Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс

Раздел Математика
Класс 11 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия массКонспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия массКонспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия массКонспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия массКонспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия массКонспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия массПлан урока.

Название: « Геометрия масс»

Тема : « Геометрия»(элективный курс)


Место урока: 10класс , «Геометрия масс» , М.Балк, В.Болтянский

Цели в блоках достижения:

личностных результатов:

1 самопознание;

2.смыслообразование;

3.самооценка;

4.формирование целостного мировоззрения;

метапредметных результатов:

5.формирование обобщённого представления о межпредметном понятии «Центр масс»;

6. применение сформированного понятия в окружающей действительности;

7.формирование регулятивных УУД (оценка выполнения учебной задачи, формирование коммуникативной компетентности);

8.формирование познавательных УУД (умение выделять свойства, подведение под понятие, моделирование, классификация, обобщение, умение анализировать графические изображения);

предметных результатов:

9.развитие пространственного мышления;

10. формирование умения- распознавать опорные задачи;

- решать планиметрические и стереометрические задачи с привлечением свойства центра масс.





1Актуализация знаний полученных в курсе планиметрии.

Ученики работают в индивидуальных листах контроля.

Вопрос 1. На отрезке MN отметить точку Р так, что МР:РN=4:5 и точку К так, что МК:МN=2:9

Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс

Вопрос2. Что такое чевиана?

Задача 1.

В равнобедренном треугольнике АВС, с основанием АВ, чевиана АD делит боковую сторону в отношении 2:7. Треугольник разбивается на два треугольника. Найти площадь исходного треугольника, если площадь треугольника ADC равна 4 кв. ед.

Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия массКонспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс


Задача2. Эта чевиана является биссектрисой. Найти стороны треугольника, если периметр треугольника 22 см.

Самопроверка

Вопрос 1.Точка Р разбивает отрезок MN на два отрезка: в одном - четыре части, в другом - пять частей.

Отрезок МК это часть всего отрезка MN.

Вопрос 2. Чевиана это отрезок соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Задача 1. Опорная задача: если два треугольника имеют равные высоты, то их площади относятся, как основания.

Ваш ответ? (18)

Задача решена неправильно. У этой задачи два решения. (В качестве подсказки на индивидуальном листе два треугольника). CD:DB=2:7 либо CD:DB=7:2.

Второе решение Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс .

Задача 2.

А вот вторая задача имеет одно решение.

В случае, когда CD:DB=2:7 получим набор отрезков длинами 4,4,17. Треугольник не существует. В случае, когда CD:DB=7:2 получим треугольник со сторонами Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс

2

Основоположником этого метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в до н. э. он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс. В своем послании к Эратосфену «О механических теоремах» Архимед писал: «…Я счел нужным написать тебе и… изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем».

(Слайд с портретами Архимеда и Эратосфена)

3Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия массКонспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия массКонспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс

Показ фрагмента фильма «Геометрия масс».

Что это за метод? Это геометрия масс. Вы знакомились с этим методом в курсе планиметрии. Сегодня на уроке мы обобщим наши знания по этому вопросу и научимся применять геометрию масс при решении стереометрических задач. Запишите тему урока.

1) Что в основе метода?

Правило рычага Архимеда.

(Работаем со скриншотом фильма)

Центр масс данной системы двух точек А и В будет такая точка С отрезка АВ, что АС:СВ=m2:m1
Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс

2) Теорема о перегруппировке масс

Если нам дана система из нескольких материальных точек, то вместо любой пары (тройки,..) точек мы можем рассмотреть их центр масс, в котором находится суммарная масса исходных двух (трёх,…) точек.Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс


3) Наличие радиус векторов на скриншотах говорит о том, что опорные утверждения доказываются с помощью векторов, а любая задача на центр масс имеет векторное решение.Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс


4) В ходе решения мы ищем одну прямую, на которой лежит центр масс заданной системы материальных точек, а затем другую прямую, на которой лежит центр масс этой же системы материальных точек. Точка пересечения прямых и есть искомый центр масс.Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс

При решении стереометрических задач центр масс можно определить как точку пересечения прямой и плоскости

4

1) Опыты с цилиндром и конусом с одинаковыми основаниями и высотами.

Опытным путём (как в фильме) определяют центр масс конуса и цилиндра (с одинаковыми основаниями и высотами), подвешенных на противоположных концах палки. Вывод: плечо до конуса примерно в три раза длиннее, чем плечо до цилиндра, следовательно, по правилу рычага цилиндр весит в три раза больше. Поскольку тела одной плотности, то объём конуса составляет одну треть объёма цилиндра с таким же основанием и высотой.

2) Демонстрация игрушки «Птичка»

Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс

Кому-то это кажется чудом. Но секрет птицы прост - она изготовлена так, что ее центр масс приходится точно на кончик клюва.

