- Преподавателю
- Математика
- Учебно-методическое пособие Расчетная работа Приближенное решение скалярного уравнения
Учебно-методическое пособие Расчетная работа Приближенное решение скалярного уравнения
| Раздел | Математика |
| Класс | - |
| Тип | Другие методич. материалы |
| Автор | Лещенко М.Ю. |
| Дата | 08.08.2015 |
| Формат | docx |
| Изображения | Есть |
МАТЕМАТИКА
РАСЧЕТНАЯ РАБОТА
«Приближенное решение скалярного уравнения»
Учебно-методическое пособие
----------------------------------------------------------------------------------
Введение
Современная вычислительная техника требует от пользователей знаний основ вычислительной математики и применения этих знаний к решению различных задач народного хозяйства. Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании различных процессов и явлений можно разбить на ряд элементарных: решение уравнений, установление функциональной зависимости между результатами эксперимента, вычисление интегралов, решение дифференциальных уравнений и т.д.
Цель учебно-методического пособия - помощь учащимся, углубленно изучающим математику, а также студентам 1 курса вузов в самостоятельном изучении численных методов и выполнении лабораторно-практических работ.
Настоящее пособие содержит расчетную работу: решение скалярных уравнений.
Работа содержит теоретическую часть, в которой дана общая постановка решаемой задачи и различные методы ее решения; порядок выполнения работы (решение задач в общем виде); приводятся примеры с решениями, контрольные вопросы, на которые студенту необходимо ответить, чтобы проверить степень усвоения материала; задачи для индивидуальной работы по вариантам двух уровней сложности: А,Б (для дифференцированного контроля знаний студентов0. Уровень А включает задачи среднего уровня сложности, уровень Б - более сложные задачи.
Расчетная работа
Приближенное решение скалярного уравнения
I. Теоретическая часть
-
Постановка задачи
Пусть требуется решить скалярное уравнение
(1.1)
Методы исследования поведения функции дают возможность находить приближенные значения корней уравнения (1.1).
Если данное уравнение есть алгебраическое уравнение, т.е. 
есть многочлен, первой, второй, третьей или четвертой степени, то существуют формулы, позволяющие выразить корни уравнения через его коэффициенты с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней. Для уравнения выше четвертой степени таких формул, вообще говоря, не существует. Если коэффициенты любого уравнения, алгебраического или неалгебраического (трансцендентного), не буквенные, а числовые, то корни уравнения могут быть вычислены приближенно с любой степенью точности. Отметим, что даже в тех случаях, когда корни алгебраического уравнения выражаются через радикалы, на практике иногда целесообразно применять приближенный метод решения уравнения.
2. Графический метод, отделение корней
Задача о нахождении приближенных значений действительных корней уравнения (1.1) предусматривает предварительное отделение корня, т.е. установление промежутка, в котором других корней данного уравнения нет.
Будем предполагать, что функция в промежутке 
непрерывна со своими производными 
и 
, значения f(a) и f(b) функции на концах промежутка имеют разные знаки, т.е. 
, и обе производные и 
сохраняют знак во всем промежутке .
Действительные корни уравнения (1.1) являются абсциссами точек пересечения кривой 
с осью Оx, а если это уравнение преобразуется к виду 
, то его действительные корни будут абсциссами точек пересечения кривых 
и 
(см. рис. 1.1). 
С помощью графического метода можно находить
приближенные значения действительных корней
алгебраических и трансцендентных уравнений
путем построения соответствующих кривых.
Однако этим графическим методом можно получить
лишь грубо приближенные значения корней уравне-
ния, но нельзя их вычислить с наперед заданной
Рис. 1.1 большой точностью. Поэтому графический метод обычно применяется лишь как вспомогательное средство для определения числа действительных корней уравнения и для их отделения, т.е. для нахождения таких отрезков оси Ox, внутри которых содержится только по одному корню. Затем, после такого отделения корней, каждый из них может быть вычислен с любой желаемой точностью посредством аналитических методов. К таким методам относятся: метод хорд, метод касательных (метод Ньютона), комбинированный метод хорд и касательных, метод итераций и метод проб. Рассмотрим эти методы.
3. Метод хорд
Пусть требуется вычислить действительный корень уравнения (1.1), изолированный на отрезке 
. Рассмотрим график функции 
. Пусть 
и 
. 
Рис.1.2.Рис. 1.3.
Точки графика 
и 
соединим хордой. За приближенное значение искомого корня примем абсциссу 
точки пересечения хорды АВ с осью Ox.
Это приближенное значение находится по формуле
, (1.2)
где 
. Пусть, например, 
, тогда за новый (более узкий) промежуток изоляции корня можно принять 
. Соединив точки 
и , получим в точке пересечения хорды с осью Ox второе приближение 
, которое вычислим по формуле
, (1.3)
и т.д. Последовательность чисел a, x1, x2,… стремится к искомому корню уравнения (1.1). Если было бы 
, то за новый промежуток изоляции корня можно было бы принять 
и тогда второе приближение 
вычисляли бы по формуле 
(1.3')
Вычисление приближенных значений корней уравнения следует вести до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые мы хотим сохранить в ответе (т.е. пока не будет достигнута заданная степень точности).
