Методическая разработка урока по теме: Логарифмические уравнения

Методическая разработка урока по теме "Логарифмические уравнения"

Цели урока:

• Повторение основных приемов преобразования и методов решения логарифмических уравнений; акцентирование внимания на возможных ошибках в решении логарифмических уравнений.

• Расширение знаний темы "Логарифмические уравнения" посредством знакомства с уравнениями, содержащими знак модуля.

• Развитие познавательных способностей ,вариативного мышления, общеучебных навыков, работа с книгой, с компьютером.

• Развитие коммуникативных навыков, монологической речи, умение критически мыслить, отстаивать свою точку зрения.

Ход урока

1. Организация на урок.

2. Повторение теоретического материала по теме " Равносильные уравнения. Решение логарифмических уравнений":
   а) устная работа (обсуждение теоретических вопросов) ;
   б) диктант с последующей проверкой .

3. Работа студентов с карточками (нахождение ошибок) (самостоятельно), обсуждение решений уравнений .

4. Совместная работа студентов и преподавателя (решение уравнений в тетрадях и у доски) .

5. Итог урока, выставление оценок .

I этап урока - организационный

Преподаватель сообщает студентам тему урока, цель и добавляет, что во время урока они будут пользоваться раздаточным материалом, находящимся на партах.

II. Повторение теоретического материала по теме: " Равносильные уравнения. Решение логарифмических уравнений"

Для того, чтобы решать логарифмические уравнения, следует повторить необходимые для этого теоретические сведения:

1)определение равносильных уравнений:

Определение 1. Два уравнения с одной переменной f(x) = 0 и g(x) = 0 называют равносильными, если множества их корней совпадают. Иными словами, два уравнения равносильны, если они имеют одинаковые корни (например, х = 2 и х² - 2х + 4 = 0) или оба уравнения не имеют корней

(например, и х² - 5х + 10 = 0)

2) определение уравнения следствия: Определение 2. Если каждый корень уравнения f(x) = 0 является в то же время корнем уравнения g(x) = 0, то второе уравнение называют следствием первого.Например, уравнение (х - 2)(х + 4) = 0 является следствием уравнения ,

а уравнение х - 2 = 0 не является следствием уравнения (х- 5)(х - 2) = (х + 5).

3) область допустимых значений уравнения :Определение 3. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения f(x) = g(x) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x).

4) что понимают под логарифмическим уравнением: Определение1. Простейшее логарифмическое уравнение - это уравнение вида log_а , где a > 0, a ≠ 1. Оно имеет единственное решение х = а^b при любом b.

Диктант (с последующей взаимопроверкой)

Возможные ответы: "+"-да , "-" - нет

Выступление студента.

Основные виды логарифмических уравнений:

• 

• ;

• в уравнении логарифмы с разными основаниями;

• ;

• метод введения новой переменной.

Устная работа.

1. Укажите промежуток, которому принадлежит больший корень уравнения ln(х - 5)² = 0.

1) (-7;-5);

2)(-5;-3);

3)(2;4);

4) (5; 7).

2. Найдите произведение корней уравнения 1- lg(x² +1) = 0.

1)-99;

2)-9;

3)33;

4)-33.

3. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения log₀,₅(x - 9) = 1 + log₀,₅5.

1) (11; 13);

2) (9; 11);

3) (-12;-10);

4) [-10;-9].

4. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log4(x - 5) = log₂₅5.

1)(-4;-2);

2) (6; 8);

3) (3; 6);

4) (-8; -6).

Ответы:

Задание

1

2

3

4

Номер ответа

4

2

1

2

III. Работа студентов с карточками. Объяснение ошибок

Студентам на отдельных листах предлагаются уравнения с решениями, содержащими ошибки. Необходимо обнаружить эти ошибки, объяснить их и выполнить решение предложенных уравнений правильно (допускается решение уравнения иным способом после обнаружения ошибки в приведенном варианте решения).

Обсуждение решения уравнений

В задаче 1 для преобразования выражения использовалось тождество = log_ba (а > 0, b > 0, р 0, b 1), однако не было учтено, что для данного выражения операция возведения во вторую степень является последней, и поэтому проводимые преобразования должны выглядеть иначе:

= ()² = (-log₂ x)² = log₂² х.

В задаче 2 при преобразовании выражения log₃ (x + 4)² пропущен знак модуля.

В задаче 3 преобразование дроби к разности выражений log₃(2x + l)-log₃x приводит к сужению множества значений, однако ошибка заключается в отсутствии условия корректности преобразования, в ходе которого произошло взаимное уничтожение слагаемого, содержащего переменную -log₃х.

В задаче 4 при преобразовании основания логарифма был поставлен знак модуля, однако, поскольку показатель степеней нечетный, то такое преобразование привело к расширению множества решений (-2 - посторонний корень для исходного уравнения).

В решении задачи 5 нарушено условие монотонности соответствующей функции (если f- монотонная функция и а ЄD_f, bЄ D_f, то f (a) = f(b) <=> а = b) .

IV. Решение уравнений

Этот этап урока может быть организован различно: студенты выполняют самостоятельно решение уравнений с последующей проверкой, кто-то из студентов показывает решение на доске и пр.

Важно обратить внимание на задачу 5. Ответ к этой задаче как при правильном решении, так и при решении с ошибкой совпал. Ошибочность приведенного решения для студентов раскрыта. Это означает, что из полученного правильного ответа к задаче не следует, что верно и само решение.

2)Определите, является ли уравнение логарифмическим. Укажите способ его решения.

а)2^х = 5 б) log ₂ х = 3 в) г) (3х + 1) = -2

д) е) log ₂ х + log ₄ х = 6 ж) = -1 з) (lg х)² - lg х = 2

и) x² + 1 = log₅(5 - x²)

Ответы: а) log₂5; б) 8; в) 5; г) 1; д) нет решений; ж) 27; з) 0,1; 100; и) 0.

При обсуждении методов решения уравнений особое внимание обратить на примеры д), и).

Д) ОДЗ: x >0, ч = - 1 - посторонний корень.

И) При решении используем свойства функций левой и правой частей уравнения.

.

Уравнение можно заменить системой: Откуда х = 0.

V. Подведение итогов урока

Преподаватель еще раз обращает внимание на те типы уравнений и теоретические факты, которые вспоминали на уроке, рекомендует выучить их. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных студентов, при необходимости выставляет отметки.

Домашнее задание

Решите уравнение (1-6).

1. + = 3.

2. log₃ х² + log₂ (2 - х) = log₂ (4 - 4х).

3. log₂ (x² + 10х + 25) = 2.