5 – 7 СЫНЫПТАРҒА АРНАЛҒАН МАТЕМАТИКА ПӘНІНЕН «МАТЕМАТИКАЛЫҚ ЛОГИКА ӘЛЕМІ» ТАҢДАУЛЫ КУРСЫНЫҢ БАҒДАРЛАМАСЫ

Мақсаты:

Оқушыларға стандартты емес шарттармен берілген есептерді анықтауға көмектесетін жаңа терминдерді еңгізу, парадокстер мен софизмдерді, логиканы күнделікті өмірлік жағдайларда қолдануға үйрету. Әртүрлі әдістермен логикалық есептерді шешуге үйрету, есептердегі олардың практикалық маңыздылығын көрсету, соның ішінде тұрмыстық есептерде конструктивті ойлайтын оқушыларды айқындау. Олимпиадалық есептерді шешу барысында алған білімдерін практикалық түрде пайдалана білу.

Сондықтан да, әрбір оқушы математикалық сауатты болу үшін мынадай мақсаттар жүзеге асырылу керек.

1. Ақыл-ойды дамыту.

2. Математикалық іс-әрекеттің сипатына сай ойлауды қалыптастыру.

3. Қоғамдық өмір практикасына қажетті математикалық ойлауды қалыптастыру.

4. Математикалық білімді игеру мақсатында практикада қолдану.

5. Болмысты, табиғат пен қоғамды тануға қажет математикалық мазмұндай білу.

6. Алдына қойылған сұрауға немесе есепті шығаруға оптимальды (жылдам, сенімді және дұрыс) жауап беруге дағдылану, ұмтылу.

Осы мақсатты ескере отырып, математикаға қызығушылықты арттыру барысында ойлау қабілеттерін дамыту үшін әртүрлі логикалық есептерді шешуді жүзеге асыруда есептеудің тәсілдерін көрсету керек. Логикалық есептер математикалық олимпиадаларда, әр түрлі жарыстарда жиі қолданылады.

Міндеті:

• Оқушының ойын дамыту;

• Кеңес бере отырып, бағыттап оқыту;

• Ізденушілік, зерттеушілік жұмыстарын ұйымдастыру;

• Оқушылардың ғылыми, техникалық, кәсіпшілік қызығушылықтырын қалыптастыруға жағдай жасау, бейім таңдауда өз тағдырын өзі шешуге мүмкіндік беру;

• Оқушылардың стандартты логикалық операцияларды жылдам және дұрыс орындау іскерлігін дамыту.

• Логикалық ойлау мәдениетін дамыта отырып, оқушының математикаға деген қызығушылығын арттыру.

• Оқытуды оқушының дамуына бағыттай ұйымдастыру.

• Мұғалім мен оқушы арасындағы тең құқылы қарым -қатынасты сақтау.

• Жеке тұлғаның танымдық әрекет иесі болуына күш салу.

• Күрделі есептерді шығаруға машықтандыру.

Логика (гр. λογική - «талдауға құрылған», λόγος - «сөз», «сөйлем», «ойлау», «ақыл») - ойлау, оның формалары мен заңдылықтары туралы ғылым. Логика дәлелдеу мен теріске шығарудың белгілі бір әдіс-тәсілдері қаралатын ғылым теориялар жиынтығын құрайды.

Логиканың алғашқы тарихи нұсқасын б.з.б. 4 ғасырда ежелгі грек философы Аристотель жасаған. Аристотельдің логикалық идеяларының сақталуына, олардың мән-маңызының ашылуы мен тарихи жалғасын табуына ортағасырлық ислам философтары

әл-Кинди, әл-Фараби, ибн Сина, ибн Рушдтың сіңірген еңбегі зор.

Ерте дәуір ойшылдарының салып кеткен сара жолын қазақ әдебиетінің ірі өкілі, хан Абылайдың кеңесшісі дана адам Бұқар жырау жалғастырды.

Дара туған хандарға ақыл айтып екі елдің арасында бітім жасап отырған мұндай адамдар қазақ топырағында сирек болған. Болашаққа көз жүгірте отырып, алда күтіп тұрған оқиғаларды ақыл-оймен айта білген Бұқар жырау нағыз дана адам болған. Логика қалтарыста жол табу формасы екенін Бұқар жырау дәлелдеді.
Жалпы алып қарағанда логика ол-өмір сүру формасы,логика ол-стратегия.

«Теңдеулер шешу» тақырыбына ұсынылатын есептер:

«Барлығы қанша қарға?»

Келеді ұшып екі қарға,

Топ достарын ертіп талға

Болды елу әлгі жиын

Санағанда демей қиын.

Болмаңыздар әбігер,

Шешімі табылар бәрі бір.

Айтпай есеп шарты кім,

Теңдеу құру тәртібін?

Жауабы: 2+х=50, х=48 қарға

«Кетті бірге нешеуі»

Кездесіп бір топ аңменен,

Болды 30 бас малменен.

Олар кетті қоштасып,

Үш түлкімен достасып.

Теңдеуді ойлап құрыңыз,

Мал санын айта тұрыңыз.

Жауабы: х+3=30, х=27 бас мал.

Шахерезада саны. 1001 түн

Бұл санның ерекшелігі неде?

Мұның ерекшелігі: бұл 1001 саны 7?11?13 сандарына қалдықсыз бөлінеді, немесе 1001= 7·11·13 болады. Бірақ бұл санның ерекшелігі бұнда емес. Кез келген үш таңбалы санды 1001-ге көбейткенде шығатын көбейтіндіні осы үш таңбалы санды екі рет қайталап жазса жеткілікті болады. Мысалы: 873 · 1001 = 873873

236 · 1001 = 236236 т.с.с.

Орыстың халық есебі

Жеті шал келе жатты.

Әрқайсысының жеті балдағы бар.

Әр балдақта жеті бұтақ бар.

Әр бұтақта жеті дорба бар.

Әр дорбада жеті самса бар.

Әр самсада жеті торғай бар

Барлық торғай қанша?

Жауабы: 137256

Қиынырақ есептерді шешу жолдары.

Мысал-1

Қыңыр есепке құмар кісіден біреу оның жасын сұрапты, онда ол былай деп жауап беріпті: Менің 3 жылдан кейінгі жасымды 3 еселеңіз, содан соң 3 жыл бұрынғы жасымды 3 еселеңіз, ақыры алғашқы көбейтіндіден соңғы көбейтіндіні шегеріңіз. Сонда дәл менің жасымды табасың . Ол кісі неше жаста ?

Шешуі: Х - жаста дейік. Сонда 3 жылдан кейінгі жасы (х+3) және 3 жыл бұрынғы жасы (х - 3 ) болады

3 (х+3) - 3(х - 3 ) = х

3х+9 - 3х+9 - х =0

х - 18 =0

х =18

Мысал-2 Бес тоғыздықты пайдаланып 10 - ды жазыңыздар. Кем дегенде 2 әдісін көрсетіңіз.

Шешуі: 9+=10 - = 10

Мысал-3 Қосындысы 498 · к санына, ал бөліндісі бес санына еселік болатын үш таңбалы екі санды табу керек

Шешуі: Ол сандарды а және b деп алайық және а< b болсын. Шарт бойынша 100 а< b<1000

b +а = 498к және b=5а бұдан 6а=498к, а=83к, ал b=415к

біріншіден к2, екіншіден к2, ендеше к=2.

Жауабы: 168 және 830

Шырылдауық шегіртке.

Шегіртке түзу бойымен қатты және жай ырғиды.

Қатты ыршыса үш елі жерге, ал жай ыршыса екі елі жерге түседі. Сонда шегіртке бірінші қарақшыдан қарғығанда одан бір елі жердегі екінші қарақшыға дәл қалай түседі?

Әзіл айтсаң да,

Әділ айт.

Шешуі: Айталық, шегіртке бірінші қарақшыдан екінші қарақшыға түсу үшін Х рет қатты, У рет жай ыршулар жасасын. Сонда шегіртке 3х + 2у аралыққа қарғиды. Бұл аралық 1 елі.

Демек, 3х + 2у= 1

Бұдан

х-тің орнына 0, 1, 2,... - бүтін сандарын қояйық.

Шегіртке артқа қарғыса х пен у теріс сан, ал алға қарғыса х пен у оң мән қабылдайды деп түсіндіріп, х=1, у=-1, у=2 екенін табамыз.

Бұл есепке қарағанда қазақ халқы теріс сандар мен де амалдар қолдана алған деген қорытындыға келеміз.

Шекпен киген қара мен қарқаралы хан.

