Методическое пособие по алгебре для учащихся 9 класса по учебнику Алгебра Ю. Н. Макарычев

Методичка по алгебре

9 класс

по учебнику Алгебра 9 класс, автор Макарычев Ю.Н. и др.

№

Тема

Квадратный трехчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Функция. Область определения, область значений. Свойства функций.

Графики основных функций и их свойства.

Квадратичная функция, её свойства. Алгоритм построения графика кв. функции

Решение неравенств второй степени с помощью графиков функций.

Целое уравнение и его корни Уравнения, приводимые к квадратным

Решение систем уравнений второй степени

Решение задач с помощью систем уравнений

Последовательности

Арифметическая прогрессия, формула n-го члена Формула суммы n первых членов

Геометрическая прогрессия, формула n-го члена Формулы суммы геом. прогрессии.

Четные и нечетные функции. Степенная функция у=хⁿ

Определение корня n-ой степени и свойства

Определение степени с дробным показателем, свойства

Преобразование выражений, содержащих степени

Зачет за 9 класс

Занятие 1

Тема

Квадратный трехчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Цель

Научиться находить корни квадратного трехчлена, раскладывать квадратный трехчлен на множители, сокращать дроби, применяя формулу разложения квадратного трехчлена на множители.

Основные понятия

Определение квадратного трёхчлена, корни квадратного трехчлена, теорема о разложении квадратного трехчлена на множители

Домашние номера

45,60, 65

Примеры решения

Сократите дробь: 2х²+9х-5

4х²-1

1. Разложим на множители квадратный трехчлен:

2х²+9х-5=0

D=9²-4∙2∙(-5)=81+40=121

тогда 2х²+9х-5= 2(х+5)(х-0,5)

2. Сократим дробь:

Зачетные задания

1. Выполните разложение на множители квадратного трехчлена:

а) х²-7х-8

б) 2х²+3х-5

2. Сократите дробь:

Занятие 2

Тема

Функция. Область определения, область значений. Свойства функций.

Цель

Научиться определять аналитически и графически область определения, область значений функции, находить нули функции, промежутки знакопостоянства, возрастания и убывания функции

Основные понятия

Определение функции, график функции, значение функции при заданных значениях аргумента, область определения и область значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания функции.

Домашние номера

1,5,9,26, 31

Примеры решения

1. Найти значение функции у=2х²-3х при значении аргумента равном 5

х=5; у=2∙5²-3∙5=50-15=35

Ответ: у=35

2. Найдите значения аргумента, при котором значение функции у=-2х+7

равно 3

-2х+7=3

-2х=3-7

-2х=-4

х=2

Ответ : х=2

3. Найдите область определения функций: у=

3х-15=0

3х=15

х=5

Ответ: D(y)=(-∞;5)U (5;+∞)

4. Найдите область определения функции у=

3х+18≥0

3х≥-18

х≥-6

Ответ: D(y)= (-6;+∞)

Зачетные задания

1. Найти значение функции у=1-0,5х²+2х³ при значении аргумента равном -1

2. Найдите значения аргумента, при котором значение функции у=5х+10 равно 5

3. Найдите область определения функций: у=

4. Найдите область определения функции у=

5. Найдите по графику: область определения и область значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания функции

Занятие 3

Тема

Графики основных функций и их свойства.

Цель

Вспомнить графики основных функций, изученных ранее (линейная функция, функция обратной пропорциональности, функция у=х², у=х³, у= ), определить их свойства

Основные понятия

Область определения, область значений, промежутки возрастания и убывания

Домашние номера

построить графики функций у=х, у=2х, у=-3х, у=2х+4, у= -х-3

у=, у=, у=х², у=х³, у=

указать для каждой функции область определения, область значений, нули функции, промежутки возрастания или убывания,

определить от чего зависит возрастание и убывание линейной функции, функции обратной пропорциональности функций у=х³, у=

Теоретический материал для выполнения данных заданий можно брать в учебниках по алгебре 7-9 классов

Примеры решения

построить график функции у=-2х-1

графиком является прямая

х

0

1

у

-1

-3

так как у=-2∙0-1=-1

у=-2∙1-1=-3

область определения D(y)=(-∞; +∞)

область значений Е(у)= (-∞; +∞)

нули функции: -2х-1=0

-2х=1

х=-0,5

функция убывает на всей области определения, так как к = -2

Зачетные задания

построить графики функций: 1) у=3х-5,

2) у= -2х+3

3) у = ,

4) у = - х³

указать для каждой функции область определения, область значений, нули функции, промежутки возрастания или убывания,

Занятие 4

Тема

Квадратичная функция, график, свойства, Алгоритм построения графика квадратичной функции.

