Материал для олимпиад Старинные русские занимательные задачи

СТАРИННЫЕ РУССКИЕ ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ …

1.Повстречал гусь стаю. -Здравствуйте, сто гусей! -Нас не сто гусей,- ответили ему,-если бы нас было столько, сколько теперь, да ещё столько, да полстолька, да четверть столько, да ещё ты, гусь, с нами, так было бы нас сто гусей. Сколько гусей в стае?

( Если не считать последнего гуся, то их будет 99. Столько да ещё столько, это будет 2 части, да полстолька, будет 2,5 части, а ещё четверть столько будет 2 3/4 = 11/4*11/4, составляет 99 гусей, 1/4 составляет 9 гусей. Всего было гусей 9*4=36. Ответ: 36)

2. Лодочник, плывя против течения, уронил под мостом шляпу. Через час он обнаружил пропажу, погнался за шляпой и догнал её в 4 км от моста. Какова скорость течения реки? ( Ответ: 2 км/час).

3. Двое мальчиков катались на лодке. К берегу подошёл отряд солдат. Лодка так мала, что на ней могли переправиться двое мальчиков или только один солдат. Смогли ли солдата переправиться через реку?

( Чтобы переправить одного солдата, нужно сделать так: 1) два мальчика переправляются на противоположный берег; 2) один мальчик остаётся на берегу, а другой возвращается назад; 3)один солдат переправляется на противоположный берег; 4) с противоположного берега назад возвращается мальчик. Мы получили исходную ситуацию: два мальчика, лодка и солдаты на одном берегу, а один солдат переправлен на другой берег. Таким способом можно переправить на противоположный берег весь отряд солдат. Ответ: да, можно.)

4. Может ли крестьянин перевезти через реку волка, козу и капусту, если в лодку вместе с ним помещается только волк, или коза, или капуста? ( Нельзя оставить без присмотра ни волка с козой, ни козу с капустой.) ( Ответ: да.)

5. Женщина несла на продажу корзину яиц. Встретившийся прохожий по неосторожности так толкнул её, что корзина упала на землю и все яйца разбились. всего было. «Я не помню этого,- сказала женщина,- знаю только хорошо, что когда я перекладывала яйца по 2, то оставалось одно яйцо. Точно так же всегда оставалось по одному яйцу, когда я перекладывала их по 3, по 4, по 5, по 6. Когда же я перекладывала их по 7, то не оставалось ни одного яйца». Спрашивается, сколько было яиц?

( Задача сводится к нахождению такого числа, которое делится нацело т.е. без остатка на 7, а при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 даёт в остатке 1. Наименьшее число, которое делится без остатка на числа 2, 3, 4, 5 и 6, т.е. наименьшее общее кратное этих чисел, будет 60, Кратными являются также 60*2=120, 60*3=180, 60*4=240 т.д. Так как одно яйцо всегда оставалось, то последовательно получаем числа: 61, 121, 181, 241 и т.д. Осуществим полный перебор полученных результатов, чтобы найти наименьшее из этих чисел, кратное 7. В результате число 301 делится нацело на 7. Таким образом, наименьшим возможным числом яиц, которые женщина несла для продажи, было 301. Продолжая данные исследования, можно убедиться, что следующее число, удовлетворяющее условию, - 721. Такого числа яиц женщина не могла унести в корзине. Ответ: 301.)

6. Вдоль стен квадратного бастиона требовалось поставить 16 часовых. Комендант разместил их так, как показано на рисунке, по 5 человек с каждой стороны. Затем пришёл полковник и, недовольный размещением часовых, распорядился расставить солдат так, чтобы с каждой стороны было их по 6.

Вслед за комендантом пришёл генерал, рассердился на полковника за его распоряжение и разместил солдат по 7 человек с каждой стороны. Каково было размещение в двух последних случаях? Ответ: см. рисунки)

1 3 1 2 2 2 3 1 3

3 3 2 2 1 1

1 3 1 2 2 2 3 1 3

7.Найти число, которое, будучи разделено на 2, даёт в остатке 1, при делении на 3 даёт в остатке 2, при делении на 4 даёт в остатке 3, при делении на 5 даёт в остатке 4, при делении на 6 даёт в остатке 5, но на 7 это число делится нацело.

(Решение взято из знаменитой классической книги: Игнатьев е.И. «В царстве смекалки» (М., 1978). Число, кратное 6, плюс 5 есть в то же время число, кратное 6, без единицы, число, кратное 5, плюс 4 есть в то же время число, кратное 5, без единицы и так далее. Итак, нужно для данного случая, чтобы удовлетворялось равенство: число, кратное 7, = числу, кратному 60, без 1, или число, кратное 60, = числу, кратному 7, плюс 1. Число 119 - наименьшее, решающее задачу.)

