Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

Данный рабочий материал является обобщением типичных заданий по стреометрии по теме "Параллельность в пространстве", содержит теоретический материал, необходимый при изучении соответствующих вопросов, задания для практического выполнения и вопросы для закрепления темы. Материал построен таким образом, что его можно использовать как конспект к уроку с тренировочными заданиями, как материал для самостоятельного изучения или же как элемент рабочей тетради. Как правило, на уроке нет возможности п...
Раздел Математика
Класс 10 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Параллельность в пространстве

В пространстве параллельными могут быть две прямые - не имеющие общих точек и лежащих в одной плоскости, прямая и плоскость - не имеющие общих точек и две плоскости - не имеющие общих точек.

На рисунке изображен куб. Укажите:

прямые, параллельные прямой ВС:

_____________________________________________________

прямые, параллельные плоскости АВС:

_____________________________________________________

плоскости, параллельные плоскости АА1С:

_____________________________________________________

плоскости, параллельные прямой АВ

А

В

СРабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

D

D1

А1

В1

С1_____________________________________________________

Дана плоскость  и точка М, не лежащая в ней.

Сколько прямых, параллельных плоскости , Сколько плоскостей, параллельных плоскости ,

можно провести через заданную точку М? можно провести через точку М

Где располагаются эти прямые? Почему?

М

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

М


Рассмотрим признаки, по которым устанавливается параллельность прямых и плоскостей в пространстве.


  • Признак параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна плоскости, если в этой плоскости найдется хоть одна прямая, которая параллельна данной прямой.

Таким образом, чтобы утверждать, что прямая параллельна некоторой плоскости, необходимо найти в этой плоскости ___________________________________________________________________


  • Признак параллельности двух плоскостей: две плоскости параллельны, если в одной из них найдутся две пересекающиеся прямые, которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

Таким образом, чтобы утверждать, что две плоскости параллельны, необходимо в одной из них выделить _______________________________ и найти в другой плоскости ___________________, которые________________________________________________


  • КРабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)акая прямая называется параллельной по отношению к плоскости?

  • Как доказать, что прямая и плоскость параллельны?

  • Какие плоскости называются параллельными?

  • Как доказать, что плоскости параллельны?

Параллельность прямых и плоскостей

Задание 2. Дана пирамида МАВС (точка М не лежит в плоскости АВС)

Объясните, почему (АВС)  (А1В1С1)

Задание 1. Дан куб. Объясните, почему:

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

А

В

СРабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

D

D1

А1

В1

С1А1С1 (АВС)

В1С1 (ВСD1)


З

М

Кадание 3. Ромб АВСD и трапеция ВСМК ( ВС - основание) не лежат в одной плоскости..

Как расположены МРабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

В

А

DК и (АВС), АК и (ВМС)?

М

СК и (АВС )________________ потому, что ____________________

___________________________________________________________

АРабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)К и (ВМС) _________________ потому, что ____________________

____________________________________________________________

Задание 4. Основания трапеции параллельны плоскости . Каково взаимное расположение плоскости  и плоскости трапеции?

Задание 5. Дан куб. (см. задание 1). Докажите, что плоскости АВ1D1 и BDC1 параллельны.

Задание 6. Выпишите верные утверждения, для неверных утверждений приведите контрпример (пример-рисунок, опровергающий данное утверждение)

  1. Прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости

  2. Через одну из двух параллельных прямых можно провести бесконечное множество плоскостей, параллельных другой прямой.

  3. Существует бесконечное множество плоскостей, параллельных данной прямой и проходящих через точку, не принадлежащую этой прямой.

  4. Если две плоскости параллельны одной и той же прямой, то они параллельны..

  5. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

  6. Если через две параллельные прямые провести две различные плоскости, то эти плоскости будут параллельны.

Задание 7. Постройте сечение плоскостью, проходящей через:

точку К и параллельно (АВМ) точку Р и параллельно (А1ВС)

D1

С1

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

В1

К

С

D

Р

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

А

В

С

МРабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

А

В

А1


Свойства параллельных прямых и плоскостей


  • Теорема1: если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии пересечения плоскостей параллельны.

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

Дано:

= а, =b,   

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

аДоказать: a  b


Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс) Доказательство.

Предположим, что прямые a и b не параллельны

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

bТогда a и b либо ______________, либо _______________

1) Пусть a  b, т.е прямые a и b имеют _____________. Эта общая точка принадлежит плоскости, т.к. ___________ и плоскости, т.к. ___________________

Значит плоскости  и  имеют __________________, а значит эти плоскости ________________, что противоречит условию. Значит прямые a и b не могут пересекаться.

2) Пусть a b. Но через скрещивающиеся прямые нельзя провести ____________________, а по условию прямые a и b лежат ___________________. Полученное противоречие позволяет сделать вывод, что прямые a и b не могут быть скрещивающимися.

Значит __________________

Теорема, отражающая свойства параллельных плоскостей, пересеченных третьей плоскостью, доказана.

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

  • Всегда ли линии пересечения двух плоскостей с третьей плоскостью параллельны?

Задание 1. Прямые a и b пересекают параллельные плоскости  и  в точках М, Е, Р и К..

НРабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)а рисунке изображены три точки. Где расположена четвертая точка?

