«Задачи с параметрами»

Элективный курс

Учитель Городской гимназии

города Димитровграда,

Шадрина Т.М.

Содержание

Программа элективного курса по математике: «Задачи с параметрами» 4

Пояснительная записка 4

Тематический план 6

Содержание дисциплины 9

Организация проведения аттестации учащихся 10

Литература для учителя 12

Литература для учащихся 13

Учебное пособие для учащихся 14

Аннотация 14

Тема 1: Линейные уравнения и неравенства с параметрами 15

Что значит решить уравнение с параметром? 15

Линейные уравнения и неравенства с параметрами 18

Тема 2: Квадратные уравнения и неравенства с параметрами 21

Простейшие уравнения вида 21

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами 22

Задачи с параметрами 26

Тема 3: Графические методы решения задач 29

Тема 4: Исследование квадратного трехчлена 33

Исследование знаков корней квадратного трехчлена 33

Расположение корней квадратного трехчлена 34

Примеры решения задач 36

Методическое пособие для учителя 44

Аннотация 44

Тема 1: Линейные уравнения и неравенства с параметрами 44

Самостоятельная работа №1 44

Тема 2: Квадратные уравнения и неравенства с параметрами 46

Самостоятельная работа №2 46

Тема 3: Графические методы решения задач 47

Самостоятельная работа №3 47

Тема 4: Исследование квадратного трехчлена 48

Самостоятельная работа №4 48

Самостоятельная работа №5 49

Тема 5: Применение изученных алгоритмов при решении задач 50

Обобщающее занятие 51

Итоговая контрольная работа 60

Аннотация

Настоящая работа представляет собой учебно-методический комплекс для проведения элективного курса по математике для 9 классов.

Работа состоит из трех частей. В первой части представлена программа элективного курса, где раскрываются цели и задачи курса, тематический план и содержание. Во второй части дается учебное пособие для учащихся, которое включает в себя полный теоретический материал по теме с разобранными примерами и систему упражнений для отработки темы. Третья часть представляет собой методические рекомендации для учителя, целью которых является оказание методической помощи.

Курс рассчитан на 17 часов, где предусмотрено 5 часов самостоятельных работ и по окончании курса итоговая контрольная работа.

Материал представленный в программе данного курса, направлен на развитие математического мышления, способностей, логики, интереса к математическим наукам, почувствовать ее красоту, обнаружить в себе математические способности.

Учебный процесс предусматривает теоретическую часть в виде лекционного материала, практическую часть в виде дифференцированных заданий по данной теме и самостоятельные работы, направленные на проверку усвоения полученных знаний.

Программа элективного курса по математике: «Задачи с параметрами»

9 класс

17 часов

Пояснительная записка

Данный элективный курс направлен на повышение математической культуры в рамках школьного курса математики.

Знания

• Знать употребляемые термины (параметр, контрольное значение параметра, область изменения параметра, семейство уравнений);

• Знать виды заданий с параметрами;

• Знать методы решения заданий с параметрами;

• Знать алгоритмы решений задач с параметрами.

Понимание

Ученик должен

• Понимать что значит решить уравнение с параметрами;

• Понимать алгоритмы решения уравнений и неравенств с параметрами;

• Понимать соответственно между параметром и множеством корней.

Применение

Ученик может

• Применять различные методы решений задач с параметрами в зависимости от условий;

• Применять полученный знания при решении конкретных задач;

• Продемонстрировать правильное применение методов решения уравнений и неравенств с параметрами.

Представленный элективный курс способствует развитию способностей учащихся, развитию познавательных интересов, восполнение некоторых содержательных пробелов основного курса, развитию умений действовать заданному алгоритму и конструировать новые.

Содержание программы актуально с точки зрения задач предпрофильной подготовки, как пропедефтика математического образования в профильной старшей школе. Данные темы найдут применение при получении знаний в высших учебных заведениях.

Элективный курс состоит их 5 разделов:

1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами;

2. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами

3. Графические методы;

4. Исследование квадратного трехчлена;

5. Применение изученных алгоритмов при решении задач.

Размеры школьного учебника, количество часов не позволяют показать в полном объеме все многообразие задач с параметрами, научить учащихся глубоко понимать соответствие между параметром и множеством корней.

Задачи с параметрами - один из труднейших разделов школьного курса математики. Здесь, кроме использования определенных алгоритмов решения задач с параметрами, приходится обдумывать, по какому признаку нужно разбить множество значений параметра на классы, следить за тем, чтобы не пропустить какие-либо тонкости. Здесь проявляется подлинное понимание материала.

Поэтому, например, на вступительных экзаменах в ВУЗы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов, в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ задачи с параметрами часто включают в варианты работ.

Задачи с параметрами, а точнее уравнения и неравенства с параметрами, открывают перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале.

Тематический план

Дата

Кол-во часов

Тема учебного занятия

Тип урока Форма проведения

Методы обучения

Организация самост-ой деятельности

Наглядность

Форма контроля

Образовательный продукт

Доп.

лит.

Примечание

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

3 ч.

Линейные уравнения и неравенства с параметрами

1. Что значит решить уравнение с параметром

Ознакомле-ние с новым материалом

Объяснительно-иллюстративный метод

Работа со схемами, карточками

Схемы, плакаты

Само-контроль

Составление схем, тезисов

[1]

[3]

2. Линейные уравнения с параметрами

Комбиниро-ванный урок, урок-практикум

Частично-поисковый, исследова-тельский метод

Работа со схемами, карточками

Схемы, плакаты

Самос-тоятельная работа

Составление схем , тезисов

[2]

[3]

3. Линейные неравенства с параметрами

Комбиниро-ванный урок, урок-практикум

Частично-поисковый, исследова-тельский метод

Работа со схемами, карточками

Схемы

Взаимо-контроль

Составление схем, тезисов

[1]

5 ч.

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами

4. Простейшие уравнения вида

Комбиниро-ванный урок, урок-практикум

Частично-поисковый, исследовательский метод

Работа со схемами, работа с алгоритмами

Схемы, плакаты

Само-контроль

Составление тезисов

5. Квадратные уравнения с параметрами

Ознакомле-ние с новым материалом, урок-практикум

Объяснительно-иллюстративный метод

Работа в парах, работа с карточками

Карточки, задания

Взаимо-контроль

Составление алгоритмов

[1] [2]

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

6. Квадратные уравнения с параметрами

Комбиниро-ванный урок, урок-практикум

Частично-поисковый, исследовательский метод

Индивидуальные задания, карточки

Карточки

Самос-тоятельная работа

Составление схем

[3]

7. Квадратные неравенства с параметрами

Ознакомле-ние с новым материалом, урок-практикум

Объяснительно-иллюстративный метод

Работа с карточками и индивидуаль-ные задания

Карточки задания

Само-контроль

Составление алгоритмов, тезисов

[3]

8. Решение задач с параметрами

Комбиниро-ванный урок, урок-практикум

Частично-поисковый, исследовательский метод

Работа в группах

Карточки задания

Взаимо-контроль

Составление тезисов

[1] [2]

2 ч.

Графические методы решения задач

9. Графическое решение уравнений с параметрами

Ознакомле-ние с новым материалом, урок-практикум

Объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый метод

Работа с таблицами, схемами

Таблицы, схемы

Само-контроль

Сообщения

[1]

10.Графическое решение уравнений с параметрами

Комбиниро-ванный урок, урок-практикум

Частично-поисковый, исследовательский метод

Работа с таблицами, карточками, алгоритмом

Таблицы, графики

Самос-тоятельная работа

Составление тезисов

[2] [3]

5 ч.

Исследование квадратного трехчлена

11.Исследование знаков корней квадратного уравнения

Ознакомле-ние с новым материалом, урок-практикум

Объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый метод

Работа с алгоритмом

Таблицы, схемы

Само-контроль

Составление алгоритма, тезисов

[3]

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12.Исследование знаков корней квадратного уравнения

Комбинир-ованный урок, урок-практикум

Частично-поисковый, исследовательский метод

Работа с карточками, индивидуаль-ные задания

Таблицы, схемы

Взаимо-контроль, самос-тоятельная работа

Составление тезисов

13.Расположе-ние корней квадратного трехчлена на координатной прямой

Ознакомле-ние с новым материалом, урок-практикум

Объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый метод

Работа с таблицами

Таблицы, схемы, графики

Само-контроль

Составление алгоритма, схем, тезиса

[1] [2]

14.Расположе-ние корней квадратного трехчлена на координатной прямой

Комбиниро-ванный урок, урок-практикум

Частично-поисковый, исследовательский метод

Работа с таблицами, схемами

Таблицы, схемы, графики

Взаимо-контроль

Составление тезисов

[1] [2]

15.Расположе-ние корней квадратного трехчлена на координатной прямой

Комбиниро-ванный урок, урок-практикум

Частично-поисковый, исследовательский метод

Работа с алгоритмом, карточками, индивидуаль-ные задания

Таблицы, схемы

Самос-тоятельная работа

Составление тезисов

[2] [3]

1ч.

