- Преподавателю
- Математика
- Открытый урок на тему Решение тригонометрических уравнений
Открытый урок на тему Решение тригонометрических уравнений
| Раздел | Математика |
| Класс | - |
| Тип | Конспекты |
| Автор | Григорьева Д.В. |
| Дата | 25.08.2015 |
| Формат | doc |
| Изображения | Есть |
Открытый урок
«Решение
тригонометрических уравнений»
Преподаватель математики
Григорьева Д.В.
2015
Тема урока:
«Решение тригонометрических уравнений»
Тип урока: урок-консультация.
Цели и задачи урока:
1) образовательные - отработать умения систематизировать, обобщать знания, полученные в процессе изучения темы, применять их к решению задач; решать тригонометрические уравнения, используя различные приемы и способы; отработать умение применять справочные материалы;
2) развивающие - развивать логическое мышление, грамотную математическую речь, умение делать выводы и обобщения;
3) воспитательные - воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности, умение видеть и достигать цель.
Оборудование урока: магнитная доска, карточки; компьютер для демонстрации презентаций; тетради; таблицы по тригонометрии:
а) таблица значений тригонометрических функций некоторых углов;
б) формулы решения простейших тригонометрических уравнений (в том числе частные простейшие тригонометрические уравнения);
в) основные формулы тригонометрии.
Содержание урока.
Деятельность учителя
Деятельность ученика
-
Организационный этап.
Задача: подготовить учащихся к работе на уроке.
Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид); организация внимания.
Готовятся к уроку.
-
Исторические сведения.
Задача: поддержать интерес к изучаемому предмету.
Слово тригонометрия происходит от двух греческих слов: тригонон - треугольник и метрейн - измерять и в буквальном переводе означает измерение треугольников.
Градусное измерение углов возникло в Древнем Вавилоне (в середине II тысячелетия до нашей эры). Вавилонская система измерения углов оказалась достаточно удобной, и ее применяли и сохранили математики Древней Греции и Рима (Гиппарх, Птолемей, Пифагор).
Принятая сегодня система обозначения величин углов получила широкое распространение на рубеже XVI-XVII веков; ею уже пользовались известные астрономы Николай Коперник и Тихо Браге.
Синус - латинское слово и означает изгиб, кривизна; косинус - «дополнительный синус» или синус дополнительной дуги 
. Термины «тангенс» (в буквальном переводе - «касающийся») и «котангенс» произошли от латинского языка и появились в Европе значительно позднее. Среднеазиатские ученые называли соответствующие линии «тенями»: котангенс - «первой тенью», тангенс - «второй тенью».
Современный вид тригонометрия получила благодаря крупнейшему математику XVIII столетия Леонарду Эйлеру (1707 - 1783), швейцарцу по происхождению. Долгие годы он работал в России и являлся членом Петербургской Академии наук. Именно Эйлер впервые ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения.
В настоящее время тригонометрия является одним их основных разделов современной математической науки.
-
Актуализация опорных знаний и умений.
Задачи: повторить основные понятия, связанные с решением тригонометрических уравнений; совершенствовать знания, умения и навыки учащихся в области решения тригонометрических уравнений.
-
А теперь мы проведем небольшую устную разминку. Послушайте предысторию: «Ученик решил отправить на автобусе за город в лес. Прибыв на место он пустился на поиски грибов. Вечерело. Стало темнеть, и он стал плутать». У вас на столе лежит карта местности, по которой бродил ученик. Ваша задача состоит в том, чтобы решая пример за примером и двигаясь в том направлении, угол который вы найдете, выяснить, куда же вышел горе-путешественник.
-
Обратим свое внимание на опорный конспект. С помощью этого конспекта определите, какие из предложенных вам уравнений не имеют корней и почему?
1) sin x = 0; 2) cos x = 
; 3) tg x = 2; 4) sin x = 1,5; 5) cos x = -2.
3. Давайте обратим внимание на решения уравнений, которые вам предложены. Правильно ли решено это уравнение?
Пример 1. 
.
Разделим обе части уравнения на 4.
,
.
