Оглавление

Введение

Математика - один из удивительных школьных предметов. Именно на уроках математики мы столкнулись с выражением «логические задачи». Возник вопрос: «Какие бывают логические задачи?»

Четких формулировок и определений «логической» математической задачи в изученной литературе не оказалось, поэтому возникла проблема

- какие математические задачи считать «логическими», как определить грань между «логической» задачей и задачей обычной?

Изучая виды логических задач, мы столкнулись с задачами на взвешивание. Они нас очень заинтересовали.

Было принято решение провести исследование по возникшей проблеме, подготовить исследовательскую работу на научно-практическую конференцию по теме: «Задачи на взвешивание». Актуальность выбранной темы была подтверждена в ходе обсуждения ее с руководителем, который одобрил выбор темы исследования. Действительно, дать определение «логической» задачи, подобрать задачи на взвешивание, классифицировать их определенным образом и, возможно, создать сборник таких задач было очень заманчиво. Мы понимали, что такой сборник будет иметь и практическую значимость для учащихся и педагогов.

Были определены:

Объектная область исследования - учебный предмет «математика».

Объект исследования - решение задач на взвешивание.

Предмет исследования - математические задачи определенного типа.

Изучив научную литературу по данному вопросу, выдвигаем

гипотезу исследования - если окажется возможным из множества математических задач выбрать определенные («логические») задачи и классифицировать их по некоторым признакам, то возможно создание сборника одного из видов таких задач (задач на взвешивание) и использование его в качестве математического саморазвития.

Цель нашего исследования - создать сборник задач на взвешивание.

Задачи:

1. изучить научную литературу, научные публикации по данной теме.

2. Определить понятие «логическая» задача в математике.

3. Классифицировать найденные задачи по видам.

4. Подготовить материалы для сборника задач на взвешивание.

Методы исследования:

Теоретические.

Эмпирические.

Математические.

Понятие логической задачи

Логические задачи от обычных задач отличаются тем, что не требуют вычислений; в них мы не находим ни чисел, ни геометрических фигур; чаще всего в таких задачах создается ситуация, выход из которой может быть найден, если мы тщательно изучим ситуацию и сделаем ряд выводов, иначе говоря логическим методом, с помощью логических рассуждений. Можно сказать, что логическая задача - это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. Но в учебниках, сборниках задач и в других учебных пособиях не дается точного определения логической задачи.

Однозначно можно сказать, что логическая задача связана с логикой - наукой о рассуждениях, поэтому логическая математическая задача должна отвечать определенным, на наш взгляд, требованиям:

1) Условие задачи должно быть интересно; если задача геометрическая, то чертеж к ней - красивый.

2) Задача должна содержать нестандартный элемент, отличающий ее от большинства задач по данной теме, предлагаемых в учебниках. При этом нестандартность может проявляться как в самом условии, так и в методах решения. Особый интерес в этом смысле представляют задачи, имеющие несколько различных методов решения, и многовариантные задачи, имеющие несколько ответов (причем желательно, чтобы факт наличия нескольких ответов не был явно указан в формулировке условия).

3) Задача может устанавливать интересный факт, порой неожиданный.

4) 3адача должна быть доступна как по формулировке условия, так и по сложности и объему используемого в решении материала.

5) Желательно, чтобы в решении логической задачи не использовались искусственные приемы, решение должно основываться на рассуждениях, которые приведут к интересному ответу, порой даже неожиданному.

Виды логических задач

В результате проведенной работы мы выяснили, что логические задачи можно разделить на определенные группы:

• Задачи, решаемые с конца

• Задачи на переливание

• Задачи на взвешивание

• Задачи типа «Кто есть кто?»

• Математические ребусы

• Загадки

• Старинные задачи

• Задачи со спичками

• Криптарифмы

Методы решения логических задач

При решении задач этих групп на уроках математики нами было выявлено, что каждая группа задач имеет свой оптимальный метод решения:

Истинноностные задачи

При решении задач данного типа лучше всего использовать метод рассуждений. Он позволяет проводить рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходить к выводу, который и будет являться ответом задачи.

Задачи на пересечение и объединение множеств

Это тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.
Метод Эйлера является незаменимым при решении задач этого типа, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие.

Задачи на переливание

При решении текстовых логических задач на переливание применяется метод построения таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи

Задачи на взвешивание

В таких задачах от решающего требуется локализовать отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой. Задачи данного типа чаще всего решаются методом рассуждений.

Математические ребусы

Записи восстанавливаются на основании логических рассуждений. При этом нельзя ограничиваться отысканием только одного решения. Испытание нужно доводить до конца, чтобы убедиться, что нет других решений, или найти все решения.

