Решение задач на сплавы, смеси и растворы

Решение задач на сплавы, смеси и растворы Рассмотрим  условия разнообразных задач на сплавы, смеси и растворы. Конечно, на первый взгляд, эти условия сильно отличаются друг от друга. №1     Имелось два сплава серебра. Процент содержания серебра в первом сплаве был на 25% выше, чем во втором. Когда сплавили их вместе, то получили сплав, содержащий 30% серебра. Определить веса сплавов, если известно, что серебра в первом сплаве было 4 кг, а во втором 8 кг. №2     Имеется два сплава золота и серебра. В  одном количество этих металлов наход...
Раздел Математика
Класс -
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

14

Решение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворы.

Гасинов Батраз

РСО - Алания, г. Владикавказ

МОУ СОШ № 46 имени И.М. Дзусова, 7 класс

Рассмотрим условия разнообразных задач на сплавы, смеси и растворы. Конечно, на первый взгляд, эти условия сильно отличаются друг от друга.

№1 Имелось два сплава серебра. Процент содержания серебра в первом сплаве был на 25% выше, чем во втором. Когда сплавили их вместе, то получили сплав, содержащий 30% серебра. Определить веса сплавов, если известно, что серебра в первом сплаве было 4 кг, а во втором 8 кг.

№2 Имеется два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1:9, а в другим - 2:3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золото и серебро относились бы как 1:4?

№3 Проценты содержания (по весу) спирта в трех растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в весовом отношении 2:3:4 , то получится раствор, содержащий 32% спирта. Если же смешать их в весовом отношении 3:2:1, то получится раствор, содержащий 32%. Сколько процентов спирта содержит каждый раствор?

№4 Имеются три сплава. Первый сплав содержит 10% золота, 40% серебра и 50% меди, второй - 20% серебра и 80% меди, третий - 20% золота, 30% серебра и 50% меди. Сплавив их, получили сплав, содержащий 5% золота. Какое наибольшее и наименьшее процентное содержание серебра может быть в этом сплаве?

№5 К раствору, содержащему 30г соли, добавили 400г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10%. Найти первоначальную концентрацию соли в растворе.

№6 Смешали 30% и 5% растворы соли с 500г воды и получили 1000г 10% раствора соли. Найти массы двух растворов соли, слитых в общий раствор.

Если решать такие задачи, используя каждый раз смысл процентного содержания компонента в сплаве, в смеси или в растворе, то решение получается достаточно трудоёмким.

Решение задач данного типа получается намного проще, если установить некоторые общие подходы в этих решениях.

А для этого рассмотрим следующие две задачи.

Задача №1.

Смешали m1 граммов a1% раствора кислоты c m2 граммами a2% раствора той же кислоты и получили с % раствор. Установите, что изменения концентраций в вступающих долях обратно пропорциональны массам соответствующих долей.

Доказательство.

Пусть a1.> a2 , тогда a1.>с > a2 .

Значит, нужно доказать равенство Решение задач на сплавы, смеси и растворы=Решение задач на сплавы, смеси и растворы.

Для этого используем смысл концентрации.

Найдем массу концентрированной кислоты в каждое из смешиваемых растворов.

a1% от m1 г,

Решение задач на сплавы, смеси и растворыот m1 г; Решение задач на сплавы, смеси и растворыm1 г - содержится в первом растворе.

a2% от m2 г,

Решение задач на сплавы, смеси и растворыот m2 г; Решение задач на сплавы, смеси и растворыm2 г - содержится во втором растворе.

Тогда в смешанном растворе масса концентрированной кислоты будет:

Решение задач на сплавы, смеси и растворы(г).

Так как m1+m2 есть масса смеси, то c = Решение задач на сплавы, смеси и растворы%=Решение задач на сплавы, смеси и растворы%.

найдем изменения концентраций в вступающих долях.

a1- c=Решение задач на сплавы, смеси и растворы

Решение задач на сплавы, смеси и растворы.

Найдем теперь отношение полученных изменений концентраций.

Решение задач на сплавы, смеси и растворы, то есть Решение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворы. Что и требовалось доказать.

Для использования этой пропорции к решению задач удобна следующая схема:

а1 % (m1 г) (а1-с) %

с %

а2 % (m2 г ) (с-а2) % ,

заполнение, которой облегчает ход решения.

Перейдем к более сложным сплавам.

Задача № 2. Имеются три сплава меди и цинка. Процент содержания меди в первом сплаве с массой m1 кг равен а1 %, во втором сплаве с массой m2 кг содержится а2 % меди, в третьем массой m3 кг - а3 % меди. Найдите процентное содержание меди в сплаве, полученном из этих трех сплавов.

Решение. Представим, что вначале сплавили два первых сплава. Условимся обозначать процентное содержание сплава через с(n), если сплавлены n сплавов. Значит, сейчас ищем с(2). По решению предыдущей задачи имеем:

Решение задач на сплавы, смеси и растворы(%).

Выходит, что процентное содержание сплава из двух равно Решение задач на сплавы, смеси и растворы, а масса его равна m1+m2.

Сплавим с этим сплавом из двух третий сплав, получим:

Решение задач на сплавы, смеси и растворы;

Решение задач на сплавы, смеси и растворы.

Замечание.