Если 
- точный корень уравнения 
, изолированный на отрезке
, а 
- приближенное значение корня, найденное методом хорд, то оценка погрешности этого приближенного значения такова:
, (1.4)
приняв за а и b концы промежутка изоляции, на котором найдено приближенное значение корня .
4. Метод касательных (метод Ньютона)
x2
a
M1
M0
AПусть действительный корень уравнения (1.1) изолирован на отрезке . Пусть снова и , причем первая производная на этом отрезке не меняет своего знака. Тогда в отрезке имеется один корень уравнения 
. Возьмем на отрезке такое число x0., при котором 
имеет тот же знак, что и 
, т.е. 
( в частности, за x0 может быть принят тот из концов отрезка , в котором соблюдено это условие). Сохранение знака второй производной на отрезке означает, что кривая либо только выпукла, либо только вогнута на нем. Проведем в точке 
Bкасательную к кривой .
За приближенное значение корня
примем абсциссу точки пересечения
этой касательной с осью Ox.
Чтобы найти эту абсциссу напишем
Уравнение касательной в точке М0:
, заметив, что
при 
, получим:
x0
x1
, или . 
Рис. 1.4
Это приближенное значение корня находится по формуле 
. (1.5)
Применив этот прием вторично в точке 
, найдем
, (1.6)
и т.д. 
(1.7)
Полученная таким образом последовательность x0, x1, x2, … имеет своим пределом искомый корень.
Если - точный корень уравнения , изолированный на отрезке , а
- приближенное значение корня, найденное методом хорд, то оценка погрешности этого приближенного значения такова:
, (1.8)
приняв за а и b концы промежутка изоляции, на котором найдено приближенное значение корня .
5. Комбинированный метод хорд и касательных
Пусть требуется найти действительный корень уравнения (1.1), изолированный на отрезке 
.
Предполагается, что 
и 
имеют разные знаки, а каждая из производных сохраняет определенный знак на отрезке изоляции. Возьмем на отрезке 
такую точку x0 , что f(x0) и (при x0, принадлежащем промежутку изоляции) имеют одинаковые знаки. Воспользуемся формулами методов хорд и касательных: 
; 
. (1.9)
Точки x11 и x12 принадлежат промежутку
изоляции, причем f(x11) и f(x12) имеют разные
знаки и лежат по разные стороны от искомого
корня. На отрезке 
снова применим
метод хорд и касательных.
Построим новую пару приближений к корню
;
Рис. 1 .5.
. (1.10)
Точки x21 и x22 на числовой оси расположены между точками x11 и x12, причем f(x21) и f(x22) имеют разные знаки. На отрезке 
опять применим метод хорд и касательных.
Вычислим теперь значения
; 
(1.11)
и т.д. Каждая из последовательностей 
стремится к искомому корню, причем одна из последовательностей монотонно возрастает, а другая - монотонно убывает. Пусть, например, 
, тогда 
. Задав заранее достаточно малое 
, мы можем, увеличивая n, добиться выполнения неравенства 
; следовательно, при этом же значении n будет выполняться неравенство 
. Таким образом, xn1 является приближенным значением корня , вычисленным с погрешностью, не превышающей 
.
Так, например, для нахождения приближенного значения с точностью до 0,001 нужно определить n таким образом, чтобы значения xn1 и xn2, вычисленные с точностью до 0,001, совпали.
6. Метод итераций (метод последовательных приближений)
Метод простых итераций (метод последовательных приближений) решения уравнения (1.1): 
состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением 
и построении последовательности 
, сходящейся при 
к точному решению.
Если данное уравнение приведено к виду , где 
всюду на отрезке , на котором исходное уравнение имеет единственный корень, то исходя из некоторого начального значения x0 , принадлежащего отрезку , можно построить такую последовательность:
Пределом этой последовательности является единственный корень уравнения на отрезке . Погрешность приближенного значения xn корня , найденного методом итераций, оценивается неравенством
. (1.12)
При использовании метода простых итераций основным моментом является выбор функции 
в уравнении , эквивалентного исходному. При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности 
тем выше, чем меньше число 
.
y=xМетод допускает простую геометрическую интерпретацию. Построим графики функций 
. Корнем уравнения является абсцисса точки пересечения кривой 
с прямой 
(рис. 1.6). Взяв в качестве начальной произвольную точку 
, строим ломаную линию (рис. 1.7).
Рис. 1.6. Рис. 1.7.
Абсциссы вершин этой ломаной представляют собой последовательные
приближения корня . Из рисунков видно, что если 
на отрезке ,
то последовательные приближения колеблются около корня , если же производная 
положительна, то последовательные приближения сходятся к корню монотонно.
Для нахождения приближенного значения корня с погрешностью, не превышающей , достаточно определить n так, чтобы выполнялось неравенст-
во 
. (1.13)
7. Метод проб (метод половинного деления)
Интервал изоляции действительного корня всегда можно уменьшить путем деления его, например, пополам, определяя, на границах, какой из частей первоначального интервала функция f(x) меняет знак. Затем полученный интервал снова делят на две части и т.д. Такой процесс проводится до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки. Для достижения точности необходимо совершить 
итераций, где 
.
Это означает, что для получения каждых трех верных десятичных знаков необходимо совершить около 10 итераций.