Задачи, решаемые с конца

Такие задачи очень часто ребята задают друг другу в виде головоломок на задуманное число. Задачи решаются методом математических вычислений, основанных на конечном результате в условии .

Задачи типа «Кто есть кто?»

Смысл задач под кодовым названием «Кто есть кто?» довольно прост. Нам даются отношения между предметами и следуя по цепочке этих отношений, мы приходим к правильному результату. Задачи данного типа чаще всего решаются методом графов.

Виды задач на взвешивание

Задачи на взвешивание - тип задач по математике, в которых требуется установить тот или иной факт (выделить фальшивую монету среди настоящих, отсортировать набор грузов по возрастанию веса и т. п.) посредством взвешивания на рычажных весах без циферблата. Чаще всего в качестве взвешиваемых объектов используются монеты. Реже имеется также набор гирек известной массы.

Очень часто используется постановка задачи, требующая определить либо минимальное число взвешиваний, потребное для установления определённого факта, либо привести алгоритм определения этого факта за определенное количество взвешиваний.

Реже встречается постановка, требующая ответить на вопрос, возможно ли установление определённого факта за некоторое количество взвешиваний. Часто такая постановка является не очень удачной, так как при положительном ответе на вопрос задача чаще всего сводится к построению алгоритма, а отрицательный почти не встречается.

Изучив литературу по данной теме, мы пришли к выводу о том, что все задачи на взвешивание можно разделить на следующие типы:

1. Задачи на сравнения с помощью весов.

2. Задачи на взвешивания на весах с гирями.

3. Задачи на взвешивания на весах без гирь

Заключение

Работа по выбранной теме осуществлялась в соответствии с планом исследования, а именно: были определены объектная область, объект и предмет исследования, сформулирована гипотеза, поставлены цели и задачи, а также определены ожидаемые результаты. Были указаны используемые методы исследования, определена проблема, обоснована актуальность.

Анализируя выполнение поставленных задач, можно сказать следующее.

В ходе исследования дано определение «логической» математической задачи, проведена классификация таких задач по определенным признакам, а именно:

• Задачи, решаемые с конца

• Задачи на переливание

• Задачи на взвешивание

• Задачи типа «Кто есть кто?»

• Математические ребусы

• Загадки

• Старинные задачи

• Задачи со спичками

• Криптарифмы

Изучена литература по вопросу исследования, всего изучено 10 научных публикаций и других источников. Самыми интересными, на наш взгляд, оказались Бахтина Т.П. Раз задачка, два задачка…..-М.:Аскар,2001 и Леман И. Увлекательная математика/ Пер. с нем. Ю.А. Данилова. М., 1985, Перельман Я.И. Занимательная арифметика, Занимательная алгебра, Занимательная геометрия, Живая математика.

Начата подготовка материалов для сборника задач на взвешивание.

В ходе данного исследования были использованы заявленные методы (теоретические, эмпирические, математические).

Анализируя планируемые ожидаемые результаты исследования, можно отметить, что как основной результат работы проведена классификация «красивых» математических задач.

Считаем, что практическая значимость данной работы заключается в следующем: автор работы, изучив литературу по данному вопросу, получил дополнительные знания в области математики, укрепив свой интерес к этой науке.

Подготовленные материалы для сборника «красивых» математических задач могут быть использованы всеми учащимися при подготовке к урокам, олимпиадам, другим занятиям.

Список использованных источников

А. журналы

Квант

Математика в школе

Б. книги

1. Байиф Ж-К. Логические задачи. М.: Мир, 1983. 171 с.

2. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков. М.: Просвещение,1971. 462 с.

3. Барабанов А.И., Чернявский И.Я. Задачи и упражнения по математике. Саратов: Саратовский ун-т, 1965. 234 с.

4. Барр С. Россыпи головоломок. М.: Мир, 1978. 414 с.

5. Беррондо М. Занимательные задачи. М.: Мир, 1983. 229 с.

6. Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. М.: Мир,1986. 472 с.

7. Перельман Я.И. Занимательная арифметика.

8. Перельман Я.И. Занимательная алгебра.

9. Перельман Я.И. Занимательная геометрия.

10. Перельман Я.И. Живая математика.

Приложение 1. Подборка задач на взвешивание (с решением)

1. Буратино и Кот Базилио

У Буратино есть 27 золотых монет. Но известно, что Кот Базилио заменил одну монету на фальшивую, а она по весу тяжелее настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь Буратино определить фальшивую монету?

