Методические указания по выполнению самостоятельной внеаудиторной работы

Государственное бюджетное профессиональное образовательное

учреждение Воронежской области

«Воронежский юридический техникум»

методические указания

по выполнению самостоятельной внеаудиторной работы

по дисциплине «Математика»

Воронеж, 2015

Введение

Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине «Математика» предназначены для студентов, обучающихся по специальностям 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет».

Объем самостоятельной работы студентов определяется государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования (ФГОС СПО) по специальностям 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет».

Выполнение внеаудиторной самостоятельной работы является обязательной для каждого студента, её объём в часах определяется действующим рабочим учебным планом Воронежского юридического техникума по данной специальности.

Самостоятельная внеаудиторная работа проводится с целью:

- систематизации и закрепления полученных теоретических знаний студентов;

- углубления и расширения теоретических знаний;

- развития познавательных способностей и активности студентов, самостоятельности, ответственности и организованности;

- формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации.

Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется студентом по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия. По математике используются следующие виды заданий для внеаудиторной самостоятельной работы:

для овладения знаниями: чтение текста (учебника, дополнительной литературы), работа со словарями и справочниками, учебно-исследовательская работа, использование аудио- и видеозаписей, компьютерной техники и Интернета;

для закрепления и систематизации знаний: повторная работа над учебным материалом (учебника, дополнительной литературы, аудио- и видеозаписей), составление плана и алгоритма решения, составление таблиц для систематизации учебного материала, ответы на контрольные вопросы, подготовка сообщений к выступлению на уроке, конференции, подготовка сообщений, докладов, рефератов, тематических кроссвордов;

для формирования умений: выполнение схем, анализ карт, подготовка к деловым играм.

Требования к результатам освоения дисциплины:

При изучении курса математики на базовом уровне продолжаются и получают развитие содержательные линии: «Алгебра», «Функции», «Теория пределов», «Дифференциальное исчисление», «Основы дискретной математики», «Интегральное исчисление» «Линейная алгебра», «Комплексные числа», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики». В рамках указанных содержательных линий решаются следующие задачи:

систематизация сведений о числах; изучение новых видов числовых выражений и формул; совершенствование практических навыков и вычислительной культуры, расширение и совершенствование алгебраического аппарата, сформированного в основной школе, и его применение к решению математических и нематематических задач;

расширение и систематизация общих сведений о функциях, пополнение класса изучаемых функций, иллюстрация широты применения функций для описания и изучения реальных зависимостей;

изучение неопределенных и определенных интегралов, методы вычисления, свойства, умения применять полученные знания для решения практических задач;

представление об основах дискретной математики, производить операции над множествами, составление логических таблиц;

знать понятия линейной алгебры, иметь представления о матрицах и операциях над ними, знать методы решения систем алгебраических уравнения п-ого порядка;

систематизация комплексных чисел и действия над ними, представлять комплексные числа в тригонометрической форме;

развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире, совершенствование интеллектуальных и речевых умений путем обогащения математического языка, развития логического мышления.

Цели

Изучение математики на базовом уровне направлено на достижение следующих целей:

• формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;

• развитие логического мышления, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для обучения в высшей школе по соответствующей специальности, в будущей профессиональной деятельности;

• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения точных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

• воспитание средствами математики культуры личности: отношения к математике как части общечеловеческой культуры: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Общеучебные умения, навыки и способы деятельности

В ходе освоения содержания математического образования учащиеся овладевают разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин;

выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; выполнения расчетов практического характера; использования математических формул и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и эксперимента;

самостоятельной работы с источниками информации, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт;

проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, различения доказанных и недоказанных утверждений, аргументированных и эмоционально убедительных суждений;

самостоятельной и коллективной деятельности, включения своих результатов в результаты работы группы, соотнесение своего мнения с мнением других участников учебного коллектива и мнением авторитетных источников.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ

В результате изучения математики на базовом уровне студент должен

уметь:

- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности.

- вычислять пределы функции, находить непрерывность и точки разрыва функции;

- решать задачи на отыскание производной сложной функции, производных второго и высших порядков;

- исследовать функцию с помощью производных, строить графики функций по алгоритму исследованию;

- применять основные методы интегрирования при решении задач;

- вычислять системы линейных уравнений 2-го, 3-го, 4-го порядка;

- применять методы математического анализа при решении задач прикладного характера, в том числе профессиональной направленности.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

знать:

- значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

- основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

- основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

- основы интегрального и дифференциального исчисления.

