Конспект урока-семинара по геометрии Правильные многогранники

Содержание:

1. Список литературы

2. Историческая справка

3. Программа по математике

4. Сравнительный анализ содержания темы в школьных учебниках

5. Анализ теоретического материала темы

6. Анализ задачного материала темы

7. Постановка целей изучения темы, тематическое планирование

8. Конспект урока

Список литературы:

1. Смирнова И., Смирнов В. «Правильные, полуправильные и звёздчатые многогранники».М.- 2010. 136 с. - представлены правильные, полуправильные и звёздчатые многогранники, рассмотрены их свойства и предложены задачи для самостоятельного решения.

2. Гончар В.В. «Модели многогранников».-ООО фирма Аким, 1997.-с.64 - представлены схемы-развертки всех 5 платоновых и 13 архимедовых тел (правильных и полуправильных многогранников). Приведены номограммы для построения этих моделей разной величины, выкройки-развертки звёздчатых форм многогранников. Показано как из многогранников сделать ряд украшений и игрушек.

3. Литвиненко В.Н. Многогранники. Задачи и решения:- М.: «Вита-Пресс», 1995. - представлены задачи и их решения по теме.

4. Долбилин Н.П. Жемчужины теории многогранников. - М.: МЦНМО, 2000, с.27-31. - рассказывается об основных теоремах теории выпуклых многогранников. Это - теорема Коши о единственности выпуклого многогранника с заданными гранями и теорема Александрова о том, из каких разверток можно склеить выпуклый многогранник. В основной части излагаются основные результаты и идеи их доказательства. В Приложении содержатся подробные доказательства нескольких теорем о многогранниках, в том числе доказательство знаменитой теоремы Эйлера.

5. polyhedron2008.narod.ru/ - история, рассказано о каждом многограннике по отдельности.

6. ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA - дано определение правильного многогранника, список правильных многогранников, комбинаторные и геометрические свойства, немного истории.

7. pravmn.narod.ru/tetr.htm - дано понятие тетраэдра, элементы симметрии, формулы радиуса вписанного и описанного шара, площадь поверхности и объем тетраэдра.

8. pravmn.narod.ru/kub.htm - дано понятие куба, элементы симметрии, формулы радиуса вписанного и описанного шара, площадь поверхности и объем куба.

9. pravmn.narod.ru/okto.htm - дано понятие октаэдра, элементы симметрии, формулы радиуса вписанного и описанного шара, площадь поверхности и объем октаэдра.

10. pravmn.narod.ru/icos.htm - дано понятие икосаэдра, элементы симметрии, формулы радиуса вписанного и описанного шара, площадь поверхности и объем икосаэдра.

11. pravmn.narod.ru/dod.htm - дано понятие додекаэдра, элементы симметрии, формулы радиуса вписанной и описанной окружностей, площадь поверхности и объем додекаэдра.

Историческая справка «Многогранники»

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух - октаэдру, вода - икосаэдру, а огонь - тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент - эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13-17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида[1]. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В «Тайне мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики - законов Кеплера, - изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).

Список литературы:

1. mnogograns.narod.ru/history.html

2. Смирнова И.М. «В мире многогранников» М.,1990

3. Курант Р.,Роббинсон Г. «Что такое математика?» М.,1967

4. Шарыгин И.Ф., Ергажиева Л.Н. «Наглядная геометрия» М.,1992

Программа по математике

Содержание обучения:

Понятие многогранника. Призма. Пирамида. Правильные многогранники.

Основная цель - познакомить учащихся с основными видами многогранников (призма, пирамида, усечённая пирамида), с формулой Эллера для выпуклых многогранников, с правильными многогранниками и элементами их симметрии.

С двумя видами многогранников - тетраэдром и параллепипедом - учащиеся уже знакомы. Теперь эти представления расширяются. Многогранник определяется как поверхность, составленная из многогранников и ограничивающее некоторое геометрическое тело (его тоже называют многогранником). В связи с этим уточняется само понятие геометрического тела, для чего вводится ряд новых понятий (граничная точка фигуры, внутренняя точка и т.д.). Усвоение их не является обязательным для всех учащихся, можно ограничиться наглядным представлением о многогранниках.

