Программа элективного курса по математике для учащихся 9 класса

Программа элективного курса для учащихся 9 класса по теме

Решение уравнений и неравенств с параметром

Пояснительная записка

Понятие параметра является важным математическим понятием, которое часто используется в школьном курсе математики и в смежных дисциплинах, без употребления этого термина. В 7 классе - при изучении линейной функции и линейного уравнения с одной переменной. В 8 классе - при изучении квадратных уравнений. Общеобразовательная программа школьного курса математики не предусматривает решение задач с параметрами, а на вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ по математике задачи с параметрами присутствуют, решение которых вызывает большие затруднения учащихся.

Основная задача курса - познакомить учащихся с общими подходами решения заданий с параметрами. Существует много вариантов параметрических примеров: решить уравнение, определить количество решений, исследовать уравнение, найти положительные корни и т.д. В силу такого многообразия условий невозможно дать универсальных указаний по решению примеров, поэтому в курсе рассматриваются различные примеры с решениями. Материал курса представлен по схеме: справочные сведения, примеры с решениями, примеры для самостоятельной работы, примеры для определения успешности усвоения материала.

Решение заданий с параметрами способствуют формированию навыков исследовательской деятельности, интеллектуальному развитию.

Цели курса:

- систематизировать знания учащихся, полученные в 7 и 8 классах, при решении линейных и квадратных уравнений и неравенств;

- создать целостное представление о решении линейных уравнений и неравенств, содержащих параметры;

- создать целостное представление о решении квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметры;

- вызвать интерес к исследовательской и познавательной деятельности;

- развитие математического, логического мышления, умения анализировать, сравнивать, обобщать;

- формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремлённость, усидчивость, сила воли, точность;

- подготовка к экзаменам.

Учебно-тематический план

№

п/п

Тема

Кол-во

часов

Виды деятельности

1.

Повторение. Решение линейных уравнений и неравенств, квадратных уравнений и неравенств, решение задач на применение теоремы Виета.

2

Семинар

2.

О задачах с параметром.

Первоначальные сведения

2

Беседа учителя

3.

Решение линейных уравнений, содержащих параметры.

3

Исследовательская работа; составление справочника; отработка навыков; самостоятельная работа.

4.

Решение линейных неравенств, содержащих параметры.

3

Исследовательская работа; составление справочника; отработка навыков; самостоятельная работа.

5.

Квадратные уравнения. Теорема Виета.

4

Исследовательская работа; составление справочника; отработка навыков; самостоятельная работа.

6.

Успешность усвоения курса

1

Итоговая контрольная работа

7.

Обобщающие уроки

2

Итого:

17

Содержание программы

Тема 1. Решение линейных уравнений и неравенств, квадратных уравнений и неравенств, решение задач на применение теоремы Виета.

Тема 2. О задачах с параметром. Первоначальные сведения.

Понятие параметра. Что означает «решить задачу с параметром»? Основные типы задач с параметром. Основные способы (методы) решения задач с параметром.

Тема 3. Решение линейных уравнений, содержащих параметры.

Составление справочника. Примеры решения линейных уравнений с параметром.

Тема 4. Решение линейных неравенств, содержащих параметры.

Составление справочника. Примеры решения линейных неравенств с параметром.

Тема 5. Квадратные уравнения. Теорема Виета.

Составление справочника. Примеры решения квадратных уравнений с параметром.

Литература.

1. В.В. Мочалов, В.В. Сильвестров. Уравнения и неравенства с параметрами. Ч.:Изд-во ЧГУ, 2004. - 175с.

2. Ястребинский Г.А. Задачи с параметрами. М.: Просвещение, 1986, - 128 с.

3. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 - 11 классов среднй школы. М.: Просвещение, 1991. - 351 с.

4. Т. Пескова. Первое знакомство с параметрами в уравнениях. Учебно-методическая газета «Математика». №36, 1999.

5. Т. Косякова. Решение линейных и квадратных неравенств, содержащих параметры. 9 кл. Учебно-методическая газета «Математика».№ 25 - 26, № 27 - 28. 2004.

6. Т. Горшенина. Задачи с параметром. 8 кл. Учебно-методическая газета «Математика». №16. 2004.

