Приложения №2-5 к уроку разноуровневого повторения Геометрический и физический смысл производной

Приложение 2.

Для работы в группе сильным учащимся:

Задача 1. На рисунке изображен график функции

у = ах² + вх +с и четыре прямые. Одна из прямых - график производной. Укажите номер этой прямой.

Решение.

1. По рисунку определяем вершину параболы,

это точка (4; -5).

2. Тогда уравнение параболы имеет вид: y = a(x-4)² - 5

3. По рисунку х=1 - корень уравнения a(x-4)² -5 =0, отсюда

a = .

4. Получим уравнение параболы у = (х - 4)² -5.

5. Производная y' = ∙2 ∙(x-4) = x - = x - 4

6. При х = 0, y' = -4 ,

при х = 4, y' = 0.

7. Значит, графиком производной данной функции является прямая № 3

Задача 2. При каком значении а прямая у = -10х +а является касательной к параболе f(x) = 3x² -4x-2 ?

Решение.

1. Пусть х₀ - абсцисса точки касания, составим уравнение касательной в этой точке.

2. у = 3х² - 4х -2

3. у₀ = 3х ₀² - 4х₀ -2

4. y' = 6х - 4

5. y₀' = 6х₀ - 4

6. Получим уравнение касательной

у = 3х ₀² - 4х₀ -2 + (6х₀ - 4)(х - х₀) ,

у = (6х₀ - 4)х - 3х₀² -2.

7. Чтобы прямая у = -10х +а являлась касательной к параболе f(x) = 3x² -4x-2 , необходимо, чтобы

6х₀ - 4 = -10, отсюда

х₀ = -1, тогда

а = - 3х₀² -2 = -3-2 = -5

Приложение 3.

Содержание разноуровневой самостоятельной работы

Уровень 1

Вариант 1

Задача 1.

Тело движется по прямой так, что расстояние S(в м) от него до точки М этой прямой изменяется по закону S(t)=5t²-3t+6. Через сколько секунд после начала движения произойдет остановка?

1) 2) 3) 4) 6

Задача №2

Определите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции у(х)=4х²-8х+4 параллельна оси абсцисс.

1) -8 2) 1 3) 0 4) 4

Задача№3

Определите угол, который образует касательная, проведенная к графику функции у=2х²+4х-3 с осью ОХ, в точке с абсциссой .

1) 45⁰ 2) 30⁰ 3) 60⁰ 4) 135⁰

Задача №4.

Найдите значение функции в точке максимума.

1) 12,5 2) 13 3)13,5 4) 12

Задача№5.

Найдите все интервалы возрастания функции .

1) 2) (0;1) 3) 4) (-1;0)

Задача №6

Материальная точка движется по закону (х - перемещение в м, t - время в с). Через сколько секунд после начала движения ускорение точки будет равно 10м/с²?

1) 6 2) 2 3) 3 4) 4

Уровень 1

Вариант 2

Задача №1.

Материальная точка движется по закону (х - перемещение в м, t - время в с). Через сколько секунд после начала движения ускорение точки будет равно 8м/с²?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Задача №2

На кривой у=х²-х+1 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой у=3х-1.

1) -2 2) 1 3) 2 4) 3

Задача №3.

Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у=-2х⁴+3х+5 в его точке с абсциссой .

1) 67 2) -61 3) 19 4) 72

Задача №4

Найдите значение функции в точке минимума.

1) -3 2) -4 3) 3 4) 4

Задача №5.

Найдите все интервалы убывания функции .

1) 2) 3) 4) (2;5)

Задача №6.

Тело движется по прямой так, что расстояние S(в м) от него до точки М этой прямой изменяется по закону . Чему будет равна мгновенная скорость (м/с) через 4 секунды после начала движения?

1) 123 2) 111 3) 108 4) 121

Уровень 2

Вариант 1

1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

у = х⁶ - 2х⁵ + Зх⁴ + х² + 4х + 5 в точке х₀ = - 1.

2. Функция у = f(x) определена на промежутке (-4; 6]. На рисунке изображен график ее производной. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наибольший угловой коэффици­ент.

3. Функция у = /(ж) задана своим графиком на промежутке [-8;4] Укажите абсциссу точки графика (или сумму абсцисс, если их несколько), в которой тангенс угла наклона касательной равен 0.

4.Найдите сумму тангенсов углов наклона касательных к параболе у = х² - 2х - 3 в точках пересечения параболы с осью абсцисс.