Если на отрезке находятся несколько корней уравнения (1.1), то процесс сходится к одному из них. Метод неприменим для отыскания кратных корней четного порядка. В случае кратных корней нечетного порядка он менее точен.
-
Порядок выполнения работы
Задание 1
Найти графически интервалы изоляции действительных корней данного скалярного уравнения .
Решение:
1). Представим уравнение в виде 
.
2). Построим графики функций 
и 
.
3). Определим приближенно по графику абсциссу точки пересечения этих графиков x0.
4). Определим промежуток изоляции , содержащий корень 
x0.
Задание 2
Методом хорд решить уравнение с точностью до .
Решение:
Вычислим приближенное значение корня с заданной точностью (уточним корень, найденный графически см. задание 1).
1). Найдем , для этого в вместо x подставим a. Определим знак .
2). Найдем , для этого в вместо x подставим b. Определим знак 
.
3). Найдем первое приближенное значение корня по формуле (1.2):
.
4). Найдем f(x1), для этого в вместо x подставим x1.
5). Определим знак f(x1).
6). Найдем новый (более узкий) промежуток изоляции.
а)Если f(x1) имеет знак противоположный знаку , то за новый промежуток примем .
б)Если f(x1) имеет знак противоположный , то за новый промежуток примем 
.
7). Найдем второе приближение корня в случае а) по формуле (1.3'):
, в случае б) по формуле (1.3): .
8). Найдем f(x2), для этого в вместо x подставим x2.
9). Определим знак f(x2). Сравним его со знаками на концах промежутка изоляции (найденного в п.6).).
Если знак f(x2) противоположен знаку f(x1), то за новый промежуток изоляции примем 
.
Если знак f(x2) противоположен знаку f(b), то за новый промежуток изоляции примем 
.
10). Вычисление приближенных корней уравнения ведем до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые мы хотим сохранить в ответе (т.е. пока не будет достигнута заданная степень точности): 
.
11). Результаты вычислений занесем в таблицу:
№
шага
Промежуток изоляции
Задание 3
Методом касательных (методом Ньютона) решить уравнение с точностью до .
Решение:
Вычислим приближенное значение корня с заданной точностью (уточним корень, найденный графически см. задание 1).
1). Найдем и для данной функции 
.
2). Возьмем на отрезке изоляции такое число x0, при котором f(x0) имеет тот же знак, что и , т.е. (в частности за x0 может быть принят тот из концов отрезка , в котором соблюдено это условие).
3). Найдем 
.
4). Найдем первое приближенное значение корня x1 по формуле (1.5):
.
5). Найдем значения 
, подставив x1 в вместо x и 
, подставив x1 в 
вместо x.
6). Найдем второе приближенное значение корня x2 по формуле (1.6): .
7). Найдем значения x3,
;…;xn-1,
.
8). Найдем n-ое приближенное значение корня xn по формуле:
.
9). Вычисление приближенных значений корней уравнения ведем до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые мы хотим сохранить в ответе (т.е. пока не будет достигнута заданная степень точности ): .
10). Результаты вычислений занесем в таблицу:
№
шага
Задание 4
Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение с точностью до .
Решение:
Вычислим приближенное значение корня с заданной точностью (уточним корень, найденный графически см. задание 1).
1). Найдем на концах промежутка изоляции значения функции f(a) и f(b).
2). Найдем значения 
и 
на концах этого же промежутка.
3). За x0 примем то значение a или b, при котором f(x0) и имеют одинаковые знаки.
4). По формулам (9): ; найдем первую пару приближений x11 и x12. Величины x11 и x12 принадлежат промежутку изоляции .
5). Найдем f(x11) и f(x12), они имеют разные знаки.
6). Найдем 
.
7). На новом промежутке изоляции с концами x11 и x12 найдем вторую пару приближений по формулам (10):; 
. Точки x21 и x22 на числовой оси расположены между точками x11 и x12.
8). Найдем f(x21) и f(x22), они имеют разные знаки.
9). Найдем 
.
10). На новом более узком отрезке изоляции с концами x21 и x22 найдем третью пару приближений x31 и x32 по формулам (1.11):
; 
. Точки x31 и x32 расположены между точками x21 и x22.
11). Найдем f(x31) и f(x32), они имеют разные знаки.
12). И т.д.
13). Продолжаем до тех пор, пока разность между найденными приближенными значениями не станет меньше, чем требуемая степень точности, т.е. 
.
14). Результаты измерений занесем в таблицу:
№
шага
Промежуток изоляции
Задание 5
Методом итераций найти приближенное значение корня уравнения с точностью до .
Решение:
Вычислим приближенное значение корня с заданной точностью (уточним корень, найденный графически см. задание 1).
1) Возьмем некоторое начальное значение 
.
2) Запишем исходное уравнение в виде 
.
3) Найдем 
.
4) Если 
всюду на , то метод итераций применим.
5) Найдем первое приближенное значение корня 
.
6) Найдем второе приближенное значение корня 
.
7) Продолжим этот процесс и находим n-ое приближенное значение корня 
.
8) Процесс нахождения приближенных значений корня продолжим, пока не выполнится условие (13): 
.
9) Результаты вычислений занесем в таблицу:
№
шага
Задание 6
Методом проб (половинного деления) решить уравнение с точностью до .
Решение:
Уточним корень, найденный графически см. задание 1 методом проб, т.е.