Наряду с формулой Эллера в этом разделе содержится также один из вариантов пространственной теоремы Пифагора, связанный с тетраэдром, у которого все плоские углы при одной вершине - прямые. Доказательство основано на формуле площади прямоугольной проекции многогранника, которая предварительно вводиться.

П-ф

Глава 3 Многогранники

12

14

1

Понятие многогранника. Призма.

3

3

2

Пирамида.

3

4

3

Правильные многогранники.

4

5

Контрольная работа. Зачет.

1,1

1,1

Сравнительный анализ содержания темы в школьных учебниках Александров «Для классов с углублённым изучением математики» и Атанасян «Геометрия 10-11»

Содержание темы в учебниках:

1.Ананасян «Геометрия 10-11»

Понятие многогранника. Призма. Пирамида. Правильные многогранники.

Основная цель - познакомить учащихся с основными видами многогранников (призма, пирамида, усечённая пирамида), с формулой Эллера для выпуклых многогранников, с правильными многогранниками и элементами их симметрии.

С двумя видами многогранников - тетраэдром и параллепипедом - учащиеся уже знакомы. Теперь эти представления расширяются. Многогранник определяется как поверхность, составленная из многогранников и ограничивающее некоторое геометрическое тело (его тоже называют многогранником). В связи с этим уточняется само понятие геометрического тела, для чего вводится ряд новых понятий (граничная точка фигуры, внутренняя точка и т.д.). Усвоение их не является обязательным для всех учащихся, можно ограничиться наглядным представлением о многогранниках.

Наряду с формулой Эллера в этом разделе содержится также один из вариантов пространственной теоремы Пифагора, связанный с тетраэдром, у которого все плоские углы при одной вершине - прямые. Доказательство основано на формуле площади прямоугольной проекции многогранника, которая предварительно вводиться.

2. Александров «Для классов с углублённым изучением математики»

Призма как частный случай цилиндра. Правильная призма. Параллелепипед. Пирамида как частный случай конуса. Правильная пирамида. Тела и их поверхности. Многогранники. Многогранная поверхность и развертка. Теорема Эйлера. Многогранные углы. Правильные многогранники. Преобразования симметрии фигур. Поворот. Элементы симметрии. Симметрия правильных многогранников, правильных призм и правильных пирамид.

Основная цель- определить понятие геометрического тела и дать общее понятие о многограннике как о теле, ограниченном конечным числом многоугольников, рассмотреть наиболее важные частные случаи многогранников и их симметрии.

Что бы конструктивно определить призмы и пирамиды, общего понятия многогранника не требуется. Определение многогранника как тела, ограниченного конечным числом многоугольников, понадобиться лишь для определения правильного многогранника. В свою очередь, определение понятия «тело» требует введения простейших топологических понятий - внутренняя и граничная точка фигуры.

При изучении многогранников большое внимание уделяется симметрии.

Выводы:

1)У Александрова тема «Многогранники изучается в 11 классе - первой. У Атанасяна в 10 классе - третей.

2)Атанасян. Цель - познакомить учащихся с основными видами многогранников (призма, пирамида, усечённая пирамида), с формулой Эллера для выпуклых многогранников, с правильными многогранниками и элементами их симметрии.

Александров. Цель - определить понятие геометрического тела и дать общее понятие о многограннике как о теле, ограниченном конечным числом многогранников, рассмотреть наиболее важные частные случаи многогранников и их симметрии.

3)У Александрова раскрыты некоторые темы, о которых не говориться в учебнике Атанасяна. Это: призма как частный случай цилиндра, пирамида как частный случай конуса, многогранная поверхность и развертка, преобразование симметрии фигур, поворот.

4)В обоих учебниках понятие геометрическое тело дается с помощью понятий: внутренняя и граничная точка, но в учебнике Атанасяна усвоение этих понятий не является обязательным.

Анализ теоретического материала

Глава III. §3 п.32, 33

п.32. Понятие правильного многогранника.

В этом параграфе рассматривается понятие правильного многогранника. Определение новое, ранее не рассматривалось. Дано через род и видовые отличия. Видовые отличия описаны конструктивно.