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

а

b

а

bЕсли a b Если ab

ЕРабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

Р

Е

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

Р

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)


Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

М

КРабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

К

М

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

Почему не рассматривается случай, когда прямые a и b скрещивающиеся?

Задание 2. Две параллельные плоскости пересечены двумя параллельными прямыми a и b.

А, В, С, D - точки пересечения прямых с плоскостями.

ДРабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

а

bокажите, что АВС D является параллелограммом.

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

А

DДоказательство. Т.к. a b, то через них можно провести

плоскость, в которой лежит четырехугольник АВС D.

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Чтобы этот четырехугольник был параллелограммом, необходимо

доказать, что _________________ и ________________

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

В

С1) т.к. a b по условию, то ___________________________

2) Плоскость (АВС) пересекает плоскостии, которые по

условию _________________. Значит по свойству, рассмотрен-

ному выше, ________________. Ч.т.д.

Задание 3. Дано:   Доказать: 1) АВ   А1В1, 2) ∆АОВ подобен ∆А1ОВ1

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс) Доказательство.

1)_____________________________________________________

2) т.к. АВ   А1В1, то прямая АВ1 - секущая при параллель-

ных прямых. ____________________________________________ _______________________________________________________

ЗРабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)адание 4. Дано:  , прямые a и b пересекаются в точке О,

АО=5, ОВ=4, ОА1=3, А1В.=6.

НРабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)айти: АВ и В1

Р

Аешение.

1) АВ  А1В1, т.к. ______________________________________

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс) _______________________________________________________

2) ∆АОВ подобен ∆А1ОВ1, т.к. ___________________________

Значит ________________________________________________

_______________________________________________________

З

А

А1адание 5. Дано: АВ   А1В1, АС   А1С1. Докажите, что ВС   В1С

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс) Доказательство.

Плоскости АВС и А1В1С1 _________________, потому что

_______________________________________________________.

З

С

С1начит ________________________________________________

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

В

В1

_______________________________________________________ __ ____________________________________________________

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

Задание 6. Исправьте ошибку на рисунке и решите задачу.

М

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс) Дано:   , АА1= 3, МВ1=12, МА=6, АВ=4

Найти: А1В1, МВ, ВВ1

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

А

В

В1

А1Решение._____________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________

ЗРабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

А1

В1адание 7. Прямые a и b скрещивающиеся,   . Докажите, что АВ и А1В1 - скрещивающиеся

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

В

АРабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

Теорема 2: отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

ДРабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

В

Аано:   ., a   b

ДРабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)оказать: АА1=ВВ1

Д

А1

В1

а

bоказательство. Рассмотрим плоскость АВВ1, проведенную через параллельные прямые a и b.Эта плоскость пересекает плоскостии., которые по условию ________________________. (АВВ1)= _________, (АВВ1)= ___________.

Значит отрезки АВ и А1В1 __________________, а т.к. АА1 ВВ1по условию, то четырехугольник АВВ1А1является_________________ По свойству параллелограмма имеем:_______________________

Теорема, отражающая свойство параллельных прямых, пересекающих параллельные плоскости, доказана.

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

  • Какие отрезки равны, если две параллельные прямые пересекают две параллельные плоскости?

ЗРабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

а

b

садание 1. Плоскости  и  параллельны, прямые а, b и с параллельны друг другу.

1)Укажите равные отрезки.

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

А1

С1

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

В1

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)2)Докажите, что АА1 (ВВ1С)

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

А

С

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

В

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

Задание 2. Теорема 2 гласит: если   ., a   b, то отрезки, заключенные между плоскостями, равны. (см рис выше)

Верны ли обратные утверждения:

а) если    и отрезки, заключенные между плоскостями, равны, то a   b;

б) если a   b и отрезки, заключенные между плоскостями, равны, то    ?

З

А1

В1адание 3. Параллелограммы АВСD и А1В1СD не лежат в одной плоскости.

1)Укажите равные отрезки: Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс) Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

А

В

С

D___________

2)Докажите параллельность плоскостей ВСВ1 и АDА1

Задание 4.    . Докажите подобие треугольников АВС и А1В1С1

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

. Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

В

А

СРабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

Задание 5. Даны две параллельные плоскости  и  и точка А не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через точку А проведена произвольная прямая, которая пересекает плоскости в точках Х и У. Докажите, что отношение длин отрезков АХ:АУ не зависит от выбора прямой

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

В1

А1Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

С1Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

Дополнительные задания

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

В1

С1Параллелограммы АВСD и А1В1С1D1 лежат в параллель

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс) ных плоскостях. Прямые, проходящие через их вершины

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

А1

D1параллельны.

1) Докажите, что ВDD1В1 - параллелограмм

2) Докажите, что DСВ1А1 - параллелограмм

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)

А

В

С

D

М

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс)Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс) МАВС - пирамида (точка М не лежит в (АВС))

(АВС)  (А1В1С1), МА1=АА1. Найдите площадь

∆А1В1С1, если площадь ∆АВС=15 см2

В1_________________________________________________

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс) _________________________________________________

А1

С1_________________________________________________

_________________________________________________

В_________________________________________________

Рабочий материал по стереометрии Параллельность в пространстве (10 класс) _________________________________________________

А

С_________________________________________________

_________________________________________________



© 2010-2022