-Мейірімді алдияр! Өз бағыңыздан бір алма алуға рұхсат етіңіз, - деді қара. Хан алуға рұхсат етті. Қара баққа келсе, бақ үш рет қоршауға алынған екен. Әрбір қоршау қақпасында жасауыл тұр.

Қара бірінші жасауылға келіп:

• Хан маған бір алма алуға мейірімділік жасады, - деді.

• Ал, бірақ шығарда алған алмаңның тең жартысын, және бір алма бересің, - деді жасауыл.

• Қақпадағы екінші және үшінші жасауылда оған осылай деді. Жасауылдарға сұраған алмаларын беру үшін, қара бақтан неше алма алуы керек?

Өзінің шарқын білген,

Өзгенің нарқын біледі.

Шешуі: Бірінші қақпадан шығарда жасауылға барлық алманың жартысын және бір алма беруі керек. Ал өзінде бір алма қалуы тиіс. Осы жердегі 2 және 1 алма - жасауылға беретін алма. Демек, қараның бірінші қақпадан шығар алдында 4 алмасы болуы керек. Екінші қақпадан шығарда қара жасауылға барлық алманың жартысын және

бір алма беруі керек. Бұрынғы 4 алма мен жасауылға берілетін бір алма бес алма құрайды. Демек, екінші қақпадан шығарда қараның 10 алмасы болуы керек.

Осы сияқты талқылап, үшінші қақпа алдында 22 алмасы болуы керек екендігін табамыз.

Есепті теңдеу құрып та шығаруға болады. Мұнда Х деп қараның жұлып алатын алмасының саны десек, -=1

теңдеуіне келеді. Мұнан х = 22.

Қыңырдың жасы.

Есепке құмар бір кісі қыңырдан:

- Жасың нешеде? - деп сұрапты. Сонда ол:

• Менің 3 жылдан кейінгі жасымда үш еселеңіз, содан соң 3 жыл бұрынғы жасымды үш еселеңіз. Алғашқы көбейтіндіден соңғы нәтижені шегеріңіз. Сонда менің жасымды табасыз. Ол кісі нешеде?

Жетесінде жоқ,

Жете сыйламайды.

Шешуі: Қыңырдың қазіргі жасын -х десек, есеп шарты бойынша:

3(х+3) - 3(х-3) = 3х+9 - 3х + 9 =18

Тексеруі:

18+3=21;

18 - 3=15;

21 ^. 3 - 3 ^. 15 = 63 - 45 =18.

Жауабы: Қыңырдың жасы. 18-де.

Мерген.

Мерген нысанаға 10 рет атып, 90 ұпай жинады. Оның төртеуін ондыққа, сегіздікке және жетілікке тигізді. Ол тоғыздыққа нешеуін, сегіздікке нешеуін, жетілікке нешеуін тигізді?

Аң таппаған,

Атынан көреді.

Ата алмаған

Мылтығынан көреді.

Шешуі:

болғандықтан, жетілікке біреуін, сегіздікке екеуін, тоғыздыққа үшеуін, ондыққа төртеуін тигізгені.

«Ойдағы санды табу өнері»

Фокусшы әдетте мынадай іспетті әрекет жасауды ұсынады. Бір сан ойла, 2-ні қос, 3-ке көбейт, 5-ті азайт, ойлаған санды азайт - барлығы бес, кейде ондаған амал орындатады. Сонан соң фокусшы сенде шыққан нәтижені сұрап біледі де, сол сәтте сен ойлаған санды атайды.

«Фокустың» сыры - ап-айқын, оның негізіне теңдеулер алынған.

Мысалы, фокусшы саған төмендегі таблицаны сол жақ бағанындағы амалдар алгоритмін орындауды ұсынған болсын дейік:

Сан ойла

х

2-ні қос,

х + 2

нәтижені 3-ке көбейт,

3х+6

5-ті азайт,

3х+1

ойланған санды азайт,

2х+1

2-ге көбейт,

4х+2

1-ді азайт

4х+1

Сонан соң фокусшы сенен ең соңғы шыққан нәтижені айтуды өтінеді, оны сен айтқан соң, сол сәтте ойланған санды атайды. Ол мұны қалай тапты?

Мұны түсіну үшін таблицаның оң жағындағы бағанға қараңдар, онда фокусшының нұсқаулары алгебра тіліне аударылған.. Осы бағаннан, егер сен қандай да бір х санын ойлаған болсаң онда барлық амалдарды орындаған соң сенің жауабыңда 4х+1 шығуы керек. Осыны біле отырып, ойланған санды «табу» қиын емес.

Мысалы, сен фокусшыға 33 шыққанын айттың дейік. Сол кезде фокусшы ойша 4х+1 = 33 теңдеуін тез шешеді де, х = 8 екенін табады. Екінші сөзбен айтқаңда, соңғы шыққан нәтижеден

1-ді шегеріп (33 - 1 = 32), шыққан санды 4-ке бөлу керек (32:4 = 8), бұл ойланған сан (8) болып табылады.Егер де сенде 25 шыққан болса, онда фокусшы ойша 25-1=24, 24:4 = 6 амалдарын. орындайды да, сенің-6-ны ойлағаныңды айтады.

Міне, көрдің бе, барлығы өте оңай: фокусшы ойланған санды табу үшін сенің айтатын нәтижеңмен не істеу керек екенін алдын ала біледі.

Сендер осыларды түсініп алып, таныстарыңды бұрынғыдан бетер таңырқатып әрі қайран қалдыруларыңа болады, бұл үшін оларға,әлгі ойланған санға өздерінің қалаған амалдарын, қолдануды ұсыныңдар. Сен танысыңа бір сан ойлауды және оған белгілі бір санды қосу немесе азайту (айталық: 2-ні қосу, 5-ті азайту т. с. с), белгілі бір санға (2-ге, 3-ке т. с с) көбейту, ойланған санды қосу немесе сол санға азайту амалдарын кез келген ретпен орындауды ұсынасың. Танысың сені шатастыру үшін амалдарды ұзарта түседі. Мысалы, ол 5 санын ойға ұстап (бұл санды сізге айтпайды) және амалдарды ойша орындай отырып, былай дейді:

- Мен бір сан ойладым, оны 2-ге көбейттім, нәтижеге 3-ті қостым, сонан соң ойланған санды қостым; мен енді 1-ді қостым, 2-ге көбейттім, ойланған санға азайттым, 3-ке азайттым тағы да ойланған санды азайттым, 2-ге азайттым. Мен ең соңында нәтижені 2-ге көбейттім және 3-ті қостым.

Сені осылайша әбден шатастырдым деп біліп, ол масаттанған түрмен саған:

- 49 шықты дейді.

Сен оны таңырқатып дереу оның ойға 5 санын жасырғанын айтасың.

Сен мұны қалай таптың? Енді бұл ете айқын. Танысың саған өзі ойлаған санға қолданатын амалдарын айтқан кезде, сен онымен бір мезгілде ойша х белгісізіне амал қолдан. Ол саған «Мен бір сан ойладым» дегенде, сен өзіңше «демек, х саны» деп біл. Ол: «... оны 2-ге көбейттім...» дегенге (ол шынында өзі ойлаған санын көбейтеді), сен өзіңше: «енді 2х» болды деп жалғастыр. Ол: «...нәтижеге 3-ті қостым...» дегенде, сен бірден 2х+3 болды деп жалғастыр. Ол сені әбден «шатастырып», жоғарыда айтылған амалдардың бәрін орындап болған соң, мына таблицада көрсетілгендей жайт шықса мұның сол жақ бағанында сенің танысың естіртіп айтатын амалдары, ал оң жақтағысында сенің ойша орындайтын амалдарың жазылған:

Сен ең ақырында ең соңғы нәтиженің 8х+9 екенін ойыңа ұстайсың. Енді ол: «49 шықты» дейді. Ал сенің ойыңда теңдеу дайын тұр: 8х + 9 = 49. Мұны шешу саған оп оңай, сен бірден оның 5 санын ойлағанын айтасың.

Бұл фокустың ерекше күшті әсер ету себебі, ойланған санға қолданылатын амалдарды сен емес, оларды сенің жолдасыңның өзінің «ойлап табуында».

Фокус іске аспайтын бір жағдай бар. Мысалы: егер бірнеше амал қолданылғаннан кейін өзіңде (ойша іштен есептегенде) х+14 теңдеуі шығып, ал жолдасың: «...мен енді ойлаған санға кеміттім, сонда 14 шықты» десе, онда өзің (х+14)- х=14 болатынын байқай отырып, шынында 14 шығатынын аңғарасың, ешқандай теңдеу шықпағандықтан өзің ойланған санды анықтай алмайсың. Мұндай жағдайда не істеу керек Былай істеңдер: өзің ойша есептеуіңде х белгісізі болмайтын нәтиже шыққанда, жолдасыңа: «Тоқтай қал! Мен енді ештеңе сұрамай-ақ сенің есептеуіңде 14 саны шыққанын айта алам»- деп, сөзін бөл. Бұл жайт танысыңды әбден таңырқатады - себебі ол өзіңе ештеңе айтқан жоқ емес пе!