Цель

Научиться строить графики квадратичной функции, используя алгоритм, определять их свойства.

Основные понятия

Определение квадратичной функции, график квадратичной функции, свойства квадратичной функции, Алгоритм построения графика.

Домашние номера

87, 101,102

Примеры решения

Постройте график функции у= -х²+2х+3

Графиком является парабола, ветви направлены вниз, так как a = -1

Вершина параболы:

значит А(1;4)

Ось симметрии х=1

Таблица значений

х

1

2

3

4

у

4

3

0

-5

График функции

Зачетные задания

Постройте график функции а) у= х²+4х+3

б) у= - х²-6х-5

Определите промежутки возрастания и убывания функций.

Занятие 5

Тема

Решение неравенств второй степени с помощью графиков функций.

Цель

Научиться решать неравенства второй степени с одной переменной с помощью графиков функций.

Основные понятия

Определение неравенства второй степени с одной переменной Алгоритм решения неравенств графическим методом.

Домашние номера

114, 118

Примеры решения

2х²-7х+3>0

Графический метод

графиком функции у=2х²-7х+3

является парабола, ветви направлены вверх, так как a=2

Найдем нули функции

D=(-7)²-4∙2∙3=49-24=25

х₁= х₂=

построим схематично параболу, ветви которой направлены вверх, проходящую через точки х=0,5 и х=3 и выберем промежутки в которых парабола лежит выше оси х, так как 2х²-7х+3>0

Ответ(-∞; 0,5) U(3; +∞)

Зачетные задания

Решите неравенства: а) 5х²-8х+3<0

б) - х²+7х-10≥0

в) 5х+2 ≤ 2-2х²

Занятие 6

Тема

Целое уравнение и его корни. Уравнения, приводимые к квадратным

Цель

Научиться решать уравнения методом разложения на множители и введения новой переменной.

Основные понятия

Целое уравнение, степень уравнения, число корней уравнения, метод разложения на множители, метод введения новой переменной.

Домашние номера

214, 220,222

Примеры решения

Метод разложения на множители:

9х³-18х²-х+2=0

9х²(х-2)-(х-2)=0

(х-2)(9х²-1)=0

х-2=0 или 9х²-1=0

х=2 9х²=1

х²=

х=

Ответ: х=2, х=

Метод введения новой переменной:

(х²+3)²-11(х²+3)+28=0

пусть х²+3=t

тогда t²-11t+28=0

D=(-11)²- 4∙28=121-112=9

t₁=

t₂=

значит х²+3=4 или х²+3=7

х²=4-3 х²=7-3

х²=1 х²=4

х=±1 х=±2

Ответ: х=±1; х=±2

Зачетные задания

Решите уравнения:

а) 6х⁴+3,6х²=0

б) х⁴-х³-16х²+16х=0

в) х⁴-2х²-3=0

г) (х²+х-1)(х²+х+2)=40

Занятие 7

Тема

Решение систем уравнений второй степени

Цель

Научиться решать системы уравнений второй степени

Основные понятия

Метод подстановки, алгоритм решения системы уравнений методом подстановки.

Домашние номера

244,246, 248

Примеры решения

метод подстановки

D=2²-4∙(-1)∙15=4+60=64

у₁==

у₂==

тогда х₁=2-5= -3

х₂=2-(-3)=5

Ответ:(-3;5), (5;-3)

Зачетные задания

Решите систему уравнений:

а)

Занятие 8

Тема

Решение задач с помощью систем уравнений

Цель

Научиться решать задачи

Основные понятия

Краткая запись задачи, перевод задачи на математический язык, составление уравнения по условию задачи, анализ результатов. Площадь прямоугольника, теорема Пифагора.

Домашние номера

268,270,272,273, 274

Примеры решения

Длина садового участка на 10 м больше его ширины. Его площадь решили увеличить на 400 м². Для этого длину увеличили на 10 м, а ширину - на 2 м. Найдите площадь нового участка.

Решение:

Пусть х м - ширина участка, тогда (х+10) м. - его длина.

Площадь участка - S м².

После увеличения участка

ширина участка стала (х+2) м, а длина (х+10+10)=(х+20) м.

при этом площадь стала равна (S+400) м²

Составим уравнения, воспользовавшись формулой S= длина∙ширину.

S= х(х+10) и S =(х+2)(х+20)

Итак, получили систему уравнений:

.

.

.

.

Решим уравнение:

12х-360=0

12х=360

х=360:12

х=30

тогда S= 30(30+10)=1200 м²

а площадь нового участка равна

1200+400=1600 м²

Ответ: площадь нового участка 1600м²

Зачетные задания

1. Одно число на 7 больше другого, а их произведение равно -12. Найдите эти числа.