Опр.: Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и, кроме того, к каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Так же рассмотрена теорема-свойство: Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и, вообще, n-угольники при n≥6.

Доказывается с помощью метода от противного.

Так же даны определения куба и правильных тетраэдра, октаэдра, икосаэдра, додекаэдра. Определения новые. Даются описательно.

п. 33. Элементы симметрии правильных многогранников.

Общее понятие оси симметрии дается в п. 31 через род и видовые отличия. Видовые отличия описаны конструктивно.

Даны определения оси и плоскости симметрии тетраэдра. Определения даются описательно.

Даны утверждения:

1. Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии

2. Правильный тетраэдр имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Утверждения даются в учебнике без доказательства, но ученикам следует доказать.

Также даны определения оси, центра и плоскости симметрии куба. Определения даны описательно.

Даны утверждения:

1. Куб имеет один центр симметрии

2. Куб имеет 9 осей симметрии. Все оси симметрии проходят через центр симметрии.

3. Куб имеет 9 плоскостей симетрии.

Утверждения даются в учебнике без доказательства, но ученикам следует доказать.

Дана задача посчитать сколько осей и плоскостей симметрии в правильных октаэдре, икосаэдре и додекаэдре.

Анализ задачного материала темы

В этой теме можно выделить следующие группы задач:

1)Дидактические:

-центральная симметрия(276)

-осевая симметрия(277)

-плоскость симметрии(278,319)

-правильный многогранник(281)

2)Задачи на построение правильных многогранников(271-275)

3)Задачи на доказательство(281,315-318,285,284)

4)задачи на построение сечения(284,300,307,280,296,309)

5)задачи на вычисление элементов:

-площадь сечения(283,280)

-площадь боковой поверхности(290,291,294,305,310,313)

-площадь полной поверхности(298,303,306,311)

-угол между прямыми(282,279)

-расстояние между вершинами(гранями) (287)

-выразить одну величину через другую(286)

Из этих задач являются ключевыми: №№279,281,283,287.

Решение ключевых задач:

№279

Дано: АВСDA₁B₁C₁D₁ -куб

Найти:˂DBC₁?

Решение: рассмотрим треугольник DBC₁ .DB=AB как диагональ квадрата ABCD со с стороной AB.

BC₁=BB₁ и DC₁=DC а так как AB=DC=DB₁ тогда DB=DC₁=BC₁ тогда треугольник DBC₁- равносторонний, ттогда угол DBC₁=60˚

Ответ: 60˚

№281

Дано: ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ -куб, D₁A,D₁C, D₁B₁ -диагонали граней

Доказать: D₁AB₁C-правильный тетраэдр

Найти: отношение площади куба и площади тераэдра

1.Доказательство

Все диагонали граней куба - диагонали квадратов, которые равны между собой, так как имеют одинаковые стороны ,тогда и их диагонали равны, отсюда все перечисленные отрезки D₁A,D₁C, D₁B₁ , а так же соединяющие их концы AC, AB₁ и B₁C равны, тогда тетраэдр D₁AB₁C -правильный, так как равны все его ребра.

2. Решение

Пусть ребро куба АВ=а, тогда S_куба=6*а²

S_тетр.=4*S_AB1C=4*=2a² (по задаче №280), тогда S_куба/S_тетр==

Ответ:

№ 283

№287

Выводы по задачам:

№279 задача на вычисление элементов(угол между прямыми),требует знания понятий: куб, квадрат их его свойства, равносторонний треугольник.

№281задача дидактическая(правильные многогранники) требует знания понятий: куба, квадрата и их свойства, а так же площадей фигур.

№283задача на вычисление элементов(площадь сечения) требует знания понятий: подобные треугольники, коэффициент подобия, теорема о зх перпендикулярах ,площади фигур, задача сложная требует подробного разбора с учениками.

№287задача на вычисление элементов(расстояние между прямыми(гранями)) требует знания понятий: октаэдр, пирамида, тетраэдр, квадрат, ромб, центр треугольника, медиана треугольника и т.д. Задача сложная, так как требует различных знаний из планиметрии, а так же стереометрии, лучше подробно разобрать с учениками на уроке.