Решение

Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она - в третьей кучке). Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку на три части по три монеты, положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета. Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую: кладем на чаши весов по 1 монете - фальшивкой является более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части. Задача решена.

2. Фальшивая монета 3

Имеется 10 монет. Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты. Как, с помощью чашечных весов без гирь, определить какая из монет фальшивая?

Решение

Разделим 10 монет на 2 равных кучки - по 5 монет. Положим на чаши весов. Определим, в какой из этих кучек находится фальшивая монета. Теперь эту кучку делим на 3 кучки - в двух из них по две монеты, в третьей одна монета. Взвешиваем кучки, в которых по две монеты. Если весы покажут равенство, то фальшивка в третьей кучке. Если покажут неравенство, то фальшивая монета в кучке, которая легче. Теперь кладем на чаши весов по 1 монете из этой кучки - фальшивкой является более легкая. Задача решена.

3. Лиса Алиса и Кот Базилио

Лиса Алиса и Кот Базилио - фальшивомонетчики. Базилио делает монеты тяжелее настоящих, а Алиса - легче. У Буратино есть 15 одинаковых по внешнему виду монет, но какая-то одна - фальшивая. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь Буратино может определить, кто сделал фальшивую монету - Кот Базилио или Лиса Алиса?

Решение

Буратино может разделить свои монеты на три кучки по 7, 4, 4, или по 5, 5, 5, или по 3, 6, 6, или по 1, 7, 7 монет. При первом взвешивании он положит на весы две кучки монет одинаковой величины. Если при этом весы оказались в равновесии, значит, все монеты на весах настоящие, а бракованная монета в оставшейся кучке. Тогда при втором взвешивании на одну чашку весов Буратино положит кучку с бракованной монетой, а на вторую - столько настоящих монет, сколько всего монет он положил на первую чашку, и тогда он сразу определит, легче фальшивая монета, чем настоящие, или тяжелее. Если же при первом взвешивании весы оказались не в равновесии, значит, все монеты в оставшейся кучке настоящие. Тогда Буратино уберет с весов легкую кучку, а монеты из тяжелой кучки разделит на две равные части и положит на весы (если в кучке было 5 или 7 монет, предварительно добавит к ним одну настоящую монету). Если при втором взвешивании весы оказались в равновесии, значит, фальшивая монета легче настоящих, а если нет, то тяжелее. Задача решена.

4. Дядюшка Скрудж

Дядюшке Скруджу принесли 8 одинаковых по виду монет, одна из которых не золотая, а фальшивая и легче других. Помогите Скруджу определить фальшивую монету. Какое минимальное число взвешиваний ему потребуется?

Решение

Разделим монеты на кучки по 3, 3, 2 монеты. Положим на чаши весов кучки по 3 монеты - по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка.

Если весы покажут равенство, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда кладем на чаши весов монеты из третьей кучки. Фальшивкой будет та, которая легче.

Если весы покажут неравенство. Тогда кладем на чаши весов по монете из более легкой кучки; если установилось равенство, то фальшивкой является третья монета из этой кучки; если неравенство - то более легкая монета и есть фальшивка. Следовательно, Скруджу потребуется минимум два взвешивания. Задача решена.

5. Фальшивая монета

Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? Hаходить фальшивую монету не требуется.

Решение

Взвешиваем 50 и 50 монет: два случая.

1 случай. Равенство. Берем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку вместо одной из имеющихся там:

а) Левая кучка тяжелее => фальшивая монета тяжелее;

б) Левая кучка легче => фальшивая монета легче.

2 случай. Неравенство. Берем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет:

а) Вес кучек одинаковый => фальшивая монета легче;

б) Вес кучек неодинаковый => фальшивая монета тяжелее.

6. Из трех одинаковых по виду колец одно несколько легче других Как найти его одним взвешиванием на чашечных весах?

Решение

Кладем два кольца на весы. Если в равновесии, то оставшееся кольцо более легкое; если же одно кольцо перевесило, то которое легче нужное.

7. В мешке 24 кг гвоздей. Каким образом можно на чашечных весах без гирь отмерить 9 кг гвоздей?

Решение

Один из вариантов: сначала надо разделить 24 кг гвоздей на две равные части по 12 кг, уравновесив их на чашах весов. Затем так же разделить 12 кг гвоздей на две равные части по 6 кг. После этого отложить одну часть, а другую разделить таким же способом на части по 3 кг. Наконец к шестикилограммовой части гвоздей добавить эти 3 кг. В результате получится 9 кг гвоздей.

8. Имеются стандартные весы с чашечками и две гири: 10 и 2 кг. Как с их помощью взвесить 3 кг слив?