- основные понятия и методы математического анализа;

Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы студент должен внимательно выслушать инструктаж преподавателя по выполнению задания, который включает определение цели задания, его содержание, сроки выполнения, ориентировочный объем работы, основные требования к результатам работы, критерии оценки. В процессе инструктажа преподаватель предупреждает студентов о возможных типичных ошибках, встречающихся при выполнении задания.

В пособии представлены как индивидуальные, так и групповые задания в зависимости от цели, объема, конкретной тематики самостоятельной работы, уровня сложности. В качестве форм и методов контроля внеаудиторной самостоятельной работы студентов используются аудиторные занятия, зачеты, тестирование, самоотчеты, контрольные работы.

Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы студента являются:

- уровень освоения студентом учебного материала;

- умение студента использовать теоретические знания при выполнении практических задач;

- сформированность общеучебных умений;

- обоснованность и четкость изложения ответа;

- оформление материала в соответствии с требованиями.

В методических указаниях приведены теоретический (справочный) материал в соответствии с темой работы, обращение к которому поможет выполнить задания самостоятельной работы; вопросы для самоконтроля, подготавливающие к выполнению заданий и сами задания.

Самостоятельная работа №1 Подготовка сообщения «Основные понятия математического анализа». Решение примеров.

Цель: получить представление об основных понятиях математического анализа. История возникновения математики. Применение различных понятий математического анализа в различных областях науки

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке, проверка работы

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Определение 1. Число a называется пределом функции f(x) в точке x₀ (или при x→x₀), если для каждого числа ε>0 существует такое число δ>0, что для всех x удовлетворяющих условию 0<|x−x₀|<δ, выполняется неравенство |f(x)−a|<ε.

Число a - предел функции f(x) в точке x₀:limx→x₀, f(x)=a, если для ∀ε>0 ∃δ>0, ∀x: 0<|x−x₀|<δ⇒|f(x)−a|<ε.

Число a - не является пределом функции f(x) в точке x₀:limx→x₀ f(x)≠a, если
∃ε>0 такое, что для ∀δ>0∃x:0<|x−x₀|<δ⇒|f(x)−a|≥ε.

Свойства предела:

1) Если f(x) и g(x) имеют пределы в точке x₀, то функции f(x)±g(x) и f(x)g(x) также имеют пределы в точке x₀, причем limx→x₀(f(x)±g(x))=limx→x₀ f(x)±limx→x₀ g(x);

limx→x₀ (f(x) g(x))=(limx→x₀ f(x))(limx→x₀ g(x))

2) Для любого числа C,limx→x₀ (Cf(x))=C limx→x₀ f(x)

3) Если функции f(x)

и g(x) имеют пределы в точке x₀ и limx→x₀ g(x)≠0, то функция f(x)g(x) также имеет предел в точке x₀, причем

limx→x₀ f(x)g(x)=limx→x₀ f(x)limx→x₀ g(x).

4) Пусть существует limx→x₀ f(x)=a (f(x)≠a при x≠x₀) и limy→a g(y); тогда в точке x₀ существует предел композиции g(f(x)), причем limx→x₀ g(f(x))=lim y→a g(y).

Если разность f(x)−g(x)

представляет собой неопределенность вида ∞/∞, или частное f(x)/g(x) представляет собой при неопрделенность вида ∞/∞ или 0/0, то вычисление пределов называют "раскрытием неопределенностей."

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

Первый замечательный предел

Рассмотрим следующий предел:

Согласно нашему правилу нахождения пределов подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:

Данный математический факт носит название Первого замечательного предела. Нередко в практических заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:

- тот же самый первый замечательный предел.

! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.

На практике в качестве параметра может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.

Примеры:
, , ,

Пример 1

Найти предел

Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:

Пример 2

Найти предел

Пример 3

Найти предел

Подставляем ноль в выражение под знаком предела:

Получена неопределенность ,

Второй замечательный предел

В теории математического анализа доказано, что:

Данный факт носит название второго замечательного предела.

Пример 6

Найти предел

Нетрудно заметить, что при основание степени , а показатель - , то есть имеется, неопределенность вида :

При этом сам значок предела перемещаем в показатель:

Найти предел

Пример 8

Найти предел

Самостоятельная работа

1 вариант

1.Какая последовательность называется числовой последовательностью?

