Технологическая карта урока на тему Производная по направлению. Градиент

Преподаватель математики Рыгалова Н.И.

Курс 1 , группа 10 по специальности «Агрономия»

Тема урока: Производная по направлению. Градиент.

Тип урока: усвоение новых знаний

Цель: Создать условия для формирования свойств производной по направлению, умение использовать их при нахождении градиента .

Планируемые результаты: студенты должны научиться рассуждать и делать выводы; слушать собеседника и вести диалог; работать в группе; излагать и аргументировать свою точку зрения, оценивать себя и своих товарищей.

Личностные: способность к эмоциональному восприятию математических объектов, умение слушать, ясно и точно излагать свои мысли, развитие инициативы и активности при решении математических задач. Формировать умения работать в группах.

Метапредметные: Развитие понимания сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Предметные: овладение языком математического анализа, умение вычислять производные по различным направлениям - X; Y; Z, вычислять градиент. Умение анализировать, обобщать и делать выводы.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, работа в группах.

Техническое оборудование: Компьютер, учебники по математике, раздаточный материал, электронная презентация, выполненная в программе Power Point.

Учебная литература: Учебник: С.Г. Григорьев, С.В.Задулина «Математика»

Задачи:

- формировать познавательные УУД: научить в процессе реальной ситуации использовать свойства производных по направлению. Решать примеры, используя свойство производных по направлению.

- Формирование коммуникативных и личностных УУД: умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, выстраивать в группе сверстников продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность.

Формирование регулятивных УУД: развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание, формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий, рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Методы:

• По источникам знаний: словесные, наглядные;

• По степени взаимодействия учитель - ученик: эвристическая беседа;

• Относительно дидактических задач: подготовка к восприятию;

• Относительно характера познавательной деятельности: репродуктивный, частично - поисковый.

Технология: системно - деятельностная

Метод обучения: репродуктивный, частично - поисковый.

Технологическая карта урока

№ п/п

Этапы урока

время

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

УУД

1.

Организационный момент

2 мин

Создать благоприятный психологический настрой на работу.

Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания студентов, психологический настрой студентов к общению.

Включаются в деловой ритм урока.

Записывают дату и тему урока.

Личностные:

самоопределение.

Регулятивные:

целеполагание.

Коммуникативные:

Учебное сотрудничество с преподавателем и сверстниками

2.

Актуализация и самоопределение.

6 мин

Актуализация опорных знаний и способов действий

Устный счёт:

1) y =x² 2) y =x⁵

3) y = x³ + 2x +5

4)y = 2x⁴ + 4x³ +5x² +25

5) Y = (9x + 5)⁴

6) y = (2x +3)¹⁰⁰

7) y = 2

8) y = x + 2

Ответить на вопросы:

В 1: Дайте понятие частной производной в точке.

В 2: Как вычислить частную производную?

В 3. Как вычислить частную производную второго, третьего порядка?

В 4: Дана функция

z = x³ + 4x²y - 6x y² + y³

Найти частные производные второго порядка.

= 3x² + 8xy - 6y²;

= 4x² - 12xy + 3y²

= 6x + 8y;

Отвечают на поставленные вопросы:

Повторяют производные элементарных функций

Вспоминают алгоритм нахождения частных производных.

Решают пример у доски.

Регулятивные:

Целеполагание, постановка учебной задачи; определение и осознание того, что уже известно.

Коммуникативные

Планирование учебного сотрудничества с преподавателем и сверстниками.

Познавательны

Воспроизведение опорных знаний и способов действий. Их осознание, связывание старых знаний с новыми условиями, с новыми данными.

3.

Усвоение новых знаний и способов действия.

10 мин

Обеспечение восприятие, осмысление и первичное запоминание знаний и способов действий для освоения

Z

М₀(x₀; y₀; z₀)

О

Y

X

Пусть задано пространственное скалярное поле, т.е. задана функция

u = (x;y;z)

Рассмотрим точку М₉(x₀: y_0: z₀) и луч

выходящий из этой точки.