Решение

Отвешиваем сначала 2 кг слив. Затем делим их поровну по чашам весов, чтобы весы уравновесились. 1 кг слив получен. Имя 1кг и гирю в 2 кг можно отмерить любое нужное количество, в том числе и 3 кг.

9. Есть 68 монет, все они разные по весу. Как за 100 взвешиваний найти самую легкую и самую тяжелую?

Решение

Взвешиваем попарно все монеты, легкие откладываем в одну кучку, тяжелые - в другую, всего получается 34 взвешивания. В первой кучке взвешиваем по очереди все монеты с наиболее легкой на данный момент, т.е. если попадается более легкая, то следующие монеты взвешиваются уже с ней, и так 33 раза. С правой кучкой - то же самое, но только выявляем наиболее тяжелую монету, также 33 взвешивания. Итого - ровно 100 взвешиваний.

10. Имеется 80 монет, одна из которых фальшивая, причем она легче других. За какое наименьшее число взвешиваний на весах без гирь можно найти фальшивую монету?

Решение

Фальшивую монету можно определить за 4 взвешивания. Алгоритм следующий. Первое взвешивание: кладем на чаши по 27 монет. В случае равновесия фальшивая среди оставшихся 26. Если одна чаша легче, то фальшивая среди лежащих на ней 27. Второе взвешивание: кладем на обе чаши по 9 монет из числа "подозреваемых" и рассуждаем аналогично. В третьем взвешивании положим на чаши по 3 монеты, а в четвертом - по одной. Как видим, здесь деление не пополам, а на три по возможности равные части.

11. Имеется 9 одинаковых монет, одна из которых фальшивая и по этой причине легче остальных. Мы располагаем двумя весами без гирь, позволяющими сравнивать по весу любые группы монет. Однако одни из имеющихся весов являются грубыми, на них нельзя отличить фальшивую монету от настоящей. Их точность не позволяет уловить разницу в весе. Зато другие весы точные. Но какие весы грубые, а какие точные - неизвестно. Как в этой ситуации с помощью трех взвешиваний определить фальшивую монету?

Решение

Положим на весы №1 по четыре монеты на каждую чашку. Если одна группа монет перевесила, то остальное понятно - эти весы точные, и мы знаем 4 монеты, среди которых одна фальшивая. Пусть весы оказались в равновесии. Обозначим через А девятую монету и добавим к ней монеты В и С - по одной из каждой четверки. Оставшиеся две тройки монет положим на чаши весов №2. Худший вариант - вновь равновесие. Тогда на весах №2 сравниваем монеты В и С. В случае равновесия фальшивой будет монета А.

12. Имеются 6 гирь весом 1, 2, 3, 4, 5 и 6 г. На них нанесена соответствующая маркировка. Однако есть основания считать, что при маркировке гирь допущена одна ошибка. Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах, на которых можно сравнить веса любых групп гирь, определить, верна ли имеющаяся на гирях маркировка?

Решение

На одну чашу весов кладем гири, маркированные 1, 2 и 3 г., а на другую - 6 г. Равновесие означает, что ошибка в маркировке возможна лишь внутри групп 1-2-3 и 4-5. При втором взвешивании на одну чашу кладем гири 3 и 5 г., на другую - 6 и 1 г. Если первая чаша перевесила, то ошибки а маркировке нет.

13. Имеется 8 с виду одинаковых монет. Одна из них фальшивая и известно, что она легче настоящей. Как с помощью всего лишь двух взвешиваний найти фальшивую монету? В Вашем распоряжении только лабораторные весы, которые показывают только больше-меньше.

Решение

Делим монеты на две равные кучки. Из каждой кучки берем по 3 монеты, кладем на весы и взвешиваем. Если вес одинаковый то взвешиваем оставшиеся 1и 1 монеты и выявляем фальшивую (более легкую). Если же одна группа из трех монет легче другой, значит там есть фальшивая монета. Оставляем более легкую группу из трех монет и кладем на весы 1и 1 и действуем по предыдущему алгоритму: если вес одинаков, значит фальшива третья, а если нет то та которая легче.

14. Имеются неправильные чашечные весы, мешок крупы и правильная гиря в 1 кг. Как отвесить на этих весах 1 кг крупы?

Решение

Можно поступить, например, так: поставим на одну чашку весов гирю весом 1 кг и уравновесим весы крупой из мешка. Теперь снимем с весов эту гирю и вместо нее насыпем крупу. Когда этой крупы станет ровно 1 кг, весы окажутся в равновесии.

15. Имеются чашечные весы без гирь и 4 одинаковые по внешнему виду монеты. Одна из монет фальшивая, причём неизвестно, легче она настоящих монет или тяжелее (настоящие монеты одного веса). Сколько надо взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету?

