«Омский летно-технический колледж гражданской авиации
имени А.В. Ляпидевского» филиал Федерального государственного бюджетного
образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации (институт)»

(ОЛТК ГА филиал ФГБОУ ВПО УВАУ ГА (И))

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

и задания для выполнения КОНТРОЛЬНой работы для КУРСАНТОВ, обучающихся по заочной форме

по дисциплине

«Прикладная математика»

Специальность

11.02.06 Техническая эксплуатация транспортного радиоэлектронного оборудования (по видам транспорта)

Разработал:

Пищагина Е.С., преподаватель математики

Рассмотрено

на заседании ЦМК ЕНД

от «_____»__________20__г.

Протокол №_________

Омск - 2015

АННОТАЦИЯ

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Прикладная математика», для курсантов заочного отделения, составлены в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта специальности и на основании программы учебной дисциплины ЕН.01, Прикладная математика (рассмотрена и утверждена на заседании ЦМК ЕНД «____» ___________20____г., протокол № ___)

Методические рекомендации по выполнению контрольных работ предназначены для курсантов 1 курса по специальности:

11.02.06 Техническая эксплуатация транспортного радиоэлектронного оборудования (по видам транспорта).

Задания контрольных работ соответствует основным разделам программы, их выполнение обеспечивает более глубокое изучение материала, направлено на закрепление и систематизацию знаний, умений и формирование общих компетенций. Виды заданий включают работу с понятийным аппаратом, вопросами по теме, решение примеров и задач, выполнение расчетно-графической работы.

Рецензент: ____________,

председатель ЦМК ЕНД ОЛТК ГА филиала ФГБОУ ВПО УВАУ ГА (И)

СОДЕРЖАНИЕ

АННОТАЦИЯ 3

СОДЕРЖАНИЕ 4

2.Пояснительная записка 5

3. Методические указания по изучению учебного материала 6

4.Методические указания и задания для контрольной работы 13

Таблица выбора вариантов 13

5.Краткие теоретические сведения 21

Определитель второго порядка- это число, равное значению выражения 25

Определитель третьего порядка- это число, равное значению выражения 25

6.Список вопросов к экзамену 31

7.Примерные практические задания к экзамену 33

8.Библиографический список 36

2. Пояснительная записка

Методические рекомендации и задания по выполнению контрольной работы по дисциплине «Прикладная математика» предназначены для курсантов 1-го курса специальности 11.02.06 - Техническая эксплуатация транспортного радиоэлектронного оборудования (по видам транспорта), обучающихся по заочной форме.

Выполнение домашней контрольной работы является обязательным для каждого курсанта, её содержание определяется действующим рабочим учебным планом ОЛТК ГА филиал ФГБОУ ВПО УВАУ ГА (И)).

Реализуемые цели выполнения контрольной работы:

• формирования общих и профессиональных компетенций

• систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических умений студентов;

• углубления и расширения теоретических знаний;

• развития познавательных способностей и активности курсантов, самостоятельности, ответственности и организованности;

• формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации.

Критериями оценки результатов контрольной работы курсанта являются:

• уровень освоения курсантом учебного материала;

• умение курсанта использовать теоретические знания при выполнении практических задач;

• сформированность общеучебных умений;

• обоснованность и четкость изложения ответа;

• оформление материала в соответствии с требованиями.

3. Методические указания по изучению учебного материала

Раздел 1. Математического анализ

Тема 1.2. Производная и дифференциал функции

Понятие производной функции одно из важных понятий в математическом анализе. Для умения решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального исчисления необходимо знать правила дифференцирования, таблицу дифференциалов и правило производной сложной функции. Также важно знать геометрический и физический смысл производной.

Для исследования функций с помощью производной и построения графика можно использовать следующую схему:

1) Найти область определения функции.

2) Проверить функцию на четность или нечетность, периодичность.

3) Найти асимптоты графика функции,

4) Найти точки пересечения график функции с осями координат.

5) С помощью первой производной найти промежутки монотонности, ее экстремумы.

6) С помощью второй производной найти промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

7) По результатам исследования построить график функции.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что характеризует скорость изменения функции относительно изменения аргумента? Дайте определение производной.

2. Какая функция называется дифференцируемой в точке и на отрезке?

3. Какая функция называется сложной? Приведите примеры.

4. Перечислите виды основных элементарных функций, запишите их математические выражения и их производные.

5. Сформулировать физический и геометрический смысл производной

6. Что называется точками максимума и минимума функции? Перечислите порядок отыскания этих точек.

7. Что называется точкой перегиба? Сформулируйте правило нахождения точки перегиба.

8. Как находится наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке?