Сен ойлаған санды біле алмағаныңмен,фокус өте әсерлі болып шығады!

Мысал келтірейік бұрынғыша сол жақ бағанда танысыңның айтқандары жазылған:

Осы сәтте, сенде 12 саны, яғни х белгісізі жоқ өрнек шыққан кезде, сен жолдасыңның сөзін бөліп, оның есептеуінде 12 санының шыққандығын айтасың.

Біраз жаттығып алып, танысыңа осындай «фокусты» оп-оңай керсете алатын боласың.

«Қисынсыз жору»

Мынау бір есеп мүлде мағынасыз болып көрінуі мүмкін:

Егер 8•8 = 54 болса, 84 неге тең?

Осы оғаш сұрақ онша мағынасыз емес, бұл есепті теңдеу құрып шығаруға болады.

Шешуі: Бәлкім, сендер есепке енген сандардың ондық санау системасында жазылмағандығын аңғарған боларсыңдар - әйтпесе «84 неге тең» деген сұрақ мағынасыз болған болар еді. Белгісіз санау системасының негізі х болсын. «84» саны бұл жағдайда екінші разрядтың 8 бірлігін және бірінші разрядтың 4 бірлігін көрсетеді, яғни

84 = 8х + 4.

«54» саны 5х + 4 екенін көрсетеді. 8•8 = 5х + 4 теңдеуі шығады, бұл ондық санау системасында

64 = 5х: + 4 болып жазылады, бұдан х=12. Сан он екілік санау системасында жазылған,

«84» == 8•12+4=100. Сонымен, егер 8•8=«54» болса, онда

«84» = 100.

Мына түрдегі есепте осыған ұқсас шығарылады: 5•6 = 33 болганда, 100 неге тең болады? Жауабы: 81 (тоғыздық санау системасы).

«Теңдеу біз үшін ойлайды».

Егер сендер теңдеудің кей кездерде біздің өзімізден гөрі алдын ала болжағыштығына күмәнданатын болсандар, мына есепті шығарып көріңдер.

Әкесі 32 жаста, баласы 5 жаста. Қанша жылдан кейін әкесінің жасы баласының жасынан 10 есе үлкен болады?

Ізделіп отырған мерзімді х арқылы белгілейік. х жыл өткен соң әкесі 32 + х, баласы 5+х жаста болады. Әкесінің жасы ол кезде баласының жасынан 10 есе үлкен болуы себепті, мынадай теңдеу шығады:

32+х=10(5+х).

Мұны шешіп, х=-2 болатынын табамыз.

«Минус 2 жылдан соң» деген «екі жыл бұрын» деген сөз. Біз теңдеу құрған кезімізде, болашақта ешқашан әкесінің жасы баласының жасынан 10 есе үлкен бола алмайтынын ескермегенбіз- ондай қатынас тек өткен уақытта ғана болуы мүмкін еді. Теңдеу бізден өткен ойлампаз болды және де өзіміз жіберіп алған ағаттықты ескертті.

«Қызықты, әрі тосын жағдайлар».

Біз кейде теңдеулерді шешу кезінде тәжірибесі аз математикті тұйыққа әкеп тірейтін жауапқа кезігеміз. Бірнеше мысал келтірейік.

I. Төмендегідей қасиеттері бар екі таңбалы санды табыңдар.

Ондық цифры бірлік цифрынан 4-ке кем. Егер сол цифрлармен, бірақ керісінше жазылған саннан ізделінді санды шегерсе, онда 27 шығады.

Ондықтар цифрын х арқылы, ал бірліктер цифрын у арқылы белгілеп, бұл есеп үшін мына теңдеулер системасын оп-оңай құрамыз:

х-тің бірінші теңдеудегі мәнін оның екінші теңдеудегі орнына қойып, мынаны табамыз: 10y + у−4−[10 у−4) y]=27,

осыны түрлендіргенімізде мынау шығады:

36 = 27.

Белгісіздердің мәндері анықталмағанымен, оның есесіне біз 36 = 27... болатынын білдік. Бұл не деген сөз?

Бұл - есепте қойылған шартты қанағаттандыратын екі таңбалы сан жоқ және құрылған теңдеулер бір-біріне қайшы - деген сөз.

Шынында да: бірінші теңдеудің екі жағын 9-ға көбейтіп, одан біз мынаны табамыз: 9y-9x = 36,

ал екінші теңдеуден (жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді біріктіргеннен соң) мынау шығады: 9y-9x = 27.

Бір ғана 9y-9x шамасы бірінші теңдеу бойынша 36-ға тең, ал екіншісі бойынша 27-ге тең. Бұлай болуы мүмкін емес, себебі 36≠27.

Төмендегі теңдеулер системасын шешкенде де осындай қателік кездеседі:

Бірінші теңдеуді екіншіге бөліп, мынаны табамыз: ху = 2,

осы .теңдеуді екінші теңдеумен салыстырсақ, мынаны байқаймыз:

яғни 4 = 2. Бұл теңдеулер системасын қанағаттандыратын сан жоқ. (Осы қарастырылып өткен теңдеулер системасы үйлесімсіз деп аталады.)

II. Егер алдыңғы есептің шартын біраз өзгертсек, біз басқа түрдегі тосын жағдайға тап боламыз.

Атап айтқанда, ондық цифр бірлік цифрдан 4-ке емес, 3-ке кем деп есептейміз, ал есептің өзге шартын бұрынғысын-ша қалдырамыз. Бұл қандай сан?

Теңдеу құрамыз. Егер ондық цифрды х арқылы белгілесек, онда бірлік цифр х + 3 өрнегі арқылы өрнектеледі. Есепті алгебра тіліне аударып, мына теңдеуді шығарып аламыз:

10(х + 3) + х− [10х + (х+3)] = 27.

Енді ықшамдасақ, мына теңдік шығады:

27 = 27.

Бұл теңдік сөзсіз тура, бірақ ол х-тің мәні туралы ештеңе білдірмейді. Бұл есептің талабын қанағаттандыратын сан жоқ деген сез бе?

Керісінше, бұл біз құрастырған теңдеудің теңбе-теңдік екенін білдіреді, яғни ол теңдеу х белгісіздің кез келген мәнінде тура. Шынында, бірлік цифры ондық цифрынан 3-ке артық болатын кез келген екі таңбалы санның осы есепте көрсетілгендей қасиеті бар екеніне оп-оңай көз жеткізуге

14 + 27 = 41, 47 + 27 = 74,

25 + 27 = 52, 58 + 27 = 85,

36+27 = 63, 69 + 27=96.

III. Төмендегідей қасиеттері бар үш таңбалы санды табыңдар:

1) ондық цифры 7;

2) жүздік цифры бірлік цифрынан 4-ке кем;

3) егер осы санның цифрлары кері ретпен орналастырылса, онда жаңа сан ізделіп отырған саннан 396-ға артық болады.

Бірлік цифрын х арқыльг белгілеп, теңдеу құрамыз:

100х + 70 + х−4−[100 (х−4) + 70 + х] = 396.

Бұл теңдеуді ықшамдағаннан соң, мынадай теңдік шығады:

396 = 396.

Оқырмандар бұған қалай түсінік беруді бұрыннан біледі. Бұл бірінші цифры үшінші цифрынан 4-ке кем кез келген үш таңбалы сан цифрларын кері ретпен орналастырғанда 396-ға артатынын білдіреді.

Біз осы кезге дейін аздыкөпті жасанды, кітаптық сипаты бар есептерді қарастырдық; сондағы мақсатымыз - теңдеулер құру мен шешуге дағдыландыру. Енді теория жүзінде түсінік алған соң енді өндіріс саласынан, тұрмыстан, әскери істен, спорттан алынған практикалық есептермен айналысамыз.

«Шаштаразда»

Алгебра шаштаразға керек бола ма? Мұндай жағдай кездеседі екен. Бұған менің көзім жетті, бір күні шаштаразда маған бір шебер тосын өтінішпен үн қатты:

- Біз шеше алмаған есепті шешуге көмектеспес пе екенсіз?

- Осы есепті шеше алмағандықтан қанша ерітіндіні бүлдіріп алдық десеңізші!- деп қостады екіншісі.

- Ол қандай есеп?- деп, мен мән-жайды сұрадым.