вычислим его с заданной степенью точности.
1). Найдем значение функции при 
, т.е. 
.
2). Найдем значение , подставив 
в функцию .
3). Разделим интервал 
пополам, получим 
.
4). Вычислим значение 
, подставив вместо x найденное значение c1 в исходную функцию f(x).
5). Определим знак f(c1).
6). Найдем новый интервал изоляции:
а) если f(c1) имеет знак противоположный знаку f(b), то этот интервал будет 
;
б) если f(c1) имеет знак противоположный знаку f(a), то этот интервал будет 
;
7). Найдем середину нового интервала изоляции: в случае а) - находим по формуле: 
; в случае б) - 
.
8). Найдем f(c2), подставив в исходную функцию f(x) x=c2.
9). Определим знак f(c2).
10). Найдем новый интервал изоляции (см. п.6) и т.д.
11). Процесс продолжаем до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки.
12) Результаты вычислений занесем в таблицу:
№
шага
Промежуток изоляции
Задание 7
Применив дважды метод хорд, найти приближенное значение действительного корня уравнения , изолированного в промежутке . Приближенные значения и вычислить с тремя знаками после запятой. Оценить погрешность приближенного значения .
Решение:
-
Найдем
. -
Найдем
, т.е. производную от . -
Найдем
, для этого в вместо x подставим a. Определим знак . -
Найдем
, для этого в вместо x подставим b. Определим знак
.
-
Найдем первое приближенное значение корня по формуле (1.2):
. -
Найдем f(x1), для этого в
вместо x подставим x1. -
Определим знак f(x1).
-
Найдем новый (более узкий) промежуток изоляции.
а)Если f(x1) имеет знак противоположный знаку , то за новый промежуток примем .
б)Если f(x1) имеет знак противоположный , то за новый промежуток примем .
9) Найдем второе приближение корня в случае а) по формуле (1.3'):
, в случае б) по формуле (1.3): .
10) Оценим погрешность приближенного значения x2 по формуле (1.4):
, т.е. 
, приняв за а и b концы промежутка изоляции, на котором найдено второе приближение x2.
Для этого:
-
Найдем наибольшее значение функции
на отрезке . -
Найдем критические точки функции
внутри отрезка. Для этого найдем производную 
и те значения x, в которых 
-
или не существует.
-
-
Найдем значения функции
в критических точках. -
Найдем значения функции
на концах отрезка , т.е. 
, подставив вместо x в функцию a, и 
, подставив вместо x в функцию b. -
Сравним все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка и выберем из них наибольшее.
-
-
Найдем оценку приближенного значения корня
по формуле .
Задание 8
Применив дважды метод касательных, найти приближенное значение
действительного корня уравнения , изолированного в промежутке . Приближенные значения и вычислить с тремя знаками после запятой. Оценить погрешность приближенного значения .
Решение:
Вычислим приближенное значение корня с заданной точностью (уточним корень, найденный графически см. задание 1).
1). Найдем и для данной функции .
2). Возьмем на отрезке изоляции такое число x0, при котором f(x0) имеет тот же знак, что и , т.е. (в частности за x0 может быть принят тот из концов отрезка , в котором соблюдено это условие).
3). Найдем .
4). Найдем первое приближенное значение корня x1 по формуле (1.5): .
5). Найдем значения , подставив x1 в вместо x и , подставив x1 в 
вместо x/
6). Найдем второе приближенное значение корня x2 по формуле (1.6): .
7). Оценим погрешность приближенного значения x2 по формуле (1.8):
, т.е. 
, приняв за а и b концы промежутка изоляции, на котором найдено второе приближение x2.
Для этого:
1. Найдем наибольшее значение функции на отрезке .
1.1.Найдем критические точки функции внутри отрезка. Для этого найдем производную и те значения x, в которых или не существует.
1.2. Найдем значения функции в критических точках.
1.3. Найдем значения функции на концах отрезка , т.е. ,
подставив вместо x в функцию a, и , подставив вместо x в функцию b.
1.4.Сравним все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка и выберем из них наибольшее.
2. Найдем оценку приближенного значения корня по формуле
.
-
Пример
Задание 1.1
Найти графически интервалы изоляции положительного корня уравнения 
.
Решение:
1). Представим уравнение в виде : 
.
2). Построим графики функций и в декартовой системе координат (рис. 1.8). 
f1(x)=x3
x
-2
-1
0
1
2
f1(x)
-8
-1
0
1
8
f2(x)=-2x+7
x
0
2
f2(x)
7
3
Рис. 1.8.
3). Определим приближенно по графику абсциссу точки пересечения этих графиков М.
4). Определим промежуток изоляции 
, содержащий корень уравнения.
Уравнение имеет один действительный положительный корень x0, 
, т.к.
на концах отрезка функция f(x) имеет разные знаки:
2.
Задание 1.2
Методом хорд решить уравнение с точностью до =0,01.
Решение:
Вычислим приближенное значение корня с заданной точностью =0,01 (уточним корень, найденный графически см. задание 1.1) в промежутке изоляции .
1). Найдем значение функции в левом конце промежутка изоляции 
, для этого в =
вместо x подставим 1 и определим знак :
.