5.На рисунке изображены прямые, которые являются касательными к графику функции у =f(x) в точках с абсциссами x₁, х_2, х₃, х_4. Опре­делите количество неотрицательных чисел среди значений производной у = f'(x) в этих точках.

У

х

Уровень 2

Вариант 2

1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = х⁵+ 2х⁴ + х^3, + 12 в точке х₀ = 1.

2. Функция у - /(х) определена на промежутке (-5; 3). На рисунке изображен график ее производной. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наименьший угловой коэффици­ент.

3. Функция у - f(x) задана своим графиком на промежутке [а;в] Укажите абсциссу точки графика (или сумму абсцисс, если их несколько), в которой тангенс угла наклона касательной равен нулю.

4.Найдите сумму тангенсов углов наклона касательных к параболе у =х² - 9 в точках пересечения параболы с осью абсцисс.

5.На рисунке изображены прямые, которые являются касательными к графику функции у =f(x) в точках с абсциссами x₁, х_2, х₃, х_4. Опре­делите количество неотрицательных чисел среди значений производной у = f'(x) в этих точках.

х

y

Приложение 4. Содержание задач. 3 уровень.

Задача 1. Углом между кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к этим кривым в этой точке:

Найти угол между кривыми у = 8 - х и у =

Решение.

1. Найдем область определения второй функции:

Х+4 ≥ 0,

Х ≥ - 4;

2.Найдем точку пересечения графиков,

= 8-х,

или

3.Найдем угол наклона касательной к у = в точке с абсциссой х= 0

y' =

y' (0) = 1 , значит угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох можно определить из равенства tg α = 1,

α = 45⁰.

4.Угловой коэффициент прямой у = -х + 8 равен -1, значит

tgβ = -1

β = 135⁰, следовательно, угол γ между кривыми равен

γ = 135⁰ - 45⁰ = 90⁰.

Ответ: 90⁰.

Задача 2. Показать, что графики двух данных функций у = х⁴ и у = х⁶ + 2х² имеют одну общую точку и в этой точке - общую касательную; написать уравнение этой касательной.

Решение.

1. Найдем точку пересечения кривых

х⁶ + 2х² = х⁴,

х⁶ - х⁴+ 2х² = 0,

х²(х⁴ - х² + 2) = 0,

х=0 или х⁴ - х² +2 =0

D

2. Составим уравнения касательных к кривым в точке х=0

3. у = х⁴

у₀ = 0

y' = 4x³

y'₀ = 0, получим касательную у =0.

4. у= х⁶ + 2х²

у₀ = 0

y'₀= 6x⁵ + 4x

y'₀ = 0, получим касательную у =0.

Значит, кривые имеют общую точку (0;0) и общую касательную у=0.

Задача 3. Составить уравнение касательной к графику функции

у = , х > 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна 2,25.

Решение.

1. Пусть х = с - абсцисса точки касания, тогда уравнение касательной имеет вид:

у = - ( х - с),

у = - х +

2. При х =0, у =

3. При у = 0 , х = с.

4. Площадь отсекаемого треугольника равна

∙∙с =

= 1, с =1.

5. Получим уравнение касательной

у = - х +

у = -2х + 3

Ответ: у = -2х + 3

Приложение 5. Домашнее задание

1. Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наибольший угловой коэффициент.

2. Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график производной этой функции.

К графику функции провели касательные во всех точках, абсциссы которых целые числа. Укажите количество точек графика функции, в которых проведенные касательные имеют отрицательный угловой коэффициент.

3 Прямая пересекает ось абсцисс при , касается графика функции в точке . Найдите .

4. Функция определена на промежутке . Используя изображенный на рисунке график производной , определите количество касательных к графику функции , которые составляют угол с положительным направлением оси Ox.

5. Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график производной . Определите число касательных к графику функции , тангенс угла наклона которых к положительному направлению оси Ox равен 3.

6. Прямая пересекает ось ординат при , касается графика функции в точке . Найдите .

7. Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график производной этой функции.

К графику функции провели касательные во всех точках, абсциссы которых целые числа. Укажите количество точек графика функции, в которых проведенные касательные имеют отрицательный угловой коэффициент.

8. Прямая пересекает ось ординат при , касается графика функции в точке . Найдите .

9. Функция определена на промежутке . Используя изображенный на рисунке график производной , определите количество касательных к графику функции , которые составляют угол с положительным направлением оси Ox.

10 Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наибольший угловой коэффициент.