- Бізде сутегі асқын тотығының 30-проценттік және 3-проценттік екі ерітіндісі бар. Бұларды 12-проценттік ерітінді шығатындай етіп араластыру керек. Осының дұрыс пропорциясын таба алатын емеспіз...

Маған бір парақ қағаз берді, қажетті пропорция табылды.

Ол пропорция өте қарапайым екен. Атап айтқанда, ол қандай болды екен?

Шешуі:

Есепті арифметикалық әдіспен де шешуге болады, бірақ алгебра тілі бұл жерде мақсатқа оп-оңай әрі тез жеткізеді. 12-проценттік қоспа жасау үшін 3-прхоценттік ерітіндіден х грамм, ал 30-проценттік ерітіндіден у грамм алу керек болсын. Сонда бірінші пропорцияда таза сутегінің асқын тотығы 0,03х грамм, екіншіде 0,3у грамм болады, ал барлығы мынаған тең:

0,03х + 0,3y

Осының нәтижесінде (х + у) 'грамм ерітінді Шығады, мұндағы таза сутегінің асқын тотығы 0,12 {х + у) болуы керек.

Мынадай теңдеу шығады: 0,03х + 0,3y = 0,12(х + y).

Осы теңдеуден х = 2у болатынын табамыз, яғни 3-проценттік ерітіндіні, 30-проценттік ерітіндіге қарағанда, екі есе артық алу керек.

«Трамвай мен жаяу адам»

Мен трамвай жолын жағалап жүріп келе жатып, әрбір 12 минут сайын мені бір трамвай қуып жететінін, ал әрбір 4 минут сайын маған бір трамвай қарсы кезігетінін байқадым. Менің де, трамвайдың да жүрісі бір қалыпты.

Трамвай вагондары өздерінің ақырғы пункттерінен бірінен соң бірі қанша минуттан соң шығады?

Шешуі: Егер вагондар өздерінің ақырғы пункттерінен әрбір х минуттан соң шығатын болса, онда- менің трамвайдың бірімен жолығатын жеріме, х минуттан соң келесі трамвай келеді деген сөз. Егер ол мені қуып жететін болса, онда ол менің 12 минутта жүріп үлгеретін жолымды, қалған 12 - х минутта жүріп өтуі керек . Демек, менің 1 минутта жүретін жолымды трамвай минутта жүреді.

Егер де трамвай маған қарама-қарсы келе жатқан болса, онда ол менің алдыңғы трамвай жолыққаннан кейін 4 минут өткен соң кездестіреді, ал қалған (х-4) минутта ол менің осы 4 минутта жүріп үлгерген жолымды жүріп өтеді. Сондықтан менің 1 минутта жүретін жолымды трамвай

минутта жүреді..

Мынадай теңдеу шығады:

Бұдан х = 6. Вагондар ақырғы пункттен әрбір 6 минут сайын шығып отырады.

Есептің төмендегідей (дұрысында арифметикалық) шешуін ұсынуға болады. Бірінен соң бірі жүретін екі трамвайдың ара қашықтығын а арқылы белгілейік. Сонда мені мен маған қарсы келе жатқан трамвайдың ара қашықтығы бір минутта -ға кемиді (себебі қазір ғана кеткен трамвай мен келесі трамвайдың арақашықтығы а -ға тең, оны біз 4 минутта жүріп өтеміз). Егер де трамвай мені артымнан қуып жететін болса, онда біздің ара қашықтығымыз әр минут сайын -ға кемиді. Енді, мен бір минут алға карай, ал сонан соң кері қайтып бір минут жүрдім деп жориын (яғни, бастапқы орынға қайтып келем). Сонда алғашында маған қарсы келе жатқан трамвай мен менің аралығым бірінші минутта -ға, ал екшші минутта (бұл трамвай мені қуып жеткенде)

-ға кемитін болады.Осының нәтижесінде 2 минутта біздің ара қашықтығымыз

-ға кемиді. Егер де мен орнымнан тапжылмай тұра берген болсам да, дәл осылай болар еді, себебі мен бәрібір кері қайтып келдім ғой. Сонымен, егер де мен орнымнан қозғалмасам, онда бір минутта (екі минутта емес) трамвай маған -ға жақындай

түседі, ал барлық а қашықтықты ол 6 минутта жүріп өтеді. Бұл орнынан қозғалмай тұрған бақылаушының қасынан трамвай 6 минут сайын өтіп тұрады деген сөз.

«Пароход пен сал»

Пароход А қаласынан өзен ағысының төменгі жағында орналасқан В қаласына дейін (тоқтаусыз) 5 сағат жүзген. Пароход, кері қарай, ағысқа қарсы (әлгіндей меншікті жылдамдықпен әрі тоқтаусыз) 7 сағат жүзген. Сал А -дан В-ге дейін қанша сағат жүзеді (сал өзен ағысының жылдамдығындай жылдамдықпен қозғалады) ?

Шешуі: Пароходтың т ы н ы қ с у д а (яғни меншікті жылдамдығымен жүзгенде) А -дан 5-ге дейінгі ара қашықтықты жүзіп өтуге қажет уақытын (сағат есебімен) х арқылы, ал у арқылы - салдың жүзу уақытын белгілейік. Пароход бір сағатта АВ қашықтығының-бөлігін, ал сал (ағыспен) осы қашықтықтың бөлігін жүзіп өтеді. Сондықтан пароход өзенмен төмен қарай бір сағатта АВ қашықтығының бөлігін, ал жоғары қарай (ағысқа қарсы) бөлігін жүзеді. Біз есептің шартынан пароход өзенмен төмен қарай бір сағатта ара қашықтықтың бөлігін, жоғары қарай

- бөлігін жүзіп ететінін білеміз. Осыдан мына теңдеулер системасын құрамыз:

Осы жүйені шешу үшін бөлшектің белімінен арылудың керегі жоқ:

тек бірінші теңдеуден екінші теңдеуді шегеру керек екенін атап керсетеміз. Осының нәтижесінде біз мына теңдеуді шығарып аламыз:

бұдан у = 35. Сал А -дан В -ге дейін 35сағат жүзеді.

«Ойын-сауық кешінде»

Ойын-сауық кешінде 20 биші болған. Мария жеті жігітпен, Ольга сегіз жігітпен, Вера тоғыз жігітпен билеген, ал Нинаның өзі жігіттердің барлығымен билеген. Ойын-сауық кешінде қанша биші жігіт болған?

Ш ешуі:

Егер белгісізді сәтті таңдап алса, есеп өте оңай шешіледі. Биші жігіттердің саньн емес, биші қыздардың санын іздейміз, оны х арқылы белгілейік:

1- Мария 6+1 жігітпен биледі

2- Ольга 6+2 -»-

3- Вера 6 + 3 -»-

х- Нина 6 + х-»-

Мынадай теңдеу құрамыз: х+(6 +х) =20, бұдан х=7,

сондықтан биші жігіттердің саны: 20 - 7 = 13.

«Теңіздегі барлау»

Эскадра құрамында жүзіп келе жатқан барлаушыға (барлаушы корабльге) теңіздің эскадра жүзіп келе жатқан бағытындағы 70 миль ауданын тексеріп шығу тапсырылған. Эскадраның жылдамдығы сағатына 35 миль, барлаушының жылдамдығы сағатына 70 миль. Барлаушының қанша уақыттан соң эскадраға қайта оралып келетіндігін анықтау қажет.

Шешуі:

Ізделінді сағат санын х арқылы белгілейік. Осы уақытта эскадра 35х миль, ал барлаушы корабль 70х миль жүзіп үлгереді. Барлаушы алға қарай 70 миль және осы жолдың жартысындай жолды кері қарай жүзді, эскадра осы жолдың қалған бөлігін жүзді. Бұлардың екеуі топтасып 70х + 35х жол жүзді, бұл жол 2 • 70 мильге тең. Осыдан мынадай теңдеу құрамыз: .

70х-+35х = 140,

бұдан

сағат шығады. Барлаушы эскадраға 1 сағ. 20 минуттан соң қайтып оралды.

«Барлаушы»

Барлаушы кеме эскадраның жүзу бағытымен оның алдын барлауға бұйрық алған. Осы кеменің 3 сағаттан соң эскадраға қайтып оралуы қажет. Егер барлаушы кеменің жылдамдығы 60 узел, ал эскадраның жылдамдығы 40 узел болса, барлаушы кеме эскадраны қалдырып кеткен соң қанша уақыт өткенде кері қайтуға тиіс болған?