2.Какая связь существует между бесконечно малой и бесконечно большой величиной?

3. Формула первого замечтельного предела.

4.Вычислить предел функции:

2 вариант

1.Каким может быть характер изменения переменной величины?

2.Сформулируйте определение предела переменной величины.

3. Формула второго замечательного предела.

4.Вычислить предел функции:

3 вариант

1.Какомуу условию должна удовлетворять ограниченная переменная величина?

2.Перечислите основные свойства бесконечно малых величин.

3. Формула первого замечтельного предела.

4.Вычислить предел функции:

4 вариант

1.Дайте определение бесконечно малой переменной.

2.Перечислите свойства пределов функций.

3. Формула второго замечательного предела.

4.Вычислить предел функции:

Самостоятельная работа №2 Подготовка сообщения «История развития понятия производных функций», создание электронной презентации на тему «Дифференцирование элементарных функций». Решение примеров.

Цель: получить представление о дифференциале функции, истории развития понятия производной функции и ее применении в различных областях науки, познакомиться с правилами дифференцирования на основе определения нахождения производных некоторых элементарных функций, научиться применять формулы дифференцирования и таблицу производных .

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами, электронными презентациями Power Point, разбор формул дифференцирования и таблицы производных.

Форма контроля: сообщение на уроке, представление презентации, ответ на уроке, проверка работы

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

1. ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Если С - постоянная, u = u(x), v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14. ,

15. ,

16. ,

17. .

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Определение: Функция называется сложной, если ее аргумент сам является функцией.

Пусть y=y(u) и u=u(x)- дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y(u(x)) есть также дифференцируемая функция, причем

y^/_x=y^/_{u *}u ^/_x или

Примеры:

1. Найти производные заданных функций

а) ;

Решение. .

б) ;

Решение. Используем формулу .

.

в) ;

Решение. Используем формулу .

.

2. Найти точки, в которых производная функции равна нулю:

Решение.

3. Найти производные функций:

а) ; б) .

Решение. а) Функция - это произведение двух функций и , поэтому по третьему правилу дифференцирования:

.

Из таблицы производных находим, что , и так как , то ; .

Значит, .

б) .

4. Найти производные функций:

а)

Решение.

б)

Решение.

Задания:

Вариант 1

1. Найти производные

1. ,

2. ,

3. ,

Вариант 2

1. Найти производные

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

Вариант 3

1. Найти производные

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

Вариант 4

1. Найти производные

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

Самостоятельная работа №3 Подготовка сообщения «Полное исследование функций и построение ее графика», «Функции. Историческая справка»

Цель: получение более углубленной информации об исследовании функции, методам построения графиков, иметь полное представление о непрерывностях и разрывах функции, осознать роль функции и графиков в изучении явлений реальной действительности, в человеческой практики.

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №4 Подготовка сообщения «Неопределённый интеграл. Основные методы вычисления неопределённых интегралов», «Определённый интеграл. Основные свойства определённого интеграла и его вычисление. Использование понятия определённого интеграла в экономике.». Решение примеров.

Цель: получить представление об истории возникновения интегрального исчисления, применение интеграла в нахождении площадей фигур, объема тел, связь интегрального исчисления с другими науками. Изучить таблицу неопределенных интегралов. Уметь находить определенный интеграл по правилу Ньютона-Лейбница.

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке, проверка работы.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Таблица неопределенных интегралов

Определенный интеграл и формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) - F(a).

Самостоятельная работа

1 вариант

1.Вычислите интегралы:

1. 

2. 

3. ;

4. ;

5. .

2.Найдите площадь фигур, ограниченных линиями:

1. у=-x²+x+6 и у=0;

2. у= x² -8x+18, у=-2x+18.

2 вариант

1.Вычислите интегралы:

1. 

2. 

3. ;

4. ;

5. .

2.Найдите площади фигур, ограниченных линиями:

1. у= х²+2х+3 и у=0;

2. у=-х²+10х-16, у=х+2.

Самостоятельная работа №5 Решение логических задач

Цель: закрепить навыки решения основных задач дискретной математики и математической логики; составление логических таблиц.

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Виды заданий:

1. Сравнение множеств

2. Операции над множествами

3. Правило суммы

4. Правило произведения

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Напомним основные обозначения, понятия, относящиеся к множествам.

