Опорные конспекты по математике для 6 класса

Г.Усолье-Сибирское

СЛОЖЕНИЕ.

1 слагаемое + 2 слагаемое = сумма

Свойства сложения.

1. Переместительное. а + b = b + a

От перестановки слагаемых сумма не меняется.

2. Сочетательное. а + ( b + с ) = ( а + b ) + c

Чтобы к числу а прибавить сумму чисел b и с, можно к сумме чисел

а и b прибавить число с.

3. Свойство нуля. а + 0 = 0 + а = а

Если к числу прибавить 0, то получится то же число.

_____________________________________________________________

ВЫЧИТАНИЕ

уменьшаемое - вычитаемое = разность

Свойства вычитания.

1. Вычитание суммы из числа. а - ( b + c ) = а - b - с

Чтобы из числа вычесть сумму, можно из этого числа вычесть каждое

слагаемое.

2. Вычитание числа из суммы. ( а + b ) - c = a + ( b - c )

( а + b ) - c =( a - c ) + b

Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть это число из одного

слагаемого и к разности прибавить второе слагаемое.

3. Свойства нуля. а - 0 = а ; а - а = 0

Если из числа вычесть 0, то получится то же число.

Если из числа вычесть это же число, то получится 0.

УМНОЖЕНИЕ

1 множитель · 2 множитель = произведение

Свойства умножения.

1. Переместительное. а · b = b · a

От перестановки множителей, произведение не меняется.

2. Сочетательное. а · ( b · с ) = ( а · b ) · c

Чтобы число а умножить на произведение чисел b и с, можно

произведение чисел а и b умножить на число с.

3. Распределительное. ( а + b ) · с = ас + bc, ( а - b ) · с = ас - bc

Чтобы сумму умножить на число, можно каждое слагаемое

умножить на это число и полученные результаты сложить.

3. Свойство единицы. 1 · а = а · 1 = а

Если число умножить на 1, то получится то же число.

4. Свойство нуля. а · 0 = 0 · а = а

Если число умножить на 0, то получится 0.

ДЕЛЕНИЕ

делимое : делитель = частное

Свойства деления.

1. Свойство единицы. а : 1 = а; а : а = 1

Если число разделить на 1, то получится то же число.

Если число разделить само на себя, то получится 1.

2. Свойство нуля. 0 · а = 0

Если 0 разделить на число, то получится 0.

ДЕЛИТЬ НА 0 НЕЛЬЗЯ !!!

_______________________________________________________________

УРАВНЕНИЯ

Уравнение - это равенство, содержащее неизвестное число

(переменную).

Корень уравнения - это значение переменной, при котором

уравнение обращается в верное равенство.

Решить уравнение - значит найти все его корни или

доказать, что корней нет.

1) Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть (от суммы отнять) известное слагаемое.

348 + х = 590

х = 590 - 348

х = 242

2) Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

х - 24 = 38

х = 38 + 24

х = 62

3) Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

124 - х = 32

х = 124 - 32

х = 92

4) Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

35 · х = 105

х = 105 : 35

х = 3

5) Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

х : 15 = 8

х = 8 · 15

х = 120

4) Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

325 : х = 13

х = 325 : 13

х = 25

ДРОБИ

Обыкновенные дроби.

Дробь ( ) - одна или несколько равных долей целого.

а - числитель, b - знаменатель.

Знаменатель дроби показывает на сколько равных частей разделено целое.

Числитель дроби показывает сколько таких частей взято.

- половина, - треть, - четверть

Деление и дроби: а : b = , 3 : 4 =

Правильная дробь - дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

< 1

Неправильная дробь - дробь, у которой числитель больше или

равен знаменателю.

= 1, > 1

Смешанное число: 1 = 1 + ; ( 1 - целая часть, - дробная часть )

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо числитель разделить на знаменатель. Частное записать целой частью, остаток - числителем дробной части, знаменатель оставить прежним.

= 27 : 4 = 6

Чтобы смешанное число записать в виде неправильной дроби, надо целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить числитель. Полученное число записать в числитель неправильной дроби, знаменатель оставить прежним.

6 = =

Действия с обыкновенными дробями.

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями, числители складывают, а знаменатель оставляют прежним.

Если получается неправильная дробь, выделяют целую часть.

+ = ; + = = 1

2. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют прежним.

- =

3. Сложение смешанных чисел.

При сложении смешанных чисел отдельно складывают целые части, отдельно - дробные.

Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь, выделяют из нее целую часть и прибавляют к целой части.

3 + 1 = ( 3 + 1 ) + ( + ) = 4 + = 4

3 + 2 = ( 3 + 2 ) + ( + ) = 5 + = 5 + 1 = 6

4. Вычитание смешанных чисел.

При вычитании смешанных чисел отдельно находят разность целых и дробных частей.

Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, берут 1 из целой части, представляют ее в виде дроби с тем же знаменателем и прибавляют к дробной части уменьшаемого.

2 − 1 = ( 2 - 1 ) + ( − ) = 1 + = 1

6 − 2 = 5 − 2 = ( 5 − 2 ) + ( − ) = 3 + = 3

4 − = 3 − = 3 + ( − ) = 3 + = 3

Десятичные дроби.

