План-конспект открытого урока-практикума по алгебре (10 класс)

План-конспект открытого урока-практикума по алгебре

Тема: Решение задач экономического содержания.

Дата проведения: 07.04.2015 г.

Класс: 10 «А».

Количество учащихся: 27.

Учитель: Конистяпина Галина Александровна.

Тип урока: Урок закрепления новых знаний.

Цели урока

Образовательные:

- закрепить знания и умения учащихся по применению формул сложных процентов;

- организовать самостоятельную деятельность учащихся по переносу знаний в новую ситуацию;

Развивающие:

- формировать у учащихся понимание математики, как реальное отражение действительности;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности;

Воспитательные:

- воспитывать познавательную активность школьников, умение участвовать в обсуждениях, развивать культуру речи;

Оборудование:

- ПК, проектор, экран;

- карточки с домашним заданием.

Ход урока

1. Организационный момент.

Актуализация знаний и целеполагание.

Урок начинается с доклада ученика (приложение 1).

Учитель: задачи, которые будут рассмотрены сегодня на уроке, взяты из жизни. Наша цель - научиться анализировать реальные ситуации с помощью того математического аппарата, которым вы владеете. Очень важно, чтобы при решении задач вы не только получили ответ, но и могли его использовать, соотнести с действительностью.

2. Повторение изученного материала путем фронтального опроса.

Учитель:

а) запишите на доске формулу сложных процентов и ее частный случай:

A_n = A₀ (1 ± 0.01х₁)*(1 ± 0.01х₂)*…* (1 ± 0.01х_n)

A_n = A₀ (1± 0.01x) ⁿ

б) объясните смысл входящих в формулу символов

(А₀ - начальное значение некоторой величины;

А_n - значение, которое получилось в результате изменения А₀;

n - Количество изменений А₀;

х - процент изменения);

в) когда применяется общая формула, а когда ее частный случай?

(Частный случай применяется тогда, когда некоторая величина А₀ изменяется несколько раз на один и тот же процент.

Общая формула используется, если процент изменения не остается одним и тем же)

г) в какие случаях в формуле сложных процентов ставится знак «+», а в каких случаях знак «-»?

Приведите примеры.

(Знак «+» применяется в задачах о начислении процентов по вкладу в банке, а также при увеличении цены товара. Знак «-» применяется при подсчете снижения цены).

3. Проверка домашнего задания.

Вызванные ученики оформили свои решения во время фронтального опроса.

Домашняя задача №1 (слайд №1)

Вкладчик положил на счет 13000 рублей, через 2 года он получил 15730 рублей.

Какой процент ежегодного постоянного дохода давал банк?

Решение:

А₂ = А₀ (1+0.01х) ²

15730 = 13000 (1+0.01х) ²

(1+0.01х) ² = 1.21

(1+0.01х) = 1.1 или (1+0.01х) = -1.1

Х₁ = 10 х₂ = -210 - не подходит

Ответ: банк давал 10% годового дохода.

Проверяя решение, учитель задает дополнительные вопросы:

а) Почему не подходит корень х₂ = -210?

(Сумма вклада увеличивается, и поэтому процент изменения не может быть отрицательным)

б) Как вы думаете за счет чего банк имеет возможность выплачивать вознаграждение вкладчику?

(Полученный от вклада деньги банк использует для выдачи кредитов организациям и частным лицам под проценты и делится частью этой прибыли с вкладчиком);

в) А если бы х₂ был бы равен 210? Мы тоже отбросили бы этот корень?

(Да, так как тогда банк выплачивает 210% годовых. Ни один банк не будет выплачивать за год сумму, которая превышает сам вклад).

Учитель оценивает работу ученика.

Домашняя задача №2 (Слайд №2)

Цена товара после двух последовательных снижений на один и тот же процент уменьшилась со 125 до 80 рублей. На сколько процентов снижалась цена каждый раз?

Решение:

А₂ = А₀ (1-0.01х) ²

80 = 25 (1-0.01х) ²

(1-0.01х) = 0.8 или (1-0.01х) = -0.8

Х₁ = 20 Х₂ = 180 - не подходит

Ответ: цена снижалась два раза на 20%.

Дополнительные вопросы:

а) Как реально выглядела бы ситуация, если бы цену снизили на 180%?

(Покупатель получил бы товар бесплатно и еще 80% его стоимости);

б) А если бы цену снизили бы сразу на 40%, то в итоге цена была бы больше на 80 рублей?

(125-1.25*40=125-50=75 (рублей). Цена была бы меньше)

Учитель оценивает работу отвечающих и отмечает наиболее активных учеников;

в) Я знаю, что многие из вас были в разных странах, и в домашнем задании я попросила вспомнить: как звучат слова «скидка», «распродажа» на разных языках?

(«скидка» - «sale» по-английски);

г) Какое иностранное слово, связанное с этим термином, вошло в наш язык?

(Дисконтные карты - карты, обеспечивающие скидки постоянным клиентам).

4. Самостоятельная работа, с последующей проверкой.

Слайд №3

1 вариант:

В осенне-зимний период цена на свежие фрукты возросла трижды: на 10%, на 20%, на 25%. На сколько процентов возросла зимняя цена по сравнению с летней?

Решение:

Обозначим летнюю цену А₀, а зимнюю А₃, т.к. она установилась после трех изменений, тогда по общей формуле сложных процентов:

А₃ = А₀ (1+0.01 * 10) * (1+ 0.01 * 20) * (1+0.01 * 25)

А₃ = А₀ * 1.1 * 1.2 * 1.25

А₃ = А₀ * 1.65

Значит, зимняя цена А₃ составляет от летней А₀ 165%, поэтому 165-100=65(%)

Ответ: цена возросла на 65%.