2). Найдем значение функции в правом конце промежутка изоляции 
, для этого в = вместо x подставим 2 и определим знак 
: 
3). Найдем первое приближенное значение корня по формуле (1.2): : 
.
4). Найдем f(x1), т.е. 
. Для этого в вместо x подставим x1=1,444:
.
5). Определим знак f(1,444): f(1,444)
-1,101<0.
6). Найдем новый (более узкий) промежуток изоляции. Т.к. f(1,444)<0, а на правом конце промежутка изоляции 
f(2)>0 (т.е. имеют разные знаки), то за новый промежуток примем 
.
7). Найдем второе приближение корня по формуле (3): .
8). Так как 
, где 
заданная точность, то вычисления необходимо продолжить.
9). Найдем f(x2), т.е. 
, для этого в вместо x подставили 1,544.
10). Определим знак f(x2), т.е. 
. Сравним его со знаками на концах промежутка изоляции (найденного в п.6).). Т.к. f(2)=5>0 (т.е. функция принимает значения разных знаков), то за новый промежуток изоляции примем 
.
11). Найдем третье приближение корня x3:
12). Так как 
, где заданная точность, то вычисления необходимо продолжить.
13). Найдем f(x3), т.е. 
.
14). Т.к. 
а на правом конце промежутка f(2)=5>0 (функция принимает значения разных знаков), то за новый промежуток изоляции примем 
.
15).Найдем четвертое приближение корня x4: 
16). Т.к. 
, где 
заданная точность, то приближенное значение корня, найденное методом хорд с точностью 0,01 равно 1,56.
17). Результаты вычисление занесем в таблицу:
Таблица 1.1
№
шага
Промежуток изоляции
1
1,444
-1,101
-
2
1,544
-0,231
0,1
3
1,564
-0,046
0,02
4
1,568
-
0,004
Задание 1.3
Методом касательных (методом Ньютона) решить уравнение с точностью до =0,01.
Решение:
Вычислим приближенное значение корня с заданной точностью =0,01 (уточним корень, найденный графически см. задание 1.1) в промежутке изоляции .
1). Найдем и для данной функции 
:
; 
.
2). Возьмем на отрезке изоляции такое число x0=2, при котором f(2) имеет тот же знак, что и 
, т.е. 
(за x0 принимаем тот из концов отрезка , в котором соблюдено это условие, в данном случае правый его конец): 
3). Найдем , т.е. 
4). Найдем первое приближенное значение корня x1 по формуле (1.5): : 
5). Найдем значения , подставив x1=1,643 в 
вместо x:
;
найдем , подставив x1=1,643 в 
вместо x:
.
6). Найдем второе приближенное значение корня x2 по формуле (1.6): : 
.
7). Так как 
, где заданная точность, то вычисления необходимо продолжить.
8). Найдем значения 
, подставив x2=1,572 в вместо x:
;
найдем 
, подставив x2=1,572 в вместо x: 
.
9). Найдем третье приближенное значение корня x3 по формуле:
: 
10). Т.к. 
, где 
, то приближенное значение
корня найденное методом Ньютона с точностью до 0,01 равно 0,56.
11). Результаты вычислений занесем в таблицу:
Таблица 1.2
№
шага
1
1,643
0,721
10,098
-
2
1,572
0,029
9,414
0,071
3
1,569
-
-
0,003
Задание 1.4
Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение с точностью до =0,01.
Решение:
Вычислим приближенное значение корня с заданной точностью (уточним корень, найденный графически см. задание 1.1) в промежутке изоляции .
1). Найдем на концах промежутка изоляции значения функции f(1), подставив для этого 1 в f(x)
вместо x и f(2), подставив 2 в f(x) вместо x: 
; 
.
2). Найдем значения 
и 
на концах этого же промежутка. Так как (см. п. 1) задание 1.3), то чтобы найти подставим 1 в 
вместо x, получим 
. Аналогично находим =
3). За x0 примем то значение концов промежутка изоляции , при котором f(x0) и имеют одинаковые знаки. Так как 
, то возьмем x0=2.
4). По формулам (9): ; найдем первую пару приближений x11 и x12, величины x11 и x12 принадлежат промежутку изоляции : так как , а 
, то 
; 
.
5). Найдем f(x11) и f(x12), т.е. 
и 
. Для этого подставим сначала 
вместо x в 
, а затем 
и получим: 
.
Найденные значения имеют разные знаки.
6). Найдем , т.е. 
. Для этого подставим вместо x в . Получим 
7). На новом промежутке изоляции с концами и 
найдем вторую пару приближений по формулам (1.10):
. Так как 
(
является левым концом нового промежутка изоляции, а 
- правым), то в формуле (1.10) для вычисления 
: меняем местами 
и 
, и вычисляем по формуле 
.
Тогда 
Точки x21
и x22
на числовой оси расположены между точками x11
и x12
.
8). Найдем f(x21), т.е. 
, подставив 1,572 вместо x в :
.
Найдем f(x22), т.е. 
, подставив 1,564 вместо x в :
Найденные значения имеют разные знаки. Следовательно, искомый корень принадлежит промежутку 
.
9). Найдем , т.е. 
, подставив 1,572 в вместо
x: 
.
