Рабочая программа по геометрии 7 класс

Пояснительная записка

Настоящая рабочая программа по учебному предмету «Геометрия» разработана в соответствии с Федеральным законом от 29.12.2012 №273-ФЗ «Закон об образовании в Российской Федерации»,основными положениями Федерального компонента государственного образовательного стандарта общего и среднего общего образования(далее - ФКГОС), утвержденного приказом Министерства образования и науки РФ от 05.03.2004 № 1089, требованиями основной общеобразовательной программы общего и среднегообщего образования МБОУ СОШ№1 с.Кандры на 2015-2016г., учебным планом МБОУ СОШ№1с.Кандры на 2015-2016 учебный год, годовым календарным учебным графиком МБОУ СОШ№1с.Кандры на 2015-2016 учебный год, приказом «Об утверждении перечня учебников, допущенных (рекомендованных) для организации образовательного процесса утвержденного приказом Министерства образования и науки РФ № 253 от 31.03.2014 № 253, в МБОУ СОШ№1с.Кандры на 2015-2016учебный год.

Рабочая программа по учебному предмету «Геометрия» разработана на основе учебной программы по курсу «Геометрия7-9» Бурмистрова Т.А.М Просвещение 2011г.

Геометрия - один из важнейших компонентов математического образования, необходимый для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, для развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, для эстетического воспитания обучающихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства.

Цели:

Изучение математики на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей:

• овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

• интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры, пространственных представлений, способности к преодолению трудностей;

• формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;

• воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.

Цель изучения курса геометрии в VII-IX классах - систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений, развитие логического мышления и подготовка аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин (физика, черчение и др.) и курса стереометрии в старших классах.

Курс характеризуется рациональным сочетанием логической строгости и геометрической наглядности. Увеличивается теоретическая значимость изучаемого материала; расширяются внутренние логические связи курса; повышается роль дедукции, степень абстрактности изучаемого материала. Учащиеся овладевают приемами аналитико-синтетической деятельности при доказательстве теорем и решении задач. Прикладная направленность курса обеспечивается постоянным обращением к наглядности, использованием рисунков и чертежей на всех этапах обучения и развитием геометрической интуиции на этой основе. Целенаправленное обращение к примерам из практики развивает умения учащихся вычленять геометрические факты, формы отношенияв предметах и явлениях действительности, использовать язык геометрии для их описания. Согласно федеральному базисному учебному плану на изучение геометрии в 7 классе отводится 70 часов из расчета 2 ч в неделю.

В год - 70 часов (2 часа в неделю)

Содержание рабочей программы

1. Начальные геометрические сведения (10 час.)

Простейшие геометрические фигуры: прямая, точка, отрезок, луч, угол. Понятие равенства геометрических фигур. Сравнение отрезков и углов. Измерение отрезков, длина отрезка. Измерение углов, градусная мера угла. Смежные и вертикальные углы, их свойства. Перпендикулярные прямые.

Основная цель - систематизировать знания учащихся о простейших геометрических фигурах и их свойствах; ввести понятие равенства фигур.

В данной теме вводятся основные геометрические понятия и свойства простейших геометрических фигур на основе наглядных представлений учащихся путем обобщения очевидных или известных из курса математики 1-6 классов геометрических фактов. Понятие аксиомы на начальном этапе обучения не вводится, и сами аксиомы не формулируются в явном виде. Необходимые исходные положения, на основе которых изучаются свойства геометрических фигур, приводятся в описательной форме. Принципиальным моментом данной темы является введение понятия равенства геометрических фигур на основе наглядного понятия наложения. Определенное внимание должно уделяться практическим приложениям геометрических понятий.

2.Треугольники( 17 час.)

Треугольник. Признаки равенства треугольников. Перпендикуляр к прямой. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник и его свойства. Задачи на построение с помощью циркуля и линейки.

Основная цель - ввести понятие теоремы; выработать умение доказывать равенство треугольников с помощью изученных признаков; ввести новый класс задач - на построение с помощью циркуля и линейки.

Признаки равенства треугольников являются основным рабочим аппаратом всего курса геометрии. Доказательство большей части теорем курса и также решение многих задач проводится по следующей схеме: поиск равных треугольников - обоснование их равенства с помощью какого-то признака - следствия, вытекающие из равенства треугольников. Применение признаков равенства треугольников при решении задач дает возможность постепенно накапливать опыт проведения доказательных рассуждений. На начальном этапе изучения и применения признаков равенства треугольников целесообразно использовать за дачи с готовыми чертежами.