2. Одна из сторон прямоугольника на 14 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его диагональ равна 26 см

Занятие 9

Тема

Последовательности

Цель

Знать определение последовательности и её элементов. Научиться находить члены последовательности по формуле n-го члена и по рекуррентной формуле.

Основные понятия

Последовательность, члены последовательности, формула n-го члена, рекуррентная формула.

Домашние номера

334, 335, 337, 338

Примеры решения

Пусть последовательность задана формулой у_n=n²-3n+12

Выпишите пять первых членов последовательности.

у₁=1²-3∙1+2=1-3+12=10

у₂=2²-3∙2+2=4-6+12=10

у₃=3²-3∙3+2=9-9+12=12

у₄=4²-3∙4+2=16-12+12=16

у₅=5²-3∙5+2=25-15+12=22

Ответ: 10; 10; 12; 16; 22 …

Пусть первый член последовательности (a_n) равен 7, а каждый следующий находится по формуле a_n+1=3a_n -9 Запишите шесть первых членов последовательности.

а₁=7

а₂=3∙7-9=12

а₃=3∙12-9=27

а₄=3∙27-9=72

а₅=3∙72-9=207

а₆=3∙207-9=612

Ответ: 7; 12; 27; 72; 207; 612…

Зачетные задания

1. Пусть последовательность задана формулой у_n=7n+2 выпишите пять первых членов последовательности.

2. Пусть последовательность задана формулой у_n=выпишите пять первых членов последовательности.

3. Пусть первый член последовательности (a_n) равен 2, а каждый следующий находится по формуле a_n+1=2a_n +3 запишите шесть первых членов последовательности.

4. Пусть первый член последовательности (a_n) равен 1, а каждый следующий находится по формуле a_n+1=a_n² +1 запишите шесть первых членов последовательности.

Занятие 10

Тема

Арифметическая прогрессия, формула n-го члена Формула суммы n первых членов

Цель

Научиться определять арифметическую прогрессию, находить любой член арифметической прогрессии, зная формулу n-го члена или рекуррентную формулу, находить сумму n первых членов

Основные понятия

Арифметическая прогрессия, разность арифметической прогрессии, n -ый член арифметической прогрессии, формула n-го члена, рекуррентная формула, сумма n первых членов

Домашние номера

343, 345, 347, 352, 353,369, 370, 372

Примеры решения

1. Выпишите пять первых членов арифметической прогрессии, если а₁=17, d=-3

а₁=17; а₂=17-3=14; а₃=14-3=11; а₄=11-3=8; а₅=8-3=5;

Ответ: 17; 14; 11; 8; 5…

2. Найдите 8 член арифметической прогрессии, если а₁=34, d=1,2

а_n = а₁+ d(n-1)

а₈ = 34 +1,2(8-1)=34+1,2∙7=34+8,4=42,4

Ответ: а₈ = 42,4

3. Найдите 11 член арифметической прогрессии 1,4; 1,9…

а₁=1,4;

d=1,9-1,4=0,5

а₁₁ = 1,4 +0,5(11-1)=1,4+0,5∙10=1,4+5=6,4

Ответ: а₁₁ =6,4

4. Найдите первый член арифметической прогрессии, если а₉=27, d=2

а₉ = а₁+ d(9-1)

27 = а₁+ 2(9-1)

27= а₁+16

а₁=27-16=11

Ответ: а₁ =11

5. Найдите сумму семи первых членов арифметической прогрессии, если а₁=6,

а₇=56

S_n=

Ответ: =217

6. Найдите сумму пяти первых членов арифметической прогрессии -15; -12…

а₁=-15;

d=-15-(-12)=-15+12=-3

S_n

S_n=

Ответ: =-105

Зачетные задания

1. Выпишите пять первых членов арифметической прогрессии, если а₁=31, d=-12

2. Найдите 8 член арифметической прогрессии, если а₁=-6, d=1,8

3. Найдите 11 член арифметической прогрессии -4; -1…

4. Найдите первый член арифметической прогрессии, если а₁₂=36, d=3

5. Найдите сумму семи первых членов арифметической прогрессии, если а₁=6,

а₇=-34;

6. Найдите сумму пяти первых членов арифметической прогрессии 13; 6…

Занятие 11

Тема

Геометрическая прогрессия, формула n-го члена Формулы суммы геом. прогрессии.

