Многовариантная самостоятельнаая работа для подготовке по ОГЭ. Различные задачи по геометрии (9 класс)

Вариант 1

1.В треугольнике ABC AC=BC. Внешний угол при вершине B равен 146∘ . Найдите угол C . Ответ дайте в градусах.

2.В треугольнике ABC угол C равен 90∘ , AC=12 , tgA= . Найдите AB .

3.Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=44 и HD=11. Найдите площадь ромба.

4.Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка K - середина стороны AB. Докажите, что DK - биссектриса угла ADC.

5.Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=10 и MB=18 . Касательная к описанной окружности треугольника ABC , проходящая через точку C , пересекает прямую AB в точке D . Найдите CD .

6.Укажите номера верных утверждений.

1)В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

2)В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

3)Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

7.Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2√5, √11 и 2 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°.

8.В треугольнике ABC проведена биссектриса AL , угол ALC равен 112∘ , угол ABC равен 106∘. Найдите угол ACB . Ответ дайте в градусах.

9.В треугольнике ABC угол C равен 90∘, sinA=45, AC=9. Найдите AB.

10.Сторона AC треугольника ABC проходит через центр окружности. Найдите ∠C, если ∠A=30∘. Ответ дайте в градусах.

Вариант 2

1В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=65, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 1321−−√. Найдите sin∠ABC.

2. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 26:1, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 7.

3. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

4. Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 36.

5. В треугольнике ABC угол C равен 90∘ , BC=2 , sinA=0,2 . Найдите AB .

6. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

7. Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороныBC. Точка F - середина стороныCD. Докажите, что BF - биссектриса углаABC.

8. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34, а основание равно 60. Найдите площадь этого треугольника.

9. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3 , если ∠1=22∘ , ∠2=72∘ . Ответ дайте в градусах.

10. В трапеции ABCD AD=4, BC=1, а её площадь равна 35. Найдите площадь треугольника ABC.

Вариант 3

1. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 и 100.

2. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 6.

3. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=104∘. Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

4. Сторона ромба равна 8, а расстояние от центра ромба до неё равно 2. Найдите площадь ромба.

5. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 48 и 3, а сумма углов при основании AD равна 90∘ . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD , если AB=3 .

6. Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60°. Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 8.

7. Площадь прямоугольного треугольника равна 722√ 3. Один из острых углов равен 30∘ . Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

8. Площадь ромба равна 30, а периметр равен 24. Найдите высоту ромба.

9. Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 39 и 42, вписаны в угол с вершиной A . Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K , пересекает стороны угла в точках B и C . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC .

10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 40 и 85.

Вариант 4

1. Найдите тангенс угла AOB.

2. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 9, а сумма углов при основании AD равна 90∘ . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD , если AB=10 .

3. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади четырёхугольника KPCM.

4. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=21 и CH=8. Найдите высоту ромба.

5. Высота равностороннего треугольника равна 15√ 3. Найдите его периметр.

6. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92∘ , угол CAD равен 60∘ . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

7. В треугольнике ABC BM - медиана и BH - высота. Известно, что AC=84 и BC=BM . Найдите AH .

8. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD=16. Докажите, что треугольники CBD и ADB подобны.

9. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точкуE. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

10. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 7:6, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 48.

Вариант 5

1. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 39 и 2.

2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45∘ . Найдите площадь треугольника.

3. Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=1 и HD=63. Диагональ параллелограмма BD равна 65. Найдите площадь параллелограмма.

4. На стороне AB треугольника ABC взята такая точка D так, что окружность, проходящая через точкиA , C и D , касается прямой BC . Найдите AD , если AC=40 , BC=45 и CD=24 .

5. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K . Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKD .

6. Периметр квадрата равен 116. Найдите площадь квадрата.

7. Основания трапеции равны 1 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делии среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

8. Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 31.

9. ABCDEFGH - правильный восьмиугольник. Найдите угол EFG . Ответ дайте в градусах.

10. Точка H является основанием высоты BH, проведенной из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=16.

Вариант 6

1. В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S . Найдите NS , если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ=44 , SQ=22 .

2. Катеты прямоугольного треугольника равны √15 и 1 . Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

3. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 203√ , а сторона AB равна 40 . Найдите cos∠B .

4. Касательные к окружности с центром O в точках A и B пересекаются под углом 76∘. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

5. В прямоугольнике одна сторона равна 65, а диагональ равна 97. Найдите площадь прямоугольника.

6. В параллелограмме KLMN точка A - середина стороны LM. Известно, что KA=NA. Докажите, что данный параллелограмм - прямоугольник.

7. В выпуклом четырехугольнике ABCD AB=BC, AD=CD , ∠B=100∘ , ∠D=104∘ . Найдите угол A . Ответ дайте в градусах.

8. Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и  BD пересекаются в точке M . Найдите MC , если AB=16 , DC=24 , AC=25 .

9. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 25, а основание равно 30. Найдите площадь этого треугольника.

10. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите AB, если BC=34.

Вариант 7

1. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:1, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 41.

2. Сторона ромба равна 29, а диагональ равна 42. Найдите площадь ромба.

3. Точка H является основанием высоты BH, проведенной из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=13.

4. Площадь прямоугольного треугольника равна . Один из острых углов равен 30∘ . Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

5. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=8, BC=4.

6. Точка O - центр окружности, на которой лежат точки P, Q и R таким образом, что OPQR - ромб. Найдите угол ORQ. Ответ дайте в градусах.

7. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL , угол ALC равен 37∘ , угол ABC равен 25∘ . Найдите угол ACB . Ответ дайте в градусах.

8. В треугольнике ABC BM - медиана и BH - высота. Известно, что AC=97 и BC=BM . Найдите AH .

9. Площадь параллелограмма ABCD равна 12. Точка E - середина стороны AB . Найдите площадь трапеции EBCD .

10. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание.

Вариант 8

1.Найдите тангенс угла AOB

.

2. Высоты AA1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы CC1A1 и CAA1 равны.

3. Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=17 и MB=19 . Касательная к описанной окружности треугольника ABC , проходящая через точку C , пересекает прямую AB в точке D . Найдите CD .

4. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 2.

5. В треугольнике ABC угол C равен 90∘ , sinA=0,75 , AC=√7 . Найдите AB .

6. Площадь параллелограмма ABCD равна 136. Точка E - середина стороны AB . Найдите площадь трапеции EBCD .

7. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=24, BF=32.

8. Касательные к окружности с центром O в точках A и B пересекаются под углом 82∘. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

9. У треугольника со сторонами 16 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

10. Длина хорды окружности равна 140, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 24. Найдите диаметр окружности.