Дополнительные вопросы

Учитель: Итак, мы доказали, что зимняя цена больше летней на 65%. А можно ли сказать, что летняя цена ниже зимней на 65%?

(Нет, так сказать нельзя. В задаче зимняя цена сравнивается с летней, и летняя цена берется за 100%. А если сравнить с зимней ценой, то ее придется взять за 100%. А эта цена больше).

Слайд №4

2 вариант:

В начале первого года в банк был внесен вклад величиной 1000 рублей, процентная ставка составляет 10% годовых (доход по вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу). На сколько рублей возрастет величина вклада за третий год хранения?

Решение:

По частной формуле сложных процентов величина вклада в конце второго года хранения будет А₂ = А₀ (1+0.01 * 10) ², то есть А₂ = 1000 (1+0.01 * 10) ² = 1000 * 1.21 = 1210 (рублей).

Величина вклада в конце третьего года хранения равна

А₃ = А₀ 1 (1+0.01 * 10) ³, А₃ = 1000 * 1.1³ = 1331 (рублей).

Разница вкладов А₃ - А₂ = 1331 - 1210 = 121 (рубль).

Ответ: за третий год хранения вклад возрастает на 121 рубль.

Дополнительные вопросы:

а) Как найти увеличение вклада, (обозначим его ∆₅) за пятый год хранения?

(∆₅ = А₅ - А₄; ∆₅ = А₀ (1+0.1)⁵ - А₀ (1+0.1) ⁴);

б) Как проще вычислить значение ∆ в этом случае?

(Можно вынести за скобку общий множитель, тогда:

∆₅ = А₀ (1+0.1) ⁴ * (1+0.1 - 1) = А₀ (1+0.1) ⁴ * 0.1)

5. Решение задач на определение дохода по вкладу.

Учитель: увеличение вклада за год иначе называется доходом.

Рассмотрим еще одну задачу. Слайд №5

При условии ежегодного начисления процентов сумма вклада в банке за второй год хранения увеличилась на 36 $, а за четвертый год - на 81 $. На сколько рублей увеличился доход за первый год?

Решение:

Пусть А₀ - первоначальный вклад в банк, тогда А₂ = А₀ (1+0.01х) ² - размер вклада через 2 года, а ∆₂ = А₂ - А₁ = А₀ (1+ 0.01х) ² - А₀ (1+0.01х) ¹ - доход ха 2-ой год хранения.

По условию ∆₂ = 36

Составим первое уравнение:

А₀ (1+0.01х) ² = А₀ (1+0.01х) ¹ = 36

А₀ (1+ 0.01х) * (1+0.01х -1) = 36

А₀ (1+0.01х) * 0.01х = 36 (1)

Аналогично ∆₄ = А₄ - А₃ = А₀ (1+ 0.01х) ⁴ - А₀ (1+0.01х) ³; ∆₄ = 81.

Составим второе уравнение:

А₀ (1+ 0.01х) ³ * (1+ 0.01х - 1) = 81

А₀ (1+0.01х) ³ +0.01х = 81 (2)

{A₀ (1+ 0.01х) * 0.01х = 36

{А₀ (1+ 0.01х) ³ * 0.01х = 81

Пусть 0.01х = у, тогда

{A₀ (1+ у) * y = 36

{А₀ (1+ у) ³ * у = 81

=

=

(1 + y) ² =

1 + y = 1.5 или 1 + у = -1.5

У = 0.5 у = -2.5 - не подходит

Значит 0.01х = 0.5, х=50%

Найдем А₀ из уравнения (1)

А₀ (1+ 0.5) * 0.5 = 36

А₀ * 1.5 * 0.5 = 36

А₀ = = 48 (рублей) - первоначальный вклад.

Вычислим доход за первый год:

∆₁ = А₁ - А₀ = А₀ (1+0.01х) - А₀ = А₀ * 0.01х * 0.5 = 24 (рубля)

Ответ: доход увеличился на 24 рубля.

Учитель:

Как вы думаете 50% - это реальный ежегодный процент, начисляемый банком?

(Нет, нереальный, так как выплачивая вкладчику 50% вклада, банк скорее всего разориться, так как вряд ли он сможет вкладывать деньги под большие проценты).

6. Итог урока. Домашнее задание.

Учитель: Сегодня на уроке мы рассмотрели несколько задач, где используются формулы сложных процентов. Я надеюсь, что рассмотренный задачи помогут вам лучше ориентироваться в повседневной жизни.

Домашнее задание размещено на сайте лицея №51 в разделе «Домашнее задание по математике».

Задача №1.

В начале 2003 года Петя положил в сейф 1 млн. рублей и брал из него 9% суммы каждые 3 года, а Вася положил 1млн. рублей в другой сейф и брал из него 6% суммы каждые 2 года. Найти разницу содержимого сейфов в конце 2008 года.

Задача №2.

На фабрике выработка продукции возросла за год на 4%, а на следующий год повысилась еще на 8%. Найти средний годовой прирост за эти 2 года.

Приложение №1.

Понятие «проценты» связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы; оно буквально атакует нас в пору рыночных отношений в экономике, в пору банкротств, инфляций и кризисов.

Зная проценты, бедный может стать богатым, обманутый вчера в сделке покупатель сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело. Но надо с осторожностью и пониманием относиться к многочисленным рекламным объявлениям, обещающим большие проценты на вклад, которые не всегда корректны.