Графическое решение квадратных уравнений

Тема урока: Графическое решение квадратных уравнений.

Цели урока:

Каждый учащийся:

• Систематизирует свои знания по теме «Построение графика квадратичной функции»,

• Распознает квадратные уравнения,

• Решает квадратные уравнения графическим способом,

• Правильно определяет методы решения конкретного уравнения в знакомой ситуации.

Повторяем:

• Построение параболы по алгоритму и с помощью метода выделения полного квадрата из квадратного трехчлена,

• Преобразование графиков функций с помощью параллельного переноса вдоль осей координат.

Знания и навыки:

Каждый учащийся:

• Знает определение квадратичной функции,

• Знает алгоритм построения графика квадратичной функции,

• Знает шаблоны графиков изученных функций,

• Умеет строить графики изученных функций с помощью параллельного переноса вдоль осей координат,

• Умеет решать квадратные уравнения графическим способом.

Наглядные пособия и раздаточный материал:

• Презентация,

• Демонстрационный материал (рисунки с графиками функций),

• Интерактивная доска,

• Раздаточный материал: шаблоны системы координат, кружки трех цветов.

Ход урока.

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1. Оргмомент.

Мотивация учебной деятельности.

Учитель настраивает учащихся на исследовательскую работу на уроке.

Здравствуйте, ребята. Наш сегодняшний урок я хотела бы начать словами великого мыслителя и философа Конфуция (551-479гг до н.э.)

Три пути ведут к знаниям:

Путь размышления самый благородный,

Путь подражания самый легкий,

Путь опыта самый горький.

-Как вы понимаете смысл этого высказывания?

Значит лучший способ изучить что-либо - это открыть самому. Сегодня мы с вами постараемся выполнить наставления этого великого человека и с помощью размышлений открыть что - то новое для себя.

Учащиеся, прослушав высказывание, дают объяснения

2. Актуализация опорных знаний учащихся, проверка домашнего задания

Учитель с помощью интерактивной доски проводит проверку домашнего задания

Одновременно с этим учитель проводит устную работу, выполнение которой дает возможность повторения знаний по построению графиков функций, необходимых для изучения нового материала.

Ученик выполняет построение графика функции у=2х²+8х+6 на макете системы координат и указывает свойства: ось параболы, промежутки возрастания, убывания, нули функции, промежутки знакопостоянства. После завершения отвечает на вопросы сверстников:

• Какая функция называется квадратичной?

• Что является осью параболы и как ее найти?

• Что такое нули функции и как их найти?

Учащиеся работают с дидактическим материалом (приложение 1), отвечая устно, аргументируя правильность рассуждений по мере необходимости, повторяя теоретический материал.

3. Объяснение нового материала.

Учитель с помощью задания на интерактивной доске подводит учащихся к формулировке темы и целей урока.

- Так что же называют нулями функции?

-Подставьте в формулу данной функции значение переменной у=0 и скажите, что за равенство получилось? Почему?

- Что значит решить уравнение?

- Что называют корнем уравнения?

-Будут ли значения х=-3 и х=-1 корнями данного уравнения?

-Что это значит?

- Что бы вы хотели узнать об уравнениях такого вида? Мы ведь уже знакомы с линейными уравнениями и по вашему опыту работы с ними поставьте перед собой задачи.

- Вспомним определение квадратичной функции.

- Линейная функция - линейные уравнения, квадратичная функция -…

- Попробуйте сформулировать определение квадратных уравнений.

-Давайте рассмотрим это определение и попытаемся выделить существенные признаки, по которым мы будем распознавать квадратные уравнения.

-Что стоит в левой части уравнения? Правой части?

-Какую степень он имеет?

-Как можно переформулировать определение?

-Почему поставлено условие а≠0 и почему это условие накладывается только на а?

-Какие из уравнений будут квадратными:

2х²+5х-3=0

5х-х²=0

х-4=0

5х³-х²+4=0

х²-7+3х³=0 ?

-Что такое квадратное уравнение мы уже знаем. Перейдем к следующей цели: как решаются квадратные уравнения. Но мы ведь нашли корни данного уравнения, значит, мы его решили. Как?

-Что значит решить уравнение графически?

- А мы ведь строили только график левой части уравнения и назвали корни уравнения. Почему?

- Как бы вы сформулировали тему урока?

