Тренировочные материалы ОГЭ МА_9

Вариант 1

Часть 1

Часть 2

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

21


Решите систему уравнений

Решение.

Сложив два уравнения системы, получаем , откуда или .

При получаем .

При получаем .

Решения системы уравнений: и .

Ответ: ; .

Баллы

Критерии оценки выполнения задания

2

Преобразования выполнены верно, получен верный ответ

1

Решение доведено до конца, но допущена ошибка или описка вычислительного характера, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно

0

Другие случаи, не соответствующие указанным критериям

2

Максимальный балл

22

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 86 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 6 км/ч, за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.

Скорость сближения пешехода и поезда равна км/ч. Заметим, что 1 м/c равен 3,6 км/ч. Значит, длина поезда в метрах равна

Ответ: 400 м.

Баллы

Критерии оценки выполнения задания

3

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения правильный, все его шаги присутствуют, но допущена ошибка или описка вычислительного характера

0

Другие случаи, не соответствующие указанным критериям

3

Максимальный балл

23


Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.

Значение выражения неотрицательно при и , а при и значение этого выражения отрицательно.

Построим график функции при и и график функции при и .

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку при и .

Ответ: ; 1.

Баллы

Критерии оценки выполнения задания

4

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра

3

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены

0

Другие случаи, не соответствующие указанным критериям

4

Максимальный балл

24

Высота ромба делит сторону на отрезки и . Найдите высоту ромба.

Решение.

Поскольку - ромб, .

Треугольник прямоугольный, поэтому:

.

Ответ: 9.

Баллы

Критерии оценки выполнения задания

2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ

1

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но допущена одна вычислительная ошибка

0

Другие случаи, не соответствующие указанным критериям

2

Максимальный балл

25

В треугольнике с тупым углом проведены высоты и . Докажите, что треугольники и подобны.

Доказательство.

Поскольку угол тупой, основания высот будут лежать на продолжениях сторон. Так как диагонали четырёхугольника пересекаются, он выпуклый, а поскольку , около него можно описать окружность.

Тогда как вписанные углы, опирающиеся на дугу , а как вписанные углы, опирающиеся на дугу . Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.

Баллы

Критерии оценки выполнения задания

2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ

1

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка

0

Другие случаи, не соответствующие указанным критериям

2

Максимальный балл

26


Основания трапеции относятся как 1:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?

Решение.

Пусть диагонали и трапеции с основаниями , пересекаются в точке , а прямая, параллельная основаниям и проходящая через точку , пересекает боковые стороны и в точках и соответственно (см. рис.).

Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом , поэтому треугольник подобен треугольнику с коэффициентом . Значит, . Аналогично, . Следовательно, .

Пусть и - высоты подобных треугольников и , проведённые из общей вершины . Тогда . Следовательно,

.

Ответ: 5:27.

Баллы

Критерии оценки выполнения задания

4

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

3

Ход решения правильный, все его шаги присутствуют, но допущена ошибка или описка вычислительного характера

0

Другие случаи, не соответствующие указанным критериям

4

Максимальный балл