Цель

Научиться определять геометрическую прогрессию, находить любой член геометрической прогрессии, зная формулу n-го члена или рекуррентную формулу, находить сумму n первых членов и сумму бесконечной геометрической прогрессии при |q|<1

Основные понятия

Геометрическая прогрессия, знаменатель геометрической прогрессии, формула n-го члена, рекуррентная формула, формула суммы n первых членов и формула суммы бесконечной геометрической прогрессии при |q|<1

Домашние номера

387, 389, 391, 408, 420

Примеры решения

1. Выпишите пять первых членов геометрической прогрессии, если b₁=172, q=

b₁=172; b₂=172∙∙=86; b₃=86∙∙=43; b₄=43∙∙=21,5; b₅=21,5∙∙=10,75;

Ответ: 172; 86; 43; 21,5; 10,75…

2. Найдите 5 член геометрической прогрессии, если x₁=34, q=0,2

x_n = x₁ ∙q^n-1

x₅ = x₁ ∙q^5-1= 34∙0,2⁴=34∙0,0016=0,0544

Ответ: x₅ =0,0544

3. Найдите 6 член геометрической прогрессии 48; 12…

b₁=48;

q=

b₆=

Ответ: b₆ =

4. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если b₁=-4,

q=3

S_n=

Ответ: =-484

6. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 18; 9…

b₁=18;

q=

<1 значит можно найти сумму бесконечной геометрической прогрессии

S

S

Ответ: S=36

Зачетные задания

1. Выпишите пять первых членов геометрической прогрессии, если b₁=4, q=2

2. Найдите 4 член геометрической прогрессии, если b₁=486, q=

3. Найдите 5 член геометрической прогрессии -36; -18…

4. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если b₁=64, q=2

6. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 84; 42…

Занятие 12

Тема

Четные и нечетные функции. Степенная функция у=хⁿ

Цель

Уметь определять четные и нечетные функции, строить графики степенных функций у=хⁿ при n четном и нечетном и определять их свойства.

Основные понятия

Четные и нечетные функции, графики степенных функций у=хⁿ при n четном и нечетном, их свойства.

Домашние номера

485, 487,503, 507

Примеры решения

1. Является четной или нечетной функция f(x)=5x⁴-7x²+9

f(-x)= 5(-x)⁴-7(-x)²+9=5x⁴-7x²+9= f(x)

Ответ: функция четная

2. На рисунке изображена часть графика функции, на промежутке [-4; 4] постройте график функции, если известно:

а) что функция четная, б) что функция нечетная,

Зачетные задания

1. Является четной или нечетной функция

а) f(x)=7x³-5x⁵+2х

б) f(x)=

в) f(x)=12x⁴-8x³+2х-1

2. На рисунке изображена часть графика функции, на промежутке [-4; 4] постройте график функции, если известно:

а) что функция четная, б) что функция нечетная,

3. Постройте схематично график функции у=х¹³ и перечислите его свойства.

Занятие 13

Тема

Определение корня n-ой степени и свойства

Цель

Научиться находить корня n-ой степени из числа, знать свойства корня n-ой степени и уметь их применять при упрощении выражений.

Основные понятия

Корень n-ой степени , арифметический корень n-ой степени, свойства арифметического кореня n-ой степени

Домашние номера

520, 530, 534, 542, 543, 545, 548

Примеры решения

1. Найдите значение выражения.

3

2. Найдите значение выражения.

3∙

3. Вычислите

.

4. Вычислите

.

5. Вынесите множитель из-под знака корня

.

6. Упростите выражение

.

Зачетные задания

Найдите значение выражения.

5

2

2∙

.

.

.

Вынесите множитель из-под знака корня

.

.

Упростите выражение

.

д

Занятие 14

Тема

Определение степени с дробным показателем, свойства

Цель

Научиться находить значение степени с дробным показателем, применяя свойства степени, упрощать выражения, содержащие степени с дробными показателями.

Основные понятия

Степень с рациональным показателем, свойства степени

Домашние номера

571, 573, 574, 587, 591, 594

Примеры решения

1. Замените степень корнем

.

2. Замените корень степенью

.

3. Вычислите

.

4. Упростите выражение

.

5. Вычислите

.

Зачетные задания

1. Замените степень корнем

.

2. Замените корень степенью

.

3. Вычислите

.

4. Упростите выражение

. ; ;

5. Вычислите

.

Занятие 15

Тема

Преобразование выражений, содержащих степени

Цель

Научиться находить значение степени с дробным показателем, применяя свойства степени, упрощать выражения, содержащие степени с дробными показателями.

Основные понятия

Степень с рациональным показателем, свойства степени

Домашние номера

612, 613, 614, 617

Примеры решения

1. Упростите выражение

.

2. Вычислите

3. Упростите выражение

.

Зачетные задания

1. Упростите выражение

.

2. Вычислите

.

3. Упростите выражение

.

.