Начнем с основного понятия, которое встречается практически в каждом разделе математики - это понятие множества.

Множество - это совокупность, набор элементов, объединенных общими свойствами.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами , а элементы множества строчными латинскими буквами .

Запись означает, что есть множество с элементами , которые связаны между собой какой-то функцией .

Замечание. Элементы в множество входят по одному разу, т.е. без повторений.

Основные операции:

1. Принадлежность элемента множеству:

где -- элемент и -- множество (элемент принадлежит множеству ).

2. Непринадлежность элемента множеству:

где -- элемент и -- множество (элемент не принадлежит множеству ).

3. Объединение множеств: .

Объединением двух множеств и называется множество , которое состоит из элементов множеств и , т.е.

или

4. Пересечение множеств: .

Пересечением двух множеств и называется множество , которое состоит из общих элементов множеств и , т.е.

и

5. Разность множеств: .

Разностью двух множеств и , например, множество минус множество , называется множество , которое состоит из элементов множества , которых нет в множестве , т.е.

и

6. Симметрическая разность множеств: .

Симметрической разностью двух множеств и называется множество , которое состоит из не общих элементов множеств и , т.е.

7. Дополнение множества: .

Если предположим, что множество является подмножеством некоторого универсального множества , тогда определяется операция дополнения:

и

8. Вхождение одного множества в другое множество: .

Если любой элемент множества является элементом множества , то говорят, что множество есть подмножество множества (множество входит в множество ).

9. Не вхождение одного множества в другое множество: .

Если существует элемент множества , который не является элементом множества , то говорят, что множество не подмножество множества (множество не входит в множество ).

Основные числовые множества

N

{1,2,3,...,n} Множество всех натуральных чисел

Z

{0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных.

Q

Множество рациональных чисел.

Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь - это выражение вида , где p - целое число, q - натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = 2/1.

Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью - конечно или бесконечной периодической.

R

Множество всех вещественных чисел.

Иррациональные числа - это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся:

• число - отношение длины окружности к её диаметру;

• число - названное в честь Эйлера и др.;

Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) - образуют множество действительных (или вещественных) чисел.

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства операций над множествами

Свойства перестановочности

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Пример. Найти пересечение множеств: а)А=1,3,5,7,9Б=1,2,3,4,5,6
b) Множество А состоит из букв слова Математика. Множество Б состоит из букв слова Алгебра. Найти пересечение А∩Б.
Решение:
а) Множество А состоит из нечетных чисел первого десятка. Множество Б все натуральные числа до 6. Пересечением множеств будет множество из общих элементов: А∩Б=1;3;5.
b) Запишем элементы множества А=А;Е;И;К;М;ТБ=А;Б;Г;Е;Л;Р. Пересечение множеств : А∩Б=А;Е.
Объединением множеств А и Б называется множество состоящее из всех элементов принадлежащее каждому множеству. Обозначается как АUБ. Давайте так же нарисуем нашу операцию с помощью кругов Эйлера:

Давайте запишем на математическом языке: АUБ=y|yϵAилиyϵБ.
Объединять так же можно любое количество множеств.

Пример. Объедините множества:
а)А=1,3,5,7,9Б=2,4,6,8b)A=(1;3)Б=[2;6].
с) А - множество всех точек плоскости абсцисса которых больше одного. Б - множество всех точек плоскости ордината которых не больше двух.

Решение:
а) Множество А состоит из нечетных чисел первого десятка. Множество Б состоит из четных чисел первого десятка. Объединением будут все числа первого десятка:
АUБ=1;2;3;4;5;6;7;8;9.
b) Множество А состоит из всех чисел открытого интервала (1;3). Множество Б состоит из всех чисел интервала [2;6]. Объединением АUБ будут все числа принадлежащие сразу двум интервалам.
На интервале от двух до трех, множества содержат одинаковые числа тогда объединение можно записать в виде:
АUБ=(1;6]

с) Нашу задачу лучше решить графически: Нарисуем множество точек множества А: Нарисуем множество точек множества Б: Нарисуем объединение:
Задачи для самостоятельного решения.
1. Найти пересечение множеств: а) А=1,4,8,10,13Б=2,5,8,10,11,13
b) Множество А состоит из букв слова Алгоритм. Множество Б состоит из букв слова Программирование. Найти пересечение А∩Б.
с) А - множество всех точек плоскости абсцисса которых больше двух. Б - множество всех точек плоскости ордината которых больше одного.