Литература:

Математика: Учебник для студентов образовательных учреждений сред. проф. образования/ А.А. Дадаян. - М.Форум, 2011. - 544 с. - (Профессиональное образование), стр. глава 4, стр. 103. Глава 9, стр. 270.

Тема 1.3. Неопределенный и определенный интеграл

Понятие первообразной функции одно из важных понятий в математическом анализе. Для решения прикладных задач с использованием элементов интегрального исчисления необходимо знать понятие первообразной, определённого и неопределённого интегралов Для применения данной темы нужно освоить свойства неопределённого и определённого интегралов, методы интегрирования и таблицу интегралов. Для решения прикладных задач при помощи интегралов необходимо знать геометрический и физический смысл неопределенного и определенного интегралов.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что является основной задачей интегрального исчисления?

2. Какая функция называется первообразной для заданной функции?

3. Что называется неопределенным интегралом?

4. Как называются все элементы равенства ?

5. Что такое определенный интеграл?

6. Сформулируйте основные свойства неопределенного и определенного интеграла.

7. Дайте определение криволинейной трапеции. Запишите формулу вычисления площади криволинейной трапеции.

8. Тело вращения. Запишите формулу вычисления объема тела вращения с помощью определенного интеграла.

9. Приведите примеры физических и технических задач, которые можно решать с помощью определенного интеграла.

Литература:

Математика: Учебник для студентов образовательных учреждений сред. проф. образования/ А.А. Дадаян. - М.Форум, 2011. - 544 с. - (Профессиональное образование), стр. глава 4, стр. 103. Глава 10, стр. 309.

Раздел 3. Теория комплексных чисел

Тема 3.1. Комплексные числа.

Формы записи комплексного числа и операции над ними

Для усвоения данной темы необходимо разобрать определение комплексного числа и геометрическую интерпретацию комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме не представляет сложных преобразований. Чтобы освоить действие над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме необходимо повторить тригонометрические и показательные функции.

Вопросы для самоконтроля:

1. Записать алгебраическую форму комплексного числа.

2. Записать тригонометрическую форму комплексного числа.

3. Записать показательную форму комплексного числа.

4. Что называется мнимой единицей?

5. Сформулировать действия над комплексными числами в алгебраической форме.

6. Сформулировать действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

7. Сформулировать действия над комплексными числами в показательной форме.

Литература:

Математика: Учебник для студентов образовательных учреждений сред. проф. образования/ А.А. Дадаян. - М.Форум, 2011. - 544 с. - (Профессиональное образование), стр. глава 4, стр. 103. Глава 16, стр. 484.

Раздел 4. Линейная алгебра

Тема 1.1. Матрицы, определители.

Понятие матрицы одно из важных понятий линейной алгебры. Для усвоения действий над матрицами достаточно знать алгебраические действия: сложение, вычитание, умножение и деление на число, умножение матриц.

При изучение данной темы нужно необходимо хорошо усвоить понятие определителей второго и третьего порядков, основные свойства определителей, которые уместно применять при вычислений миноров, алгебраических дополнений и решении систем линейных уравнений с помощью формул Крамера и матричным способом

Вопросы для самоконтроля

1. Какая матрица называется прямоугольной, квадратной, диагональной, единичной?

2. Для каких из матриц существует сумма и обратная матрица?

3. Укажите пары матриц из вопроса 2, для которых существует произведение, и найдите размер итоговых матриц.

4. Найти для произведения АВ=С элемент с₂₁, если

5. Транспонируйте матрицу

6. Что называется определителем второго порядка?

7. Что называется определителем третьего порядка?

8. Сформулируйте основные свойства определителя.

9. Сформулируйте теорему о разложении определителя n-го порядка.

Литература:

Математика: Учебник для студентов образовательных учреждений сред. проф. образования/ А.А. Дадаян. - М.Форум, 2011. - 544 с. - (Профессиональное образование), стр. глава 4, стр. 92, 103.

Тема 1.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений

При изучении данной темы необходимо обратить внимание на способы нахождения обратной матрицы:

1) с помощью алгебраических дополнений;

2) с помощью линейных преобразований над строками матрицы.

Операция обращения матрицы применяется при решении матричных уравнений.

При изучении данной темы также следует обратить внимание на основные методы решения СЛАУ:

1. метод Крамера (для решения СЛАУ методом Крамера необходимо обладать навыками вычисления определителей и знать формулы Крамера);

2. метод Гаусса (для решения СЛАУ методом Гаусса необходимо знать теорему Кронекера-Копелли и уметь выполнять линейные преобразования над строками матрицы);

3. метод обратной матрицы (для решения СЛАУ методом обратной матрицы необходимо уметь выполнять операцию обращения матриц и знать алгоритм решения СЛАУ методом обратной матрицы).