Пример 2. 
.
Разделим обе части уравнения на
.
,
,
уравнение не имеет корней, так как 
.
Учитель предлагает найти ошибку при решении этих уравнений и исправить ее, выясняет в каком случае можно производить деление на без потери корней.
Учащиеся работают в парах.
Учащиеся поднимают руки и дают ответы с комментариями.
Ошибка заключена в делении на 4.
Ошибка заключена в делении на выражение, содержащее переменную.
-
Постановка учебной задачи.
Задача: повторить методы решения тригонометрических уравнений.
Обращает внимание учащихся на магнитную доску, где расположены карточки с записью тригонометрических уравнений, и предлагает учащимся назвать способы решения уравнений.
По способу решения тригонометрические уравнения можно классифицировать следующим образом:
- уравнения, сводящиеся к квадратным;
- уравнения, решаемые путем разложения на множители;
- однородные тригонометрические уравнения;
- уравнения, решаемые с помощью тождественных преобразований.
Учащиеся перечисляют способы решения тригонометрических уравнений.
-
Самостоятельная работа учащихся с последующей проверкой.
Задача: проверить умение учащихся решать тригонометрические уравнения, выбирая оптимальный способ решения.
Решите уравнение:
I ряд. 
(МГУ, геологический ф-т, 2004 г.)
II ряд. 
(ЕГЭ, 2002 г.)
III ряд. 
(учебно-тренировочные материалы к ЕГЭ, 2004 г.)
IV ряд. 
(ЕГЭ, 2003 г.)
Решение уравнений проверяются с помощью компьютера.
Учащиеся решают самостоятельно, затем выполняется проверка с помощью компьютера.
-
Изложение нового материала.
Задачи: показать учащимся нетрадиционный способ решения тригонометрических уравнений.
Пример 1.
Предлагаю решить вам следующее уравнение 
.
Использование тригонометрических формул не упростит уравнение.
Решение некоторых тригонометрических уравнений может быть основано на неравенствах 
, 
.
Так как наибольшее значение, которое могут принять функции 
и 
равно 1, то уравнение равносильно системе уравнений 
Решим каждое уравнение.
, 
,
. 
.
Все корни первого уравнения являются корнями второго (
).
,
,
,
.
Следовательно, решением исходного уравнения является множество .
Ответ: .
Таким образом, тригонометрические уравнения можно решать с помощью оценки их левой и правой частей.
Пример 2.
Решим уравнение 
.
Решение. О.Д.З.: 
,
.
Упростим исходное уравнение, применив тригонометрические формулы.
,
,
,
,
.
Это уравнение может иметь решение только в том случае, когда
.
-
Если
, то 
, тогда 
. -
Если
, то 
, тогда 
, а 
.
Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
и .
Следовательно, корнями исходного уравнения являются числа 
.
Ответ: 
.
Пример 3.
Решите уравнение 
.
Решение. Заметим, что 
.
Поэтому, если 
, то 
.
Тогда исходное уравнение примет вид:
,
,
,
, 
.
-
Если
, то 
.
,
,
,
.
-
Если
, то 
.
.
Аналогично: 
,
,
.
Ответ: 
; 
.
Таким образом, при решении тригонометрических уравнений иногда используют такую замену переменной, как 
или 
.
Изложение учителя.
Учащиеся отвечают на текущие вопросы.
-
Закрепления нового материала.
Задачи: закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке.
Предлагает учащимся назвать вид уравнения и способ решения уравнений:
а) 
; - однородное уравнение (
).
б) 
; - ур-е, решаемое путем разложения на множ.
в) 
; - ур-е, сводящееся к квадратным (замена пер.).
г) 
; - ур-е, решаемое с пом. триг. преобразований
д) 
. - однородное уравнение (
).
Учащиеся называют вид уравнения и способ решения.
VII. Постановка домашнего задания.
Задача: закрепить умение решать тригонометрические уравнения, выбирая подходящий способ решения.
Решите уравнения:
1. 
.
2. 
.
3. Подберите уравнение, которое имеет нестандартный способ решения и решите его.