Спецкурс Матрицы и определители. урок 3-4

Урок 3-4

Бабенко Е.В.

Тема: Матрицы. Операции над матрицами. Цель: сформировать понятие (m•n)-матрица. Рассмотреть операции над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число, произведение матриц, познакомить учащихся со свойствами сложения и умножения матриц.

Структура урока.

Разум- зажигательное стекло, которое зажигая остаётся холодным

Рене Декарт.

1. Организационный момент.

2. Умственная разминка..

Вычислить:

:

Учитель: во сколько действий был ваш пример?

Расскажите алгоритм выполнения вашего примера.

3. Изложение материала.

Что такое матрица?

Матрицей размеров m x n называется прямоугольная таблица, составленная из m n чисел (элементов матрицы), в которой m строк и n столбцов.

Если m=n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.

Обозначения: или

Матрицы бывают: 0 = - нулевая матрица,

А = - матрица противоположная матрице А,

- матрица - строка, - матрица - столбец,

- верхняя треугольная матрица,

-нижняя треугольная матрица, - диагональная матрица,

Е = - единичная матрица.

Матрицы называются равными, если у них одинаковые размеры и равные соответствующие элементы.

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

1. Суммой матриц А = (а_ij) и В = (b_ij) одинаковых размеров называется матрица С = (с_ij) тех размеров, у которой с_ij = а_ij + b_ij , для любых i, j.

C = A + B

Свойства сложения матриц:

1. A +B = B + A

2. (A +B) +C = A + (B + C)

3. A + 0 = A

4. A + (-A) = 0, для любых А, В, С одинаковых размеров.

Пример 1: Найти сумму матриц: А = и В = .

Решение: С = А + В С =

Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, надо к матрице А прибавить матрицу, противоположную матрице В.

А - В = А + (-В)

Пример 2: Найти разность матриц А - В: А = и В = .

Решение: С = А - В -В = С =

Чтобы умножить матрицу на число нужно каждый элемент матрицы умножить на это число.

Свойства умножения матрицы на число:

1)

2)

3)

4) для любых А,В одинаковых размеров, любых α, β R

Пример 3: Дана матрица А =. Найти матрицу С = 2А.

Решение: С = 2А =

Если -1•А=-А.матрицы А и -А -противоположны

Произведением матрицы А = (а_ik) размеров mn на матрицу В = (b_kj) размеров np называется матрица С = (с_ij) размеров mp, у которой

c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_inb_nj.

C = AB

Свойства умножения матриц:

1. AE = EA = A

2. A0 = 0A = 0

3. (AB)D = A(BD)

4. 

5. (A + B)D = AD + BD

6. D(A + B) = DA + DB (при условии, что все указанные операции имеют смысл).

Для квадратных матриц АВ≠ВА

Пример 4: Даны матрицы: А = и В = .

Найти произведение матриц А и В.

Решение: С = АВ С = С =

Пример 5. Даны матрица. Найти их произведение.

А= В=

Как делать?

• Сначала умножим первую строчку матрицы А на первый столбец матрицы В почленно и сложить - это первый член первой строки матрицы- произведения 3•(-1)+(-1)•8=-11

• Вторую строку матрицы умножаем почленно на первый столбец матрицы В. Складываем- получаем первый член второй строки 5•(-1)+2•8=11

• Первую строку умножаем почленно на второй столбец, складываем, получаем второй элемент первой строки 3•2+(-1)•(-6)=12

• Вторую строку матрицы А умножаем на второй столбец матрицы В , складываем- второй элемент второй строки 5•2+2•(-6)=-2

Таким образом, получаем матрицу С=

Пример 6. Выполнить умножение матриц

Пример 7. -у доски с помощью учителя

Усложним задачу

=

4. Закрепление .

Вычислить 2А+3В, если

А=В=

2А+3В=

Выполнить умножение

А)

Б)

В)

Г)

Д)Найти АВ и ВА, если А=, В=

АВ==

ВА=

Делаем вывод : переместительный закон умножения для матриц не работает

Решим уравнение с матрицами.

Найти Х, если Х+2А=Е, А =

Х=Е-2А=

Х=А²+А-6Е, если А=

А²=

А²+А=

Х=А²+А-6Е=

5. Домашнее задание

Выучить теорию.

Выполнить задания:

АВ, если А=В = . Ответ

Возвести в степень . Ответ

Вычислить определитель третьего порядка

. Ответ 0