Постановка целей изучения темы, тематическое планирование

№

Урок

Часы

1

Урок-лекция «Правильные многогранники»

1

2

Урок-лекция «Симметрия правильных многогранников»

1

3

Урок решения задач

1

4

Урок-семинар «Правильные многогранники»

2

5

Урок проверки знаний. Самостоятельная работа

1

Учебные задачи:

- определить на основе аналогии понятие точки симметричной относительно центра симметрии

- определить на основе аналогии понятие точки симметричной относительно оси симметрии

- определить на основе аналогии понятие точкт симметричной относительно плоскости симметрии

- определить понятие центра, оси, плоскости симметрии фигуры

- определить понятие правильного многогранника

- выявить условия существования правильного многогранника и его некоторые свойства

- определить частные виды правильных многогранников (тетраэдр, октаэдр и др.) и их свойства (сумма углов равна…)

- определить элементы симметрии правильных многогранников

Диагностируемые цели:

Знает:

- определение точки симметричной относительно центра симметрии

- определение точки симметричной относительно оси симметрии

- определение точки симметричной относительно плоскости симметрии

- определение правильного многогранника

- формулировки теоремы существования, свойства правильных многогранников и доказательство этих теорем

- определение элементов симметрии

Умеет:

- строить сечение многогранников, графические модели правильных многогранников

- находить элементы многогранников (ребра, высота, сторона…)

- вычислять соответствующие расстояния и углы

- решать ключевые задачи темы

Понимает:

- практическую значимость данной темы

- роль аналогии и обобщение в получение новых знаний

Урок семинар по теме правильные многогранники

Тип урока: урок семинар

Учебник: Атанасян Геометрия 10-11 Гл. 3 параграф 3

Учебная задача: обнаружить связи геометрии в целом и данной темы в частности с другими науками и с окружающей действительностью.

Структура урока:

Мотивационно-ориентировочный 10 мин.

Содержательный 60 мин.

Рефлексивно-оценочный 7 мин.

Методы обучения: репродуктивный, УДЕ

Средства обучения: презентация, модели многогранников

Диагностируемые цели:

В результате урока ученик: -знает понятие звездчатых, неправильных многогранников, историю многогранников, гипотезы Кеплера и Макарова;

-умеет находить материал по нужной теме, анализировать его и объяснять его другим;

-понимает значение темы и роль ее в окружающей действительности;

Форма работы: фронтальная, групповая.

Подготовка к семинару начинается за месяц до его проведения. Ученики делятся на группы докладчиков по желанию, в зависимости от того какая тема их больше интересуют. Учитель выдает темы и список литературы, который можно использовать. Так же каждая группа к своему докладу подготовить презентацию. Встречи с учителем по вопросам учащихся проводиться раз в неделю. Учитель контролирует выполнение докладов.

Список литературы, рекомендованный к использованию учащимися:

1. Энциклопедический словарь юного математика

2. Тарасов Л. Этот удивительно симметричный мир.

3. Кордемский Б.А. Великие жизни в математике

4. Кованцов Н.И. Математика и романтика. Киев, 1976

5. Шафрановский И.И. Симметрия в природе. Л., 1988.

6. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. М., 1981.

План семинара:

1. Вступительное слово учителя

2. Доклад1: История правильных многогранников

3. Доклад2: Полуправильные многогранники

4. Доклад3: Звездчатые многогранники.

5. Доклпд4: Гипотезы Кеплера и Макарова

6. Доклад5: Применение многогранников. Кристаллы - природные многогранники

7. Решение задач

8.Подведение итогов семинара.

Ход урока:

Учитель: Сегодня на уроке мы продолжим знакомство с миром многогранников, заглянем в прошлое, вспомним имена ученых, сделавших большой вклад в теорию многогранников и посмотрим, где еще, кроме геометрии, можно встретиться с этими пространственными телами. К сегодняшнему занятию в качестве эпиграфа я взяла бы изречения двух известных людей:

"В геометрии нет царских дорог". Евклид и "Можно с уверенностью сказать, что жители самой отдаленной Галактики не смогут играть в кости, имеющие форму неизвестного нам правильного многогранника". М. Гарднер

Начнем с Евклида, ибо с него начинается геометрия. Примерно 2000 лет назад жил этот великий ученый и мыслитель. В Древней Греции появился знаменитый трактат "Начала", где отдельные осмысленные факты были объединены в общую логическую систему. "Начала" Евклида не потеряли своей ценности и поныне. Примечателен такой разговор Евклида с царем Птолемеем. Когда царь спросил: "А нет ли пути более быстрого, чем "Начала"?", Евклид ответил: "В геометрии нет царских дорог".