Вопросы для самоконтроля:

1. Какая матрица называется вырожденной (невырожденной)?

2. Сформулируйте алгоритм обращения матрицы второго и третьего порядка с помощью алгебраических дополнений.

3. Как найти матрицу обратную данной с помощью линейных преобразований над строками матрицы.

4. Как решить матричное уравнение?

5. Как вычислить определитель второго, третьего n-го порядка?

6. Запишите формулы Крамера.

7. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

8. Перечислите основные элементарные преобразования над строками матрицы.

9. Как выполнить обращение матрицы?

Литература:

1. Математика: Учебное пособие для студентов образовательных учреждений сред. проф. образования/ В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова. - 3-е изд., испр. - Ростов н/Д: Феникс, 2008. - 380 с. - (Среднее профессиональное образование).

2. Математика: учебное пособие для студентов средних специальных учебных заведений/ Н.А. Березина, Е.Л. Максина. - М.: РИОР, 2007. - 175 с. - (Профессиональное образование).

Раздел 5. Теория вероятностей и математическая статистика

Тема 5.1. Теория вероятностей

Перед разбором основных понятий комбинаторики необходимо разобрать понятие факториала. Уметь выполнять преобразования с факториалами. Для освоения понятий комбинаций: перестановки, размещения, сочетания нужно знать вывод формул для определения этих величин. Элементы комбинаторики необходимы при решении задач в теории вероятности.

В данной теме необходимо усвоить виды событий. Так как при определении вероятности очень важно знать различия между событиями, для которых по разным теоремам определяется вероятность. Важно уметь определять вероятность события по классической формуле.

Вопросы для самоконтроля

1. Записать формулу перестановки.

2. Записать формулу размещения.

3. Записать формулу сочетания.

4. Чему равен п факториал?

5. Сформулировать виды событий.

6. Записать формулу классической вероятности.

7. Записать формулу геометрической вероятности.

8. Записать формулу статистической вероятности.

9. В каких случаях используется формула полной вероятности? Какие события называются гипотезами?

10. Записать формулу полной вероятности.

11. Записать формулу Байеса. Почему эту формулу называют формулой гипотез?

12. Выберете формулу, которую необходимо использовать при решении задачи, опишите события , вычисления не нужны. Имеется две урны. В первой- 4 белых и 6 черных шаров, во второй- 2 белых и 3 черных шара. Из наугад выбранной урны взяли один шар. Какова вероятность что: а) он белый; б) белый шар оказался из первой урны?

13. Опишите схему повторных испытаний и запишите формулу Бернулли.

14. Описываются ли формулой Бернулли следующие испытания: а) кубик подбрасывают три раза; б) монета подбрасывается 10 раз; в) из колоды карт вынимают по одной 1.с возвращением, 2.без возвращения?

Литература:

Математика: Учебник для студентов образовательных учреждений сред. проф. образования/ А.А. Дадаян. - М.Форум, 2011. - 544 с. - (Профессиональное образование), стр. глава 4, стр. 103. Глава 15, стр. 442.

Тема 5.2. Случайная величина, её функция распределения

При изучении данной темы необходимо правильное применение теорем и формул вероятности, изученных в предыдущей теме. При рассмотрении функции и графика непрерывной случайной величины важно правильное построение графика распределения. Изучение числовых характеристик даёт полную картину о случайных величинах.

Вопросы для самоконтроля

Сформулировать определение дискретной и непрерывной случайных величин.

Что такое плотность распределения вероятностей?

Каким свойством обладает плотность распределения вероятностей?

Как связаны между собой плотность распределения и интегральная функция распределения?

Перечислить свойства интегральной функции.

Дать определения числовым характеристикам СВ.

Литература:

Математика: Учебник для студентов образовательных учреждений сред. проф. образования/ А.А. Дадаян. - М.Форум, 2011. - 544 с. - (Профессиональное образование), стр. глава 4, стр. 103. Глава 15, стр. 468.

4. Методические указания и задания для контрольной работы

3.1. Общие методические указания

Контрольная работа должны выполняться в отдельной тетради на клетчатой бумаге. Работа, выполненная небрежно, будет возвращена курсанту без проверки. На первой странице записать наименование предмета, номер контрольной работы, фамилию и инициалы и адрес. В тетради оставляют поля шириной 4-5 см.

Условия всех задач писать полностью. Если требуется чертеж, то его выполняют карандашом, с помощью чертежных инструментов. При построении чертежа соблюдается масштаб.

Решение задачи или примера должно сопровождаться необходимыми вычислениями, формулами и пояснениями.

Если работа выполнена неудовлетворительно, то курсант исправляет её и представляет вторично, или по указанию преподавателя выполняет другой вариант.