7. Ш. Цыганов. Квадратные трёхчлены и параметры. Учебно-методическая газета «Математика». №5. 1999.

8. С. Неделяева. Особенности решения задач с параметром. Учебно-методическая газета «Математика». №34. 1999.

9. А. Кузовлев. Расположение корней квадратного трёхчлена при решении задач с параметрами. 9 - 11 кл. Учебно-методическая газета «Математика». № 34. 2004.

10. Родионов Е.М. Решение задач с параметрами. Пособие для поступающих в вузы. М.: МП «Русь-90»,1995. - 160 с.

11. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 класса. М.: Просвещение,1989. -252 с.

12. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 11 класса. М.: Просвещение,1991. - 384 с.

13. ГорнштейнП.И., Полонский В.Б. Задачи с параметрами. М: «Илекса», 2005, -326.

Приложение 1

Дидактический материал к элективному курсу

«Решение уравнений и неравенств с параметром»

Тема 1. Подбор примеров для этой темы по усмотрению учителя.

Тема 2. Примеры, где учащиеся уже встречались с параметрами:

• Функция прямая пропорциональность: у = kx (х и у - переменные; k - параметр, k ≠ 0);

• Функция обратной пропорциональности: у = ^k/_х (х и у - переменные, k - параметр, k ≠ 0)

• Линейная функция: у = kх + b (х и у - переменные; k и b - параметры);

• Линейное уравнение: ах + b = 0 (х - переменная; а и b - параметры);

• Квадратное уравнение ах² + bх + с = 0 (х - переменная; а, b и c - параметры, а ≠ 0).

Что такое параметр?

Если в уравнение или неравенство, кроме неизвестных входят числа, обозначенные буквами, то они называются параметрами, а уравнение или неравенство параметрическим.

Параметры обычно обозначаются первыми буквами латинского алфавита: а, в, с, … или а₁, а₂, а₃, … , а неизвестные последними буквами латинского алфавита х, у, z, … Эти обозначения не являются обязательными, но если в условии не указано, какие буквы являются параметрами, а какие - неизвестными, то используются такие обозначения.

Например, решить уравнение (2х - ах)а = 3х - 5 . Здесь х - неизвестное, а - параметр.

Что означает «решить задачу с параметром»?

Решить задачу с параметром - значит, для каждого значения параметра а найти значение х, удовлетворяющие этой задаче, т.е. это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значение параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства удовлетворяет объявленному условию, то решение задачи состоит в поиске указанных значений параметра.

Какие основные типы задач с параметром?

Тип 1. Уравнения, неравенства, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговорённому множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами».

Тип 2. Уравнения, неравенства, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.

Тип 3. Уравнения, неравенства, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения и неравенства имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Задачи типа 3 в каком-то смысле обратные задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;

2) Множество решений первого уравнения является подмножеством множества решения второго уравнения и т.д.

Основные способы (методы) решения задач с параметром.

Способ 1. (аналитический) Этот способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Способ 2. (графический) В зависимости от задачи рассматриваются графики в координатной плоскости (х;у), или в координатной плоскости (х;а).

Способ 3. (решение относительно параметра) При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признаётся более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных х и а и заканчиваем решение.

Замечание. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа - это сбор раннее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

Рассмотрим примеры.

2.1. Сравнить -а и 3а.

Решение. Надо рассмотреть три случая: если а < 0, то -а > 3а;

если а = 0, то -а = 3а;

если а > 0, то -а < 3а..

Ответ. При а < 0 -а > 3а; при а = 0 -а = 3а; при а > 0 -а < 3а.

2. Решить уравнение ах = 1.

Решение. Если а = 0, то уравнение не имеет решений.

Если а ≠ 0, то х = ¹/_а.

Ответ. При а = 0 нет решений; при а ≠ 0 х = ¹/_а.

Примеры для самостоятельного решения

2. Сравнить с и - 5с.

3. Решить уравнение сх = 4.

Тема 3.

Линейные уравнения

Уравнения вида Ах = В, (1)

где А, В - выражения, зависящие от параметров, а х - неизвестное, называется линейным уравнением с параметрами.

Схема исследования линейного уравнения (1).

1. Если А = 0, то имеем уравнение 0 ∙ х = В. Если В ≠ 0, то уравнение не имеет решений.