А где находится центр масс системы трёх единичных материальных точек? (Это точка пересечения медиан. Центр масс делит каждую медиану в отношении 2:1 считая от вершины.)

3) Где находится центр масс параллелограмма?

Лежит в точке пересечения его диагоналей.

4Z1D 1С

5


1А 1

Как разместить массы, чтобы центр масс находился в точке D с суммарной массой 1?

2Z1D

5


1А -1В

5

В планиметрии мы выделяли две опорные задачи.

Первая опорная задача (в треугольнике проведены две чевианы).

На стороне ВС треугольника АВС взята точка D , такая что ВD:DС=5:1. В каком отношении медиана СE делит отрезок АD?

Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс

Распределим массы так, чтобы центр масс системы трёх материальных точек А,В и С находился в точке К пересечения чевиан. Заменим материальные точки 1А и 1В их центром масс 2Е. Центр масс точек А,В,С лежит на прямой СЕ. Заменим материальные точки 1В и 5С их центром масс 6D. Центр масс точек А,В,С лежит на прямой AD. Прямые пересекаются в точке К. Это центр масс материальных точек А, В, С.

1А+1В+5С=7К

1А+6D=7K Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс

5C+2E=7KКонспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс

Пусть площадь треугольника СКD равна 1. Найти площадь треугольника АВС. Найти площадь четырёхугольника ЕКDB.

Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия массКонспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс

SCKD=1Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс SCKA=6Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс SADC=7Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс SABD=35Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс SABC=35+7=42Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс SACE=21Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс SAKE=21-6=15Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс

SDKEB=35-15=20

Дан прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Через центр вписанной окружности проведена прямая параллельная стороне треугольника. Найти длину отрезка секущей внутри треугольника.

Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс

Вторая опорная задача (в треугольнике пересекаются чевиана и отрезок секущей).

В треугольнике ABC точка F делит основание ВС в отношении 3:1, считая от вершины В. Точки М и Р отсекают от боковых сторон АВ и АС по одной шестой, считая соответственно от вершины А и от вершины С. В каком отношении делится каждый из отрезков MP и AF точкой их пересечения?

Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс


Решение. Загрузим точки В и С такими массами, чтобы их .центром оказалась точка F: очевидно, достаточно (в силу правила рычага) поместить в В массу 1 (т. е. рассмотреть материальную точку 1В), а в С - массу 3. Далее, имея уже м. т. 1 В, подберем для точки А такую массу х, чтобы точка М оказалась центром масс двух м. т. и хА. По правилу рычага имеем 1· ВМ = х ·МА , откуда х = ВМ : МА = 5. Наконец, имея м. т. 3С, подберем для точки А еще другую массу у так, чтобы точка Р оказалась центром масс двух м. т. 3 С и у А. По правилу рычага имеем 3· CP = у· РА , откуда у = 0,6. У нас возникла новая ситуация: кроме м. т. 1В и 3С, мы имеем в точке А две различные массы 5 и 0,6. Рассмотрим систему из всех четырех м. т. IB, 5А, 3С и 0,6С. Ее центр масс обозначим через Z. Перенесем массы м. т. 1В и 5А в их центр масс М, а массы м. т. 3С и 0,6А - в их центр масс Р. Тогда Z окажется центром масс лишь двух м. т. 6М и 3,6Р. Мы могли бы и иначе сгруппировать те же четыре м. т.: перенести массы м. т. 1В и ЗС в их центр масс F, а вместо и 0,6А рассмотреть одну м. т. 5,6А. Тогда Z окажется центром масс двух м. т. 4F и 5,6А. Следовательно, Z - точка пересечения отрезков MP и AF. Так как Z - центр масс м. т. 5,6А и 4F, то АZ : ZF =4:5,6= 5: 7. Аналогично убедимся, что MZ : ZP = 3: 5.

Третья опорная задача

От боковых ребер PМ, РN, PK правильной треугольной пирамиды РMNK плоскость отсекает соответственно Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс считая от вершины Р. Какую часть отсекает секущая плоскость от высоты РE пирамиды?

Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс

Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс


Решение можно свести к применению второй опорной задачи.

1) в треугольнике NPK медиана PD пересекается с отрезком секущей ВС в точке F;

2) ) в треугольнике MDP чевиана PE пересекается с отрезком секущей АF в точке Z ;

Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия массКонспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс

Четвёртая опорная задача

Основанием пирамиды FABCD служит параллелограмм ABCD. Плоскость пересекает боковые ребра AF, BF, CF, DF соответственно в точках А111,D1 так, что АА11F=2;

BB1:B1F=5; CC1:C1F=10 В каком отношении секущая плоскость делит четвёртое ребро? высоту?


Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме Геометрия масс

Итоги

Если у вас есть трудная задача, отдайте ее ленивому. Он найдет более легкий способ выполнить ее.
Законы Мерфи


© 2010-2022