10). На новом более узком отрезке изоляции с концами x21 и x22 найдем третью пару приближений x31 и x32 по формулам (1.11): ; . Получим 
Так как 
, то в формуле для вычисления 
поменяем местами 
с и получим для
вычисления формулу: 
. Тогда
11). Так как 
, где - заданная степень точности, то искомое приближенное значение корня данного уравнения, найденного комбинированным методом хорд и касательных, с точностью до 0,01 равно 1,57.
12). Результаты вычислений занесем в таблицу:
Таблица 1.3
№
шага
Промежуток изоляции
1
[1;2]
1,643
1,444
0,721
- 1,101
0,199
2
[ 1,444;1,643 ]
1,572
1,564
0,029
- 0,046
0,008
3
[ 1,564;1,572 ]
1,568
1,569
-
-
0,001
Задание 1.5
Методом итераций найти приближенное значение корня уравнения 
с точностью до =0,001.
Решение:
1. Найдем графически интервалы изоляции действительных корней данного скалярного уравнения .
1). Представим данное уравнение в виде : 
.
2). Построим графики функций и : 
и 
.
y=lgx
x
0.01
0.1
1
10
y=lgx
-2
-1
0
1
y= -x+2
x
0
2
y= -x+2
2
0
x
0
2
y= -x+2
2
0
x
0
2
y= -x+2
2
0
x
0
2
y= -x+2
2
0
x
0
2
y= -x+2
2
0
Рис. 1.9.
3). Определим приближенно по графику абсциссу точки пересечения этих графиков x0 это точка M. Отметим ее на графике.
4). Определим промежуток изоляции, содержащий корень x0: так как x0
, то примем его за промежуток изоляции.
2. Найдем корень данного уравнения методом итераций с точностью до 0,001.
Для этого:
1) Возьмем некоторое начальное значение 
, за него можно принять один из концов промежутка. Пусть 
2) Запишем исходное уравнение в виде : 
Здесь 
3) Найдем : 
Здесь мы воспользовались табличным значением 
, правилом дифференцирования 
, правилом перехода от натурального логарифма к десятичному: 
. Следовательно 
, так как 
(по определению логарифма числа).
4) Проверим выполнение условия всюду на 
.
. Так как 
и 
, то в промежутке изоляции 
. Следовательно, метод итераций применим.
5) Найдем первое приближенное значение корня для этого подставим 
вместо 
в . Тогда 
(т.к. 
)
6) Найдем второе приближенное значение корня , подставив 
вместо 
в . Получим 
Значения функции 
находим с помощью таблиц логарифмов или калькулятора.
7) Аналогично найдем третье приближенное значение корня 
, 
8) Находим последующие значения приближенных значений корня:
;
.
8) Процесс нахождения приближенных значений корня закончим, т.к. выполняется условие (13): ; 
. Следовательно, искомый корень, найденный методом итераций с точностью до 0,001 равен 1,755.
9). Результаты измерений занесем в таблицу:
Таблица 1.4
№
шага
0
1
2
1
1
2
1,6990
0,301
2
1,6990
1,7698
0,0708
3
1,7698
1,7520
0,0178
4
1,7520
1,7565
0,0045
5
1,7565
1,7555
0,001
6
1,7555
1,7556
0,0001
7
1,7556
-
-
Задание 1.6
Методом проб (половинного деления) решить уравнение с точностью до =0,01.
Решение:
Так как промежуток изоляции действительного корня данного уравнения найден в задании 1.1, то воспользуемся полученным результатом. Искомый корень заключен внутри промежутка 
. Уточним значение корня методом проб (половинного деления).
Для этого
1). Найдем значение функции в левом конце промежутка изоляции , для этого в = вместо x подставим 1 и определим знак :
.
2). Найдем значение функции в правом конце промежутка изоляции , для этого в = вместо x подставим 2 и определим знак :
Так как функция имеет на концах промежутка значения разных знаков, то корень заключен внутри промежутка .
3). Разделим промежуток пополам, для этого воспользуемся формулой (где a и b концы промежутка). Тогда 
.
4). Вычислим значение , подставив вместо x найденное значение c1=1,5 в исходную функцию f(x)=, получим 
5). Определим знак 
.
6). Так как значение противоположного знака функция принимает в правом конце промежутка изоляции : 
, то за новый более узкий промежуток возьмем 
.
7). Найдем середину нового промежутка изоляции по формуле: (где с1 и b - концы промежутка). Получим 
.
8). Найдем f(c2), т.е. 
подставив в исходную функцию f(x)=
x=1,75. Получим 
9). Определим знак функции в точке деления f(1,75)=1,859>0.
10). Так как значение противоположного знака функция принимает в левом конце промежутка изоляции : , то за новый более узкий промежуток возьмем 
.
11). Найдем середину нового промежутка изоляции 
.
12). Найдем значение функции в точке деления 
.
13). Определим знак функции в точке деления 
14). Так как значение противоположного знака функция принимает в левом конце промежутка изоляции 
: , то за новый более узкий промежуток возьмем 
.
15). Найдем середину нового промежутка изоляции 
.
16). Найдем значение функции в точке деления 
.
17). Определим знак функции в точке деления 
18). Так как значение противоположного знака функция принимает в правом конце промежутка изоляции 
: , то за новый более узкий промежуток возьмем 
.
19). Найдем середину нового промежутка изоляции 
.
20). Найдем значение функции в точке деления 
.