Применение изученных алгоритмов при решении задач

16.Обобщающий урок

Применение знаний, урок дискуссий

Частично-поисковый, исследовательский метод

Работа с алгоритмами, таблицами, схемами

Таблицы

Работа в группах, взаимо-контроль, самос-тоятельная работа

Составление тезисов

[1] [3]

1 ч.

Контрольная работа

Содержание дисциплины

Тема 1: Линейные уравнения и неравенства с параметрами

Основные сведения

Параметр, контрольное значение параметра, область изменения параметра, линейные уравнения, неравенства с параметрами, семейство уравнений.

Ученик должен

Знать/ понимать: что значит решить уравнение с параметром, алгоритм решения, область изменения параметра, методы решения заданий с параметрами.

Уметь: определять контрольные значения параметра, применять различные методы решения задач в зависимости от условий.

Тема 2: Квадратные уравнения и неравенства с параметрами

Основные сведения

Дробно-иррациональные уравнения с параметрами, квадратные уравнения и неравенства с параметрами, задачи с параметрами.

Ученик должен

Знать/ понимать: употребляемые термины, область изменения параметра в зависимости от условий, алгоритм решения задач.

Уметь: находить соответствие между параметром и количеством корней уравнения, применять различные методы.

Тема 3: Графические методы решения задач

Основные сведения

Параметр - равноправная переменная, графический образ, координатная плоскость (X,Y), задачи с параметрами - модель миниатюрного исследования.

Ученик должен

Знать/ понимать: параметр - равноправная переменная, алгоритм решения задачи с параметром с помощью графиков.

Уметь: строить графики уравнений f(x;a) , находить соответствие между параметром и множеством корней уравнений.

Тема 4: Исследование квадратного трехчлена

Основные сведения

Различные случаи расположения параболы по отношению к оси абсцисс, расположение корней квадратного трехчлена на координатной прямой, теоремы о расположении корней квадратного трехчлена на координатной прямой.

Ученик должен

Знать/ понимать: когда оба корня трехчлена положительны, отрицательны, разных знаков, оба корня лежат на координатной прямой левее точки x₀ , правее точки x₀ , x₀ лежит между корнями, оба корня лежат в интервале, меньший корень лежит в интервале, отрезок - лежит между корнями уравнения.

Уметь: применять теоремы и следствия при решении заданий с параметрами.

Тема 5: Применение изученных алгоритмов при решении задач

Практические занятия

Решение уравнений и неравенств с параметрами различными методами.

Ученик должен

Знать/ понимать: условия применимости различных методов решения, различные методы решения.

Уметь: выбрать метод решения уравнений и неравенств с параметром, решать с помощью различных методов, использовать приобретенные знания и умения для решения любого уравнения или неравенства удобным методом.

Организация проведения аттестации учащихся

Контролировать уровень достижения учащихся можно такими способами, как наблюдение активности на занятии, беседа с учащимися, родителями, анализ творческих, исследовательских работ, результатов выполнения анкетирования, тестирования. Важно использовать оценку промежуточных достижений в качестве инструмента положительной мотивации, а также своевременной коррекции работы учащихся и учителя.

Чтобы оценить динамику усвоения учениками теоретического материала и поставить учащегося перед необходимостью регулярно заниматься, психологически очень важно предоставить подростку достаточно объективную информацию об уровне его знаний и умений, а значит, и об ожидающей его оценки. Кроме того, знание учителем уровня владения его учениками теорией и навыками ее применения поможет ему внести ему определенные коррективы в учебный процесс (изменить стиль и темп проведения занятий, вернуться к ранее изученному материалу и повторить его, внести изменения в ранее данное индивидуальное задание ученику или группе учащихся для домашнего выполнения).

Возможные критерии оценок:

«5» (отлично) - учащийся блестяще освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных математических задач, в процессе написании и защите рефератов, работы над индивидуальными домашними заданиями ученик продемонстрировал умение работать с литературными источниками, он отличался активным участием в дискуссиях при обсуждении проблем, поставленных и решаемых в данном курсе; кроме того ученик отличился творческим подходом и большой заинтересованностью как при освоении курса в целом, так и при выполнении порученных ему учителем заданий.

«4» (хорошо) - учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартным заданием; ученик справился с написанием рефератов и выполнял домашние задания, но без проявления явных творческих способностей.

«3» (удовлетворительно) - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно успешно выполнить такие задания, как написание рефератов, в итоговой контрольной ученик справился на 2/3 части от общего объема знаний.

«2» (неудовлетворительно) - ученик не проявил ни прилежания, ни заинтересованности в освоении курса, он халатно отнесся к написанию рефератов и выполнению индивидуальных домашних заданий; дискуссии были для ученика неинтересны, и он уклонялся от участия в них, с итоговой контрольной работой не справился. Скорее всего, выбор им этого элективного курса оказался ошибкой.

Итоговая аттестация по результатам изучения курса проводится в виде итоговой контрольной работы, которая оценивается по традиционной шкале оценок.

Литература для учителя

1. В.С. Крамор, «Примеры с параметрами и их решения», М., 1997.

2. Ф.С. Мухамедзянова, Учебно-методический комплект по элективному курсу, «Теоретические и практические вопросы к семинарским и практическим занятиям», ИПК ПРО, Ульяновск, 2005.

3. А.Х. Шахместер, «Задачи с параметрами в ЕГЭ», СПб., 2004.

4. А.Х. Шахместер, «Уравнения и неравенства с параметрами», М., 2004.

5. П.И. Гернштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир, «Задачи с параметрами», «Иликса», Москва - Харьков, 1998.

6. «Я иду на урок астрономии. Звездное небо. Книга для учителя.», «Первое сентября», М., 2001.

Дополнительная литература:

1. А.А. Прокофьев, И.Б. Кожухов, «Математика», «Махаон», М., 2006.

2. В.В. Амелькин, В.Л. Рабцевич, «Задачи с параметрами», «Асар», Минск, 2002.

3. «Полный сборник решения задач для поступающих в ВУЗы», Под ред. М.И. Сканави, «Альянс-В», М., 1999.

Литература для учащихся

1. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич, «Сборник задач по алгебре для 8-9 классов», «Просвещение», М., 2002.

2. Л.И. Звавич, Д.И. Аверьянов, Б.П. Пигарев, «Задания по математики для подготовки к письменному экзамену в 9 классе», «Просвещение», М., 2005.

3. А. Карп, «Задачи по алгебре для 8-9 классов с углубленным изучением математики», «Интерлайн», СПб,1999.

4. Ю.М. Макарычев, Н.Г. Миндюк, «Дидактический материал по алгебре», «Просвещение», М., 2001.

5. Л.И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, Б.В. Козулин, «Новые контрольные и проверочные работы по алгебре 9 класс», «Дрофа», М., 2002.

6. Ю.Н. Макарычев, Н.Д. Миндюк, «Дополнительные главы к школьному учебнику по алгебре», «Просвещение», М., 1998.

Дополнительная литература:

1. «Полный сборник решения задач для поступающих в ВУЗы», Под ред. М.И. Сканави, «Альянс-В», М., 1999.

2. Г. Дорофеев, М. Потапов, Н. Розов, «Математика для поступающих в ВУЗы», «Дрофа», М., 2002.

Учебное пособие для учащихся

Аннотация

В данном пособии вы найдете теоретический материал по теме «Задачи с параметрами». Кроме этого здесь имеется большое количество подробно разобранных заданий и примеров, а так же заданий для самостоятельного решения.

Задачи с параметрами всегда вызывают сложности так как в основных учебниках их либо вообще нет, либо они представлены в недостаточном объеме. Представленный материал призван расширить ваше представление о некоторых известных и неизвестных вам методах решения задач.