8. Старик, имеющий трёх сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежащее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний - треть и младший - девятую часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 верблюдов. Сыновья начали делёж, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как им быть, братья обратились к мудрецу. Тот приехал к ним на собственном верблюде и разделил по завещанию. Как он это сделал?

( Мудрец пустился на уловку. Он прибавил к стаду на некоторое время своего верблюда, тогда их стало 18. Разделив это число, как сказано в завещании ( старший получил 18:2=9 верблюдов, средний 18:3=6 верблюдов, младший 18:9=2 верблюда), мудрец взял своего верблюда обратно (9+6+2+1=18). Секрет заключается в том, что части, на которые по завещанию должны были делить стадо сыновья, в сумме не составляют 1. Действительно, 1/2+1/3+1/9=17/18. )

9. Шли три крестьянина и зашли на постоялый на двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едой и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтобы не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой: ему невдомёк было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После него проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в миске осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело. Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен ещё съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

(Третий крестьянин оставил для товарищей 8 картофелин, т.е. каждому по 4 штуки. Значит, и сам он съел 4 картофелины. После этого легко сообразить, что второй крестьянин оставил своим 12 картофелин, по 6 на каждого, значит, и сам съел 6 штук. Отсюда следует, что первый крестьянин оставил крестьянам 18 картофелин, по 9 штук на каждого, значит, и сам съел 9 штук. Итак, хозяйка подала на стол 27 картофелин, и на долю каждого приходилось по 9 картофелин. Но первый крестьянин всю свою долю съел. Следовательно, из 8 оставшихся картофелин приходится на долю второго 3, а на долю третьего - 5 штук.)

10. Два лесоруба, Никита и Павел, работали вместе в лесу и сели завтракать. У Никиты было 4 лепёшки, у Павла - 7. Тут к ним подошёл охотник. -Вот, братцы, заблудился в лесу, до деревни далеко, а есть очень хочется; поделитесь со мной хлебом-солью. -Ну. что ж садитесь; чем богаты, тем и рады, - сказали Никита и Павел. 11 лепёшек были разделены поровну на троих. После завтрака охотник пошарил в карманах, нашёл гривенник и копейку и сказал: -НЕ обессудьте, братцы, больше при себе ничего нет. Поделитесь, как знаете! Охотник ушёл, а лесорубы заспорили. Никита говорит: - По-моему, деньги надо разделить поровну! А Павел ему возражает: - За 11 лепёшек 11 копеек. И на лепёшку приходится по копейке. У тебя было 4 лепёшки, тебе 4 копейки, у меня 7 лепёшек, мне 7 копеек! Кто из них сделал правильный расчёт?

( | сп. И Никита и Павел делают неправильный расчёт. 11 лепёшек разделены на троих поровну, значит, каждый из них съел 11/3 лепёшки. У Павла было 7 лепёшек, он съел 11/3 лепёшки, следовательно, охотнику отдал 10/3 лепёшки. Никита из четырёх своих лепёшек съел тоже 11/3 лепёшки, следовательно, охотнику отдал 1/3 лепёшки. Охотник съел 11/3 лепёшки и заплатил за них 11 копеек, значит, за каждую треть лепёшки он отдал по копейке. У Павла он взял 10 третей, у Никиты - 1/3; следовательно, Павел должен взять себе гривенник, а Никита - копейку.

|| cп. Копеек стоит одна порция. 3 порции стоят 11*3=33 копейки. Всего было 11 лепёшек - они и составили 3 порции. Значит, одна лепёшка стоит 33:11=3 коп. У Никиты было 4 лепёшки, стоили они 3*4=12 коп., но на 11 копеек он поел сам, следовательно , ему нужно взять 12-11=1 коп., а у Павла было 7 лепёшек, стоили они 3*7=21 коп., но на 11 копеек он поел сам, значит, ему надо 21-11=10 коп. Ответ: Никите - 1 коп., Павлу - 10 копеек.)

11. Находчивый и ловкий Хаджа Насреддин решил наказать одного глупого бая (богатый помещик в средние века на востоке) за его жадность и предложил ему преумножить своё богатство: «Как только ты перейдёшь через этот мост, - сказал ему Насреддин, - твои деньги в кошельке удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это всего лишь 24 копейки.» Бай согласился и … после третьего перехода остался без гроша. Сколько денег в кошельке было у хана сначала?

Решение начинается с конца. Так как после третьего перехода у бая денег не осталось, то после перехода моста в третий раз у него было 24 копейки, а до третьего перехода - 12 копеек. Тогда после перехода старого моста у бая было 12 + 24 = 36 копеек, а до второго перехода моста - 36 : 2 = 18 копеек. Рассуждая дальше аналогичным путём, получается, что после первого перехода моста у бая стало 18 + 24 = 42 копейки, а перед первым переходом моста - 42 : 2 = 21 копейка. Таким образом, у бая сначала была 21 копейка в кошельке.

Ответ: у бая в кошельке была 21 копейка.