Если В = 0, то уравнение примет вид 0 ∙ х = 0.Оно удовлетворяется при любом х, т.е. решением уравнения будет множество всех действительных чисел.

2. Если А ≠ 0, то уравнение имеет единственное решение х = ^В/_А.

Замечание. Если линейное уравнение или уравнение, сводящееся к линейному, не представлено в виде (1) , то сначала нужно привести его к виду (1) и только после этого проводить исследование,

Примеры. 3.1. Решить уравнение (а + 4)х = 2а + 1.

Решение. Уравнение записано в виде (1).

1. Если а + 4 = 0, т.е. а = - 4, то уравнение примет вид 0 ∙ х = - 7. Уравнение не имеет решений.

2. Если а + 4 ≠ 0, т.е. а ≠ - 4, то х = ⁽

Ответ. При а = - 4 нет решений; при а ≠ - 4 х =

3.2. Решить уравнение (с² - 1)х = с + 1.

3.3. Решить уравнение (³/₄а - 1)у + 3а - 4 = 0.

3.4. Решить уравнение (р² - 1)х = р³ + 1.

3.5. Решить уравнение (5р + 1)х + 25р² + 10р + 1 = 0.

Самостоятельная работа.

Вариант 1. Решить уравнения: а) тх + 2 = - 1;

б) (а - 1)х = а - 2;

в) (р² - 1)х - р² + 2р - 1 = 0.

Вариант 2. Решить уравнения: а) - 8 = сх + 1;

б) (а + 1)х = а - 1;

в) (9т² - 4)у - 9т² + 12т - 4 = 0.

Тема 4.

Линейные неравенства с параметром

Неравенства Ах > В, Ах < В, Ах ≥ В, Ах ≤ В,

где А, В - выражения, зависящие от параметров, а х - неизвестное, называются линейными неравенствами с параметрами.

Решить неравенство с параметрами - значит, для всех значений параметров найти множество решений неравенства.

Схема решения неравенства Ах > В.

1. Если А > 0, то х > ^В/_А.

2. Если А < 0, то х < ^В/_А.

3. Если А = 0, то неравенство примет вид 0 ∙ х > В. При В ≥ 0

неравенство не имеет решений; при В < 0 решением неравенства будет множество всех чисел.

Схемы для решения остальных неравенств учащиеся делают самостоятельно.

Примеры. 4.1. Решить неравенство (п + 4)х + 2п - 1 > 0.

Решение. Неравенство запишем в стандартном виде ( п + 4)х > 1 - 2п.

1. Если п + 4 > 0, т. е. п > - 4 . Тогда х > .

2. Если п + 4 < 0, т. е. п < - 4. Тогда х < .

3. Если п + 4 = 0, т.е. п = - 4. Неравенство примет вид 0 ∙ х > 9. Это неравенство не имеет решений.

Ответ. Если п > - 4, то х > ;если п < - 4, то х < ;если п = -4, то нет решений.

Решить неравенства. 4.2. (р - 1)х > р² - 1.

3. (2а + 1)х ≥ 3 - а.

4. (т + 1)у - 3т + 1 ≤ 0.

5. (а² - 1)х - 2а + 1 < 0.

Самостоятельная работа.

Вариант 1. Решить неравенства: а) (а - 1)х ≤ а² - 1;

б) 5х - а > ах - 3.

Вариант 2. Решить неравенства: а) (т - 1)х - 2т +3 ≥ 0;

б) (т + 2)х < 5т - 1.

Тема 5.

Квадратные уравнения, содержащие параметры. Теорема Виета.

Уравнение вида Ах² + Вх + С = 0, (1)

где А, В, С - выражения, зависящие от параметров, А ≠ 0, х - неизвестное, называется квадратным уравнением с параметрами.

Схема исследования квадратного уравнения (1).

1. Если А = 0, то имеем линейное уравнение Вх + С = 0.

2. Если А ≠ 0 и дискриминант уравнения D = В² - 4АС < 0, то уравнение не имеет решений .

3. Если А ≠ 0 и D = 0, то уравнение имеет единственное решение

х = или как еще говорят, совпадающие корни х₁ = х₂ = .

4. Если А ≠ 0 и D > 0, то уравнение имеет два различных корня

х_1,2= .