Данное пособие состоит из 4 разделов:

1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами;

2. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами

3. Графические методы;

4. Исследование квадратного трехчлена.

Желаем успехов!

Тема 1: Линейные уравнения и неравенства с параметрами

Что значит решить уравнение с параметром?

Задача:

В трех девятых классах учатся 108 учащихся. В 9А классе учатся на a больше чем в 9Б, а в 9В на 3 меньше чем в 9Б. Сколько учащихся в каждом классе, если известно, что в каждом классе их не менее 30?

Решение:

Пусть в 9Б классе х учащихся, тогда в 9А классе (х+а) учащихся, в 9В классе (х-3) учащихся. Всего в 9 классах (х+х+х+а-3) учащихся, а по условию задачи их 108.

Составим и решим уравнение.

В этом уравнении буквой x обозначено неизвестное число, а буква а выполняет роль известного числа а (а - натуральное число). Букву а в полученном уравнении называют параметром, а само уравнение - уравнением с параметром.

Выразим x через а

Значит в 9Б классе () учеников, в 9А () учащихся, в 9В классе () учащихся. Известно, что в каждом классе не менее 30 человек. Меньше число учащихся в 9Б и 9В классах, значит должны выполняться неравенства:

и .

Получим, и .

Следовательно, . Количество учащихся в классах должно быть натуральным и кратным 3.

Учитывая эти условия, заключаем, что, а равно 12, 9, 6 или3.

Возможны 4 варианта ответа.

1. в 9А - 45 человек, 9Б - 33 человека, 9В - 30 человек;

2. в 9А - 43 человек, 9Б - 34 человека, 9В - 31 человек;

3. в 9А-41 человек, 9Б-35 человека, 9В- 32 человек;

4. в 9А-39 человек, 9Б-36 человек, 9В- 33 человека.

Таким образом, мы выявили различные значения параметра а, для каждого из которых определено соответствующее количество учащихся в классе.

Теоретический экскурс:

Пусть дано уравнение (1).

Если ставится задача отыскать все такие пары, которые удовлетворяют данному уравнению, то уравнение (1) - это уравнение с двумя переменными х и а. Однако относительно равнения (1) можно поставить и другую задачу. Дело в том, что если придать а какое-либо фиксированное значение, то уравнение (1) можно рассматривать как уравнение с одной переменной х. Решение этого уравнения, естественно определяются выбранным значением а.

Если ставится задача для каждого значения а из некоторого числового множества а решить уравнение (1) относительно х, то уравнение (1) называют уравнением с переменной х и параметром а, множество А - областью изменения параметра. Уравнение (1) - это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Уравнения этого семейства получаются из уравнения (1) при различных конкретных значениях параметра а. Так уравнения

,

у которого областью изменения параметра а является множество

, есть краткая запись следующего семейства уравнений:

Под областью изменения параметра обычно подразумевают (если не сделано специальных оговорок) множество всех действительных чисел, а задачу решения уравнения с параметром формулируют следующим образом:

Решить уравнение (1) - это значит, на множестве действительных чисел решить семейство уравнений получающихся из уравнения (1) при всех действительных значениях параметра.

Выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Это можно сделать, если, например, по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств.

Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра будем называть контрольными.

Покажем на примерах, как эти значения обнаруживаются, как с их помощью множество значений параметра разбившихся на подмножества и как затем на каждом из подмножеств решается заданное уравнение или неравенство.

Пример 1.1:

Решить уравнение .

Решение:

Здесь контрольными являются те значения параметра, для которых коэффициент при х обращается в нуль. Такими значениями служат . При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра это деление возможно.

Решим уравнения как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значения параметра: ,.

Рассмотрим эти случаи.

1. При а=0 уравнение принимает вид , Это уравнение не имеет корней.

2. При а=3 уравнение принимает вид . Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3. При из данного уравнения получаем

Ответ:

1. а=0, то корней нет;

2. а=3, то х - любое действительное число;

3. , то .

Пример 1.2:

Решить неравенство .

Решение:

Контрольные значения параметра а=0, а=3. Но при решении неравенства существенно не только то, обращается ли старший коэффициент в нуль или отличен от нуля, но и его знак. Поэтому рассмотрим данное неравенство в следующих случаях:

a<0, a=0, 0<a<3, a=3, a>3.

1. если а<0, то , значит , то есть ;

2. если а=0, то 0>-9 - верно при любых значениях х;

3. если 0<a<3, то , значит , то есть ;

4. если а=3, то неравенство примет вид 0>0, что не выполняется ни при каких значениях х;

5. если а>3, то а(а-3)>0, то получаем , то есть .

Ответ:

1. если а<0, а>3, то ;

2. если а=0, то х - любое;

3. если 0<a<3, то ;

4. если а=3, то нет решений.

Начинать решать уравнения с параметрами надо с 7 класса при решении линейных уравнений, при сравнении двух чисел. Главное, что нужно усвоить при решении уравнения с параметром, - это необходимость осторожного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.

Так что же значит решить уравнение с параметром? Решить уравнение с параметром а - это значит установить соответствие, с помощью которого для каждого значение параметра а указать множество корней соответствующего уравнения.

Задания для самостоятельного решения:

1. Какие случаи следует выделить при решении уравнения.

1. bx=8 Ответ: b=0, b<>0;

2. Ответ: ;

2. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней.

Ответ: b=-2, b=5;

3. Выяснить вид уравнение относительно x при

   1. a=-2;

   2. a=-6;

   3. a=1;

   4. a=0.

Линейные уравнения и неравенства с параметрами

Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна на тех примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам относятся: сравнить два числа, решить линейное или квадратное уравнение.

Сравнить -а и 3а.

Решение:

Рассмотрим три случая:

1. если а<0,то -а>3а;

2. если а=0,то -а=3а;

3. если а>0,то -а<3а.

Решить уравнение ах = 3.

Решение:

Контрольные значения параметра а=0.

Если а=0,то 0=3 данное уравнение решений не имеет.

Если а≠0,то .

Ответ: если а=0,то нет решений,

если а≠0,то .

Решить уравнение .

Решение:

Контрольное значение параметра а=2.

Если а=2,то 0х=0,данное уравнение имеет бесконечно много решений.

Если а≠2, то .

Ответ: если а=2, то х-любое,

если а≠2,то х=а+2.

Решить уравнение .

Решение:

Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения.

Достаточно рассмотреть такие случаи:

1. а=1, тогда уравнение принимает вид 0х=2 и не имеет решений;

2. а=-1;получаем 0х=2, и очевидно х-любое;

3. , имеем .

Замечание:

Существенным этапом решения задач с параметром является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа- это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет решение.

Ответ: если а=-1,то х-любое;

если а=1,то нет решений;

если , то .

Сколько корней имеет уравнение при указанных значениях параметра а:

1. а=0;

2. а=1;

3. а=2;

4. а=3;

5. а=-1?

Для каждого значения параметра а решите уравнение .

Решение:

а<0, тогда данное уравнение не имеет решений,

а=0, то |x|=0, уравнение имеет единственное решение х=0,

а>0, тогда данное уравнение имеет решение .

Решите неравенство ах<1.

Решение:

Рассмотрим данное неравенство в следующих случаях: a<0, a=0, a>0.

1. если a<0, то ,

2. если а=0, то 0<1 верно при любых действительных значениях х,

3. если a>0, то .

Ответ: если a<0, то ;

если а=0, то х- любое;

если a>0, то .

Решить неравенство .

Решение:

Если а=0,то правая часть отрицательна и тогда при любом х левая часть больше правой.

Если а≠0, то исходному неравенству удовлетворяют все действительные числа, кроме х=-3.

Ответ: если а≠0, то х - любое,

если а=0, то х<-3 или x>-3

Итак, уравнение вида ах=b может иметь бесконечное множество корней, может состоять из одного элемента, быть пустым множеством ах=b

1. a=0, b≠0 нет корней,

2. a=0, b=0 х - любое,

3. a≠0, b≠0 единственный корень .

Задания для самостоятельного решения:

Решить уравнения:

1. 

2. 

3. 

4. придумать и решить свое линейное уравнение с параметром.

Тема 2: Квадратные уравнения и неравенства с параметрами

Простейшие уравнения вида

Пример 2.1:

Решить уравнение .

Решение:

Из уравнения находим , ограничение . В данном случае означает, что если а=3, то х₁=3 - посторонний корень, а если а=-3, то х₂=-3 - посторонний корень.