Особая запись дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т. д., в которой целая часть отделяется от дробной запятой, а знаменатель не пишется.

6 = 6,3 ; 7 = 7 = 7,021

Разложение числа по разрядам. 0,456 = 0,4 + 0, 05 + 0, 006

десятые сотые тысячные

Действия с десятичными дробями.

Сложение и вычитание десятичных дробей.

1. Уравнять количество знаков после запятой.

2. Записать запятую под запятой.

3. Выполнить сложение или вычитание, не обращая внимания на запятые.

4. Поставить в ответе запятую под запятыми.

2 , 3 6 7 , 9 0

+ −

3 , 2 6 3 , 4 6

_____________ ___________

5 , 5 6 4 , 4 4

Умножение десятичных дробей.

1. Выполнить умножение, не обращая внимания на запятые (последняя цифра под последней цифрой).

2. Отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

3 , 5

0 , 3

_____________

1 , 0 5

Деление десятичных дробей на натуральное число.

1. Если целая часть делимого больше делителя или равна ему, то нужно делить, не обращая внимания на запятую, а в частном ставить запятую тогда, когда заканчивается деление целой части.

2. Если целая часть делимого меньше делителя, то сначала в частном пишется 0 и ставится запятая, а затем продолжают деление, не обращая внимания на запятую в делимом.

_ 2 3 , 0 4 |‌_4_ _ 1 , 4 4 |_6

2 0 5,76 1 2 0,24

_ 3 0 _ 2 4

2. 8 2 4

_ 2 4 0

2 4

0

Деление десятичных дробей на десятичную дробь.

1. В делимом и в делителе перенести запятую вправо на столько цифр,

сколько их после запятой в делителе.

2. Выполнить деление дроби на натуральное число.

1 , 4 4 : 0 , 0 0 1 2 = 1 4 4 0 0 : 1 2 = 1 2 0 0

1 , 2 5 : 0 , 5 = 1 2 , 5 : 5 = 2 , 5

Умножение и деление десятичных дробей

на 10, 100, 1000 и т.д.; на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.

1. При умножении на 10, 100, 1000 и т.д. или делении на 0,1; 0,01, 0,001 и т. д., запятую передвигают вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифры.

3 , 2 5 8 ·1 0 0 = 3 2 5 , 8 5 , 6 7 : 0 , 1 = 5 6 , 7

2. При делении на 10, 100, 1000 и т. д. или умножении на 0,1; 0,01, 0,001 и т. д., запятую передвигают влево на 1, 2, 3 и т. д. цифры.

3 2 , 5 8 : 10 = 3 , 2 5 8 5 6 , 7 · 0 , 0 1 = 0 , 5 6 7

ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ.

Делителем натурального числа а называется натуральное число,

на которое число а делится без остатка.

Кратным натурального числа а называется натуральное число,

которое делится без остатка на а.

Признаки делимости.

Число делится на

2

5

10

Если оно оканчивается на

0, 2, 4, 6, 8

0 или 5

0

Число делится на

3

9

Если сумма цифр числа делится на

3

9

Простыми числами называются числа, имеющие два делителя

(1 и само число).

Составными числами называются числа, имеющие более двух

делителей.

Разложить число на простые множители - значит представить это число в виде произведения простых чисел.

756 2 756 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7; 675 3 675 = 3 · 3 · 3 · 5 · 5;

378 ‌ 2 225 3

189 3 75 3

63 3 25 5

21 3 5 5

7 7 1

1

Примечание: делитель меняется на следующий, когда число перестает делиться на предыдущий.

Наибольший общий делитель натуральных чисел - это

наибольшее натуральное число, на которое все данные числа

делятся без остатка.

Д(36) = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; Д(48) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48;

НОД(36;48) = 12

Взаимно простыми числами называются натуральные числа,

НОД которых равен 1.

Наименьшее общее кратное натуральных чисел - это

наименьшее натуральное число, которое делится без остатка

на все данные числа.

К(12) = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, . . .

К(9) = 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, . . .

НОК(12;9) = 36

Чтобы найти НОД и НОК натуральных чисел, надо:

НОД

НОК

1. Разложить данные числа на простые множители.

2. Подчеркнуть одинаковые множители в данных

разложениях.

3. Найти произведение подчеркнутых множителей в одном из разложений.

3. Одно из чисел умножить на оставшиеся множители других разложений.

54 2 36 2 НОД(54;36) = 2 · 3 · 3 =18;

27 3 18 2

9 3 9 3 НОК(54;36) = 54 · 2 = 108

3 3 3 3 = 36 · 3 = 108.

1 1

84 2 28 2 36 2 НОД(84;28;36) = 2 · 2 = 4;

42 2 14 2 18 2

21 3 7 7 9 3 НОК(84;28;36) = 84 · 3 =252

7 7 1 3 3 = 28 · 3 · 3 = 252

1 1 = 36 · 7 = 252.

Если число а делится без остатка на b, то НОД( а;b )= b, а НОК( а;b ) = а.

Если числа а и b - взаимно простые, то НОК( а;b ) = a · b.