляется обучающимся.

В 1637 г. во Франции вышла книга, которая принесла её автору невероятную известность. По обычаям того времени она имела довольно длинное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять разум и отыскивать истину в науках. Кроме того, Диоптрика, Метеоры и Геометрия, которые являются приложениями этого метода». Автор книги Рене Декарт (1596 - 1650 г.). В ней он ввел прямоугольную систему координат, поставил каждой точке в соответствие пару чисел - её координаты. Этот прогрессивный метод позволил решить ряд геометрических задач алгебраическим методом, что оказалось очень удобным.

Главные правила метода гласят:

1. Не принимать за истинное что бы то ни было, прежде чем не признал это несомненно истинным, т. е. старательно избегать поспешности и предубеждения и включить в свои рассуждения только то, что представляется уму так ясно и отчетливо, что никоим образом не может дать повод к сомнению.

2. Делить каждую из рассматриваемых трудностей на столько частей, на сколько требуется, чтобы лучше их разрешить.

3. Руководить ходом своих мыслей, начиная с предметов простейших и легко познаваемых, и восходить мало - помалу, как по ступеням, до познания наиболее сложных, допуская существования порядка даже среди тех, которые в естественном порядке вещей не предшествуют друг другу.

4. Делать всюду настолько полные перечни и такие общие обзоры, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено.

- Руководствуясь этими правилами, начнем с ранее изученного материала.

1. Сначала координаты точки ввели на луче, потом на прямой.

- Что представляет собой координатная прямая?

Координатная прямая - это прямая с выбранными на ней направлением, началом отсчета и единичным отрезком.

Слайд 2.

- Что называют координатой точки?

Координатой точки М называют число, абсолютная величина которого равна расстоянию от начала отсчета до точки М.

Если точка расположена справа от точки О, то её координата положительная, если слева - то отрицательная.

2. Для определения положения точки на плоскости одной координаты недостаточно.

Поэтому по примеру географических координат Декартом были введены координаты на плоскости, добавив к оси х перпендикулярную ось и выбрав на ней направление и единичный отрезок.

Слайд 3.

- Что значит координатная плоскость задана?

III. Введение координат в пространстве.

- Первое определение IX книги «Начала» Евклида гласит: «Тело есть то, что имеет длину, ширину и глубину». Тем не менее есть основание полагать, что в древности нашего понятия о трехмерном пространстве не существовало. У Декарта имелись лишь далекие намеки на возможность распространения метода координат с двумерного пространства (плоскости) на трехмерное. Потребовалось ещё почти 100 лет, чтобы идея пространственных координат была сформирована, постоянно и широко использовалась.

(Объяснение с опорой на трехмерную модель )

Система координат в пространстве представляет собой три взаимно перпендикулярные прямые х, y, z, пересекающиеся в одной точке.

О - начало отсчета_, x, y, z - координатные оси, xy, yz, xz - координатные плоскости.

Слайд 4.

Слайд 5.

Слайд 6.

- Где в повседневной жизни мы встречаем данную систему координат?

(длина, ширина, высота).

- Для чего необходимы эти знания в вашей профессии, профессии «Бухгалтер»? (составление сметы расходов для ремонта помещения)

- Определите координаты точки А на плоскости.

Координатой х точки А называется число, равное по абсолютной величине длине отрезка ОА_х и т.д. Таким образом, точке А в пространстве ставится в соответствие тройка чисел - её координаты.

Обозначение: А(x; y; z).

- По внешнему виду точки можно определить место её расположения в пространстве.

Рассмотрим координаты частного расположения точек в пространстве.

Слайд 7.

Домашнее задание: обучающиеся получают карточки с индивидуальным заданием

Задача 1. Дан куб с ребром, равным 4. Определите координаты его вершин.

z

В₁ С₁ Ответы:

А₁D₁ А А₁

В В₁

В С y С С₁

D D₁

А D

x

Задача 2. Дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 6;4;4. Определите координаты его вершин.

В₁z С₁

Ответы:

А₁D₁

А А₁

В С В В₁

А D y С С₁

D D₁

x

Ответы:

Задача 1. Дан куб с ребром, равным 4. Определите координаты его вершин.

z

В₁ С₁ Ответы:

А₁D₁ А (4;0;0) А₁ (4;0;4)

В (0;0;0) В₁ (0;0;4)

В С y С (0;4;0) С₁ (0;4;4)

D (4;4;0) D₁ (4;4;4)

А D

x

Задача 2. Дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 6;4;4. Определите координаты его вершин.

В₁z С₁

Ответы:

А₁D₁

А (2;-3;0) А₁ (2;-3;4)

В С В (-2;-3;0) В₁ (-2;-3;0)

А D y С (-2;3;0) С₁ (-2;3;4)

D (2;3;0) D₁ (2;3;4)

x

IV. Практическое применение метода координат.

- В качестве иллюстрации приложения метода координат рассмотрим алгебраические равенства, имеющие простые геометрические истолкования. Это формулы координат середины отрезка и расстояния между точками.

Слайд 8.

Слайд 9.

Задача№1 на повторение. Найдите координаты середины отрезка АВ и длину отрезка АВ, если:

1 вариант - А (3;-1), В (-2;4)

2 вариант - А (3;4), В (2; -1)

(Взаимопроверка работ с помощью слайда)

Слайд 10.

- Аналогичные формулы применяются в пространстве.

Слайд 11.

Слайд 12.

Задача №2. Дано: А (1;-1;2), В (3;1;-2)

Найдите координаты середины отрезка АВ и его длину.

Решение:

1). Пусть С - середина отрезка АВ, тогда С (; ; ), С (2;0;0)

2). АВ = = = 2.

(Решение задачи у доски)

V. Подведение итогов урока.

VI. Домашнее задание:

учебник А.В.Погорелова «Геометрия 10-11» п. 23 - 25, стр.53 ответить на вопросы № 1 - 3. Все обучающиеся получают индивидуальные задания по карточкам на определение координат вершин фигуры.