Ответ: 1) если, а=3, то х=-3

2) если а=-3, то х=3

3) если а=±3, то х₁=3, х₂=-3

Пример 2.2:

Решить уравнение .

Решение:

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю

Имеем .

Если, а=1, то это уравнение, а сним и заданное не имеет корней (0х=5); если а≠1, то . Остается «пропустить» это значение через условие х≠±2. Пусть , тогда 5=2а-2, а=3,5. Это значит, что если а=3,5, то - посторонний корень для заданного уравнения.

Пусть , тогда 5=-2а+2, а=-1,5, если а=-1,5, то посторонний корень для данного уравнения.

Ответ: 1) если, а=1, а=3,5, а=-1,5, то уравнение не имеет корней

2) если a≠1, а≠3,5, a≠-1,5, то .

Пример 2.3:

Для каждого а решите .

Пример 2.4:

Для каждого а решите .

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами

В квадратном уравнении коэффициенты называются параметрами. Если , то уравнение имеет действительные корни. Теорема Виета утверждает, что если и корни данного уравнения, то и . Бывает, что коэффициенты сами зависят от какой-либо величины. Например, в уравнении коэффициент , то есть коэффициенты а и b зависят от k.

Пример 2.5:

Уравнении . Определить k так, чтобы один из корней был в два раза больше другого.

Решение:

По теореме Виета имеем:

; .

Кроме того, . Значит

;

или

; .

Возведем обе части первого равенства в квадрат и приравняем правые части:

Значит, если , то получим:

или .

Проверка:

При уравнение примет вид или .

Отсюда или , т.е..

Ответ:

,

Пример 2.6:

При каких значениях параметра а уравнение имеет один корень.

Решение:

Уравнение имеет один корень, если D=0.

Ответ:

при уравнение имеет один корень.

В данном примере достаточно приравнять к нулю дискриминант. Рассмотрим другой пример.

Пример 2.7:

При каких значениях параметра а уравнение имеет один корень.

Решение:

Контрольными значениями являются не только те значения параметра, при которых D=0, но и а=0. При а=0, квадратное уравнение превращается в линейное уравнение.

Если а=0, то -х+3=0; х=3.

Если

.

При .

Ответ:

если а=0, то х=3

если а=, то х=6;

если а≠0, а≠ имеет 2 корня.

Пример 2.8:

Решить уравнение .

Решение:

Решим уравнение

(1)

при , уравнение имеет один корень ;

при , уравнение (1) имеет два различных корня ;

Если 2а=3, а= -1,5 , - посторонний корень, значит корень уравнения = -2,5;

Если -а -1=3, а= -4, то - не является корнем уравнения , =2а= -8;

Если а≠, то .

Ответ:

если , то ;

если , то ;

если , то ;

если , то .

Пример 2.9:

Решить уравнение .

Решение:

При а=-3 уравнение не имеет решений

При а=4 уравнение не имеет решений

При а≠-3, а≠4 уравнение имеет корень равный х=а.

Ответ:

нет решений при а=-3 и а=4

х=а, при а≠-3, а≠4.

Пример 2.10:

Решить уравнение .

Пример 2.11:

Решить уравнение .

Пример 2.12:

При каком значении параметра а уравнение имеет ровно три корня?

Решение:

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Рассмотрим уравнение .

Так как , то:

при а>-3 оно имеет два корня;

при а= -3 - один корень;

при а<-3 - корней нет;

Рассмотрим уравнение .

при а= -1 оно имеет один корень;

при а>-1 - два корня;

при а<-1 - корней нет.

Значит при а=-1 исходное уравнение имеет три корня. При а>-1 каждое из уравнений имеет по два корня, симметричных относительно точки х0=2. В этом случае х=2 не является корнем, а общее число корней уравнения чётно.

Итак, исходное уравнение имеет три корня лишь при а=-1.

Ответ: а=-1.

В данном примере на переменную за счет параметра накладываются искусственные ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки: при каком значении параметра уравнение (неравенство) имеет одно решение, два, бесконечно много, ни одного; решением уравнения (неравенства) является какое-то подмножество множества действительных чисел и другие.

Пример 2.13:

При каких а уравнение имеет единственное решение?

Решение:

Прежде всего, обратим внимание на распространенную ошибку: считать исходное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Пользуясь этим соображением, естественно начать решение, рассмотрев случай, когда а=0. Когда а=0, то данное уравнение имеет единственное решение х=3. Если а≠0, то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант 1-12а принимает значение, равное нулю при а=1/2.

Ответ: а=0 или а=1\2.

Пример 2.14:

При каких а уравнение имеет более одного корня?

Решение:

При а=0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При а≠0 данное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант - положительный. Отсюда получаем -4<а<1. Однако в полученный промежуток (-4;1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.

Ответ: -4<а<0 и 0<а<1.

Пример 2.15:

При каких а неравенство имеет единственное решение?

Решение:

При а=2 получаем неравенство , имеющее единственное решение. Для случая, когда a≠2 решением неравенства будет отрезок.

Ответ: а=2.

Пример 2.16:

При каких а решением неравенства будет отрезок?

Решение:

Так как , то данное неравенство равносильно совокупности

Решением неравенства совокупности будет отрезок [-3;2]. Следовательно, при решением совокупности также будет отрезок.

Ответ: .

Пример 2.17:

При каких а уравнение a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 имеет более одного корня?

Решение:

При а=0 уравнение имеет единственное решение.

При а=-3 решением уравнения служит любое действительное число.

При а≠-3, а≠0 разделим обе части данного уравнения на а+3 , получим квадратное уравнение

, дискриминант которого 4(1+3а) положителен при а>-1\3. Из промежутка а>-1\3 надо исключить точку а=0, а в ответе не забыть исключить а=-3.

Ответ: а≠-3 или -1\3<а<0 или а>0.

Мы рассмотрели примеры, в которых благодаря параметру регулировались свойства решений уравнений и неравенств. Покажем, как параметр влияет на условия равносильности уравнений и неравенств.

Пример 2.18:

При каких а уравнение равносильно неравенству ?

Решение:

При a≠0 уравнение имеет единственное решение, а неравенство - бесконечно много.

Если а=0 , то решением, как уравнения, так и неравенства является всё множество действительных чисел. Следовательно, требованию задачи удовлетворяет только а=0.

Ответ: а=0.

Пример 2.19:

При каких а неравенство 2х+а>0 является следствием неравенства х+1-3а>0?

Решение:

Перепишем данные неравенства в виде х>-а\2 и х>3а-1. Учитывая условия, отметим, что множество решений неравенства х>-а\2 должно содержать множество решений неравенства х>3а-1. Это требование выполняется, если -а\2≤3а-1, т.е. а≥2\7.

Ответ: а≥2\7.

Пример 2.20:

При каких а неравенство x>a является следствием неравенства |x|<a?

Задачи с параметрами

При решении задач, содержащих параметры, приходится учитывать допустимые значения параметра, определяемые смыслом задачи.

Иногда границы, в которых заключены значения параметра, приходится устанавливать, проводя дополнительные исследования. Приведем примеры:

Пример 2.21:

Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 2b. Найдите эти числа для значения параметра b из промежутка 50<b<100.

Решение:

Пусть меньшее число х, тогда следующее число (х+1). Сумма этих чисел равна (2х+1). Сумма их квадратов равна х²+(х+1)². А по условию квадрат суммы этих выражений больше суммы их квадратов на 2b . Составим и решим уравнение:

(2x+1) ²-(2x²+2x+1)=2b

Упростив, получим х(х+1)=b.

Учитывая, что хN, bN и 50<b<100, это уравнение проще всего решить подбором. Уравнению с дополнительными ограничениями удовлетворяют числа 7,8 и 9.

Ответ: 7 и 8, 8 и 9, 9 и 10.

При решении некоторых задач бывает целесообразно обозначать неизвестные величины буквами, которые выполняют роль параметра, а в процессе составления или решения уравнения эти буквы исключаются.

Пример 2.22:

Первую треть пути автомобиль ехал с некоторой постоянной скоростью, а остальной путь со скоростью на 20 км/ч меньше первоначальной. Какой была первоначальная скорость автомобиля, если его средняя скорость на всем пути была 45 км/ч?