Последняя, XIII книга "Начал", посвященная правильным многогранникам, стала венцом творения Евклида. С ними мы и познакомимся сегодня на уроке.

Доклад №1: История правильных многогранников(приведем пример доклада)

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них - пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса - немой трактат по геометрии.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики- это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.

Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел:

• Вселенная - додекаэдр

• Земля - куб

• Огонь - тетраэдр

• Вода - икосаэдр

• Воздух - октаэдр

Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.

Аристотель добавил пятый элемент - эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду, впервые перечислившего их в недошедшей до нас работе.

Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13-17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В «Тайне мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики - законов Кеплера, - изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).

Учитель: Молодцы, ребята. Кроме правильных многогранников существуют еще и полуправильные многогранники, часть из которых открыл Архимед. С этими материалами вас познакомят ученики следующей группы.

Записи в тетрадях: Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами. Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал.

Вопросы учителя:

-Вы говорили о великих математиках (Пифагоре, Платоне, Аристотеле и т.д.) знаете ли вы их годы жизни?

-Какой факт из истории многогранников вам показался самым интересным?

Доклад №2 Полуправильные многогранники. (пример доклада учащихся)

Так называемые полуправильные многогранники связывают с именем Архимеда. Это 13 тел, полученных при усечении правильных многогранников и два бесконечных ряда правильных призм и антипризм с равными ребрами.

В эпоху Возрождения ученый Иоганн Кеплер вслед за Платоном попытался связать правильные многогранники со строением Вселенной. С большей или меньшей точностью он разместил между сферами, содержащими орбиты шести известных планет, правильные многогранники таким образом, что каждый был описан около меньшей сферы и вписан в большую.

Полуправильные многогранники или Архимедовы тела - выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:

1) Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани - правильные многоугольники одного типа, это - правильный многогранник);

2) Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. В частности все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.

Существует 13 полуправильных многогранников:

-Кубооктаэдр

-Икосододекаэдр

-Усеченный тетраэдр

-Усечённый куб

-Усечённый октаэдр

-Усечённый додекаэдр

-Усечённый икосаэдр

-Ромбокубооктаэдр

-Ромбоусечённый кубоктаэдр

-Ромбоикосододекаэдр

-Ромбоусечённый икосододекаэдр

-Курносый куб

-Курносый додекаэдр

Многогранник - архимедово тело

Грани

Вершины

Рёбра

Кубооктаэдр

8 треугольников
6 квадратов

12

24

Икосододекаэдр

20 треугольников
12 пятиугольников

30

60

Усечённый тетраэдр

4 треугольника
4 шестиугольника

12

18

Усечённый октаэдр

6 квадратов
8 шестиугольников

24

36

Усечённый икосаэдр

12 пятиугольников
20 шестиугольников

60

90

Усечённый куб

8 треугольников
6 восьмиугольников

24

36

Усечённый додекаэдр

20 треугольников
12 десятиугольников

60

90

Ромбокубооктаэдр

8 треугольников
18 квадратов (6 - в кубическом положении, 12 - в ромбическом)

24

48

Ромбоикосододекаэдр

20 треугольников
30 квадратов
12 пятиугольников

60

120

Ромбоусечённый кубооктаэдр

12 квадратов
8 шестиугольников
6 восьмиугольников

48

72

Ромбоусечённый икосододекаэдр

30 квадратов
20 шестиугольников
12 десятиугольников

120

180

Курносый куб

32 треугольника
6 квадратов

24

60

Курносый додекаэдр

80 треугольников
12 пятиугольников

60

150

Учитель: Вы хорошо справились, садитесь. Интересна еще одна группа многогранников - звездчатые, которые были открыты И. Кеплером и Л. Пуансо. О них вам расскажут ученики третей группы.