3.Параллельные прямые (13 час.)

Признаки параллельности прямых. Аксиома параллельных прямых. Свойства параллельных прямых.

Основная цель - ввести одно из важнейших понятий - понятие параллельных прямых; дать первое представление об аксиомах и аксиоматическом методе в геометрии; ввести аксиому параллельных прямых.

Признаки и свойства параллельных прямых, связанные с углами, образованными при пересечении двух прямых секущей (накрест лежащими, односторонними, соответственными), широко используются в дальнейшем при изучении четырехугольников, подобных треугольников, при решении задач, а также в кур се стереометрии.

4.Соотношения между сторонами и углами треугольника ( 18 час.)

Сумма углов треугольника. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника. Прямоугольные треугольники, их свойства и признаки равенства. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Построение треугольника по трем элементам.

Основная цель - рассмотреть новые интересные и важные свойства треугольников.

В данной теме доказывается одна из важнейших теорем геометрии - теорема о сумме углов треугольника. Она позволяет дать классификацию треугольников по углам (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный), а также установить некоторые свойства и признаки равенства прямоугольных треугольников.

Понятие расстояния между параллельными прямыми вводится на основе доказанной предварительно теоремы о том, что все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. Это понятие играет важную роль, в частности используется в задачах на построение.

При решении задач на Построение в 7 классе следует ограничиться только выполнением и описанием построения искомой фигуры. В отдельных случаях можно провести устно анализ и доказательство, а элементы исследования должны присутствовать лишь тогда, когда это оговорено условием задачи.

5.Повторение. Решение задач. (10 час.)

Требование к уровню подготовки учащихся

В результате изучения курса геометрии 7 класса учащиеся должны:

знать/понимать

• каким образом геометрия возникла из практических задач землемерия; примеры геометрических объектов и утверждений о них, важных для практики;

• существо понятия математического доказательства; примеры доказательств;

• вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира, примеры статистических закономерностей и выводов;

• смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации;

уметь

• пользоваться языком геометрии для описания предметов окружающего мира;

• распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;

• изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразования фигур;

• вычислять значения геометрических величин (длин, углов), находить стороны, углы треугольников, длины ломаных;

• решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический аппарат, идеи симметрии;

• проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;

• использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• описания реальных ситуаций на языке геометрии;

• расчетов, включающих простейшие формулы;

• построений геометрическими инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир).

Данной программой предусмотрено, чтобы в процессе изучения учащиеся овладели системой математических знаний и умений:

знать, сколько прямых можно провести через две точки, сколько общих точек могут иметь две прямые, какая фигура наз. отрезком, лучом, углом.

уметь обозначать точки, отрезки, лучи, прямые и углы на рис., изображать отрезки, лучи, прямые и углы, возможные случаи взаимного расположения точек, отрезков, лучей и прямых.

знать, какие геометрические фигуры называются равными, что называется серединой отрезка, биссектрисой угла, единицы измерения отрезков и углов, виды углов.

уметь сравнивать отрезки и углы, находить градусные меры углов с помощью транспортира.

знать определение и свойства смежных, вертикальных углов, перпендикулярных прямых.

уметь строить смежные, вертикальные углы, находить их на рисунке, решать задачи.

знать определение треугольника и его элементов, равных треугольников, перпендикуляра, медианы, биссектрисы, высоты треугольника, равнобедренного равностороннего треугольников, формулировки 1,2,3признаков равенства треугольников.

уметь доказывать 1,2,3 признаки равенства треугольников, теорему о свойствах равнобедренного треугольника, использовать их при решении задач.

знать определение окружности и её элементов.

• уметь выполнять простейшие построения с помощью циркуля и линейки, применять их при решении задач.

• знать определение параллельных прямых, накрест лежащих, соответственных, односторонних углов, формулировки признаков параллельности прямых, аксиому параллельных прямых, следствия из неё.

• уметь показать на рисунке пары накрест лежащих, соответственных, односторонних углов, доказывать признаки параллельности двух прямых, свойства параллельных прямых и использовать их при решении задач.

• знать определение внешнего угла, остроугольного, тупоугольного, прямоугольного треугольников,

• уметь доказывать теорему о сумме углов треугольника и её следствия, теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника и следствия из неё, т. о неравенстве треугольника, применять их при решении задач.

