Задачи для школьного этапа олимпиады по математике

Задачи для школьного этапа олимпиад по математике

в 10 - 11 классах.

1. Художник Худобеднов за месяц работы написал 42 картины. На 17 из них есть лес, на 29 - река, а на 13 -и то, и другое; на остальных картинах - не поймешь что. Сколько картин изображают не поймешь что?

Решение:

Лес - 17 картин

Река - 29

Лес и река - 13

Не поймешь что - ?

Всего картин 42.

17 - 13=4 (картины, только лес)

29 - 13=16 (картин, где только река)

4+16+13=33 (картины, где лес, река, лес и река)

42 - 33=9 (картин, где не поймешь, что)

Ответ: 9 картин изображают не поймешь что.

2. Машины часы опаздывают каждый час на 2 минуты. Если по радио передают сигнал 12 часов, то через сколько времени на часах Маши будет 12 часов, если её часы показывали точное время ровно 5 часов тому назад?

Решение:

12 - 5=7 (точное время у Маши)

1) Через 1 час на часах 8 часов по радио, а у Маши 7 часов 58 минут.

2)по радио 9 часов, у Маши 8 часов 56 минут.

3)по радио 10 часов, у Маши 9 часов 54 минуты.

4)по радио 11 часов, у Маши10 часов 52 минуты.

5)по радио 12 часов, у Маши11 часов 50 минут.

Машины часы за 10 минут еще опоздают.

1 час - 2 минуты

60 минут - 2 минуты

10 минут - х мин.

60 х = 20

х = 20/60 = 1/3 мин.

10+1/3 = 10 1/3 мин.

Ответ: через 10 1/3 мин. у Маши на часах будет 12 часов.

3. В школьной олимпиаде по математике участвовали 100 человек, по физике -50, по информатике -48. Когда учеников спросили, в скольких олимпиадах они участвовали, ответ "в двух" дали вдвое меньше человек, чем ответ "в одной", а ответ "в трех"- втрое меньше, чем ответ "в одной". Сколько всего учеников участвовало в этих олимпиадах?

Решение: пусть в 1 олимпиаде участвовало х детей,

В 2-х олимпиадах - 1/2х детей,

В трех олимпиадах - 1/3х детей.

Всего участвовало 100 + 50 + 48 = 198 детей.

х + 1/2х + 1/3х = 198

11/6 х = 198

х = 108 (детей участвовало в 1 олимпиаде)

½ х = 54 в двух олимпиадах.

1/3 х = 36 - в трех олимпиадах.

Ответ: 108; 54; 36.

4.Четверо игроков сделали каждый свой прогноз в отношении четырех лошадей, которые должны были прийти первыми на скачках. Гоша считал, что лошади придут в таком порядке: он указал первым номером лошадь по кличке Звездочка, вторым - Светлячка, третьим - Золотого Луча и четвертым - Радугу. Он угадал двух лошадей. Прогноз Славы был таков: первой придет Радуга, второй - Звездочка, третьим - Светлячок и четвертым - Золотой Луч. Слава при этом угадал только одну лошадь. Вася считал, что Светлячок и Радуга займут места рядом друг с другом, но он ошибся. Выиграл Николай. Каков был его прогноз?

Ответ: прогноз был такой : 1-й прейдет Светлячок, 2-й - Звездочка, 3-й - Золотой луч и 4-й Радуга

5.Улитка ползет по координатной плоскости. С каждой минутой она ползет медленней в 3 раза и каждую минуту меняет направление6 таким образом: на север, на восток, на юг, на запад, на север и т.д. каковы будут координаты Улитки через 6 минут, если стартовала она из начала координат и за первую минуту она проползла 243 единицы на запад?

Решение:

Улитка отправилась в путешествие из начала координат (0;0).

1 минута - 243 единицы на запад - А(-243; 0).

2 минута - 243 : 3 = 81 ед на север - В(-243; 81).

3 минута - 81 : 3 = 27 ед. на восток - С(-216; 81).

4 минута - 27 : 3 = 9 ед. на юг - К(-216; 72).

5 минута - 9 : 3 = 3 ед. на запад - М(-219; 72).

6 минута - 3 : 3 - 1 ед. на север - Р(-219; 73).

Ответ: (-219; 73).

.

6. За 10 дней Карл украл у Клары 165 кораллов, и из них 147 - в первые 7 дней. Каждый день он крал на одно и то же число кораллов меньше, чем в предыдущие. Сколько кораллов Карл украл в 10-й день? (9)

Решение:

Следуя условию задачи, получим:

S₁₀ = 165,

S₇ = 147.

Тогда (2а₁ + 9 d ) : 2 ·10 = 165;

(2а₁ + 6 d ) : 2 · 7 = 147.

2а₁ + 9d = 33;

а₁ + 3d = 21. отсюда а₁ = 30; d = -3,

а, следовательно, а₁₀ = 30 + 9 · (-3 ) = 3.

В 10-й день Карл у Клары украл 3 коралла.

Ответ: 3 коралла.

7. Некий чиновник купил лошадей и быков за 1770 талеров. За каждую лошадь он уплатил по 31 талеру, а за каждого быка - по 21 талеру. Сколько лошадей и быков купил чиновник? (1)

Решение:

Здесь неизвестно общее число купленных животных, поэтому не удастся составить уравнение с одной переменной или систему уравнений с двумя переменными.

Пусть чиновник купил х лошадей и у быков. Тогда

31х + 21у = 1770.

По смыслу задачи х и у - натуральные числа. Так как 21 и 1770 делятся на 3, то 31х делится на 3 и х делится на 3. пусть х = 3х₁, где х₁ - натуральное число. Тогда

31 х₁ + 7у = 590,

х₁ = (590 - 7у) : 31.

Преобразуем полученное выражение:

х₁ = (590 - 7у) : 31 = 19 + (1 - 7у) : 31 = 19 - (7у - 1) : 31.

Очевидно, что х₁ будет целым. если 7у - 1 делится на 31. наименьшим натуральным числом у, при котором это произойдет, является число 9. при этом х₁ = 17, а, значит, х = 51. первое решение уравнения найдено: (51; 9).

Чтобы не заниматься долгим перебором значений у, заметим, что следующие целые значения х₁ будут получаться от увеличения у = 9 на число, кратное 31. тогда у = 9 + 31 = 40, х₁ = 10, а, значит, х = 30.

у = 40 + 31 = 71, х₁ = 3, а, значит, х = 9.

При следующих значениях у значения х₁отрицательны. Таким образом, уравнение имеет три решения в натуральных числах:

(51; 9); (30; 40); (9; 71).

Ответ: Чиновник купил:

51 лошадь и 9 быков;

или 30 лошадей и 40 быков;

или 9 лошадей и 71 быка.