Методом математической индукции можно доказать, что при смешивании n сплавов определенного вещества результативное процентное содержание имеет вид Решение задач на сплавы, смеси и растворы (1).

Доказательство.

Шаг 1. Равенство (1) верно при n =2, то есть Решение задач на сплавы, смеси и растворы.

Шаг 2. Допустим, что (1) верно при n= k, то есть Решение задач на сплавы, смеси и растворы (2).

Шаг 3. Докажем, что из справедливости равенства (1) при n=k вытекает его справедливость при n=k+1.

Пусть сплав массой m1+m2+…+mk и содержащий Решение задач на сплавы, смеси и растворы % некоторого вещества добавили mk+1 кг сплава того же вещества с процентным содержанием ak+1.

Тогда имеем:

Решение задач на сплавы, смеси и растворы. А это означает, что формула (1) верна при любом n.

В схеме

а1 % (m1 г) (а1-с) %

с %

а2 % (m2 г ) (с-а2) % , решения задач двух смесей, сплавов или растворов, а также и в формуле Решение задач на сплавы, смеси и растворы процентного содержания вещества при более сложных смесях числа процентов an можно заменить дробями dn, массы mn - заменять объемами vn или одновременно производить замены и тех и других величин:

d1 (v1) d1-d

d

d2 (v2) d-d2 , то есть Решение задач на сплавы, смеси и растворы.

Решение задач на сплавы, смеси и растворы, смотря на условия конкретных задач.

Решение №1.

С учетом равенства a1= a2+25 подготовим данные условия к заполнению таблицы

а1 % (m1 г) (а1-с) %

с %

а2 % (m2 г ) (с-а2) %

m1 кг - 100%;

m2 кг- (а2+25)%;

Решение задач на сплавы, смеси и растворы;

m2 кг - 100%

8 кг- а2%

Решение задач на сплавы, смеси и растворы

а1-с=(а2+25)-30=(а2-5)%

с-а2=30-а2

2+25)%(Решение задач на сплавы, смеси и растворы)кг-(а2-5)%

30%

а2%(Решение задач на сплавы, смеси и растворы)кг-(30-а2)%

Решение задач на сплавы, смеси и растворы;

Решение задач на сплавы, смеси и растворы;

Решение задач на сплавы, смеси и растворы;

Решение задач на сплавы, смеси и растворы;

Решение задач на сплавы, смеси и растворы;

Решение задач на сплавы, смеси и растворы

а2=-20;25.

Из этих значений подходит только а2=25%.

При этом Решение задач на сплавы, смеси и растворы(кг), и Решение задач на сплавы, смеси и растворы(кг).

Ответ:m1=8кг; m2=32кг.

Решение № 2.

Заменим запись процентов в таблице просто отношением. Тогда в первом сплаве содержание золота будет Решение задач на сплавы, смеси и растворы, во втором -Решение задач на сплавы, смеси и растворы, а в новом -Решение задач на сплавы, смеси и растворы.

Пусть первый сплав имеет массу m кг, тогда (15-m)кг есть масса второго сплава.

При этом имеем таблицу

Решение задач на сплавы, смеси и растворы(m кг) Решение задач на сплавы, смеси и растворы- Решение задач на сплавы, смеси и растворы=Решение задач на сплавы, смеси и растворы

Решение задач на сплавы, смеси и растворы

Решение задач на сплавы, смеси и растворы(15-m кг) Решение задач на сплавы, смеси и растворы- Решение задач на сплавы, смеси и растворы=Решение задач на сплавы, смеси и растворы

Откуда Решение задач на сплавы, смеси и растворы;

Решение задач на сплавы, смеси и растворы; m=30-2m;

3m=30;

m=10(кг)- нужно взять из первого сплава

15-10=5 (кг)- нужно взять из второго сплава.

Ответ: 10 кг; 5 кг.

Решения № 3,5,6 представлены в прилагаемой презентации.

Решение № 4. (Гиперссылка к соответствующему условию).

Пусть m1, m2, m3 - массы сплавов, а с (3)зол и с(3)с - процентное содержание золота и серебра в окончательном сплаве.

Тогда по выведенной формуле имеем систему:

Решение задач на сплавы, смеси и растворы

Решение задач на сплавы, смеси и растворы.

Из первого равенства выразим m2.

10m1+20m3=5m1+5m2+5m3 ;

5m2=5m1+15 m3 ;

m2 = m1+3m3.

Подставим найденное выражение во второе уравнение системы.

Решение задач на сплавы, смеси и растворы;

Решение задач на сплавы, смеси и растворы.

Выделим из полученной дроби целую часть.

Решение задач на сплавы, смеси и растворы.

Поделим числитель и знаменатель дроби Решение задач на сплавы, смеси и растворы на m3.

Решение задач на сплавы, смеси и растворыРешение задач на сплавы, смеси и растворы.

Так как Решение задач на сплавы, смеси и растворы, то Решение задач на сплавы, смеси и растворы.

Значит, 30-7,5=22,5% - наименьшее значение Решение задач на сплавы, смеси и растворы;

30-0=30% - наибольшее значение Решение задач на сплавы, смеси и растворы.

Ответ: 22,5%; 30%.





Использованные источники

  1. Задачи, поставленные учителем математики Бетановым Д.М.

  2. «Сборник задач по математике» для подготовленных курсов,

Р.В. Сагитова, В.Г. Шершнева



© 2010-2022