Работа, выполненная не по своему варианту, не засчитывается и возвращается без проверки.

3.2. Таблица выбора вариантов контрольной работы

Выбор вопросов и заданий к контрольной работе определяется по фамилии, имени и отчеству курсанта, которые записываются в виде таблички, где номер буквы ФИО определяет номер задачи.

Таблица выбора вариантов

Буквы ФИО

1

2

3

4

5

6

7

А, Б, В

1

11

21

31

41

51

Г, Д, Е, Ё

2

12

22

32

42

52

Ж, З, И, Й

3

13

23

33

43

53

К

4

14

24

34

44

54

Л, М

5

15

25

35

45

55

Н, О

6

16

26

36

46

56

П, Р

7

17

27

37

47

57

С, Т, У

8

18

28

38

48

58

Ф, Х, Ц, Ч

9

19

29

39

49

59

Ш, Щ, Ы, Ь, Ю, Я

10

20

30

40

50

60

3.3. Задания для контрольной работы

3.3.1.Производная функции одной переменной

Найти производные функций одной переменной;

1. ;

2. ;

3.

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

3.3.2. Приложение производной и дифференциала к решению задач.

11.а) Точка движется по закону . Найти величину скорости и ускорения в момент t=3 с, если путь измеряется в метрах.

б) Сторона квадрата равна 10 дм. Найти приближенное приращение его площади при увеличении стороны на 0,1 дм.

12.а) Тело вращается вокруг оси по закону . Найти угловую скорость вращения в момент t=1 c; угловое ускорение в момент t.

б) Шар радиуса R=20 см был нагрет, в результате чего его объем увеличился на 40,5 см³. Вычислить приближенно удлинение радиуса шара.

13.а) Определить скорость движения точки в конце третьей секунды, если путь, пройденный точкой в t секунд, выражается формулой и измеряется в метрах.

б) Сторона куба, равная 0,7 м, удлинилась на 5 см. На сколько при этом приближенно увеличится объем куба?

14.а) Температура тела Т изменяется в зависимости от времени t по закону . С какой скоростью нагревается это тело в момент t=4 c?

б) Шар радиуса R=15 дм был нагрет, в результате чего длина радиуса увеличилась на 1 см. Найти приближенное значение приращения объема шара.

15.а) Количество электричества, протекшее через проводник за t секунд, определяется по формуле . Найти силу тока в конце четвертой секунды.

б) В прямоугольном параллелепипеде с квадратным основанием сторона основания равна 40 дм, а высота равна 20 дм. На сколько приближенно увеличится его объем, если сторону основания удлинить на 0,2 см?

16.а) Тело движется по закону . Найти, в какие моменты времени скорости движения тела равны нулю?

б) Радиус основания конуса равен 20 дм, а высота равна 25 дм. На сколько приближенно увеличится его объем, если радиус основания увеличить на 0,05 дм?

17.а) Угол поворота шкива определяется из уравнения , где t время в секундах. Найти среднюю угловую скорость в промежутке времени от t=4 до t=6 и угловую скорость в момент t=6.

б) Куб со стороной а=20 см был нагрет, в результате чего сторона его увеличилась на 0,01 см. найти приближенное значение приращения объема куба.

18.а) Тело вращается вокруг оси, причем закон изменения угла  в зависимости от времени t определяется уравнением . Найти угловую скорость вращения тела в момент t=3.

б) Сторону куба, равную 0,6 м, удлинили на 1 см. На сколько при этом приближенно увеличится объем куба?

19.а) Тело движется по закону . Найти максимальную скорость движения тела.

б) в конусе радиус основания равен 25 дм, а высота его равна 2 дм. На сколько приближенно увеличится его объем, если радиус основания удлинить на 0,1 см?

20.а) Тело, брошенное вертикально вверх со скоростью v₀ м/с, движется по закону , где время t - в секундах, а путь s - в метрах. Найти скорость движения и ускорение в момент t; в конце третьей секунды, если v₀=100 м/с.

б) Шар радиуса R=20 дм был нагрет, в результате чего длина радиуса увеличилась на 0,3 см. Найти приближенное значение приращения объема шара.

3.3.3.Приложение производной и дифференциала

к исследованию и построения графика функции.

Исследовать функцию и построить ее график.

,

,

3.3.4 Интегральное исчисление

а) Найти интегралы.

б) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Выполнить схематический чертеж.

в) Найти объём тела вращения плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Выполнить схематический чертеж.

31. а);

б) y=x²-4x+3, осями координат и прямыми x=-1, x=3;

в) Эллипс - вокруг малой оси: 4x²+9y²=36

32. а) ;

б) y=3/x, x+y-4=0;

в) Эллипс - вокруг большой оси: 4x²+9y²=36.