Шешуі:

Барлаушы кеме х сағат өткен соң кері қайтуға тиіс болсын; демек, ол эскадрадан х сағат алыстай түсті, ал оған қарай 3 - х сағат жүзді. Барлық корабльдер бір бағытта топтасып жүзіп келе жатқанда, барлаушы кеме х сағатта эскадрадан өздерінің жүзіп үлгерген жолдарының айырмасындай қашықтыққа алыстап үлгереді, яғни 60х - 40х = 20х қашықтыққа алыстайды.

Барлаушы кері қайтқанда эскадраға қарай 60(3-х) қашықтыққа, ал эскадраңың езі 40(3-х) қашықтыққа жузеді. Бұлардың екеуі 10х жолды топтасып жүзді. Сондықтан

60(3-х)+40(3-х)=20х

бұдан

х=.

Барлаушы кеме эскадраны қалдырып кеткенінен кейін 2 сағ 30 минут өткен соң жүзу бағытын кері бағытта езгеотуі қажет.

«Велодромда»

Велодромның айналма жолымен екі велосипедші бір қалыпты жылдамдықпен жүріп келеді. Егер олар қарама-қарсы бағытта жүретін болса , онда әрбір 10 секунд сайын бір-бірімен кездесетін болған; ал екеуі бір бағытта жүретін болса , онда олардың біреуі екіншісін әрбір 170 секунд сайын қуып жетіп отыратын болған. Егер айналма жолдың ұзындығы 170 м болса, әрбір велосипедшінің жылдамдығы қандай болған?

Ш ешуі:

Егер бірінші велосипедшінің жылдамдығы х болса, онда ол 10 секундта 10х метр жүреді. Екінші велосипедші бұған қарама-қарсы жүргенде, бір кездесуден екінші кездесуге дейін жолдың қалған бөлігін, яғни 170―10х метр жүреді. Егер екінші велосипедшінің жылдамдығы 58 у болса, онда бұл жол 10у метр болады; сөйтіп,

170- 10х=10у.

Егер де велосипедшілер бірінің соңынан бірі жүретін болса, онда 170 секундта бірінші велосипедші 170х метр, ал екінші - 170у метр жүреді. Егер бірінші велосипедші екіншіден жылдам жүретін болса, онда бір кездесуден екінщі кездесуге дейін ол, екінші велосипедшіге қарағанда, бір айналым жолды артық жүріп үлгереді, яғни

170х-170у=170.

Бұл теңдеулерді ықшамдағаннан соң мынау шығады:

х + у=17, х-у=1,

бұдан

х = 9, у= 8 секундына метр есебімен.

Ұлттық мазмұнды логикалық есептерді шешудің жолдары.

Математика пәніне қызығушылықты арттырудың негізгі бір жолы - ұлттық мазмұнды есептерді шығару. Жүйелі түрде ұлттық мазмұнды есептерді шығару ата-бабамыздан бізге жеткен баға жетпес байлығымыз, өткен күн мен бүгінгі өмірді байланыстырып, салыстыратын асыл қазынамыз. Ендеше, ұлтық мазмұнды есептерді шығару - бұл адамның ойлау қабілетін дамытып, логикасын жетілдіріп, тез ойлауға, алғырлыққа, тапқырлыққа тәрбиелеп, халқының өткен өміріне көз жібертеді.

Ұлттық мазмұнды логикалық есептерді шығару үшін:

1. Есептің шартымен танысып, оны элементар шарттарға ажыратып, қандай талаптар қойылғанын анықтап есепке толық талдау жасау;

2. Берілген есепті схема түрінде жазу;

3. Есепті шығару тәсілін іздеу;

4. Табылған тәсіл бойынша есепті шығару;

5. Есептің нәтижесін тексеру;

6. Есепті зерттеу;

7. Есептің жауабын тұжырымдау керек.

Мысалы-1 «Алты қанат киіз үйге екі мысық келіп кірді де, бірінші керегенің түбіне екеуі балалап, әрқайсасы алтыдан балалады. Олардың бәріде мысық болып өсті де, тағыда алты- алтыдан балалады, т.с.с. осылайша әр керегенің түбіне барып балалап шықты».Сонда киіз үйден неше мысық өсіп шығады?

1. Есепті талдау

а)Алты қанат киіз үй туралы түсінік.

ә) Мысықтардың өсімталдығы туралы

б) Әр кереге түбіне әрқайсысы алтыдан мысық шығаратыны туралы түсінік беру.

2. Есепті схема сурет түрінде жазу.

3. Шығару тәсілі - әр керегенің түбіне 6-дан балалайтын болғандықтан, әр керегедегі мысықтар санын 6-ға көбейту.

4. Есепті шығару: Әр керегедегі мысық саны.

12+72+432+2592+15552+93312=111972

5. Есептің нәтижесін тексеру:

2·6=12 432·6=2592

12·6=72 2592·6=15552

72·6=432 15552·6=93312

6. Есепті зерттеу: Әр керегеде мысықтар саны өсіп 6 есеге көбейіп отырады.

7. Есептің жауабы: алты қанат киіз үйден барлығы 111972 мысық өсіп шығады.

Мысалы-2 «Екі сегіз он алты, және сегіз, және алты жанап жүрген бір алты, қосындысы неше алты?»

Шешуі:2·8=16+8+6+6=36=6·6

Ұлттық мазмұнды есептер адамдарды аңғарымпаздыққа, алғырлыққа, ой ұшқырлыққа тәрбиелейді.

Ұлттық мазмұнды есептер шығаруда теңдеу құру арқылы шығаратын есептерді шығару алгоритмі:

1. Есептің құруға берілген есептерді шығару үшін;

2. Белгісіз шамаларды анықтау.

3. Теңдеу құру;

4. Теңдеуді шешу;

5. Теңдеудің шешімдерін зерттеу.

6. Есепті тексеру;

7. Есептің толық жауабын жазу, шарттарын орындау қажет.

Мысалы:

Тендеулер жүйесін құру тақырыбына: «Қаз бен түлкі» ертегісін оқи отырып, мына теңдеуді шешеміз:

«Түлкісін аярлыққа бермейтін дес,

Көрейін сенде қанша ақыл мен ес.

Балапан, көжек санын өзің тапшы

Аяқтарды 94, басы 35»

1. Есептің мәтінін түсіну.

Түлкінің айлакерлігі, қаздың ақылдылығы, балапанда- 2 аяқ,

көжекте -4 аяқ.

2. Теңдеу құру: Балапан саны - х.

Көжек саны - у

Балапанда 2 аяқ - 2х.

Көжекте 4 аяқ - 4х.

Сонда Теңдеулер жүйесі шығады.

3. Теңдеулер жүйесін шешу.

4. Теңдеудің шешімдерін зерттеу:

Балапан - 23

Көжек - 12

Бастарының саны 23 + 12 = 35

Аяқтарының саны 2·23+4·12=46+48=94

5. Есептің жауабы: 23 балапан, 12 көжек.

Олимпиадаға дайындалуға ұсынылатын логикалық есептер:

Мотоцикл жүргізушісі ауылға келе жатқанда жолдан өзіне қарсы үш жеңіл машина және бір камазды кездестірді. Ауылға неше машина

бара жатыр?

Жауабы: Бір ғана мотоцикл.

Ондық цифрлары бірліктер цифрларынан үлкен болатын қанша екі

таңбалы сан бар?

Жауабы: 45 сан

Кесіндінің әрқайсысында 4 нүктеден болатындай етіп, екі кесіндіде қанша нүктені орналастыруға болады?

Шешімі: Екі кесіндіні қиылыстырып, ортасына бір нүктені қоямыз.

Қалғандары сәйкесінше. 7 нүкте қоюға болады.

Есептеңіз. 99-97+95-93+91-92+...+7-5+3-1

Шешімі: 1 мен 99 сандарының арасында 50 тақ сан.

Тақ сандардың айрымын екі-екіден алсақ, 25 жұп бар. Айырымы 2-ге тең. 25 ^. 2 = 50

1-ден 81-ге дейінгі барлық натурал сандардың көбейтіндісі қандай цифрға аяқталады?

Шешімі: 0-ге, себебі кез келген санды 0 цифрымен аяқталатын санға

көбейткенде, 0-ге аяқталатын сан шығады.

4 қарындаш пен 3 жалпы дәптер 54 тг, 2 қарындаш пен 2 жалпы

дәптер 34 тг тұрады. 8 қарындаш пен 7 жалпы дәптер қанша тг тұрады?

Шешімі:

4қ+3жд=54

2қ+2жд=34 жүйе құрып, 1 қарындаш пен 1 жалпы дәптердің құнын тауып аламыз.

1к-3тг, 1жд-14

8к-24тг, 7жд-98тг

Шахмат турниріне 7 адам қатысты. Әркім әрқайсымен бір

партиядан ойнады. Барлық ойналған партиялар саны қанша?