2. Найти объединение множеств:
а) А=10,20,30,40Б=5,15,25,35
b) A=(0;5)Б=[−1;3).
с) Множество А состоит из корней уравнения (х+5)(х−2)=0. Множество Б состоит из решения неравенства х>1.
d) А - множество всех точек плоскости абсцисса которых меньше нуля. Б - множество всех точек плоскости ордината которых больше трех.

Самостоятельная работа №6 Решения систем линейных уравнений методом Крамера, методом Гауса.

Цель: научится решать системы линейных уравнений с тремя и четырьмя переменными методом Гауса и методом Крамера.

Самостоятельная работа: работа в мини группах, обмен заданиями, поиск ошибок.

Форма контроля: проверка работ

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

.

Найти значения и возможно только при условии, если

.

Этот вывод следует из следующей теоремы.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе - определитель системы, а в числителе - определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Решить систему уравнений методом Крамера.

Ответ: 1, -1

Ответ: (1, 0, -1)

Ответ: (2, -1, 1)

Ответ: Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Ме́тод Га́усса - классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы.

Пусть исходная система выглядит следующим образом.

Матрица называется основной матрицей системы, - столбцом свободных членов.

Тогда, согласно свойству элементарных преобразований над строками, основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных .

Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число , где , то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.

Пусть для любых .

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом (, где - номер строки):

,
где

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Решить систему уравнений методом Гауса.

Ответ: (-1, 2, 2)

Ответ:

Ответ: (1, 2, 3)

Ответ: (1, 2, 3)

Ответ:

Самостоятельная работа №7 Подготовка к практической работе. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера.

Цель: получить полное представление о комплексных числах, производить действия с ними заданными в алгебраической и тригонометрической форме, извлекать модуль из комплексного числа, знать геометрическую интерпретацию комплексного числа, иметь четкое различие между вещественным и комплексным числом

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: проверка работы

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Комплексным числом (в алгебраической форме) называется выражение

где - произвольные действительные числа, - мнимая единица, определяемая условием .

Число называется действительной частью комплексного числа , обозначается (от латинского «realis»), число называется мнимой частью комплексного числа и обозначается (от латинского «imaginarius»).

Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: , . Два комплексных числа равны либо не равны (понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся).

Комплексно-сопряженными числу называется число . Очевидно, комплексно-сопряженное число к числу совпадает с числом : .

Арифметические операции. Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производят по обычным правилам алгебры.

Пусть , . Тогда

сумма ,

разность ,

произведение ,

частное (при )

Пример 1. Заданы комплексные числа , .

Найти , , .

Решение. ;

;

. ☻

Задача 1. Пусть и - пара комплексно-сопряженных чисел. Показать, что их сумма есть действительное число, разность - мнимое число, а произведение есть действительное неотрицательное число.

Пример 2. Найти , .

Решение. ; .

, ☻

Замечание. Степени числа можно представить в виде таблицы

Пример 3. Перемножить числа и .

Решение.

☻

Пример 4. Вычислить а) ; б) ; в) .

Решение. а) Раскроем квадрат разности:

.

б) Раскроем куб суммы:

.

в) По биному Ньютона:

.

Можно было считать так: . ☻

Пример 5. Найти частное , если .

Решение.

. ☻

Пример 6. Вычислить а) , б) .

Решение. а) .

б) . ☻

Запомним: .

Геометрическая интерпретация комплексного числа. Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат. Отложим по оси абсцисс действительную часть комплексного числа , а по оси ординат - его мнимую часть . Получим точку с координатами . При этом каждому комплексному числу соответствует одна точка плоскости. Верно и обратное: каждой точке плоскости можно поставить в соответствие комплексное число , действительная часть которого равна абсциссе точки, а мнимая часть равна ординате точки. Таким образом, между комплексными числами и точками плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие. (Ранее мы говорили о взаимно однозначном соответствии между действительными числами и точками числовой прямой).

Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Для отличия её от действительной плоскости в правом верхнем углу пишут букву , обведенную кружком. Ось абсцисс на такой плоскости называют действительной осью, а ось ординат - мнимой осью. Комплексно-сопряженное число - это зеркальное отражение заданного комплексного числа относительно действительной оси. Начало координат называется нуль-точкой. Расстояние комплексного числа от начала координат называется модулем этого числа:

Задача 2.Доказать, что .