Решение:

Пусть автомобиль на первом участке пути ехал со скоростью х км/ч, тогда на оставшемся участке скорость автомобиля была (х-20) км/ч. Обозначим весь путь, пройденный автомобилем, через S км. Тогда на первую половину пути, т.е. на путь S/3 км, автомобиль затратил S/3 ч, а на вторую часть пути 2S/3(х-20) ч. На весь путь он затратил (S/3х+2S/3(х-20)) ч. Следовательно средняя скорость поезда равна S/(S/3x+2S/3(х-20)), а по условию задачи 45 км/ч. Составим и решим уравнение:

S/(S/3x+2S/3(х-20))=45

Решив уравнение получим х=60, х=5.

5 - не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: первоначальная скорость автомобиля 60 км/ч.

Пример 2.23:

В двух сосудах емкостью по 5 л содержится раствор некоторого вещества. В первом из этих сосудов 3 л раствора с объемной долей вещества равной а, во втором - 4 л раствора с объемной долей равной 2а. Сколько раствора надо перелить из второго сосуда в первый, чтобы объемная доля в нем стала равной 0,1?

Решение:

Исходя из условий задачи, в первом сосуде содержится 3а л вещества. Если из второго сосуда перелить в первый сосуд х л раствора, то в этих литрах будет содержаться 2ах литров вещества. Отсюда получаем уравнение:

,

получим

Учитывая, что емкости сосудов - 5 л, приходим к неравенствам

;

Решая которые находим, что 1/14а1/10

Ответ: л раствора надо перелить, где 1/14а1/10

Пример 2.24:

В один из двух сосудов, каждый емкостью по 6 л, налито 4 л 70% раствора кислоты, а во второй - 3 л 90 % раствора кислоты. Сколько раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нем получился раствор концентрации а %?

Решение:

Исходя из условия задачи, в первом сосуде содержится 2,8 л кислоты.

Если из второго сосуда перелить в первый х литров, то в этих литрах будет 0,9х литров кислоты. А тогда составляем уравнение:

,

Решая которое, находим что

Учитывая емкости сосудов, приходим к неравенству 0х2, или к неравенствам 02, решая которые получим, что 70а230/3 .

Ответ: л раствора нужно перелить, где 70а230/3.

Пример 2.25:

От станции до озера, удаленного от нее на S км, туристы шли с постоянной скоростью. Возвращаясь, они половину пути шли со скоростью на 1 км/ч меньшей, а вторую половину пути - на 1 км/ч большей, чем от станции до озера. При этом на обратный путь они затратили на 6 мин больше времени, чем на первоначальный путь. С какой скоростью шли туристы от станции до озера, если S= 6 км; 12 км; 21 км?

Ответ: 4 км/ч, 5 км/ч, 6 км/ч.

Задания для самостоятельного решения:

1. Цифра единиц двузначного числа на 4 больше цифры десятков. Если между цифрами этого числа вписать цифру b, то полученное трехзначное число будет в 7 раз больше первоначального.

Ответ: 15

2. Организацией продано товара двух сортов: первого на сумму 450000 руб., и второго - на сумму 200000 руб., причем товара первого сорта продано на 7 кг больше, чем товара второго сорта. Стоимость 1 кг товара первого сорта на а руб. выше стоимости 1 кг товара второго сорта. Сколько кг товара каждого сорта продано?

Ответ:

3) Имеются два сплава никеля и железа. Первый из них содержит а % железа, второй 2а % никеля (по массе). Сколько кг каждого сплава нужно взять для получения 3 кг третьего сплава, в котором содержание железа в 1,5 раза больше, чем никеля? При каких значениях параметра а задача имеет решение?

Ответ: первого сплава 6(а-20)/(3а-100),

второго сплава при 0<a20

Тема 3: Графические методы решения задач

Продолжением знакомства с основными приемами и методами решения задач с параметрами будет обращение к наглядно-графическим интерпретациям.

В зависимости от того, какая роль отводится параметру в задаче, можно выделить два основных графических приема. Первый - построение графического образа на координатной плоскости (X;Y), второй - на (X;A). На плоскости (X;Y) функция y=f(x;a) задает семейство кривых, зависящих от параметра a. Каждое семейство обладает определенными свойствами.

Не всегда графический образ семейства y=f(x;a) описывается простым преобразованием. В первую очередь нас будут интересовать прямые и параболы. Такой выбор обусловлен основным положением линейной и квадратной функции в школьной математике, построение графиков y=(x+a), y=f(x)+a, y=f(|x|), y=|f(x)|, y=f(kx), y=kf(x) путем преобразования графика y=f(x).

Пример 3.1:

Для каждого значения а решить уравнение |x| + |a| = 1.

Решение:

На плоскости Oxa построим график уравнения |x| + |a|=1.

Раскроем модули, получаем

Ответ: при а<-1, а>1, то нет решений;

при а= -1, а= 1, х= 0 - одно решение;

при -1<a<0, то два решения х=а+1, х= -а-1;

при , то два решения: х= -1- а, х= а-1.

Пример 3.2:

При каких значениях а следующее уравнение имеет хотя бы одно решение:

|x-1|+|2x-3|=a

Решение:

Построим график функции

на плоскости Oxy.

Раскрывая модули, получаем

Следовательно, уравнение f(x)=a имеет хотя бы одно решение, если a≥0,5

Ответ: а≥0, 5.

Пример 3.3:

При каких значениях а уравнение |x+1| + |x-a|=3 имеет хотя бы одно решение.

Решение:

Данное уравнение равносильно |x+1| -3 = -|x-a|. Воспользуемся методом графической интерпретации.

Построим график y=|x+1|-3

Функция вида задает семейство графиков, получающихся из графика а функции y= -|x| сдвигом на а единиц вдоль оси Ox.

Уравнение имеет хотя бы одно решение при -4≤a≤2

Ответ: -4≤a≤2.

Пример 3.4:

При каких значениях параметра а уравнение |x²+6x+1|=a имеет ровно три решения.

Решение:

Построим график функции y=|x²+6x+1|.

Построенный график и прямая y=a имеет

при a>8, a=1 две общие точки;

при 1<a<8 - четыре;

при а=8 - три;

при а<1 общих точек нет

Следовательно, три решения будут только при а=8.

Ответ: а=8.

Пример 3.5:

При каких значениях параметра а уравнение |2x+4|=ax+1 имеет единственное решение?

Решение:

Число решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков y=|2x+4| и y=ax+1. Первый график неподвижен y=|2x+4|.

Функция вида у=ах+1 задает семейство прямых, проходящих через точку (0;1) и имеющих угловой коэффициент равный а.

Есть три критических положения этих прямых m1; m2; m3.

Прямая m1 проходит через точку m(-2;0), Прямая m2 параллельна прямой у=-2х-4, прямая m3 параллельна прямой у=2х+4. Угловые коэффициенты а прямых m1, m2, m3 равны 0,5; -2; 2 соответственно. Графики функций y=|2x+4| и y=ax+1 имеют одну точку пересечения при .

Ответ: .

Пример 3.6:

При каких значениях параметра m график функции y=(x-m)²-4 пересекает осьOx в точках, абсциссы которых

1. положительны

2. отрицательны

3. разных знаков.

Решение:

y=(x-m)²-4 - квадратная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (m;-4).

Следовательно, абсциссы

1. положительны при m>2

2. отрицательны при m<-2

3. разных знаков при -2<m<2.

Ответ: положительны при m>2, отрицательны при m<-2, разных знаков -2<m<2.

Задания для самостоятельного решения:

1. При каких значениях а уравнения имеют хотя бы одно решение

   1. |4-3x|+|x+3|=a Ответ: a≥5

   2. |x+1|-|2x-a|=3 Ответ:

2. Для каждого значения а решить уравнение 2|x|+|a|=x+1

3. При каких значениях а уравнение |x²+3|x|-4|=a имеет ровно три корня? Ответ: а=4

4. При каких значениях параметра а все решения уравнения 3|x-a|+2a-3+x=0 удовлетворяет неравенству -2≤x≤5. Ответ: -0,3≤a≤0.

Тема 4: Исследование квадратного трехчлена

1. Квадратным трехчленом называется выражение: f(x)=ax²+bx+c (a0), графиком соответствующей функции является парабола.

2. В зависимости от величины дискриминанта D:D=b²-4ac существуют различные случаи расположения параболы по отношению к оси абсцисс Ох:

• При D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных действительных корня трехчлена).

• При D=0 эти точки совпадают.

• При D<0 точек пересечения с Ох нет (действительных корней нет).