- Мы договорили следовать словам великого философа Конфуция и в данной ситуации мы не будем отступать от этого правила. Решать неравенства по шаблону мы не будем. Лучше решить одну задачу разными способами, чем несколько задач одним и тем же способом. Давайте применим правила, изученные еще в 6 классе: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак и умножение, деление обеих частей уравнения на число отличное от нуля.

- Какой из способов вам понравился больше всего?

- Перейдем к последней из задач, которые мы поставили перед собой: «Сколько корней может иметь квадратное уравнение?». Какое свойство функции нам поможет ответить на вопрос?

-Сейчас мы обратимся к учебнику. Изучая тему квадратичной функции, мы с вами работали с графиками парабол. Откройте страницу учебника 116, 126, 135. Проанализируйте, сколько точек пересечения с осью Ох может иметь парабола?

-Как тогда мы ответим на вопрос: «Сколько корней может иметь квадратное уравнение?»

Учащиеся формулируют тему и цели урока, отвечая на вопросы учителя.

- Нулями функции называют значения переменной х, при которых у=0

- 2х²+8х+6=0. Это уравнение, так как

равенство, содержащее переменную, называют уравнением.

- Решить уравнении - значит найти все его корни или доказать, что их нет.

- Корнем уравнения называют значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Да, так как точки (-3;0) и (-1;0) принадлежат графику функции. Мы в формулу подставили значение координаты у точки, значит, если подставим значение координаты х точки, то получим верное числовое равенство.

Нули квадратичной функции являются корнями соответствующего уравнения.

- Как эти уравнения называются?

-Сколько решений имеют?

- Как решаются?

Функцию вида у=ах²+вх+с , где а, в, с -произвольные числа, причем а≠0, называют квадратичной функцией.

-Квадратные уравнения.

Уравнения вида ах²+вх+с=0 , где а, в, с -произвольные числа, причем а≠0, называют квадратными уравнениями.

-Слева стоит многочлен, справа ноль.

- Вторую

- Квадратное уравнение это уравнение, в левой части которого многочлен второй степени, а в правой ноль.

- Если а=0, то слева получим многочлен первой степени, а если в=0 или с=0 или в=0 и с=0, то многочлен будет второй степени.

-2х²+5х-3=0

5х-х²=0

- Графически.

- В одной системе координат построить графики левой и правой частей уравнения и найти их точки пересечения, если они есть. Координата х почки пересечения графиков и будет ответом уравнения.

-Потому, что график правой части уравнения у=0 совпадает с осью Ох и ее можно было не строить, а лишь назвать точки пересечения графика с осью ОХ.

- Графическое решение квадратных уравнений.

Учащиеся выполняют перенос слагаемых и с помощью графического метода решения уравнений находят корни уравнения.

2х²+8х=-6. Слева парабола, которую нужно построить по алгоритму. Мы такой случай уже рассмотрели.

2х²+6= -8х

2х²= -8х-6

2х+8= -

Учащиеся называют способы, показавшиеся им более легкими и удобными.

-Свойство нулей функции.

-Две точки, одну точку пересечения и не иметь точек пересечения.

-Один корень, два корня и не иметь корней.

4. Закрепление изученного материала.

-А сейчас я вам предлагаю решить уравнение удобным для вас способом.

3х²+6х+1=0

-Выбран не совсем удобный способ? Давайте попробуем другим способом. А в чем проблема? Как вы думаете?

- Да, ребята графический способ решения уравнений иногда красив и удобен, но не дает стопроцентной гарантии решения. Значит это не единственный способ решения и существуют другие способы, с которыми нам еще предстоит познакомиться.

Один учащийся работает у доски, а остальные в тетрадях.

-Корни уравнения не являются целыми числами.

5. Итог урока.

Итак, что нового вы узнали на уроке?

-Что называют квадратным уравнением.

-Сколько оно может иметь корней.

- Корнями квадратного уравнения являются нули соответствующей квадратичной функции.

- Графически квадратное уравнение можно решить разными способами.

6.Домашнее задание.

Стр. 145 № 23.4(а,в), 23.6(б,в), 23.8(а)

Учащиеся записывают в дневники

7. Рефлексия.

Ребята, вам понравился урок? Для того, чтобы я это поняла, поднимите кружок с соответствующим цветом:

Красный - ничего не понял

Желтый - понял, но не до конца

Зеленый - мне все понятно.

Урок окончен. Спасибо за внимание.