Модуль разности двух комплексных чисел - это расстояние между соответствующими точками:

.

Каждой точке комплексной плоскости поставим в соответствие вектор с началом в нуль-точке и концом в данной точке. Очевидно, это соответствие взаимно однозначно. В такой интерпретации действительная и мнимая части комплексного числа - это первая и вторая компоненты вектора. Сумма представляется теперь диагональю параллелограмма, построенного на векторах и , разность понимается как . Модуль комплексного числа представляет собой длину вектора. Геометрически очевидным является неравенство треугольника в комплексной плоскости: .

Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.Пусть числа и заданы в тригонометрической форме: , . Перемножим их:

.

Вспоминая формулы для косинуса и синуса суммы двух углов, получаем

. (1)

Мы видим, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Геометрический смысл этой операции: представляя числа и векторами на комплексной плоскости, исходящими из нуль-точки, видим, что вектор получается из вектора «растяжением» в раз и поворотом на угол .

Для частного получаем формулу:

. (2)

Возведение комплексного числа в степень. Из формулы (1) следует, что возведение в степень комплексного числа производится по правилу

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера (будет доказана позже):

, (6)

позволяет записать комплексное число в показательной форме:

, где .

Из формулы Эйлера и из -периодичности синуса и косинуса следует:

.

Значит, , т.е. .

Пример 7.Числа записать в показательной форме.

Решение. В примере 10 нашли ,

, , ,

, , , . ☻

Легко проверить справедливость соотношений:

Сравните эти соотношения с правилами умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел в тригонометрической форме.

Задания для самостоятельной работы 1

1 вариант

1. Даны комплексные числа

z₁=15-5i, z₂=1+2i

Найдите:

а) сумму z₁+z₂ и укажите её вещественную и мнимую часть ;
б) разность z₁+z₂b и укажите комплексные числа, сопряжённые и противоположные к z ;

в) произведение z=z_1*z₂;

г) частное z =.

2. Разложите на множители по формуле разности квадратов (а>0)

а+16

3.Вычислить

а) (2-3i)2+(1+i )(1-i )

б)

в) (2i)⁶+.

4. Решить уравнение

а) z2 -2z +5 =0 ;

б) (1+i)z=6-2i.

5. Найдите действительные x и y из равенства

(5+3i)x+(2-i)y=-1-5i

2 вариант

1. Даны комплексные числа

z₁=5+10i, z₂=2-i

Найдите:

а) сумму z₁+z₂ и укажите её вещественную и мнимую часть ;
б) разность z₁+z₂b и укажите комплексные числа, сопряжённые и противоположные к z ;

в) произведение z=z_1*z₂;

г) частное z =.

2. Разложите на множители по формуле разности квадратов (а>0)

а+49

3.Вычислить

а)(3+2i)²-(1-i)(1+i)

б)

в)

4.Решить уравнение

а)z²+4z+13=0 ;

б) (1-i)z=8+6i.

5. Найдите действительные x и y из равенства

(4-3i)x+(1+2i)y=2-7i.

Задания для самостоятельной работы 2

1 вариант

1. Представьте данные комплексные числа в тригонометрической форме:

а) z=;

б) z=cos.

2. Выполните действия и представьте ответ в тригонометрической форме :

а) ;

б) .

3. Вычислите и представьте ответ в алгебраической форме :

а) ;

б) .

4. Разложите на линейные множители :

z⁴+2z²+4.

5. Решите уравнение :

(z+i)⁶=z²+2iz-1.

2 вариант

1. Представьте данные комплексные числа в тригонометрической форме:

а) z=;

б) ;

2. Выполните действия и представьте ответ в тригонометрической форме :

а) ;

б) .

3 Вычислите и представьте ответ в алгебраической форме:

а) ;

б) .

4. Разложите на линейные множители:

z⁴-4z²+16.

5. Решите уравнение:

Самостоятельная работа №8 Решение задач по теме. Проект «Применение теории вероятностей в повседневной жизни»

Цель: получить представление об основных понятиях теории вероятности, случайных величинах, распределении случайных величин, возможных формах и характеристиках надежности.