Если a>0 (D<0), график параболы целиком лежит выше оси Ох, если a>0 (D<0), - целиком ниже оси Ох.

3. Координаты вершины параболы определяются формулами

x_o= - b/2a; y_o= - 4ac-b²/4a.

Теорема Виета

Между корнями квадратного трехчлена ax²+bx+c и коэффициентами существуют соотношения:

х₁+ х₂= - b/а;

х₁ х₂= с/а.

При помощи этих соотношений исследуются знаки корней.

Исследование знаков корней квадратного трехчлена

ТЕОРЕМА 1: Для того чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений: D = b²-4ac  0, х₁ х₂ = c/a > 0, при этом оба корня будут положительными, если дополнительно наложить условие: х₁+ х₂= - b/а>0, и оба корня будут отрицательными если х₁+ х₂= - b/а<0.

ТЕОРЕМА 2: Для того чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений: D=b²-4ac>0, х₁ х₂ = c/a<0, при этом положительный корень имеет большую абсолютную величину, если х₁+ х₂= -в/а>0, если же х₁+ х₂= -в/а<0, то отрицательный корень имеет большую абсолютную величину.

При решении многих задач требуется знание трех основных теорем о расположении корней квадратного трехчлена на координатной прямой.

Расположение корней квадратного трехчлена

Пусть f(x)=ax²+bx+c имеет действительные кони , а какое-нибудь действительное число. Тогда:

ТЕОРЕМА 3: Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число x₀ (т.е. лежали на координатной прямой левее, чем точка x₀), необходимо и достаточно выполнение условий:

ТЕОРЕМА 4: Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число x_o, а другой больше числа x_o (т.е. точка x_o лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:

ТЕОРЕМА 5: Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число x_o (т.е. лежали на координатной прямой правее, чем число x_o), необходимо и достаточно выполнение условий:

( x_o) представляет собой выражение (ax²+bx+c).

СЛЕДСТВИЕ 1: Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М, но меньше, чем число А (МА), т.е. лежали в интервале между М и А, необходимо и достаточно:

СЛЕДСТВИЕ 2: Для того чтобы больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале МА (МА), необходимо и достаточно:

при этом меньший корень вне отрезка |МА|.

СЛЕДСТВИЕ 3: Для того чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале МА (МА), необходимо и достаточно:

при этом больший корень лежит вне (МА).

СЛЕДСТВИЕ 4: Для того чтобы один корень квадратного трехчлена был меньше, чем М, а другой больше, чем А (МА), т.е. отрезок МА целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно:

Эта группа теорем и следствий очень часто применяется при решении задач с параметрами и поэтому имеет большое значение.

Рассмотрим примеры.

Примеры решения задач

Пример 4.1:

Для каждого действительного числа а решить уравнение х²+х+а=0 (1)

Решение:

1. Представляем уравнение (1) в виде х²+х= -а (2)

и построим график функции у=х²+х.

2. Решение уравнения (2) для различных значений параметра а представляются абсциссы точек пересечения графика функции у= х²+х и графика прямой у= -а.

3. Отсюда при получаем две системы:

и

Ответ: при a<0,

при a=0, x=0

при a>0 уравнение (1) не имеет корней.

Пример 4.2:

Дано квадратное уравнение (1)

При каких а это уравнение имеет действительные корни? Исследовать знаки корней.

Решение:

1. Поскольку нам дано квадратное уравнение, то a1.

2. Для того чтобы уравнение имело действительные корни необходимо и достаточно, чтобы дискриминант уравнения (1) был больше или равен нулю.

D= (2a-1)²-4(a-1)(a+5)0, отсюда а<1 (т.к. а1).

3. Согласно теореме Виета корни х₁ u х₂ уравнения (1) удовлетворяют системе:

1. Оба корня положительны при a<1, для которых выполняются неравенства:

2. Оба корня были отрицательны, если при a<1 выполняются неравенства:

система не имеет решений.

4. Корни имеют различные знаки при a<1, если

, т.е. -5<a<1, при a= - 5 - один из корней равен нулю.

Ответ: Уравнение имеет действительные корни при a<1;

при a< - 5, оба корня положительны;

при - 5<a<1, корни имеют различные знаки.

Пример 4.3:

При каких значениях корни квадратного трехчлена действительны и оба больше ½)?

Решение:

Воспользуемся теоремой 5, получим две системы неравенств:

1. 1. 

   2. система решений не имеет.

Ответ: при корни квадратного трехчлена действительны и оба больше ½.

Пример 4.4:

Найти все те значения параметра с, при которых оба корня квадратного уравнения x²+4cx+(1-2c+4c²)=0 действительны и меньше чем -1?

Решение:

1. a=1 > 0

2. Применим теорему 3, составим систему:

Ответ: при c>1 оба корня квадратного уравнения x²+4cx+(1-2c+4c²)=0 действительны и меньше, чем -1.

Пример 4.5:

При каких значениях k один из корней уравнения (k²+k+1)x²+(2k-3)x+k-5=0

больше 1, а другой меньше 1?

Решение:

1. a= k²+k+1>0 при всех k

2. Применяя теорему 4, имеем условие f(x_o)<0 т.е.

k²+k+1+2k-3+k-5<0,

k²+4k-7<0

Получаем .

Ответ:

Пример 4.6:

При каких k корни уравнения kx²-(k+1)x+2=0 будут действительны и оба по абсолютной величине меньше 1?

Решение:

1. Корни данного уравнения должны быть действительными и удовлетворить двум неравенствам:

-1< х₁<1 и -1< х₂ <1

2. Согласно следствию 1 получаем две системы неравенств для нахождения параметра k.

и

Получаем .

Ответ: при корни уравнения будут действительны и оба по абсолютной величине меньше 1.

Пример 4.7:

При каких действительных k неравенство x²+kx+k²+6k<0 выполняется при всех 1<x<2?

Решение:

1. a=1>0

2. Для того, чтобы неравенство выполнялось при всех 1<x<2 , нам необходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен y(x)= x²+kx+k²+6k, представленный параболой, направленной ветвями вверх, при всех указанных x был отрицателен.

Нам для этого нужно, чтобы интервал (1;2) целиком лежал между корнями параболы.

3. На основании следствия 4 составим систему:

Решая систему, находим, что .

Ответ: .

Пример 4.8:

При каких значениях k верно следующее утверждение: «неравенство выполняется хотя бы при одном x<1»?

Решение:

1. Пусть k-1>0 верно, т.к.

2. k=1 верно, т.к. -x-2>0, x<-2

3. 

Решим систему:

Ответ: k>0,75

Пример 4.9:

Определить k так, чтобы уравнение (k-2)x⁴-2(k+3)x²+k-1=0 имело четыре вещественных корня, отличных от нуля.

Решение:

1. Данное уравнение биквадратное при a0.

2. Значит, для вещественности его корней необходимо и достаточно, чтобы их квадраты были положительны, т.е. чтобы квадратное уравнение (k-2)y²-2(k+3)y+k-1=0 имело положительные корни.

Для этого должно быть выполнено:

Ответ: k>2.

Пример 4.10:

При каких значениях параметра k уравнение x²-6x+8=k имеет 4 корня?

Решение:

1. Правая часть данного уравнения может быть только неотрицательной, т.е. k0

2. Построим график функции y=x²-6x+8.

a) б)

Ответ: если k=0, то уравнение (1) имеет 4 корня (-4;-2;2;4);

если 1<k<8, то уравнение (1) имеет 4 корня.

Упражнения для тренировки:

1. Найти а, при которых уравнения x²+2ax+1=0 и x²+2x+a²=0 имеет равные корни.

2. Найти наиболее целое а, при котором уравнение x⁴-2x²+a/8=0 имеет четыре различных корня.

3. Найти а, при котором уравнение x²-2x-3=a имеет ровно три корня.

4. Найти пары (a;b), для которых все корни уравнения x²-ax+a=0 являются также корнями уравнения x²+b²x-8b=0.

5. Найти а, при которых уравнение имеет корень x≤2.

6. Найти а, при которых уравнение (x-a)²[a(x-a)²-a-1]+1=0 имеет больше положительных корней, чем отрицательных.

7. Найти а, при которых уравнение 9xx+(a-5)x+4=0 имеет два различных корня.

8. Найти а, при которых уравнение ax²+3x+2a²-3=0 имеет только целые корни.

Методическое пособие для учителя

Аннотация

Цель настоящего - оказать методическую помощь учителям математики, которые будут проводить представленный элективный курс.