• знать формулировки признаков равенства прямоугольных треугольников.

• уметь доказывать свойства и признаки прямоугольных треугольников, применять их при решении задач.

• знать, что наз. наклонной, расстоянием от точки до прямой и расстоянием между параллельными прямыми.

• уметь доказывать свойство перпендикуляра, решать задачи на построение треугольника по трем элементам.

Применять полученные знания:

• при доказательстве теорем и решении задач;

• при распознавании плоских геометрических фигур;

• при построениях геометрическими инструментами;

• для вычисления длин, углов основных геометрических фигур.

Нормы оценки знаний,умений и навыков учащихся

(критерии оценивания уровня подготовки учащихся)

Оценка письменных контрольных работ учащихся

Отметка «5» ставится, если:

• работа выполнена полностью;

• в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

• допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

• допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

• допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Отметка «1» ставится, если:

• работа показала полное отсутствие у учащегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.

Оценка устных ответов учащихся

Ответ оценивается отметкой «5», если ученик:

-полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и учебником;

-изложил материал грамотным языком в определенной логической последовательности, точно используя математическую терминологию и символику;

-правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;

-показал умение иллюстрировать теоретические положения конкретными примерами, применять их в новой ситуации при выполнении практического задания;

-продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов, сформированность и устойчивость используемых при ответе умений и навыков;

-отвечал самостоятельно без наводящих вопросов учителя.

-возможны одна - две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил по замечанию учителя.

Ответ оценивается отметкой «4»,

-если он удовлетворяет в основном требованиям на отметку «5», но при этом имеет один из недостатков:

-в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие математическое содержание ответа;

-допущены один - два недочета при освещении основного содержания ответа, исправленные по замечанию учителя;

-допущены ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные по замечанию учителя.

Отметка «3» ставится в следующих случаях:

-неполно или непоследовательно раскрыто содержание материала, но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного материала (определенные «Требованиями к математической подготовке учащихся»);

-имелись затруднения или допущены ошибки в определении понятий, использовании математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;

-ученик не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме;

-при знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.

Отметка «2» ставится в следующих случаях:

-не раскрыто основное содержание учебного материала;

-обнаружено незнание или непонимание учеником большей или наиболее важной части учебного материала;

-допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.

Перечень учебно-методического обеспечения ( УМК)

1. Программа общеобразовательных учреждений по геометрии 7-9.В.Ф.Бутузов

- М: «Просвещение».2015

2. Изучение геометрии в 7 -9 классах. Кн. для учителя/Л.С.Атанасян

В.Ф. Бутузов и др. - М: Просвещение.1997

3. Геометрия 7 - 9.Учебник/Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др - М: Просвещение

№

Название раздела и темы урока

Кол-во часов

Сроки

Примечание

План

Факт

Глава 1 Начальные геометрические сведения.

13.

1

§1Прямая и отрезок.

1

01.09

2

§ 2Луч и угол

1

04.09

3

§3Сравнение отрезков и углов. Равенство геометрических фигур

1

08.09

4

§4Длина отрезка. Единицы измерения.

1

11.09

5

Решение задач по теме: Измерение отрезков .

1

15.09

6

§5Градусная мера угла.

1

18.09

7

Решение задач по теме «измерения углов»

1

22.09

8

§6Смежные углы.

1

25.09

9

§6Вертикальные углы

1

29.09

10

§6Перпендикулярные прямые.

1

02.10

11

Решение задач по теме: Смежные и вертикальные углы.

1

13.10

12

Решение задач. Подготовка к контрольной работе.

1

16.10

13

Контрольная работа №1 по теме :«Основные свойства простейших геометрических фигур»

1

20.10

Гл.2. Треугольники

18

Треугольники.

3

14

Анализ контрольной работы. Треугольники.

1

23.10

15

Первый признак равенства треугольников.

1

27.10

16

Решение задач на применение первого признака равенства треугольников.

1

30.10

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

3

17

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

1

03.11

18

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника.

1

06.11

19

Решение задач по теме: Равнобедренный треугольник.

1

10.11

Второй и третий признаки равенства треугольников

4

20

Второй признак равенства треугольников.

1

13.11

21

Решение задач на применение второго признака равенства треугольников.

1

24.11

22

Третий признак равенства треугольников.

1

27.11

23

Решение задач на применение третьего признака равенства треугольников.

1

01.12

Задачи на построение

3

24

Окружность.