Шешімі: 6+5+4+3+2+1=21 партия.

Тақ цифрлардың көмегімен жазылған қанша екі таңбалы сан бар?

Жауабы:1,3,5,7,9 цифрлары арқылы 20 сан

Үш метрлік 60 бөренелерді жарты метрден кесу керек болса, оларды неше рет кесу керек?

Шешімі:

бөлік

6 бөлікті алу үшін бөренені 5 рет кесеміз.

60 ^. 5=300 рет

Үйдің 1-ші қабатынан 3-ші қабатына көтерілу үшін 52 баспалдақты басып өту керек. Осы үйдің 1-ші қабатынан 6-шы қабатына көтерілу үшін қанша баспалдақты басып өту керек?

Шешімі:

52 : 2=26

26+26+26+52=130 баспалдақ.

Бір жылда ең көп дегенде неше жексенбі болуы мүмкін?

Жауабы: 53 жексенбі

Әкесі 27 жаста болғанда баласы 3 жаста болды. Ал казір баласының жасы әкесінің жасынан 3 есе кем. әрқайсының жасы нешеде?

Жауабы: 36;12.

Дүкенде 5 әртүрлі кесе және 3 әртүрлі тәрелке бар. Неше әдіспен

1 тәрелке мен 1 кесені сатып алуға болады?

Шешімі: 5 ^. 3=15

Дүкенде 4 әртүрлі қасық, 5 әртүрлі кесе, 3 әртүрлі тәрелке бар. Неше әдіспен 1тәрелке, 1 қасық және 1 кесені сатып алуға болады?

Шешімі: 4 ^. 5 ^. 3 = 60

Ғажайып елде А,Б,В деген 3 қала бар. А қаласынан Б қаласына 6 жол, ал Б қаласынан В қаласына 4 жол апарады.

Неше тәсілмен А қаласынан В қаласына жетуге болады?

Шешімі: 6 ^. 4 = 24

Тиынды 3 рет лақтырады. Оның тізбектелген әртүрлі цифр және

елтаңба жағы қанша рет түседі?

Жауабы: 23 рет.

1 кг, 2 кг, 3 кг, ....., 53 кг, 54 кг гиртастарын салмақтары бірдей

болатын үш үйіндіге бөл.

Шешімі: Гаусс әдісі: 1+2+3+...+52+53+54=27 ^. 55=1485

1485 : 3 = 495

5-ке бөлгенде қалдығы 4, 7-ге бөлгенде қалдығы 6, 9-ға бөлгенде

қалдығы 8-ге тең болатын ең кіші натурал санды тап.

Шешімі: Егер бұл сан 1-ге үлкен болса, ол 5,7,9-ға да бөлінетін болады. 5,7,9-дың ең кіші ортақ еселігі: 315. 1-ді алып тастасақ 314 шығады.

555555 саны 3 пен 5-ке бөлінеді ме?

Шешімі: бөлінеді, себебі:

1) 5-ке аяқталады - 5-ке бөлінеді.

2) цифрларының қосындысы 3-ке бөлінеді - 3-ке бөлінеді.

Бір елде 20 қала бар. Оның әрқайсысы бір-бірімен желі байланыста жұмыс жасайды. Бұл елде неше желі байланыс бар?

Шешімі:19+18+17+....+3+2+1=190

Поштада 5 әртүрлі конверт және 4 әртүрлі марка сатылады. Неше

тәсілмен 1 конверт пен 1 марка сатып алуға болады?

Шешімі: 5 ^. 4 = 20

Егер кез келген хатты кез келген курьерге бере алатын болсақ,

әртүрлі 6 хатты 3 курьер арқылы поштаға неше тәсілмен жіберуге

болады?

Шешімі: 3 ^. 3 ^. 3 ^. 3 ^. 3 ^. 3=729

Тақтада 7 зат есім, 5 етістік, 2 сын есім жазылып тұр. Сөйлем құрау үшін әр сөз табынан бір сөзден алу керек. Мұны неше тәсілмен жүзеге асыруға болады?

Шешімі: 7 ^. 5 ^. 2 = 70

10 оқушы олимпиадада 35 есеп шығарды. Олардың арасында тек бір есеп, тек екі есеп, тек үш есеп шығарған оқушылар бар. Солардың ішінде бес есеп шығарған оқушы бар екенін дәлелдеңіз.

Шешімі: Дирихле принципі: Егер n клеткаға n+1 қоян отырғызсақ, бір

клеткада кем дегенде 2 қоян бар болады.

1. қоян рөлі

2. клетка рөлі

3. отырғызу реті

4. жауабы

1+2+3=6 35-6=29 (есеп) 10-3=7 (оқушы)

1. есептер саны

2. оқушылар саны

3. шығарған есептер санына қарай

4. a=bc+r 29=7 ^. 4+1

Мұғалім оқушыларға 415327 және 8373 сандарының көбейтіндісін табуды берді. Жәнібек есепті бірінші орындап, жауабы 328363624 деді.

- Бұл қате, - деді Алишер.

- Неге, сен әлі шығарған жоқсын ғой, -деп Жәнібек ашуланды.

- Сонда да оның қате екенін көріп тұрмын, -деді Алишер.

- Кімдікі дұрыс?

Шешімі: Жәнібек дұрыс айтты.

1)Соңғы цифралардың көбейтіндісі бірге аяқталуы керек.

2)Екі тақ санның көбейтіндісі тақ санға аяқталуы керек.

Ауылда 100 адам тұрады. Әр күн сайын олар үш-үштен ауылды

күзетуге шығады. Біраз уақыт өткен соң, олар бір-бірімен бір рет ғана

күзетке шыққан болуы мүмкін бе?

Шешімі: Жоқ.

Бір адамды алсақ ол екі адаммен күзетке шығады. Онда қалғандарын

жұптарға бөлейік: (1+1) - жұптар саны - 49.

1+ (1+1) + (1+1)+ (1+1)+ (1+1)+...+ (1+1)+ (1+1)+1=100

Бір адам 49жұппен күзетке кезек-кезек шығады, сонда 1 адам артық қалады.Ол адаммен күзетке шығу үшін үшінші бір адам керек. Оны 49 жұптың арасынан ғана ала аламыз. 49 жұптың арасынан бір адамды алсақ, онда ол күзетке екінші рет шығатын болады.

Әділ тақтаға екі сан жазды. Мейрамбек олардың қосындасын қасына жазды. Жәнібек тақтадағы үш санын қосты. Егер Мейрамбектің жазған саны бес болса, Жәнібек тапқан қосынды нешеге тең?

Жауабы: 5+5+10=20

Үстел үстінде үш стакан шие тұр. Марат бір стакан шиені жеп қойды.Неше стакан қалды?

Жауабы: үш стакан.

Жүгіру жарысынан Асет, Марат, Талғат үш орынды алды, егер:

Марат екінші орын алмаса, ал Талғат -үшінші орын алмаса, кім

қандай орын алды?

Жауабы: 1-Марат, 2-Асет, 3-Талғат.

Бес шырпы таяқшасынан екі үшбұрыш құру керек. Құраңдар. Көшеде екі әкесі, екі баласы, және атасы немересімен қыдырып жүр. Көшеде неше адам жүр?

Жауабы: үшеу.

Екі бала шахматты екі сағат ойнады. Олардың әрқайсысы неше сағат ойлады?

Жауабы: екі сағат.

Допты лақтырғанда, доп сол ізімен кері қайту үшін оны қалай

лақтыру керек?

Жауабы: жоғары.

Қараңғы бөлмеде майшам мен керосин лампасы бар. Бірінші не

жағасыз?

Жауабы: шырпы.

Суға қай кезде қолды кесіп алуға болады?

Жауабы: егер оны мұз етіп қатырса.

Үш литрлік және бес литрлік суды қалай өлшеуге болады?

Жауабы: 3+3=6 6-5=1 3+1=4л.

Бес гномға үш қызыл және төрт көк капюшонды көрсетеді.

Қараңғыда үш қызыл және екі көк капюшонды гномдардың

бастарына кигізеді. Қалған капюшондар жасырылады. Жарық

жағылады. Гномдардың қайсылары өз бастарындағы капюшонның

түсін таба алады?

Шешімі: екі көк түсті капюшон киген гномдар таба алады. Себебі көк

капюшон киген гном алдында үш қызыл және бір көк капюшон киген

гномдар түрады. Ал қызыл капюшон саны үш, қалғаны көк. Сондықтан өз басындағы да көк.