Пособие содержит методические рекомендации по темам курса. В каждой теме приводятся:

• задания с подробным решением;

• задания для самостоятельного решения с ответами;

• самостоятельные работы, которые представлены в виде занимательных заданий, позволяющие расширить кругозор учащихся, получить дополнительную информации;

• обязательные результаты обучения.

В пособии представлено пять самостоятельных работы. Разработано обобщающее занятие по теме «Решение уравнения и неравенств с параметрами». В конце пособия приведены варианты итоговой контрольной работы.

Работа содержит задачи разной степени сложности, которые могут быть использованы учителем для дифференцированной работы с учениками различного уровня подготовки. Учитывая свой опыт и уровень облученности учащихся учитель может не полностью использовать данный материал.

Тема 1: Линейные уравнения и неравенства с параметрами

Цель: проверить умение учащихся находить контрольное значение параметра, находить соответствие между параметром и множеством корней уравнения или неравенства.

Самостоятельная работа №1

В астрономической литературе и календарях используются специальные знаки. Некоторые из них возникли в глубокой древности и представляют собой символические фигуры небесных светил и планет.

Контрольные значения параметра

Планеты

а = 1, а = -1

Юпитер

а = -3

Венера

а = 0, а = 2

Меркурий

а = 0, а = 3

Земля

а = 1, а = -5

Нептун

Узнайте, какие знаки обозначают планеты солнечной системы. Для этого решите уравнения с параметрами и запишите название планет в соответствии с найденными контрольными значениями параметра.

Ответ:

а=0, уравнение не имеет корней;

а=3, уравнение имеет бесконечное множество корней;

а≠0, а≠3, уравнение имеет единственное решение .

Ответ:

а=-3, уравнение не имеет корней;

a≠-3, уравнение имеет единственный корень .

Ответ:

а=0, уравнение не имеет корней;

а=-1, уравнение смеет бесконечное множество корней;

а≠0, а≠-1, уравнение имеет единственный корень .

Ответ:

а=0, бесконечное множество корней;

а=2, уравнение не имеет корней,

а≠0, а≠2, уравнение имеет единственный корень .

Ответ:

а=1, уравнение не имеет корней;

а=-5, уравнение имеет корней;

а≠0, а≠3, уравнение имеет единственное решение .

Критерий оценки:«5» ставится за пять верно выполненных заданий,

«4» - за четыре верно выполненных заданий,

«3» - за три верно выполненных задания,

«2» - за два верно выполненных задания.

Тема 2: Квадратные уравнения и неравенства с параметрами

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме «Квадратные уравнения и неравенства с параметрами».

Самостоятельная работа №2

В эпоху Пифагора (V1 в. до н.э.) греки именовали планеты не так, как они называются сейчас. Выполните задание. Используя найденные ответы и данные в таблице узнайте, какие названия были у известны планет в древности.

1. Пирой: При каких значениях а уравнение имеет единственное решение?

Ответ:

2. Стиблон: При каких значениях а уравнение имеет единственное решение?

Ответ:

3. Фаэтон: При каких значениях а уравнение имеет единственное решение?

Ответ:

4. Фенон: Решите неравенство и в ответе укажите контрольные значения параметра.

Ответ:

5. Эосфос: Найдите наибольшее значение а , при которых решением неравенства является объединение двух непересекающихся промежутков.

Ответ:

6. Геспер: Найти наибольшее значение параметра при которых уравнение имеет хотя бы одно решение.

Ответ:

Ответы: Сатурн - Фенон (сияющий); Юпитер - Фаэтон (лучезарный); Марс - Пирой (огненный, пламенный); Венеры - Эосфорос (несущая утро) и Геспер (вечер)

Критерий оценки:«5» ставится за шесть, пять верно выполненных заданий,

«4» - за четыре верно выполненных заданий,

«3» - за три верно выполненных задания,

«2» - за два верно выполненных задания.

Тема 3: Графические методы решения задач

Цель: проверить умение строить графические образы в разных системах координат, умение определять количество корней уравнений от параметра, решать задачи графическим методом.

Самостоятельная работа №3

Долгое время одну из известных в древности планет в периоды утренней и вечерней видимости считали двумя разными светилами. Решите задания графически. В таблице названий планет отметьте найденные ответы. Оставшиеся названия позволят вам узнать с какой планетой завязано это заблуждение.

1. При каких значениях параметра а уравнение имеет одно решение?

Ответ: .

2. При каких значениях параметра а уравнение имеет три решения?

Ответ:

3. При каких значениях параметра а один корень уравнения уравнение положительный, а другой равен нулю?

Ответ:

4. При каких значениях параметра а уравнение имеет четыре решения?

Ответ:

Критерий оценки:«5» ставится за четыре верно выполненных заданий,

«4» - за три верно выполненных заданий,

«3» - за два верно выполненных задания,

«2» - за одно верно выполненных задания.

Тема 4: Исследование квадратного трехчлена

Цель: проверить умение применять теорему Виета, теоремы и следствия о расположении корней квадратного трехчлена при решении заданий с параметрами.

Самостоятельная работа №4

В древности были известны только пять планет, видимые невооруженным глазом. Выполните задание на исследование квадратного трехчлена и используя найденные ответы и данные таблицы, узнайте какие это были планеты.

Венера

Марс

Меркурий

Нептун

Плутон

Сатурн

Уран

Юпитер

1

3; 4

13,5; -62,5

7

27; -123

5

-5

-1

1. При каких значениях параметра а произведение корней квадратного уравнения равно нулю?

Ответ: 3; 4 (Марс)

2. При каких значениях параметра а сумма корней квадратного уравнения равно нулю?

Ответ: 1 (Венера)

3. При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения наибольшая?

Ответ: -1 (Юпитер)

4. Определите а , если один из корней уравнения является квадратом другого.

Ответ: 13,5; -62,5 (Меркурий)

5. Найдите а , если сумма кубов корней уравнения равна 34.

Ответ: 5 (Сатурн)

Остальные три планеты были открыты за последние 200 лет.

Критерий оценки: «5» ставится за пять верно выполненных заданий,

«4» - за четыре верно выполненных заданий,

«3» - за три верно выполненных задания,

«2» - за два верно выполненных задания.

Самостоятельная работа №5

Вариант №1

Вариант №2

1. Выяснить, при каких значениях параметра а корни уравнения таковы, что число р лежит между ними.

Ответ:

Ответ:

2. При каком значении а уравнение оба корня уравнения меньше р?

Ответ:

Ответ:

3. Выяснить, при каких значениях параметра а неравенство выполняется на отрезке

Ответ:

Ответ:

4. Для каких значениях параметра а из неравенства

x<1

x>1

следует неравенство

?

Ответ: 0<a<0,25

?

Ответ: a<5

Критерий оценки:«5» ставится за четыре верно выполненных заданий,

«4» - за три верно выполненных заданий,

«3» - за два верно выполненных задания,

«2» - за одно верно выполненное задание.

Тема 5: Применение изученных алгоритмов при решении задач

Обучающие и развивающие цели:

Знания/ Понимания - учение должен знать/ понимать

• условия применимости различных методов решения

• различные методы решения

Применения - ученик должен уметь

• выбирать методы решения уравнений и неравенств с параметром

• решать с помощью различных методов

• использовать приобретенные знания и умения для решения любого уравнения или неравенства удобным методом

Воспитательные цели:

• Участие ученика в обсуждении вопросов;

• Осознание учащимся необходимости самостоятельных действий при решении некоторых проблем;

• Понимание своих возможностей учеником;

• Правильное распределение внимания;

• Совершенствование культуры труда.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Форма проведения: работа в группах.

Обобщающее занятие

1. Вводное слово учителя (мотивация учащихся).

Сегодня мы проводим обобщающий урок по решению уравнений и неравенств с параметрами. Умение хорошо решать уравнения и неравенства необходимо каждому школьнику, так как во-первых, оно развивает мышление, сообразительность, вычислительные навыки, во-вторых, чтобы продолжить дальнейшее обучение в профильной старшей школе. На уроке мы вспомним виды уравнений и неравенства и методы их решения, познакомимся с более сложными нестандартными случаями.

Работа группами. Класс разделен на 6 групп, у каждой есть командир-консультант, который будет помогать мне в оценке работы каждого ученика в процессе всего урока; в заключении, каждый из вас должен получить итоговую оценку. В то же время консультант окажет помощь тем, кто в ней будет нуждаться.