1

04.12

25

Примеры задач на построение.

1

08.12

26

Решение задач на построение

1

11.12

Решение задач

5

27

Решение задач на применение признаков равенства треугольников

1

15.12

28

Решение задач по теме «Признаки равенства треугольников»

1

18.12

29

Решение задач. Подготовка к контрольной работе.

1

22.12

30

Контрольная работа №2 по теме «Треугольники»

1

25.12

31

Анализ контрольной работы

1

29.12

Глава III .Параллельные прямые.

12

Признаки параллельности прямых.

4

32

Определение параллельных прямых. Признаки параллельности двух прямых.

1

12.01

33

Решение задач на применение признаков параллельности прямых.

1

15.01

34

Практические способы построенияпараллельных прямых.

1

19.01

35

Решение задач по теме: Признаки параллельности прямых.

1

22.01

Аксиомы параллельных прямых.

4

36

Аксиомы параллельных прямых.

1

26.01

37

Свойства параллельных прямых.

1

29.01

38

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Решение задач.

1

02.02

39

Решение задач по теме: Параллельные прямые.

1

05.02

Решение задач.

4

40

Решение задач на применение свойств и признаков параллельности прямых.

1

09.02

41

Применение параллельность прямых при решений задач.

1

12.02

42

Подготовка к контрольной работе.

1

16.02

43

Контрольная работа№3 по теме: Параллельные прямые.

1

19.02

ГлаваIY. Соотношения между сторонами и углами треугольника.

18

Сумма углов треугольника.

2

44

Анализ контрольной работы Сумма углов треугольника.

1

29.02

45

Решение задач по теме: Сумма углов треугольника.

1

01.03

Соотношения между сторонами и углами треугольника

4

46

Соотношения между сторонами и углами треугольника

1

04.03

47

Решение задач на применение теорем о соотношения между сторонами и углами треугольника

1

08.03

48

Неравенство треугольника.

1

11.03

49

Контрольная работа№4 по теме: Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника

1

15.03

Прямоугольные треугольники.

4

50

Анализ контрольной работы Прямоугольные треугольники и некоторые их свойства.

1

18.03

51

Решение задач на применение свойств прямоугольного треугольника.

1

22.03

52

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

1

25.03

53

Решение задач на применение признаков равенства прямоугольных треугольников.

1

29.03

Построение треугольника по трём элементам.

4

54

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.

1

01.04

55

Построение треугольника по трём элементам.

1

05.04

56

Применение навыков построения треугольников по трём сторонам к решению задач на построение.

1

08.04

57

Решение задач на нахождение расстояние от точки до прямой, расстояние между параллельными прямыми.

1

19.04

Решение задач

4

58

Решение задач по теме «Прямоугольные треугольники»

1

22.04

59

Решение задач на построение.

1

26.04

60

Подготовка к контрольной работе.

1

29.04

61

Контрольная работа№5 по теме: Прямоугольный треугольник. Построение треугольника по трём элементам.

1

03.05

Повторение.

9

62

Анализ контрольной работы. Повторение темы: Признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник.

1

06.05

63

Повторение темы. Параллельные прямые.

1

09.05

64

Повторение темы: Соотношения между сторонами и углами треугольника

1

13.05

65

Повторение темы: Прямоугольные треугольники

1

17.05

66

Повторение. Сумма углов треугольника.

1

20.05

67

Основные задачи на построение.

1

22.05

68

Итоговая контрольная работа.

1

24.05

69

Анализ контрольной работы. Решение задач.

1

27.05

70

Обобщение тем 7 класса.

1

31.05

Контрольная работа № 1.по теме:«Основные свойства простейших геометрических фигур»(7класс)

Вариант 1

1. Три точки В,С и D лежат на одной прямой. Известно, что ВD = 17 см, DС = 25 см. Какой может быть длина отрезка ВС?

2. Сумма вертикальных углов МОЕ и DОС, образованных при пересечении прямых МС и DЕ, равна 204^о. Найдите угол МОD.

3. С помощью транспортира начертите угол, равный 78^о, и проведите биссектрису смежного с ним угла

Вариант 2

1. Три точки M, N, K лежат на одной прямой. Известно, что MN = 15 см, NK = 18 см. Какой может быть длина отрезка MK?

2. Сумма вертикальных углов AOB и COD, образованных при пересечении прямых AD и BC, равна 108^о. Найдите угол BОD.