Үш гном бар. Сол үш гномға үш қызыл және үш көк капюшонды көрсетеді. Қараңғыда үшеуіне екі қызыл және бір көк капюшонды кигізіп, қалғандарын жасырады. Гномдардың қайсысы өз басындағы капюшоның түсін таба алады?

Жауабы: ешқайсысы.

Үш оқушы үш мектептен лагерге келді. Тәрбиеші олардан кім қай мектептен келгендерін сұрады. Оған: Бейбіт: мен 24-шы мектепте, ал Айдын 8-ші мектепте оқиды. Айдын Мен 24-ші мектепте, ал Бейбіт 30-шы мектепте оқиды. Диас: Мен 24-ші мектепте, ал Бейбіт 8-ші мектепте оқиды деді. Тәрбиеші мына жауаптардан түк түсінбеді. Сосын үш оқушы айтқандарының бірі ғана дұрыс екенін мойындады, ал екеуі өтірік деді. Оқушылардың айтқандарының қайсы рас, қайсы жалған? Кім қай мектепте оқиды?

Шешуі: Бейбіттің бірінші айтқанын дұрыс деп алайық, онда екіншісі өтірік. Онда, Айдын 8 мектепте оқиды. Онда Айдын мен Диастың бірінші айтқаны өтірік. Онда олардың бірінші айтқандары рас болу керек. Қарама-қайшылыққа әкеледі. Енді Бейбіттің екінші айтқаны рас деп алайық. Онда Айдын 24-те оқымайды. Бейбіт 30-да оқыса, онда ол 8-де оқымайды. Бейбіт 30-да, Айдын 8-де, Диас 24-те оқиды.

Он екі литрлік бөшкеде сусын бар, соны сегіз литрлік және үш литрлік екіге тең қалай бөлуге болады?

Шешімі:

12 - 3 = 9

9 - 3 = 6

6=6

10 литрлік бөшкеде су бар және 7 литрлік, 2 литрлік бос ыдыстар

бар. Екі ыдысқа 5 литрден суды қалай тең бөлуге болады?

Шешімі:

10 - 7 =3

7 - 2 =5

2 + 3 =5

Тоғыз литрлік және төрт литрлік екі ыдыс берілген. Осы

ыдыстардың көмегімен бактан алты литр суды қалай алуға болады?

(суды бакқа қайта құюға болады)

Шешімі:

9-4-4=1

9-4=5 5+1=6

8 л, 5 л, 3 л ыдыстар берілсін. 8 л ыдыс суға толы. Енді осы суды екі ыдысқа 4 литрден қалай тең бөлуге болады?

Шешімі:

8-5=3

5-3=2

3+3=6

6-2=4

Ойлаған санға бірді қостым, қосындыны еіге көбейттім.

Көбейтінідіні төртке бөлдім. Бөліндіден үшті азайттым. Бір шықты.

Мен қандай сан ойладым?

Шешімі:

(((x+1) ^. 2): 4) - 3 = 1

Логикалық тест тапсырмалары

1. Арыстан бір қойды 2 сағатта, қасқыр 3 сағатта, ал ит 6 сағатта жей алады. Олар барлығы жабылып осы қойды қанша сағатта жейді.

А) 1

В) 2

С) 3

D) 1,5

Е) 2,5

2. Сандар белгілі бір заңдылықпен орналасқан. Сұрақ белгісінің орнына сәйкес келетін санды табыңыз: 1; 3; 7; 13; 21;...?
   А) 23

В) 29

С) 31

D) 37

Е) 43

3. Сатының 21 баспалдағы бар. Қанат пен Жанат осы баспалдақтарды санайды: біреуі төменнен жоғарыға, біреуі жоғарыдан төменге дейін. Олар Қанаттың оныншы деп атаған баспалдағында кездеседі. Бұл баспалдаққа Жанат қандай нөмір береді?
   А) 13

В)14

С) 11

D) 12

Е) 10

4. Берілген шартқа байланысты сұрақ белгісінің орнына сәйкес келетін санды табыңыз:
   
   -=2 + =9 -=3 +=?
   
   А) 4

В) 5

С) 6

D) 7

Е) 8

5. Бір қалаға 100 турист келді. Олардың 10-ы неміс тілін де, француз тілін де білмейді. 75 адам неміс тілін біледі, 83 адам француз тілін біледі. Неше турист осы екі тілдің екеуін де біледі?

А) 47

В)58

С) 63

D) 68

Е) 72

6. Фигуралар сандармен белгіленген болса, онда төмендегі суретке қай жауап сәйкес келеді?
   

А) 338

В) 331

С) 113

D) 881

Е) 338

131 838 383 313 181
388 811 188 811 311

7. 2а санының 4% -нің 9%-і а санының 5%-інің неше процентін құрайтынын анықтаңыз.
   А) 16%

В)22,4%

С) 14,4%

D) 4,8%

Е) 9,6%

8. Қара, жара, жоба, қора, қожа сөздеріндегі әріптер белгілі бір сандармен белгіленген. Жоба сөзінің сандық белгісін тап.
   А) 5373

В)4373

С) 5173

D) 5143

Е) 4163

9. Әріптерінің орнына 0 мен 9 арасындағы цифрлар қойып, С-ның орнына қандай цифр сәйкес келетінін анықтаңыз:
   А2С -
   С2А
   С96

А) 7

В) 3

С) 5

D) 4

Е) 2

10. Дөңгелекті үш түзу арқылы ең көп дегенде неше бөлікке бөлуге болатынын тап:

А) 4

В) 5

С) 6

D) 7

Е) 8

11. Күзетші 4 күн жұмыс істеп, бесінші күні дем алады. Ол жексенбі күні дем алып, дүйсенбі күні жұмысқа шығатыны белгілі. Қанша күннен кейін оның демалысы тағы да жексенбіге түседі?

А) 30

В) 36

С) 33

D) 44

Е) 35

12. Төмендегі өлшемі 4 х 2 кестені толтыру ережесі мынадай: бірінші жолға кез келген екі сан жаза аламыз; әрбір келесі жолға оның үстіндегі жолдағы сандардың қосындысы мен айырмасын жазамыз. Өлшемі 7 х 2 кестені осы ережемен толтырғанда соңғы жолда 96 мен 64 сандары шықты. Осы кестенің бірінші жолындағы сандардың қосындысын анықта.

10

3

13

7

20

6

26

14

А) 20

В) 26

С) 28

D) 30

Е) 21

13. Қазір қызы 8 жаста, ал шешесі 38 жаста. Қанша жылдан кейін шешесінің жасы қызының жасынан үш есе үлкен болады?

А) 17

В) 9

С) 5

D) 7

Е) 12

14. Үш таңбалы екі санды қосқанда оқушы мынадай қате жіберді: бірінші санның ондығын көрсететін 8 цифрын 3 деп, ал екінші санның бірлігіндегі 3-ті 8 деп шатастырып, қосындыда 713 санын шығарды. Қосындының дұрыс мәнін табыңыз:

А) 709

В) 724

С) 745

D) 758

Е) 761

15. Сұрақ белгісінің орнына қандай сан сәйкес келетінін анықтаңыз:
    8 9 6 8 5 9
    27 42 ?
    5 6 3 7 4 8

А) 12

В) 13

С) 15

D) 22

Е) 39

16. Квадрат дәрежеге шығарғанда
    
    

А) сан әрқашан артады

В) сан әрқашан кемиді

С) сан әрқашан өзгереді

D) тек біреуінен басқа барлық сандар өзгереді

Е) тек екеуінен басқа барлық сандар өзгереді

17. Сұрақ белгісінің орнына қандай сан сәйкес келетінін анықтаңыз:
    
    12 7 8
    
    608 35 12 48 15

А) 25

В) 12

С) 32

D) 40

Е) 61

18. Құрбақа тереңдігі 50м құдыққа түсіп кетті. Бір күнде ол 18 м жоғары көтеріледі де, сонан кейін 12 м төмен түседі. Сол орнында келесі күнге дейін қалады. Келесі күні де осы қайталанады. Құрбақа неше күннен кейін құдықтан шығады?

А) 8

В) 7

С) 9

D) 6

Е) 10

19. Сандар белгілі бір заңдылықпен орналасқан. Сұрақ белгісінің орнына сәйкес келетін санды табыңыз
    

= 425 = 4964 = 94 = 811

=?

А) 169

В) 649

С) 86

D) 916

Е) 129

20. 2-ге, 3-ке, 4-ке, 5-ке, 6-ға бөлгенде 1 қалдық қалатын 7-ге қалдықсыз бөлінетін ең кіші натурал санды табыңыз.

А) 151

В) 281

С) 301

D) 421

Е) 241

21. Квадраттың төбелерін қосатын АВ кесіндісінің ұзындығын табыңыз, егер әр квадраттың қабырғалары 1-ге тең болса.