33. а) ;

б) y=3x-x², 5x-y-8=0;

в) Дуга окружности x²+y²=16 в первой четверти между прямыми x=1 и x=3.

34. а) ;

б) y²=16x, y=x;

в) Y²=4x, y=x, вокруг оси ох.

35. а)

б) между параболами y=8x-x² и y=x²+18x-12;

в) Y=x², y²=8x, вокруг оси ох.

36. а) ;

б) между y=x²/2 и y=;

в) Y=x², y²=8x, вокруг оси оу.

37. а) ;

б) Y²=2x и x²+y²=8, осью ох;

в) Y²=4ax, x=0, x=8, вокруг оси ох

38. а) ;

б) X²+y²=25, 2y-5=0;

в) Y²=3x, x=1, x=3, вокруг оси ох

39. а) ;

б) x²+y²=16, x+y-4=0;

в) Одной полуволны y=cos x, вокруг оси ох

40. а) ;

б) y=2-x², y=x.

в) Y²=3+x, x=3, вокруг оси ох.

3.3.5 Элементы линейной алгебры

Решить систему методом Крамера и матричным способом:

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

3.3.6.Теория комплексных чисел

Выполнить действия в алгебраической форме и представить полученный результат в тригонометрической и в показательной форме.

71. а) ;

72. а) ;

73. а) ;

74. а) ;

75. а) ;

76. а) ;

77. а) ;

78. а) ;

79. а) ;

80. а) .

3.3.7. Элементы комбинаторики и теории вероятностей

81. а) Сколькими способами из группы, включающей 25 учащихся, можно выбрать актив группы в составе старосты и профорга?

б) В урне находится 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара красные.

82. а) Найти количество всех трехзначных чисел, состоящих из чисел 1,2,3,4,5.

б) Набирая номер телефона, абонент забыл три последние цифры, и помня только, что они различны, набрал их наудачу. Какова вероятность, что он набрал нужные цифры.

83. а) Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек. б) К концу дня в магазине осталось 60 арбузов, из которых 50 спелых Покупатель выбирает 2 арбуза. Какова вероятность, что оба арбуза спелые?

84. а) Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате? б) Девять книг, из которых 4 одинаковые, а остальные различны, расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что эти 4 книги окажутся поставленными рядом.

85. а) В третьем классе изучается 10 предметов. В понедельник 4 урока. Сколькими способами можно составить расписание на этот день

б) В партии из 24 деталей 6 бракованных. Из партии выбирают наугад детали. Найти вероятность того, что они все будут бракованными.

86. а) Сколькими способами можно из 20 человек назначить двух дежурных, из которых один старший?

б) Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В тираже участвуют 6 чисел. Какова вероятность того, что будет верно угадано 4 числа?

87. а) В подразделении 30 солдат и 3 офицера. Сколькими способами можно выделить патруль, состоящий из 3 солдат и одного офицера?

б) Из группы, состоящей из 10 юношей и 8 девушек, выбирают по жребию дежурных. Какова вероятность того, что все выбранные окажутся юношами?

88. а) Из 8 различных цветков нужно составить букет так, чтобы в него входило не менее 2 цветков. Сколько существует способов для составления такого букета?

б) Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Вычислить вероятность того, что студент знает 2 вопроса из билета.

89. а) Сколькими способами можно выбрать четырёх человек на четыре различные должности из девяти кандидатов на эти должности?

б) В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что 4 наугад выбранных билета будут выигрышными?

90. а) Из 7 бегунов и 3 прыгунов нужно составить команду из 5 человек, в которую должен входить хотя бы один прыгун. Сколькими способами это можно сделать?) В партии из 10 деталей имеются 3 нестандартных. Найти вероятность того, что 3 наудачу взятые детали

5. Краткие теоретические сведения

Раздел 1. Математический анализ

Определение производной.

Производной функции f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда последнее стремиться к нулю:

.

Для производной функции у = f(x) употребляются обозначения: или .

Функция f(x) , имеющая производную в каждой некоторого промежутка , называется дифференцируемой в этом промежутке.

Производная сложной функции.

Теорема: Если функция x= имеет производную в точке t₀, а функция f(x) имеет производную в точке x₀=, то сложная функция имеет производную в точке t₀, определяемую по формуле

Пример: Найти производную функции y= ln⁵sinx.

Сначала дифференцируем степенную функцию, затем -логарифмическую, затем- тригонометрическую. Полученные производные перемножаем.

Пример исследования функции.

1). Найти область определения функции.

2). Проверить функцию на четность или нечетность, периодичность.

3). Найти асимптоты графика функции,

4). Найти точки пересечения график функции с осями координат.