Решение

Если у нас 3 монеты, достаточно двух взвешиваний. Кладём на каждую чашку весов по одной монете. Если весы не в равновесии, значит, та монета, которая осталась, - настоящая. Кладём её на весы с любой из остальных и сразу определяем, какая из них фальшивая. Если же весы в равновесии, значит, фальшивая монета та, которая осталась, и вторым взвешиванием можно даже определить, легче она или тяжелее, чем настоящие. Если у нас 4 монеты, опять достаточно двух взвешиваний. Разделим наши монеты на две кучки по 2 монеты и положим одну из кучек на весы - по монете на каждую чашку. Если весы в равновесии, то обе монеты на них настоящие. Если весы не в равновесии, то обе монеты на столе настоящие. Итак, теперь мы знаем, в какой кучке лежит фальшивая монета. Положим на одну чашку весов монету из кучки, где обе настоящие, на вторую - монету из кучки, где фальшивая. Если при этом весы будут в равновесии, значит, фальшивая монета осталась на столе, а если не в равновесии, значит, мы положили её на весы (в этом случае мы даже узнаем, легче она или тяжелее).

16. Имеются чашечные весы со стрелками и десять мешков с монетами. Все монеты во всех мешках одинаковы по внешнему виду, но в одном из мешков все монеты фальшивые и каждая весит по 2 грамма, а в остальных девяти мешках все монеты настоящие и каждая весит по 1 грамму. Как при помощи одного взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты?

Решение

Возьмём из первого мешка 1 монету, из второго - 2, из третьего - 3,..., из последнего - 10 монет. Всего 1 + 2 + 3 +...+ 10 = 45 монет. Взвесим их. Если бы все они были настоящие, они весили бы 45 граммов, но в нашем случае они будут весить больше. Если фальшивая монета одна, то будет перевес 1 грамм, если две - 2 грамма, ... если десять фальшивых монет - будет перевес 10 грамм. Таким образом, зная перевес, мы сразу определим количество фальшивых монет. А оно, в свою очередь, покажет нам номер мешка, в котором они лежат.

17. Известно, что среди ста монет имеется ровно одна фальшивая (отличается по весу от настоящих). С помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определите, легче или тяжелее фальшивая монета настоящей (находить ее не надо!).

Решение

Положим сначала на каждую чашу по 50 монет. Затем возьмем более тяжелую часть, разобьем ее на кучки по 25 монет и взвесим их. Если их массы равны, то фальшивая монета легче остальных, иначе - тяжелее остальных.

18. В корзине лежат 13 яблок. Имеются весы, с помощью которых можно узнать суммарный вес любых двух яблок. Придумайте способ выяснить за 8 взвешиваний суммарный вес всех яблок.

Решение

Занумеруем яблоки. Взвесим первое яблоко со вторым, второе с третьим и третье с первым, затем сложим полученные веса (где-нибудь в тетради) и получим удвоенный вес трех яблок, а затем и вес трех яблок, следовательно, за три взвешивания мы узнали суммарный вес первых трех яблок. Осталось пять взвешиваний и десять яблок, которые взвешиваем попарно и, суммируя все данные, получим вес 13 яблок.

19. Имеется девять мешков: восемь с песком и один - с золотом. Мешок с золотом только чуть тяжелее. Вам даётся два взвешивания на чашечных весах, чтобы найти мешок с золотом.

Решение

Разделите девять мешков на три группы по три мешка каждая. Взвесьте две группы. Таким образом Вы узнаете, в какой из групп мешок с золотом. Теперь выберите 2 мешка из той группы, где точно есть мешок с золотом, и взвесьте их.

Вот и всё.

20. Имеется 27 теннисных шариков. 26 весят одинаково, а 27-й чуть потяжелее.

Какое минимальное количество взвешиваний на чашечных весах гарантирует нахождение тяжёлого шарика?

Решение

Достаточно воспользоваться весами три раза. Разделите 27 шариков на 3 группы, 9 шариков в каждой. Сравните две группы - бракованный шарик окажется в той группе, что потяжелее. Если весы достигли равновесия, то бракованный шарик в третьей группе. Таким оразом мы определим группу из 9 шариков, один из которых искомый. Поделите эту группу на 3 подгруппы, по три шарика в каждой. Аналогично первому шагу сравните вес двух любых подгрупп. Теперь сравните два шарика (два из трех, среди которых точно должен быть искомый) и Вам всё будет ясно.

Итак, мы нашли бракованный шарик и при этом воспользовались весами только три раза.

14