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: проверка работ

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

Теория вероятностей - это математическая дисциплина, изучающая закономерности массовых случайных явлений.

Теория вероятностей не может предсказать результат отдельного опыта со случайными исходами, но она достаточно надежно предсказывает результат большого числа таких опытов.

Основными объектами изучения в теории вероятностей являются случайные события и случайные величины.

Случайное событие - это качественное понятие. Событие либо происходит, либо не происходит. Случайная величина - понятие количественное: в результате опыта случайная величина принимает одно из множества своих возможных значений.

Математической статистикой называется раздел прикладной математики, изучающий методы сбора, обработки и анализа статистических данных для научных и практических целей. Математическая статистика занимается изучением закономерностей, которым подчиняются массовые явления, на основе результатов наблюдений.

Случайным событием (или просто событием) называется любой факт, который может иметь место при наличии определенной совокупности условий.

Каждое осуществление требуемой совокупности условий называется испытанием или опытом.

События, которые могут произойти в результате испытания, называются исходами данного испытания. События принято обозначать заглавными (прописными) буквами начала латинского алфавита: А, В, С и т.д. Словесное описание события часто дается в такой форме:

А = {выпадение "орла" при бросании монеты}.

В теории вероятностей различают виды событий.

Достоверное событие. Так называют событие, которое обязательно происходит в результате испытания.

Невозможное событие - событие, которое не может произойти в данном испытании.

Совместные и несовместные события. Два события называются несовместными, если они не могут произойти вместе в одном испытании, в противном случае их называют совместными. События А₁, А₂, ..., А_n , называют попарно несовместными, если никакие два из них не могут произойти вместе в одном испытании.

Противоположным событию А называется событие А, состоящее в непоявлении события А. Очевидно, что события А и А являются несовместными.

Говорят, что события А₁, А₂ ,...,А_n в некотором испытании образуют полную группу, если в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них.

Условимся полную группу несовместных исходов называть пространством элементарных событий.

Исходы испытания называют равновозможными, если нет объективных причин считать, что какие-либо из них могут происходить чаще, чем другие.

Событие В называется благоприятствующим событию А, если появление события В означает одновременно появление события А.

Пример 2.5. Событие В={выпадение двух очков на игральной кости} благоприятствует событию А={выпадение четного числа очков}.

Определение (классическое). Вероятностью события А в данном опыте называется отношение числа т исходов опыта, благоприятствующих событию А, к общему числу п исходов опыта, образующих полную группу попарно несовместных равновозможных событий:

Комбинаторика - это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов конечного множества в соответствии с заданными правилами. В теории вероятностей формулы комбинаторики широко используются для подсчета числа исходов опыта.

Основной принцип комбинаторики. Пусть требуется выполнить одно за другим k действий, причем первое действие можно выполнить п₁, способами, второе - п₂ способами и т.д., тогда все k действий можно выполнить следующим числом способов:

п = п₁п₂..п_k.

Все приводимые ниже формулы комбинаторики выводятся как следствия из этого основного правила.

Сочетания. Пусть  - множество из п элементов. Произвольное (неупорядоченное) т-элементное подмножество множества из п элементов называется сочетанием из п элементов по т. Сочетаниями из трёх элементов по два являются следующие неупорядоченные подмножества множества {а, b, c}: {a,b},{a,c},{b,c}.

Число сочетаний из п элементов по т

Определение. Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до п (п - число элементов множества) так, что различным элементам соответствуют различные числа.

Перестановки. Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов (т. е. могут быть получены из того же самого множества), называются перестановками этого множества. Например, перестановками множества {а, b, с} являются упорядоченные множества (а, b, с), (а, с, b), (b, а, с), (b, с, а), (с, а, b), (с, b, а).

Число перестановок из п элементов

Р_п =12... (n-1) n = n!

Размещения. Упорядоченное m-элементное подмножество множества из п элементов называется размещением из п элементов по т. Например, размещениями из трёх элементов по два являются следующие упорядоченные подмножества множества (а, b, с): (а, b), (b, а), (а, с), (с, а), (b, с), (с, b).

Число размещений из п элементов по т

Задания для самостоятельной работы

1 вариант

1. Вычислить

а)

б)

2. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 6 различных уроков?

3. Сколькими способами из7 членов президиума собрания можно выбрать председателя, его заместителя и секретаря?