21). Определим знак функции в точке деления 
22). Так как значение противоположного знака функция принимает в левом конце промежутка изоляции 
: , то за новый более узкий промежуток возьмем 
.
23). Найдем середину нового промежутка изоляции 
.
24). Найдем значение функции в точке деления 
.
25). Определим знак функции в точке деления 
26). Так как значение противоположного знака функция принимает в левом конце промежутка изоляции 
: , то за новый более узкий промежуток возьмем 
.
27). Найдем середину нового промежутка изоляции 
.
28). Найдем значение функции в точке деления 
.
29). Определим знак функции в точке деления 
30). Так как значение противоположного знака функция принимает в левом конце промежутка изоляции 
: , то за новый более узкий промежуток возьмем 
.
31). Найдем середину нового промежутка изоляции 
.
32). Найдем значение функции в точке деления 
.
33). Определим знак функции в точке деления 
34). Так как значение противоположного знака функция принимает в правом конце промежутка изоляции 
: 
, то за новый более узкий промежуток возьмем 
.
35). Так как по условию задачи мы ищем приближенное значение корня с точностью до 0,01, округлив концы последнего промежутка изоляции до сотых, получим искомое значение корня 1,57.
36). Результаты вычислений занесем в таблицу:
Таблица 1.5
№
шага
Промежуток изоляции
1
1,5
- 0,625
-
2
1,75
1,859
0,25
3
1,625
0,541
0,125
4
1,563
- 0,056
0,062
5
1,594
0,238
0,031
6
1,579
0,195
0,015
7
1,571
0,019
0,008
8
1,567
- 0,018
0,004
Задание 1.7
Применив дважды метод хорд, найти приближенное значение действительного корня уравнения 
, изолированного в промежутке . Приближенные значения и вычислить с тремя знаками после запятой. Оценить погрешность приближенного значения .
Решение:
1). Найдем 
: 
2). Найдем , т.е. производную от : 
3).Найдем , для этого в вместо x подставим 1 и определим знак :
4). Найдем , для этого в вместо x подставим 2 и определим знак :
5). Найдем первое приближенное значение корня по формуле (1.2): :
6). Найдем f(x1), для этого в вместо x подставим 
:
7). Определим знак f(1,444): 
8). Найдем новый (более узкий) промежуток изоляции. Т.к. f(1,444)<0, а на правом конце промежутка изоляции f(2)>0 (т.е. имеют разные знаки), то за новый промежуток примем .
-
Найдем второе приближение корня по формуле (1.3):
:
10) Оценим погрешность приближенного значения x2 по формуле (1.4): , т.е. ,
приняв за а и b концы промежутка изоляции, на котором найдено второе приближение x2: .
Для этого:
1.Найдем наибольшее значение функции 
на отрезке . Обозначим через 
.
1.1.Найдем критические точки функции внутри отрезка . Для этого найдем производную и те значения x, в которых
или не существует: 
=
Приравняем найденную производную к нулю: 
;
; или 
; или 
; или 
; или 
.
1.2.Найдем значения функции в критической точке: 
1.3.Найдем значения функции на концах отрезка , т.е. 
, подставив вместо x в функцию 1,444, и 
, подставив вместо x в функцию 2. Тогда получим: 
1.4.Сравним все вычисленные значения функции во внутренней критической точке и на концах отрезка 
и выберем из них наибольшее: 
Так как 
на отрезке , то 
.
2.Найдем оценку приближенного значения корня по формуле , где 
; 
- концы промежутка изоляции, на котором найдено второе приближение x2
: . Тогда 
; 
- оценка погрешности приближенного значения корня 
, найденного методом хорд. Следовательно, в приближенном значении корня все цифры верны.
Задание 1.8
Применив дважды метод касательных, найти приближенное значение действительного корня уравнения , изолированного в промежутке . Приближенные значения и вычислить с тремя знаками после запятой. Оценить погрешность приближенного значения .
Решение:
1). Найдем и для данной функции :
; .
2). Возьмем на отрезке изоляции такое число x0=2, при котором f(2) имеет тот же знак, что и , т.е. (за x0 принимаем тот из концов отрезка , в котором соблюдено это условие, в данном случае правый его конец):
3). Найдем , т.е.
4). Найдем первое приближенное значение корня x1 по формуле (1.5): :
5). Найдем значения , подставив x1=1,643 в вместо x: 
. Найдем 
. Следовательно, 
и новый промежуток изоляции 
. Найдем , подставив x1=1,643 в вместо x: 
.
6). Найдем второе приближенное значение корня x2 по формуле (1.6): : .
7). Оценим погрешность приближенного значения x2 по формуле (1.8):
, т.е. , приняв за а и b концы промежутка изоляции, на котором найдено второе приближение x2
.
Для этого:
1. Найдем наибольшее значение функции на отрезке . Обозначим через .
1.1.Найдем критические точки функции внутри отрезка . Для этого найдем производную и те значения x, в которых или не существует. =
Приравняем найденную производную к нулю: ;
; или ; или ; или ; или .
Значений, в которых не существует, нет, так как нет таких действительных значений 
, при которых знаменатель обращается в ноль.
1.2.Найдем значения функции в критической точке:
1.3. Найдем значения функции на концах отрезка , т.е. 