Записи в тетрадях: Полуправильные многогранники или Архимедовы тела - выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:

1) Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани - правильные многоугольники одного типа, это - правильный многогранник);

2) Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. В частности все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.

Существует 13 полуправильных многогранников

Вопросы учителя:

-Почему полуправильные многогранники называют Архимедовыми телами?

-Как вы думаете можно ли склеить самому модели многогранников?

Доклад №3: Звездчатые многогранники. (пример доклада учащихся)

Звёздчатый многогранник (звёздчатое тело) - это невыпуклый многогранник, грани которого пересекаются между собой. Как и у незвёздчатых многогранников, грани попарно соединяются в ребрах, при этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами.

Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам.

Правильные звёздчатые многогранники - это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые правильные или звёздчатые многоугольники. Коши установил, что существует всего 4 правильных звёздчатых тела, не являющиеся соединениями платоновых и звёздчатых тел, называемые телами Кепплера - Пуансо: все 3 звёздчатых формы додекаэдра и одна из звёздчатых форм икосаэдра. Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кепплера - Пуансо.

На данных рисунках каждая грань для красоты и наглядности окрашена собственным цветом.

Многие формы звёздчатых многогранников подсказывает сама природа. Например, снежинки - это плоские проекции звёздчатых многогранников. Некоторые молекулы имеют правильные структуры объёмных фигур.

Полуправильные звёздчатые многогранники - это звёздчатые многогранники, гранями которых являются правильные или звёздчатые многоугольники, но не обязательно одинаковые. При этом строение всех вершин должно быть одинаковым (условие однородности). Коксетер и другие к 1954 году перечислили 53 таких тела и выдвинули гипотезу о полноте своего списка. Только значительно позже удалось доказать, что полученный ими список многогранников действительно полон.

Однородные многогранники - правильные и полуправильные выпуклые многогранники (Платоновы и Архимедовы тела), правильные и полуправильные звёздчатые многогранники вместе называются однородными многогранниками. У этих тел все грани являются правильными многоугольниками (выпуклыми или звездчатыми), а все вершины одинаковы (т.е. существуют ортогональные преобразования многогранника в себя, переводящие любую вершину в любую другую). Существует ровно 75 однородных многогранников.

Звёздчатый октаэдр

Существует только одна звёздчатая форма октаэдра. Звёздчатый октаэдр был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula - звезда восьмиугольная. Отсюда эта форма имеет и второе название «stella octangula Кеплера». По сути она является соединением двух тетраэдров.

Звёздчатые формы додекаэдра

Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр (звёздчатый большой додекаэдр, завершающая форма). Первые две из них были открыты Кеплером (1619), третья - Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, а образует новый многогранник.

Все 3 звёздчатые формы додекаэдра, вместе с большим икосаэдром образуют семейство тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранников.

У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые, сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани - пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3.

Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.

Звёздчатые формы икосаэдра

Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией, что было доказано Кокстером совместно с Дювалем, Флэзером и Петри c применением правил ограничения, установленных Дж. Миллером. Одна из этих звёздчатых форм (20-я, мод. 41 по Веннинджеру), называемая большим икосаэдром (см. рис), является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера-Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.

Среди звёздчатых форм также имеются: соединение пяти октаэдров, соединение пяти тетраэдров, соединение десяти тетраэдров. Первая звёздчатая форма - малый триамбический икосаэдр.

Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено большим многообразием отсеков - частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звёздчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+12+30+60+60 = 472 отсека десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти. Следующая звёздчатая форма - завершающая.

Звёздчатые формы кубооктаэдра

Кубооктаэдр имеет 4 звёздчатые формы, удовлетворяющие ограничениям, введённым Миллером. Первая из них является соединением куба и октаэдра.

Звёздчатые формы икосододекаэдра

Икосододекаэдр имеет множество звёздчатых форм, первая из которых есть соединение икосаэдра и додекаэдра.

Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 - правильные треугольники. Что касается вопроса о том, могут ли получившиеся многогранники оказаться правильными, то на него давно получен ответ. Великий математик Коши ещё в 1811 году доказал, что список правильных многогранников исчерпывается пятью платоновыми телами вкупе с четырьмя многогранниками Кеплера - Пуансо.

Учитель: Молодцы, ребята, садитесь. А теперь давайте послушаем теории, которые связывают многогранники с астрономией.

Записи в тетрадях: Звёздчатый многогранник (звёздчатое тело) - это невыпуклый многогранник, грани которого пересекаются между собой. Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам.

Правильные звёздчатые многогранники - это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые правильные или звёздчатые многоугольники.

Вопросы учителя:

-Почему эти многогранники называют звездчатыми?

-Кто первый задумался о их существовании?

-Существуют ли в природе объекты формой звездчатых многогранников?

Доклад №4: Гипотеза Кеплера.

Ученые древности во всех сферах деятельности и в окружающей действительности искали гармонию. Пять красивых тел - правильных многогранников казались им удивительно гармоничными.

Замечательный немецкий астроном, математик и великий фантазер Иоганн Кеплер (1571-1630) выдвинул очень интересную гипотезу. Кеплера соблазнила мысль о том, что существует всего пять правильных многогранников и всего шесть (как казалось тогда) планет солнечной системы: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн. Показалось, что гармония и любовь природы к повторениям сделали правильные многогранники связующими звеньями между шестью небесными телами. Кеплер предположил, что сферы планет связаны между собой вписанными в них платоновыми телами. Так как для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором располагается Солнце.

Согласно предположениям Кеплера в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В нее, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.

Кеплер выполнил огромную вычислительную работу, чтобы подтвердить свои предположения. Космическая теория платоновых тел оказалась неверна.

Однако на основе обобщения данных, полученных в результате наблюдений, он установил три закона движения планет относительно Солнца.

Первый закон: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон: каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем площадь сектора орбиты, описанная радиусом - вектором планеты, изменяется пропорционально времени.

Третий закон: квадраты времени обращения планеты вокруг Солнца относятся, как кубы их средних расстояний от Солнца.

Это были только гипотезы, пока их не обосновал на основе закона всемирного тяготения Исаак Ньютон (1643-1727).

Но и в наши дни правильные многогранники не дают ученым покоя Они выдвигают новые гипотезы, создают свои научные фантазии.

Гипотеза Макарова, Морозова и Гончарова

Идеи Пифагора, Платона, Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли свое продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х годов высказали московские инженеры В.Макаров, В.Морозов и Н.Гончарова.

Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины ребер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Учитель: Спасибо, садитесь. Следующий раздел нашего семинара и последняя группа докладчиков расскажет нам о многогранниках в природе.

Записи в тетради:

Замечательный немецкий астроном, математик и великий фантазер Иоганн Кеплер (1571-1630) выдвинул очень интересную гипотезу: сферы планет связаны между собой вписанными в них платоновыми телами. Так как для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором располагается Солнце.

На основе обобщения данных, полученных в результате наблюдений, Кеплер установил три закона движения планет относительно Солнца.

Первый закон: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон: каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем площадь сектора орбиты, описанная радиусом - вектором планеты, изменяется пропорционально времени.

Третий закон: квадраты времени обращения планеты вокруг Солнца относятся, как кубы их средних расстояний от Солнца.

В.Макаров, В.Морозов и Н.Гончарова считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете.

Вопросы учителя:

- Кто обосновал три гипотезы Кеплера?

- В каких годах была выдвинута гипотеза Макарова, Морозова и Гончарова?

Доклад №5: Многогранники в природе

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий - вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник - икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Алмаз (октаэдр)

Шеелит (пирамида)

Хрусталь (призма)

Поваренная соль (куб)

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.

Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник. Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды.

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.

Учитель: Молодцы ребята, сегодня мы узнали много нового и теперь подведем итоги.

Записи в тетради: Правильные многогранники - самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр. Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.

Учитель:

1. Какова была цель урока?

2. Интересно ли было вам на уроке?

3. Узнал ли ты что-либо новое для себя?

Домашнее задание: Повторить весь пройденный материал. Подготовиться к контрольной работе