Направление луча зададим углами - которые он образует с положительными направлениями осей 0

Единичный вектор направления имеет координаты (

, т.е. его проекциями будут направляющие косинусы:

Т - ма: Если функция u(x, y, z) непрерывно дифференцируема, то её производная по любому направлению

= + +

Замечание:

Если направление вектора задано координатами, т.е. ; ; ;

Производная по направлению, вычисленная в некоторой точке М₀ скалярного поля

u, характеризует скорость изменения функции uв точке М₀ по направлению .

2. Понятие градиента:

Z

X Y

О: Вектор, проекциями которого на оси координат будут служить частные производные в выбранной точке скалярного поля М(x;y;z).

Этот вектор получил название градиента скалярной функции U(x ;y;z) и обозначим его grad u или

= + + ;

()

т.о. каждой точке скалярного поля, определяемого функцией u (x;y;z) соответствует определённый вектор - градиент этой функции.

3. Свойства градиента:

1.(

2. (Сu) = CU

3. (;

4. = (u)u

Осмысление и первичное запоминание знаний и способов действий. Активное участие и самостоятельность студентов в поиске новых знаний и способов действий.

Коммуникативные: постановка вопросов, инициативное сотрудничество.

Познавательные: построение логической цепочки рассуждений

Регулятивные:

саморегуляция

4.

Первичная проверка понимания

7 мин

Установить правильность и осознание усвоения нового учебного материала на уровне применения его в типичной ситуации; выявить пробелы и неверные представления с целью их своевременной коррекции.

Решение примеров у доски

Пример 1: Найти производную от функции

U = x²y - 3y z³ в точке М₀(2;2;1) по направлению вектора

= -9 - 6 + 2

Пример 2:

Найти градиент функции:

U =

В точке А (6;10;-5)

Осмысление новых знаний. Правильность ответов, выполнения действий в процессе беседы.

Регулятивные:

Контроль, оценка, коррекция.

Познавательные

Умение структуризировать знания, выбор наиболее эффективных способов решения примеров, рефлексия способов и условий действия.

Репродуктивный:

Усвоение сущности усваиваемых знаний и способов действий

Коммуникативные:

Умение слушать и вступать в диалог. Отстаивать свою точку зрения, контроль, коррекция.

5.

Закрепление знаний и способов действий.

15 мин

Самостоятельная работа студентов:

Пример 1; Найти производную функции

Z= 3x² - 2xy + 3y² + 2x

В точке М(2;-4) по направлению вектора MN, если N(-1;-8)

Пример 2: Найти производную функции

U = + z³) в точке М(3;2;1) по направлению, образующему с координатными осями равные тупые углы

Пример 3:

Найти градиент функции

U = в точке М₀(; 1)

Самостоятельное выполнение заданий, требующих применения знаний в знакомой и изменённой ситуациях.

Познавательные

Освоение способа действий, моделируют, оценивают результат своей деятельности.

Регулятивные:

Контроль, коррекция, выделение и осознание того. Что уже усвоено, осознание качества и уровня усвоения.

Личностные:

самоопределение

6.

Подведение итогов.

Рефлексия

3 мин

Провести анализ и дать оценку успешности достижения цели, наметить перспективу последующей работы.

Мобилизовать учащихся на рефлексию своей деятельности (мотивации, способов деятельности, общения)

Осмысление способов саморегуляции и сотрудничества.

Адекватность самооценки студента оценке преподавателя. Получение информации о реальных результатах учения. Осознание своего вклада в урок. Открытость в осмыслении своих действий и самооценке.

7.

Информация о домашнем задании

2 мин

Обеспечить понимание и принятие цели, содержания и способов выполнения домашнего задания. Проверить соответствующие записи.

Д/з: стр. 183 № 6;7

Учебник: С.Г. Григорьев, С.В.Задулина «Математика»

Выполнение домашнего задания в соответствии с актуальным уровнем их развития ( по степени сложности)