Статья Математические этюды. 11. Площади фигур

Площади фигур

(метод исчерпывания)

ЕВКЛИД, древнегреческий математик. Работал в Александрии в 3 в. до н. э. Главный труд «Начала» (15 книг), содержащий основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики. Работы по астрономии, оптике, теории музыки.

МЕТОД ИСЧЕРПЫВАНИЯ - метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объемов. В 12-й книге «Начал» Евклида с помощью метода исчерпывания Евдокса доказываются теоремы, относящиеся к площади круга и объему шара, выводятся отношения объемов пирамид, конусов, призм и цилиндров.

* * *

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. Легко посчитать площадь фигуры, разбивающейся на несколько квадратов. А чему равна площадь фигуры, ограниченной произвольной кривой?

Наложим на изучаемую фигуру квадратную сетку.

Покрасим в желтый цвет квадраты, которые хотя бы частично пересекаются с фигурой. Чтобы зрительно увидеть и подсчитать площадь, занимаемую желтыми квадратами, сложим из них прямоугольник. Очевидно, что величина, которую мы хотим назвать площадью изучаемой фигуры, меньше площади этого желтого прямоугольника.

В синий цвет покрасим те квадраты, которые полностью лежат внутри нашей фигуры. Таких квадратов набралось, конечно, меньше, чем желтых. Выложим и из них прямоугольник. Площадь нашей фигуры больше площади этого синего прямоугольника.

Итак, то, что мы хотим назвать площадью изучаемой фигуры больше площади синего прямоугольника и меньше площади желтого. Но площади этих двух прямоугольников сильно различаются, и пока мы плохо представляем, какова же искомая площадь.

Для того чтобы получить более точные нижнюю и верхнюю границы искомой величины, рассмотрим сеточку из более маленьких квадратов. Повторим предыдущие действия. В желтый покрасим те квадраты, которые хотя бы частью пересекаются с фигурой. В синий - те, которые полностью лежат внутри фигуры. Снова площадь фигуры больше площади синего прямоугольника и меньше площади желтого. Но в этот раз, взяв более мелкую сетку, мы получили более точные границы.

Рассматривая еще более мелкую сетку, мы получим еще более точные верхнюю и нижнюю границы площади изучаемой фигуры.

Будем продолжать уменьшать ячейки сетки, делая их все мельче и мельче так, чтобы сторона квадратиков, из которых она составлена, стремилась к нулю. Абстрагировавшись от реальности, в математической модели считается, что делать квадратики можно сколь угодно маленького размера. Тогда, как говорят, в пределе, желтый и синий многоугольники окажутся равными. Рассмотрим прямоугольник, составленный из половинок синего и желтого прямоугольников (можно было рассмотреть и любой из них).

Площадью изучаемой фигуры по определению называется площадь двуцветного прямоугольника.

* * *

В жизни бывают случаи, когда необходимо приближенно определить площадь фигуры. При этом посчитанная площадь должна отличаться от настоящей не больше чем на некоторую заданную величину. Для решения этой задачи необходимо взять сетку из таких квадратиков, чтобы разница между площадями желтого и синего прямоугольников не превосходила удвоенной заданной величины погрешности. Тогда за площадь изучаемой фигуры нужно взять число, равное сумме площадей желтого и синего прямоугольников, поделенной пополам.

Литература

1. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия. Электронное издание. 2001.

2. Математические этюды. Etudes ru local v 110. Электронная версия. 2005.

3. Наглядная геометрия. Уч.пособие для 5-6 классов. М., Дрофа. 2002.