2. Доклады консультантов о подготовке учащихся к уроку о том, какие задания вызвали затруднения и следует проверить.

3. Устная работа.

   1. Решить уравнение:

      1. Ответ:

      2. Ответ:

      3. Ответ: единственный корень

      4. Ответ: единственный корень

1. 2. Определить вид уравнения и раскрыть идею его решения:

      1. 

      2. 

      3. 

      4. 

      5. 

      6. 

      7. 

      8. 

      9. 

4. Проверка решения уравнений из домашней работы, вызвавших затруднения.

   1. Сколько корней имеет уравнение при различных значениях а?

Решение:

Построим график функции . Сначала строим график - он получается из графика параллельным переносом вниз вдоль оси Oy на 2 единицы; затем строим - он получается из построенного уже графика зеркальным отображением нижней его части (т.е. части лежащей ниже оси Ox) относительно оси Ox.

Прямая не пересекает график, если ; имеет с ним две общие точки при , эти точки .

Прямая имеет четыре общие точки при , три точки пересечения при , две точки пересечения при .

Ответ:

1. если - корней нет,

2. если или - два корня,

3. если - три корня,

4. если - четыре корня.

1. 2. Решить уравнение при всех значениях b ?

Решение:

Найдем значения x, которые обращают знаменатель в нуль, т.е. ОДЗ:

Решим уравнение .

при любом b.

Если , то и уравнение имеет единственный корень .

Если , то .

Но при этих значениях знаменатель может обращаться в ноль.

Рассмотрим случаи:

, тогда - удовлетворяет уравнению,

, тогда - удовлетворяет уравнению,

, тогда - удовлетворяет уравнению,

, тогда - удовлетворяет уравнению.

Ответ:

1. при

2. при

3. при

4. при

5. в остальных случаях два корня

5. Самостоятельная работа с последующим обсуждением методов решения на три варианта по группам.

1. 1. Для каждого значения a решить неравенство .

Решение:

Умножим обе части неравенства на (-1), получим

.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители

.

Рассмотрим варианты:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Ответ:

1. при

2. при

3. при

4. при

5. при

6. при

7. при

1. 2. Для каждого значения a решить неравенство .

Решение:

, где .

Решим неравенство .

Выясним на числовой оси Ox расположение чисел и :

1. справедливо при

2. справедливо при

3. при неравенство решений не имеет, так как .

Ответ:

1. если , то

2. если , то решений нет

3. если , то

1. 3. Для каждого значения a решить неравенство .

Решение:

Простроим график функций стоящих в правой и левой частях полученного неравенства:

График функции получается из графика функции сдвигом вдоль оси Ox на a единиц и имеет три критических положения, соответствующих значением параметра a , равным -2; -1/4; 4 соответственно.

Исходному неравенству удовлетворяют координаты точек x, при которых график функций расположен выше графика функции . Абсциссы точек пересечения указанных графиков определяются из уравнения .

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то .

Ответ:

1. , то

2. , то

3. , то

4. , то
   
   

6. Знакомство с методами решений уравнений подготовленных творческой группой учащихся.

1. Сколько решений имеет уравнение в зависимости от a. Найти решение уравнения в случае, когда оно единственное.

Решение:

Построим график функции , она определена при .

Так как , то графиком функции будет полуокружность с радиусом и центром в начале координат.

График функции получается из графика , смещением его вдоль оси Ox на a единиц.

Найдем при каком значении a данное уравнение имеет единственное решение. Из . Следовательно при уравнение имеет одно решение. Найдем его. , тогда корни .

Ответ:

1. при и нет решения

2. при одно решение

3. при два решения.

1. 2. Найти все действительные значения k , при которых квадратный трехчлен будет отрицательным при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству .

Решение:

Условие задачи выполняется тогда и только тогда, когда интервал будет расположен между корнями параболы, т.е. если

Подставляем значение 1 и 2 в данный трехчлен, получим систему двух квадратных неравенств.

Решая систему, получим

Ответ: .

1. 2. При каких значения параметра a уравнение имеет три решения?

Решение:

Пусть , тогда .

, по теореме обратной теореме Виета имеем:

Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности уравнений

Так как второе уравнение имеет два решения, тогда уравнение имеет три решения тогда и толок тогда, когда уравнение (1) имеет одно решение, отличное от корней второго уравнения. Это возможно тогда, когда a=0.

Ответ: a=0.

7. Самостоятельная работа на три варианта по группам с последующей проверкой.

1. При каких значениях параметра а уравнения и равносильны?

Ответ: а=3, а=4

2. Найти все значения параметра c при которых оба корня квадратного уравнения действительны и меньше, чем -1.

Решение:

Применяя теорему, составим систему

, т.е.

Решая эту систему, находим .

Ответ: .

3. При каких значениях параметра а уравнение имеет более двух корней?

Ответ: а=2

8. Знакомство с нестандартными уравнениями и неравенствами и методами их решений.

1. Выяснить при каких значениях параметра a уравнение имеет три различных корня.

Решение:

Если является корнем уравнения, то - - корень уравнения, т.е. переменная в честной степени. Чтобы уравнение имело три корня, один из них должен равняться нулю, а два противоположных. Если , то уравнение имеет вид . Проверим, достаточно ли этих значений а , чтобы уравнение имело три различных корня. Если , то уравнение имеет вид

Если , то

Ответ: при , данное уравнение имеет три различных корня.

2. При каких значениях параметра а все пары чисел (x;y), удовлетворяющие неравенству , одновременно удовлетворяют и неравенству .

Решение:

Часто бывает удобно начинать решение задачи с рассмотрения ее упрощенной модели. Так, в конкретном случае уместно поставить следующую задачу: при каком соотношении между m и n все решения неравенства y>m (относительно y) одновременно являются решениями неравенства y>n. Ответ на этот вопрос очевиден: n≥m.

Эти рассуждения позволяют сформулировать исходную задачу в таком виде: при каких значениях параметра а неравенство выполняется при всех х Имеем: . Ясно, что условие неположительности дискриминанта квадратного трех члена, стоящего в левой части неравенства, и определит искомое значение параметра. Получаем . Не составляет большого труда решить это иррациональное неравенство и получить а=0.

Ответ: а=0

9. Индивидуальные задания.

1. Найти все значения параметра a , при которых уравнение (1) имеет два корня.

Решение:

Пусть , тогда (2).

.

Если , то и уравнение не имеет корней,

если , то ,

если , то .

Для того, чтобы уравнение (1) имело ровно два корня, необходимо, чтобы один корень уравнения (2) был отрицательным, а другой положительный. Получим:

Ответ: если или , то уравнение имеет два корня.

2. При каких значениях параметра а решением неравенства будет отрезок?

Решение:

Так как , то данное неравенство равносильно совокупности

.

Решением неравенства совокупности будет отрезок [-3;2]. Следовательно, при решением совокупности также будет отрезок.

Ответ:

10. Итог занятия.

Оценить работу групп, работу учащихся из творческой группы, индивидуальные ответы у доски, индивидуальные задания.

11. Задания для самостоятельного решения.

1. Для каждого a решить уравнение .

2. При каком значении a уравнение имеет единственное решение.

3. Выяснить при каких значениях параметра а уравнение имеет ровно три различных корня.

Итоговая контрольная работа

Вариант №1

Вариант №2

1. При каких значениях параметра m уравнение имеет единственный корень?

Ответ:

Ответ:

2. При каком значении p уравнение

имеет корни x₁ и x₂ , удовлетворяющие условию

Ответ:

Ответ:

3. Решить уравнение для каждого а .

Ответ: при а=3 - нет решений; при а= -3 - x>0, x<0; при а=0 - уравнение не определено; при а≠3, а≠-3,а≠0 - - единственное решение

Ответ: при а=3 - нет решений; при а=1 - уравнение не определено; при а= -3 - x>3, x<3; при а≠-3, а≠1,а≠3 -

4. Для каких значениях а нули функции

расположены между числами

-2 и 4?

Ответ: 0,5<a<3,5

-4 и 3?

Ответ: нет таких

5. При каких значениях m неравенство

выполняется для всех действительных значений x?

Ответ: a<-4

Ответ:

Критерий оценки: «5» ставится за пять верно выполненных заданий,

«4» - за четыре верно выполненных заданий,

«3» - за три верно выполненных задания,

«2» - за два верно выполненных задания.