А) 5

В)

С)

D)

Е) басқа жауап

22. Том мен Джерриде бірдей тіктөртбұрыштан бар. Том өзіндегі тіктөртбұрышты әрқайсысының периметрі 40см болатындай екі тіктөртбұрышқа бөлді, ал Джерри әрқайсысысының периметрі 50см болатындай екі тіктөртбұрышқа бөлді. Бастапқыда тіктөртбұрыштардың периметрі қандай еді?

А) 40см

В) 50см

С) 60см

D) 80см

Е) 90см

23. Тең бүйірлі АВС үшбұрышының (СА=СВ) АВ қабырғасында D нүктесі белгіленген, сонда АD=АС және DВ= DС. АСВ бұрышының шамасын табыңыз.
    
    С
    
    А D В
    
    
    

А) 98⁰

В) 100⁰

С) 104⁰

D) 108⁰

Е) 110⁰

24. Тіктөртбұрышқа радиусы 6 см 4 бірдей шеңбер суретте көрсетілгендей (көршілес шеңберлер бірімен-бірі жанасады) іштей сызылған. PQR үшбұрышының ауданын табыңыз, мұндағы R және Q нүктелері суретте көрсетілгендей шеңберлердің екеуінің тіктөртбұрыш қабырғаларымен жанасу нүктелері, P - оның бір төбесі. QP

Q
R

А) 27 см²

В) 45 см²

С) 54 см²

D) 108 см²

Е) 180 см²

25. Түзудің бойында қандай да бір тәртіппен А, В, С, D нүктелері белгіленген. AB=13см, BC=11см, CD=14см, DA=12см екені белгілі. Осы нүктелердің арасынан бір-бірінен ең алыс екі нүктенің қашықтығын табыңыз.

А) 14см

В) 38см

С) 50см

D) 25см

Е) басқа жауап

Математикалық логика дағдысын қалыптастырудың

5 - 7 сыныптар бойынша көрсеткіші

Зерттеу нәтижелерінің тұжырымдары

Логикалық тапсырмалар арқылы:

Логикалық ойлау:

Логикалық тапсырмалар түрлері:

Күтілетін нәтиже:

• Есептердің себебі мен салдарын айқындай білу, дәстүрлі емес есептердің шығару жолын жүйелей білу.

• Есептерді құрастыру, өзін-өзі тексеру, өзін-өзі бағалау, логикалық есептерді жылдам есептеу және есепті шығару жолының ретін сақтау.

• Математиканың өмірмен байланысын анықтау, есептерін шығарудағы маңызды орнын түсінуі керек.

• Берілген есепті классификациялау, қарапайым есептерді құрастыру.

• Логикалық есептерді әртүрлі тәсілдермен шеше білу.
  

• Мүмкін варианттарды графтар, схемалар және кестелер арқылы таңдау.
  
  

• Алған білімдерін практикалық есептерді шығаруда пайдалана білу.

• Берілген құрал бойынша есептердің негізгі тақырыптарына сандар теориясы,ойын теориясы, мәтіндік есептерді шығару, логикалық есептер, кесте, граф бойынша берілетін есептер енгізілген.

Сонымен қатар қалалық, облыстық, республикалық және халықаралық олимпиада есептерін шығару жолдары да кездеседі.

Қорытынды:

Қазіргі кезде математикалық логиканың алатын орны зор. Математикалық логика - баланың интелектісін, дербес ойлауын, шапшаңдылығын, жан -жақты ойлауын, зеректілігін дамытуға бағытталған. Математикалық логиканы жоғары деңгейде білу көп еңбекпен келуі қажет. Сондықтан логика көп ізденісті, ойлауды талап етеді. Әр түрлі логикалық есептерді шешуді жүзеге асыруда мүмкіндіктерді есептеудің тәсілдерін көрсету.

Қазақ халқының математикалық білімінің тамыры терең. Ол қазіргі тілмен алғанда санаудың әртүрлі жүйесін, мәселен үштік, ондық, тоғыздық пайдаланған. Тоғыздық жүйе ешбір халықта кездеспейді. Қазақтың мұра есебі - Симплекс әдісіне келсе, мүшел есебі, зекет есебі, бітір есебі, тоғыз құмалақ есебі - өз алдына бір төбе. Қазақтың қара есебі өмір қажеттілігінен туындаған. Қазақ халқының тәрбиесінің математикалық астары да түрліше.Олар: Жұмбақ есеп, Өлең есеп, Ертегі есеп. Ғасырлар бойы даналығымен, өміршеңдігімен дәлелденген халықтық есептер үлгілері - тәрбиенің қайнар көзі болып табылады. Қанша уақыт өтсе де маңызын жоймаған халықтың ұлттық мұрасын тәлім-тәрбиенің түп қазығына айналдыру - біздің де асыл борышымыз. Сондықтан халқымыздың ауыз әдебиетінде, ертегілерде, шешендік тапқыр сөздерінде, салт-дәстүрінде оқушылардың ақыл-ой зердесін тәрбиелеуде ұлттық мазмұнды есептер шығарудың маңызы зор.

Әр баланың мақсаты - өзінің білім деңгейін көтеру, сабаққа деген қызығушылығын арттыру, іздену. Осы мақсатты іске асыру барысында «Математикалық логика әлемі» таңдаулы курсты игерумен қатар, кең ауқымды есептерді шешуді зерттеу, ойлау қабілеттерін машықтандыруды көздедім.

Бұны іске асырудың бір жолы қызықтыратын тапсырмалар таңдай білу. Ойлау барысында оқушылардың жұмыс істеу мүмкіндігі, көңіл қоя білу қабілеті дамыды. Математиканың сан алуан сырын, сандар әлемінің қызық құбылысын, ойлау элементтерімен өрнектеген курс қызықты, әрі ұтымды. Курста жүргізілетін жұмыстар қарапайымнан басталып, біртіндеп қиындап, танымдық қызметін белсендіруге назар аударылады.

Сондықтан да бұл таңдаулы курс келешекте менің әріптестеріме өз білімдерін тереңдетуіне көмектесетіне сенімдімін.

5-7 сыныптар

Аптасына 1 рет,барлығы 34 сағат.

Р/с

Тақырыбы

Сағат саны

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

Логикалық есептерді теңдеу құру арқылы шешу.

Ойдағы санды табу.

Қызықты әрі тосын жағдайлар.

Ұлттық мазмұнды логикалық есептер.

Қазақтың мұра есебі.

Қазақтың қара есебі.

Ертегі есептер.

Жұмбақ есептер.

Ребус, сөзжұмбақтар

Анограмма

Сиқырлы шаршылар

Геометриялық есептер

Логикалық есептерді әртүрлі тәсілдермен шешу.

Кесте, граф бойынша берілген есептер

Қиынырақ есептерді шешу.

Олимпиадаға дайындалуға ұсынылатын логикалық есептер

Логикалық тест тапсырмалары

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

3

2

2

3

1

Қолданылған әдебиеттер:

1. Е.И.Игнатьев «В царстве смекалки» 1987 жыл

2. Б.А.Кардемский «Математическая смекалка»

3. Л.Л. Босова «Занимательные задачи по информатике» 2005 жыл, «Бином» баспасы.

4. И.Г.Сухина "Весёлая математика:1500 головоломок для математических олимпиад, уроков, досуга:1-7 класс «Сфера»,
   2003 жыл.

5. Генкин, С.А. Итенберг, И.В. Фомин, Д.В. Ленинградские математические кружки. Киров, изд. "АСА", 1994. - 272 с.

6. Жаупова, Л.К. Матемаикалық қобдиша. Алматы: Дарын, 2004.

7. Крысин, А.Я. Руденко В.Н. және басқалар. 5-6 сыныптарға арналған матемтикалық ізденіс себептері. М.: Просвещение, 1979.

8. Нечаев, В.И. Элементы криптографии. М.: Выш. шк., 1999. - 109 с.

9. 1-сентября. - 2007-2008. - № 17-27.

10. Математика және физика журналдары.

11. С. Ерубаев «Қазақтың байырғы есептері»

12. Н.Н.Забежанская «Математикалық мозайка»

13. Ж.А.Елшебай «Зерек» Алматы 1991ж.

14. Т.А.Алдамуратова. Математика 5-сынып

15. П.Я.Депман, Н.Я.Виленкин За старницами учебника математики. М:»Просвещение» 1989г.

16. Игнатьев П.И. «В царстве смекалки» 1984г.

17. Математика в школе. Рубрика «Математический календарь» 1985г.

18. Ю.Глейзер Г.И. «История математики в школе» 1983г.