5). С помощью первой производной найти промежутки монотонности, ее экстремумы.

6). С помощью второй производной найти промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

7). По результатам исследования построить график функции.

Пример: Исследовать и построить график функции

1. Область определения функции:

2. Функция не является ни четной ни нечетной.

3. Точек пересечения с осью x нет, так как x²+1>0 при любом x. Точка пересечения с осью y (0;-1).

4. Асимптоты.

Точка x=1- точка разрыва второго рода, так как то x=1-вертикальная асимптота.

Горизонтальной асимптоты нет, так как

Наклонная асимптота: найдем k и b.

Тогда, уравнение наклонной асимптоты y= x+1.

5. 
   
   Критические точки: , но x=1-не принадлежит области определения функции. Решим неравенства методом интервалов. Отметим знаки интервалов на числовой прямой, учитывая кратность x=1.

Занесем результаты в таблицу

x

-0,4

(-0,4;1)

1

(1;2,4)

2,4

f'(x)

+

0

-

---

-

0

+

f(x)

-0,8

---

4,8

max

min

6. Критические точки: x=1, но она не принадлежит области определения функции. Решим неравенства методом интервалов : (x-1)3<(>)0.

С

оставим таблицу:

x

1

-

---

+

f(x)

---

7. С
   
   

   у

   у= х + 1

   х= 1

   1

   1троим график функции согласно порядку исследования.

х

Практика показывает, что часто приходится по заданной производной или по заданному дифференциалу функции находить функцию, от которой была взята производная и дифференциал, т.е. выполнять обратную задачу дифференцированию - интегрирование.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a;b), если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x), т.е.

F(x)=f(x), х(a;b)

Совокупность первообразных для функции f(x) или для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается символом

, где

f(x) - подынтегральная функция

f(x)dx - подынтегральное выражение

c - произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла, т.е.

, где m=const

3. Интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е.

.

4. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

5. Неопределенный интеграл от дифференциала (производной) некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной С, т.е.

или

Если F(x)+C- первообразная функция для f(x), то приращение F(b)-F(a) первообразных функций при изменении аргумента x от x=a до x=b называется определенным интегралом и обозначается символом

, т.е. , где

a - нижний предел определенного интеграла

b - верхний предел определенного интеграла.

Основные свойства определенного интеграла:

1. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла, т.е.

, где m=const

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций, т. е.

4. Если a, b, c принадлежат интервалу, на котором функция непрерывна, то

Определенный интеграл широко применяется на практике, в частности, при вычислении площадей плоских фигур и объемов тел вращении

Раздел 4. Линейная алгебра

Определители второго и третьего порядков.

Определитель второго порядка- это число, равное значению выражения

Элементы образуют главную диагональ; элементы - побочную диагональ.

Пример: Вычислить определитель второго порядка

Определитель третьего порядка- это число, равное значению выражения

Пример: Вычислить определитель третьего порядка

Свойства определителей n-го порядка.

1. Значение определителя не изменится:

   1. при транспонировании соответствующей матрицы,

   2. при сложении элементов какой-либо строки (столбца) с элементами другой строки (столбца), умноженными на одно и тоже число, не равное нулю.

2. При перестановке каких-либо двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

3. Определитель равен нулю, если:

   1. он содержит нулевую строку (столбец),

   2. элементы какой-либо строки (столбца) пропорциональны или равны элементам другой строки (столбца).

4. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) равен сумме двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: в первом из них элементы соответствующей строки равны первым слагаемым, во втором- вторым слагаемым.

5. Общий множитель какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

.Решение систем линейных уравнений матричным методом.

Рассмотрим систему Данную систему можно записать в виде матричного уравнения

АХ=В, где А=,

Если матрица А невырожденная, то решение имеет вид: Х=А^-1В.

Пример: Решить систему матричным методом

Вычислим определитель матрицы . Значит, матрица невырожденная(D#0) и система имеет решение. Перепишем систему в виде матричного уравнения

Решение имеет вид

Для составления обратной матрицы найдем алгебраические дополнения

А₁₁=-6, А₂₁=-18, А₃₁=-6,

А₁₂=-11, А₂₂=7, А₃₂=-1,

А₁₃=-1, А₂₃=17, А₃₃=-11.

Тогда

Ответ: x=3, y=1, z=1.

Раздел 5. Основы теории вероятностей и математической статистики.

1. Размещением из n различных элементов по m элементов (m называется соединение, которое отличается либо составом, либо порядком своих элементов.

Например, выпишем все размещения из элементов a, b, c, d по два элемента: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.

Для любого натурального числа n произведение обозначается n!

читается n-факториал.