Примеры. 5.1. Для всех значений параметра а решить уравнение

(а - 1)х² - 2ах + а + 2 = 0.

Решение. 1. а - 1 = 0, т.е. а = 1.Тогда уравнение примет вид -2х + 3 = 0, х =.

2. а ≠ 1. Найдём дискриминант уравнения D = 4а² - 4(а - 1)(а + 2) = - 4а + 8.

Возможны случаи: а) D< 0, т. е. -4а + 8 < 0, 4а > 8, а > 2. Уравнение не имеет корней.

б) D = 0, т.е. -4а + 8 = 0, 4а = 8, а = 2. Уравнение имеет один корень х = = 2.

в) D > 0, т.е. -4а + 8 > 0, 4а < 8, а < 2. Уравнение имеет два корня х_1,2 = ^.

Ответ. При а = 1 х = ;

при а =2 х = 2;

при а >2 нет корней;

при а < 2 и а ≠ 1 х_1,2 = .

Для всех значений параметра решить уравнения:

2. тх² + 3тх - т - 2 = 0;

3. (b - 5)х² +3bх - (b - 5) = 0;

4. пх² - (п + 1)х +1 = 0;

5. ( а + 1)х² - 2х + 1 - а = 0.

Самостоятельная работа.

Вариант 1. Решить уравнение (а - 2)х² + (4 - 2а)х + 3 = 0.

Вариант 2. Решить уравнение (с - 2)х² - 4с + 8 = 0.

Задачи.

6. . Найдите все значения параметра а, для которых квадратное уравнение (а -1)х² + 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0 имеет два различных корня; не имеет корней; имеет один корень.

Решение. Данное уравнение по условию является квадратным, значит,

а - 1 ≠ 0, т.е. а ≠ 1. Найдём дискриминант

D= 4(2а + 1)² - 4(а - 1)(4а +3) = 4(4а² + 4а + 1 - 4а² + а + 3) = 4(5а + 4).

Имеем: 1) При а ≠ 1 и D > 0, т.е. 4(5а + 4) > 0, а > уравнение имеет два различных корня.

2) При а ≠ 1 и D < 0, т.е. а < уравнение не имеет корней.

3) При а ≠ 1 и D = 0, т.е. а = уравнение имеет один корень.

Ответ. Если а > и а ≠ 1, то уравнение имеет два различных корня; если а < , то уравнение не имеет корней; если а = , то уравнение имеет один корень.

6. .При каких значениях параметра а уравнение (а + 6)х² + 2ах +1 = 0 имеет единственное решение?

7. .При каких значениях параметра а уравнение (а² - а - 2)х² + (а +1)х + 1 = 0 не имеет решений?

8. .При каких значениях параметра а уравнение (а + 1)х² + 2ах +2 = 0 имеет два различных корня?

Самостоятельная работа.

Вариант 1. Найдите все значения параметра а, для которых квадратное уравнение (2а - 1)х² +2х - 1 = 0 имеет два различных корня; не имеет корней; имеет один корень.

Вариант 2. . Найдите все значения параметра а, для которых квадратное уравнение (1 - а)х² +4х - 3 = 0 имеет два различных корня; не имеет корней; имеет один корень.

Теорема Виета.

При решении многих задач, связанных с квадратными уравнениями, содержащими параметры, используются следующие теоремы.

Теорема Виета. Если х₁, х₂ - корни квадратного уравнения Ах² + Вх + С = 0, А≠0, то х₁ + х₂ = -^В/_А и х₁ ∙ х₂ = ^С/_А.

Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена Ах² + Вх + С были действительны и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: D = В² - 4АС ≥ 0, х₁ ∙ х₂ = ^С/_А> 0.

При этом оба корня будут положительны, если х₁ + х₂ = -^В/_А > 0, и оба корня будут отрицательны, если х₁ + х₂ = -^В/_А < 0.

Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена Ах² + Вх + С были действительны и оба неотрицательны или оба неположительные, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

D = В² - 4АС ≥ 0, х₁ ∙ х₂ = ^С/_А≥ 0.

При этом оба корня будут неотрицательны, если х₁ + х₂ = -^В/_А ≥ 0, и оба корня будут неположительные, если х₁ + х₂ = -^В/_А ≤ 0.