4. Сколькими способами из 10 игроков волейбольной команды можно выбрать стартовую шестерку?

5. Решить уравнение:

2 вариант

1. Вычислить

а)

б)

2. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (цифры в одном числе не должны повторяться)?

3. Сколькими способами из9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков?

4. Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырех для участия в праздничном концерте?

5. Решить уравнение:

Самостоятельная работа №8 Доклад «Математическая статистика и ее роль в различных сферах деятельности»

Цель: получить представление об основных понятиях статистики, ее роли различных сферах деятельности, связь статистики с другими предметами.

Самостоятельная работа: работа с литературой, интернет-ресурсами.

Форма контроля: сообщение на уроке

Перечень рекомендуемой основной

и дополнительной литературы

1. Богомолов, Н.В., Самойленко, П.И. Математика: учеб. для бакалавров/ Н.В.

Богомолов, П.И.Самойленко. 5-е изд., - М.: Издательство Юрайт, 2013. - 396 с.

2. Богомолов, Н.В. Сборник задач по математике: учебное пособие для ссузов / Н.В.

Богомолов. - 8-е изд., - М: Дрофа, 2012. - 204 с.

3. Башмаков, М.И. Математика. Учеб. для обучающихся в учреждениях начального

и среднего профессионального образования/М.И. Башмаков. - 5-е изд., М.:

Издательский центр "Академия", 2013. - 251 с.

4. Башмаков, М.И. Математика. Задачник для обучающихся в учреждениях

"Академия", 2013. - 416 с.

5. Алимов, Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 -11 кл. общеобразовательных

учреждений - М. Просвещение, 2012. - 460 с.

6. Мордкович А. Г. Алгебра и начала мат. ан. 10-11 кл. Учебник и

задачник для учащихся общеобраз. уч. - М.: Мнемозина, 2013. 402 с.

7.Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа. Учебник. / под ред. А.Н.

Колмогорова. - М.: Просвещение, 2010. - 365 с.

8.Математика в таблицах и схемах. Изд. 2-е,испр. СПб, «Полиграфуслуги», 2010.-

224 стр.

9. Болтянский, В.Г. Математика: учебное пособие / под ред. В.Г. Болтянского, Ю.В.

Сидорова. - М.: Наука, 2011. - 592 с.

10. Богомолов, Н.В. / Практические занятия по математике: учеб. пособие для сред.

спец. учеб. заведений: рекомендовано МО РФ/ Н.В. Богомолов.- М.: Высш. школа,

2011.- 495с.

11. Погорелов, А.В. / Геометрия: учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений

/А.В. Погорелов.- М.: Просвещение, 2010.- 128с.

12. Подольский, В.А. / Сборник задач по математике: учеб. пособие для студ.

техникумов / В.А.Подольский, А.М.Суходский, В.С. Мироненко.- М.: Высш. школа,

2010. - 207 с.

Периодические издания:

1. Журнал «Математика и логика»

2. Журнал «Журнал вычислительной математики и математической физики»

Интернет-ресурсы:

1. Единое информационно-образовательное пространство колледжа NetSchool. Форма доступа: sgtek.ru

2. riis.ru/PS/inet-class.html - Internet-класс по высшей математике: Вся математика, от пределов и производных до методов оптимизации, уравнений математической физики и проверки статистических гипотез в среде самых популярных математических пакетов

3. exponenta.ru/educat/class/class.asp - Образовательный математический сайт «Экспонента»

4. edunews.ru/task/pre_c_math.htm - Государственное централизованное тестирование. Тест по математике

5. matembook.chat.ru/ - Математика, высшая математика, алгебра, геометрия, дискретная математика

6. homebook.narod.ru/index.html - Литература по математике (алгебра, геометрия, математический анализ, дискретная математика, дифференциальные уравнения)

7. mathem.h1.ru/ - Математика on-line. В помощь студенту. Основные математические формулы по алгебре, геометрии, тригонометрии, высшей математике, исторические данные

8. helen.ukrbiz.net/index.htm - Контрольные работы по математике

9. history.ru/progmath.htm - Обучающие программы по математике

10. elib.ispu.ru/library/math/sem1/, elib.ispu.ru/library/math/sem2/ - Онлайн-учебник по высшей математике (1-ый и 2-ой семестры)

11. mozg.ru/g3/rating/catalog - Каталог тестов

12. allmath.ru/ - Математический портал