, подставив вместо x в функцию 1, и 
, подставив вместо x в функцию 1,643: 
; 
1.4.Сравним все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка 
; 
и выберем из них наибольшее: 
. Так как на отрезке 
, то 
.
2. Найдем оценку приближенного значения корня 
по формуле 
. Тогда 
; - оценка погрешности приближенного значения корня. Следовательно, в приближенном значении корня 
все цифры верны.
IV. Контрольные вопросы
-
В каких случаях применяют приближенные решения скалярных уравнений?
-
В чем состоит метод хорд? Формулы, по которым производят вычисления и оценивают погрешность.
-
В чем состоит метод касательных? Как еще можно назвать этот метод? Формулы, по которым производят вычисления и оценивают погрешность.
-
В чем состоит комбинированный метод хорд и касательных? Формулы, по которым производят вычисления.
-
В чем состоит метод итераций? Как по другому этот метод называется? Формулы, по которым производят вычисления.
-
Метод проб, в чем он состоит? Какие формулы применяются при решении уравнений с помощью этого метода? Как еще можно назвать этот метод?
V. Индивидуальные задания
Раздел А
Задача 1.1
1). Найти графически интервалы изоляции положительного корня уравнения.
2). С точностью до 0,01 решить уравнение:
1. методом хорд;
2. методом касательных (методом Ньютона);
3. комбинированным методом хорд и касательных;
4. методом проб (половинного деления).
Таблица 1.6
№
п/п
Уравнение 
№
п/п
Уравнение
1
16
2
17
3
18
№
п/п
Уравнение
№
п/п
Уравнение
4
19
5
20
6
21
7
22
8
23
9
24
10
25
11
26
12
27
13
28
14
29
15
30
Задача 1.2
1). Найти графически интервалы изоляции положительного корня уравнения.
2). Решить уравнение: методом итераций с точностью до 0,001.
Таблица 1.7
№
п/п
Уравнение
№
п/п
Уравнение
1
16
2
17
3
18
4
19
5
20
6
21
7
22
8
23
9
24
10
25
11
26
12
27
13
28
14
29
15
30
Раздел Б
Задача 1.1
1). Найти графически интервалы изоляции положительного корня уравнения.
2). С точностью до 0,01 решить уравнение:
1. методом хорд;
2. методом касательных (методом Ньютона);
3. комбинированным методом хорд и касательных;
4. методом проб (половинного деления).
Таблица 1.8
№
п/п
Уравнение
Точность 
№
п/п
Уравнение
Точность
1
16
2
17
3
18
4
19
5
20
6
21
7
22
8
23
9
24
10
25
11
26
12
27
13
28
14
29
15
30
0,001
Задача 1.2
1). Найти графически интервалы изоляции положительного корня уравнения.
2). Решить уравнение: методом итераций с точностью до 0,001.
Таблица 1.9
№
п/п
Уравнение
№
п/п
Уравнение
1
16
2
17
3
18
4
19
5
20
6
21
7
22
8
23
9
24
№
п/п
Уравнение
№
п/п
Уравнение
10
25
11
26
12
27
13
28
14
29
15
30
Задача 1.3
Вычислить с тремя знаками после запятой приближенные значения и действительного корня уравнения , применив дважды: 1). метод хорд; 2). метод касательных.
Оценить погрешность приближенного значения .
Таблица 1.10
№
п/п
Уравнение
№
п/п
Уравнение
1
16
2
17
3
18
4
19
5
20
6
21
7
22
8
23
9
24
10
25
11
26
12
27
13
28
14
29
15
30
Литература
1) Барвин, И.И. Высшая математика: учебник для студентов естественнонаучных спец. пед. вузов / И.И.Баврин. - М.: «Академия», 2002. - 611с.
2) Высшая математика для экономистов/ Под редакцией проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2000. - 600с.
3). Шипачев, В.С. Курс высшей математики: учебник/ В.С. Шипачев. - М.: Проспект, 2002. - 600с.
4) Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2.:учеб. пособие для вузов/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.- Изд. 6-е. -М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2003. - 406с.
5) Копченова, Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах/ Н.В. Копченова, И.А. Марон, - М.: Наука, 1972. - 367с.
6) Плис, А.И. Лабораторный практикум по высшей математике/ А.И. Плис, Н.А. Сливина, - М.: Высшая школа, 1983. - 208с.
7) Воробьева, Г.Н. Практикум по численным методам/ Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова, - М.: Высшая школа, 1979. 184с.
8) Кузнецов, Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчеты: учеб. пособие/ Л.А. Кузнецов. - С.-Петерб.-М.-Краснодар: Лань, 2005. - 240с.
9) Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов/ В.С. Шипачев. - М.: Высш. Шк., 2001. - 304с.
Содержание
Введение
2
Расчетная работа. Приближенное решение скалярного уравнения
3
I. Теоретическая часть
3
1. Постановка задачи
3
2. Графический метод, отделение корней
3
3. Метод хорд
4
4. Метод касательных (метод Ньютона)
5
5. Комбинированный метод хорд и касательных
6
6. Метод итераций
7
7. Метод проб (метод половинного деления)
8
II. Порядок выполнения работы
8
III. Пример
15
IV. Контрольные вопросы
29
V. Индивидуальные задания
29
Раздел А
29
Раздел Б
30
Литература
33
45