Теорема 3. Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена Ах² + Вх + С были действительны и имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условия: х₁ ∙ х₂ = ^С/_А< 0.

При этом условие D = В² - 4АС > 0 выполняется автоматически.

Примечание. Эти теоремы играют важную роль при решении задач, связанных с исследованием знаков корней уравнения Ах² + Вх + С = 0.

Полезные равенства: х₁² + х₂² = (х₁ + х₂)² - 2х₁х₂ , (1)

х₁³ + х₂³ = (х₁ + х₂)( х₁² - х₁х₂ + х₂²) = (х₁ + х₂)((х₁ + х₂)² - 3х₁х₂), (2)

(х₁ - х₂)² = (х₁ + х₂)² - 4х₁х₂ , (3)

(4)

(5)

5.10. При каких значениях параметра т квадратное уравнение (т - 1)х² - 2тх + т +1 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?

Решение. Уравнение квадратное, значит, т ≠ 1. По теореме Виета имеем

х₁ + х₂ = , х₁х₂ = _.

Вычислим дискриминант D = 4т² - 4(т - 1)(т + 1) = 4.

а) Согласно теоремы 1 уравнение имеет положительные корни, если

D ≥ 0, х₁х₂ > 0, х₁ + х₂ > 0, т.е. > 0 , > 0.

Отсюда т є ( -1; 0).

б) Согласно теоремы 1 уравнение имеет отрицательные корни, если

D ≥ 0, х₁х₂ > 0, х₁ + х₂ < 0, т.е. > 0 , < 0.

Отсюда т є (0; 1).

в) Согласно теоремы 3 уравнение имеет корни разных знаков, если х₁х₂ < 0, т.е. < 0. Отсюда т є (-1; 1).

Ответ. а) при т є ( -1; 0) уравнение имеет положительные корни;

б) при т є (0; 1) уравнение имеет отрицательные корни;

в) при т є (-1; 1) уравнение имеет корни разных знаков.

5.11. При каких значениях параметра а квадратное уравнение (а - 1)х² - 2(а +1)х + а +3 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?

5.12. Не решая уравнения 3х² - (с + 1)х - 3с² +0, найдите х₁^-1 + х₂^-1, где х₁, х₂ - корни уравнения.

5.13. При каких значениях параметра п уравнение х² - 2(п + 1)х + п² = 0 имеет корни, сумма квадратов которых равна 4.

Контрольная работа.

Вариант 1. 1. Решить уравнение (р² +4р)у = 2р + 8.

2. Решить неравенство (с + 1)х ≥ (с² - 1).

3. При каких значениях параметра а уравнение

х² - (2а +1)х + а² + а - 6 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?

Вариант 2. 1. Решить уравнение (с² - 2с)х = 3с.

2. Решить неравенство (а + 2)х ≤ а² - 4.

3. При каких значениях параметра т уравнение

х² - (2т - 1)х + т² - т - 2 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?

Дополнительный материал.

Особый интерес представляют задачи, связанные с определением количества решений уравнения, где параметр можно выделить в одну из частей уравнения.

Примеры. 1. Для каждого значения параметра а найдите количество корней уравнения - х² = а.

Решение. у = - х² - графиком является парабола, ветви которой направлены вниз.

у = а - семейство прямых параллельных оси Ох.

Сколько точек пересечения - столько будет и решений исходного уравнения.

Ответ. Если а > 0, то уравнение решений не имеет.

Если а = 0, то уравнение имеет одно решение.

Если а < 0, то уравнение имеет два решения.

2. Для каждого значения параметра найдите количество корней уравнения:

а) ах = 8;

б) х² - 2х - 8 - а = 0;

в) а = 4;

г) = а;

д) + 3 = а;

е) = а;

3. Дано уравнение х² + 2х + а = 0.

Найдите: 1) при каких значениях а уравнение имеет два корня?

2) при каких значениях а уравнение имеет два корня, причём один из них больше единицы, а другой меньше?

3) при каких значениях а сумма квадратов корней меньше шести?

Ответы: 1) а < 1; 2) а < -3; 3) - 1 < а < 1.

По усмотрению учителя в зависимости от подготовки учащихся количество заданий можно увеличить, разнообразить