Формула для подсчета числа размещений:

Задача: Найти количество всех двузначных чисел, состоящих из чисел 1,2,3,...,9.

Решение: Это задача о размещении из 9 элементов по 2 элемента, т.к. любые двузначные числа отличаются либо составом цифр, либо их порядком.

2. Сочетанием из n различных элементов по m элементов (m

Например, выпишем вес сочетания из элементов a,b,c,d,e по три элемента: abe, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.

Формула для подсчета числа сочетаний:

Задача: Дано 5 различных чисел a, b, c, d, e. Сколько можно составить всевозможных произведений из этих чисел, состоящих из двух различных множителей?

Решение: Это задача о числе сочетаний из 5 элементов по 2 элемента, т.к. произведения отличаются только составом множителей

3. Перестановками из n различных элементов называются всевозможные соединения из этих n элементов, т.е. соединения, каждое из которых содержит n различных элементов, взятых в определённом порядке.

Например, все перестановки из элементов a,b,c: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Формула для подсчета числа перестановок: Р_п = n!

Задача: На столе находятся 5 различных геометрических фигур, (круг, треугольник, квадрат, ромб, прямоугольник). Сколькими способами можно разложить эти фигуры в один ряд?

Решение: Это задача о числе перестановок из 5 элементов. Р₅ = 5!= 120.

К основным понятиям теории вероятности относятся: испытание, событие, вероятность. Испытание - реализация комплекса условий, в результате которого непременно произойдет какое-либо событие. Например, бросание монеты - испытание; появление герба или цифры - события.

Случайным событием называется событие, которое при осуществлении испытания может произойти, а может и не произойти. Например, выстрел по цели - это опыт, случайные события в этом опыте - попадание в цель или промах.

Событие называется достоверным, если в результате опыта оно непременно должно произойти, и невозможным, если оно заведомо не произойдет. События называются несовместными, если ни какие два из них не могут появиться вместе. Например, попадание и промах при одном выстреле - это несовместные события.

Несколько событий образуют полную систему событий, если в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. Например, при бросании игральной кости события, состоящие в выпадении одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков, образуют полную систему событий.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие. Например, при бросании монеты выпадение герба или числа - события равновозможные.

Каждое событие обладает какой-то степенью возможности. Числовая мера степени объективной возможности события - это вероятность события. Вероятность события А обозначается Р(А).

Пусть из системы n несовместных равновозможных исходов испытания m исходов благоприятствуют событию А. Тогда вероятностью события А называют отношение m числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу n всех исходов данного испытания: P(A)=m/n.

Если В - достоверное событие, то Р(В)=1; если С - невозможное событие, то Р(С)=0, если А - случайное событие, то 0<Р(А)<1.

Задача. Игральную кость подбрасывают один раз. Найти вероятность появления четного числа очков.

Решение. Опыт имеет шесть равновозможных независимых исходов (появление одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков), образующих полную систему. Событию благоприятствуют три исхода (появление двух, четырех и шести очков), поэтому Р(А)=3/6=1/2

При вычислении вероятности часто приходится использовать формулы комбинаторики.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.

Пример 1. Число выпавших «гербов» при пятикратном бросании монеты.

Пример 2. Дальность полета артиллерийского снаряда.

Пример 3. Число мальчиков, родившихся в течении суток

Пример 4. Прирост веса домашнего животного за месяц.

Случайные величины будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z, а их возможные значения - малыми буквами x, y, z.

Пример 5. Х - число шахматных партий, окончившихся ничейным результатом, из трех сыгранных. В этом случае величина Х может принять следующие значения: х₁=0, х₂=1, х₃=2, х₄=3.

Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют такую случайную величину, множество возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.

Например, ДСВ - число учащихся, опрошенных на уроке; число солнечных дней в году и т.д.

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют такую случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала.

Например, время безаварийной работы станка; расход ГСМ на единицу расстояния; выпадение осадков в сутки и т.д.

Законом распределения ДСВ Х называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими вероятностями.

Способы задания закона распределения:

1. для ДСВ - табличный и графический;

например,

Табличный ряд распределения, где x₁; x₂; …; x_i; …; x_n образуют полную группу, а

p₁+p₂+…+p_i+…+p_n=1

2. для НСВ - можно задать так же, как функцию одной переменной, используя табличный, графический или аналитический способ задания.

В тех случаях, когда закон распределения СВ неизвестен, СВ изучают по ее числовым характеристикам. Их назначение - в сжатой форме выразить наиболее важные черты распределения. К числовым характеристикам относится математическое ожидание, дисперсия и т.д.

Математическим ожиданием ДСВ называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности и обозначается

М(Х)=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n

Математическим ожиданием НСВ Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называется определенный интеграл , т.е.