3. С помощью транспортира начертите угол, равный 132^о, и проведите биссектрису одного из смежных с ним углов.

Контрольная работа № 2.по теме «Треугольники»(7класс)

Вариант 1

O

D

C

A

На рисунке отрезки АВ и СD имеют общую середину О. Докажите, что .

2. Луч АD - биссектриса угла А. на сторонах угла А отмечены точки В и С так, что . Докажите, что АВ = АС.

3. Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. С помощью циркуля и линейки проведите медиану ВВ₁ к боковой стороне АС.

Вариант 2

Е

D

К

Р

М

1. На рисунке отрезки МЕ и РК точкой D делятся пополам . Докажите, что .

2. На сторонах угла D отмечены точки М и К так, что DМ = DК. Точка Р лежит внутри угла D, и РК = РМ. Докажите, что луч DР - биссектриса угла МDК.

3. Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием АС и острым углом В. С помощью циркуля и линейки проведите высоту из вершины угла А.

Контрольная работа № 3.по теме: Параллельные прямые.( 7класс)

1 вариант.

1). Отрезки EF и PQ пересекаются в их середине М. Докажите, что РЕ // QF.

2). Отрезок DM- биссектриса треугольника CDE. Через точку Мпроведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DE в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если .

3). На рисунке АС // ВD, точка М - середина отрезка АВ. Докажите, что М - середина отрезка CD.

В

A Д

М

C

2 вариант.

1). Отрезки МN и ЕFпересекаются в их середине Р. Докажите, что ЕN // МF.

2). Отрезок AD- биссектриса треугольника АВС. Через точку Dпроведена прямая, параллельная стороне FD и пересекающая сторону АС в точке F. Найдите углы треугольника АDF, если .

3). На рисунке AB // DC, АВ = DC. Докажите, что точкаО - середина отрезков АС и ВD.

В

С

О

А D

Контрольная работа №4по теме: Соотношения между сторонами и углами треугольника (7класс)

Вариант 1

D

F

Е

М

С

В

А

1. На рисунке , , АC = 12 см. Найдите сторону АВ треугольника АВС.

2. В треугольнике СDЕ точка М лежит на стороне СЕ, причем угол СМD острый. Докажите, что DЕ > DМ.

3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 9 см. Найдите стороны треугольника.

Вариант 2

C

M

E

A

D

F

1. На рисунке , , BC = 9 см. Найдите сторону АC треугольника АВС.

2. В треугольнике MNP точка K лежит на стороне MN, причем угол NKP острый. Докажите, что KP < МP.

3.Одна из сторон тупоугольного равнобедренного треугольника на 17 см меньше другой. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 77 см.

Контрольная работа №5по теме: Прямоугольные треугольники.(7класс)

Вариант 1

1. В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке О, причем ОК = 9 см. Найдите расстояние от точки О до прямой МN.

2. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

3. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 150^о.

Вариант 2

1. В прямоугольном треугольнике DCE c прямым углом С проведена биссектриса EF, причем FC = 13 см. Найдите расстояние от точки F до прямой DE.

2. Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему к нему острому углу.

3. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 105^о.

Итоговая контрольная работа(7класс)

Вариант 1

1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на медиане ВD отмечена точка К, а на сторонах АВ и ВС - точки М и N соответственно. Известно, что

а) Найдите угол BNK.

б) Докажите, что прямые MN и ВК взаимно перпендикулярны.

2. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки D, E и F соответственно. Известно, что

а) Найдите угол DFE.

б) Докажите, что прямые АВ и ЕF пересекаются.

3. В прямоугольном треугольнике АВС катет АВ равен 3 см, угол С равен 15⁰. На катете АС отмечена точка D так, что .

а) Найдите длину отрезка ВD.

б) Докажите, что ВC < 12 cм.

Вариант 2

1. В треугольнике АВС угол А равен 55^о. Внутри треугольника отмечена точка О так, что и АО = ОС.

а) Найдите угол АСВ.

б) Докажите, что прямая ВО является серединным перпендикуляром к стороне АС.

2. На прямой последовательно отложены отрезки АВ, ВС и СD.Точки Е и F расположены по разные стороны от этой прямой, причем

Докажите, что:

а) прямые ВЕ и CF параллельны;

б) прямые ВF и СЕ пересекаются.

3. В треугольнике АВС На стороне FС отмечена точка D так, что .

а) Найдите длину отрезка АD.

б) Докажите, что периметр треугольника АВС меньше 10 см.

21