Дисперсией (распределением) ДСВ называют математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания, т.е.

или

Для НСВ

6. Список вопросов к экзамену

1. Функция.

2. Производная и дифференциал функции.

3. Область определения функции.

4. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интегала. Основные методы интегрирования.

5. Определенный интеграл, его свойства.

6. Приложения определенного интеграла для решения геометрических задач.

7. Определители второго порядка. Свойства определителей второго порядка.

8. Определители третьего порядка и способы их вычисления.

9. Свойства определителей третьего порядка.

10. Определители n-го порядка. Свойства определителя п-го порядка.

11. Теорема о разложении определителя.

12. Матрицы. Действия над матрицами.

13. Обратная матрица.

14. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы.

15. Ранг матрицы. Исследование системы линейных уравнений с помощью матрицы.

16. Решение СЛУ методом Гаусса.

17. Определение комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа.

18. Натуральная степень мнимой единицы.

19. Комплексная плоскость. Геометрическая иллюстрация сложения и вычитания комплексных чисел в алгебраической форме.

20. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

21. Тригонометрическая форма комплексного числа.

22. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муавра.

23. Показательная форма комплексного числа.

24. Действия над комплексными числами в показательной форме.

25. Основные понятия комбинаторики. Комбинации перестановки, размещения, сочетания.

26. Бином Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов.

27. События. Виды событий. Определения вероятностей.

28. Теоремы сложения теории вероятностей.

29. Теоремы умножения теории вероятностей.

30. Формулы полной вероятности и Баейса.

31. Дискретная случайная величина и её числовые характеристики.

32. Функция распределения дискретной случайной величины.

33. Непрерывные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной СВ.

7. Примерные практические задания к экзамену

1. Найти производную функций: у = .

2. Найти производную сложной функции: у = ln ctg3x.

3. Исследовать функцию на монотонность, экстремумы у =x³-x² + 4 и построить схематичный график.

4. Скорость прямолинейного движения тела см/с. Найти путь тела, пройденного за 6 с, считая см.

5. Вычислить интегралы способом замены переменной

6. Вычислить интегралы способом замены переменной

7. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у²=х+2, х=0, х=9 и у=0.

8. Решите систему метом Гаусса: .

9. Исследовать систему на совместимость и определенность: .

10. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера: .

11. Показать, что матрицы взаимно обратные по отношению друг к другу:

12. Выполнить умножение матриц

13. Выполнить действия:

14. Выполнить действия в показательной форме, а результат записать в алгебраической .

15. .Выполнить действия в тригонометрической форме , а результат записать в алгебраической

3(cos+ i sin)²

16. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная 0,8, второго - 0,9. найти вероятность того, что взятая наугад деталь окажется стандартной.

17. В урне имеется 4 шара с номерами от 1 до 4. Вынули два шара. Случайная величина - сумма номеров шаров. Построить ряд распределения случайной величины .

18. Бросают три игральные кости. Какова вероятность того, что выпавшие цифры будут попарно различными?

19. Решить уравнение:

20. ДСВ задана рядом распределения. Закончить ряд распределения, найти числовые характеристики:

21. Построить многоугольник распределения и найти числовые характеристики ДСВ по ряду распределения.

22. ДСВ задана рядом распределения. Закончить ряд распределения, найти числовые характеристики:. Построить многоугольник распределения и график функции распределения.

8. Библиографический список

Основные источники:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики. Учебник для среднего профессионального образования». - М.: Академия, 2008.

2. Гмурман В.Е. «Теория вероятностей и математическая статистика». - М., Высшая школа, 2006.

3. Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математическая статистика». - М., Высшая школа, 2006.

4. Дадаян А.А. «Математика. Учебник для среднего профессионального образования». - М.: Форум - Инфра - М, 2003.

5. Дадаян А.А. «Сборник задач по математике. Учебное пособие для среднего профессионального образования». - М.: Форум - Инфра - М, 2003.

6. Кудрявцев В.А., Демидович Б. П. «Краткий курс высшей математики» - М.: Наука, 2005.

7. В.С. Шипачев «Сборник задач по высшей математике», М.: Высшая школа, 2006.

8. В.С Шипачев «Задачи по высшей математике», М., Высшая школа, 1996.

Дополнительные источники:

1. Богомолов Н.В. «Практическое занятие по математике». - М.: Высшая школа, 2000.

2. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. - М.: Наука, 1989.

3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. - М.: «ДИС», 1999.

4. Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей. - М.: Наука, 1989.

5. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. «Математическая статистика. Учебник для среднего профессионального образования». - М.: Высшая школа, 1998.

6. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. - М.: Финансы и статистика, 2005.