- Преподавателю
- Математика
- Элективный курс «Уравнения и неравенства с аркфункциями» для учащихся 10-11-х профильных классов
Элективный курс «Уравнения и неравенства с аркфункциями» для учащихся 10-11-х профильных классов
| Раздел | Математика |
| Класс | - |
| Тип | Другие методич. материалы |
| Автор | Дятлук Е.Н. |
| Дата | 16.04.2015 |
| Формат | doc |
| Изображения | Есть |
Элективный курс «Уравнения и неравенства с аркфункциями»
для учащихся 10-11-х профильных классов
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.
Актуальность курса.
Предлагаемый курс предназначен для тех, кто готовит учащихся к школьным выпускным экзаменам и к конкурсным экзаменам по математике при поступлении в высшие учебные заведения. Он призван как можно полнее расширить рамки математических знаний каждого ученика, учитывая уровень его математической подготовки.
Несмотря на то, что «Тригонометрия»- одна из центральных тем программы, и на ней сосредоточено внимание учащихся, по- прежнему задания, содержащие тригонометрические функции, являются одними из самых сложных для выпускников.
Обратным тригонометрическим функциям в стандартных школьных учебниках, к сожалению, должного внимания не уделяется. Изучают определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и котангенса только лишь для того, чтобы затем перейти к решению тригонометрических уравнений и неравенств. Однако немаловажную роль играют и понятия аркфункций и их свойства. Материал не изложен в учебниках, но содержится в программе ЕГЭ и Всероссийского централизованного тестирования.
Цели курса:
-повышение уровня математической культуры учащихся,
- формирование устойчивого интереса к математике у учащихся, имеющих к ней склонности, и развитие их математических способностей;
-формирование умений решать задачи, отвечающие требованиям для поступающих в вузы, где математика является одним из профилирующих предметов.
Для реализации этой цели необходимо решение следующих задач:
- углубить теоретические знания учащихся по теории обратных тригонометрических функций;
-сформировать представление о методах и способах решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции;
-развитие исследовательских умений и навыков учащихся.
Программа курса предполагает дальнейшее развитие у школьников математической, исследовательской и коммуникативной компетентностей. Курс направлен на более глубокое понимание и осознание математических методов познания действительности, на развитие математического мышления учащихся, устной и письменной математической речи. На занятиях решаются нестандартные задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил, определяющих точный алгоритм их решения. Учащиеся учатся находить и применять различные методы для решения задач.
Требования к уровню усвоения курса.
По окончанию изучения курса учащиеся должны
уметь:
выполнять построения графиков обратных тригонометрических функций;
применять теорию к преобразованию выражений с аркфункциями;
решать уравнения и неравенства с аркфункциями;
владеть:
методами исследования свойств обратных тригонометрических функций;
различными методами решения уравнений и неравенств с аркфункциями.
В процессе изучения курса предполагаются следующие виды обучения: традиционное (объяснительно-иллюстративное) обучение, деятельностное (самостоятельное добывание знаний в процессе решения учебных проблем, развитие творческого мышления и познавательной активности учащихся) и инновационное (самообразование, саморазвитие учащихся посредством самостоятельной работы с информационным материалом).
Эти виды обучения предполагают следующие формы организации обучения:
- коллективные, индивидуальные и групповые;
- взаимного обучения, самообучение, саморазвитие.
Занятия включают в себя теоретическую и практическую части, в зависимости от целесообразности - лекции, консультации, практикумы, самостоятельную и исследовательскую работу.
Эффективность обучения отслеживается следующими формами контроля:
- математический диктант;
- срезы знаний и умений в процессе обучения;
- итоговый контроль.
Итоговый контроль предусматривает выполнение контрольной работы.
Показателем эффективности обучения следует считать повышающийся интерес к математике, творческую активность и результативность учащихся.
Курс рассчитан на 16 часов, однако его программа может корректироваться. Учитывая особенности школы, класса, уровень подготовки учащихся, учитель может изменять последовательность изучения материала, уровень его сложности, самостоятельно распределять часы и выбирать конкретные формы занятий.
Примерный учебно-тематический план (16 ч)
№
п/п
Тема занятия
Теоретические занятия
Практические занятия
1.
Обратные тригонометрические функции, их графики.
1
3
2.
Операции над обратными тригонометрическими функциями.
1
3
3.
Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями.
2
4.
Уравнения с аркфункциями.
2
5.
Неравенства с аркфункциями.
2
6.
Контрольная работа.
2
Итого:
2
14
ВСЕГО:
16
В результате изучения данного курса учащийся должен овладеть следующими общеучебными и коммуникационными компетенциями:
-приводить полные обоснования при решении задач, используя при этом изученные теоретические сведения, необходимую математическую символику,
-уметь точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и применять их, излагая собственные рассуждения при решении задач,
-свободно оперировать аппаратом алгебры и тригонометрии при решении задач,
-уметь самостоятельно и мотивированно организовывать свою познавательную деятельность (от постановки цели до получения и оценки результата),
-творчески решать учебные и практические задачи: уметь мотивированно отказываться от образца, искать оригинальные решения,
-уметь вести диалог в групповом взаимодействии, следовать этическим нормам и правилам ведения диалога,
-уметь самому убеждать и доказывать, приводить примеры, подбирать аргументы, формулировать выводы.
Материалы к занятиям
Уроки 1-4 ( 4 ч).
Тема: Обратные тригонометрические функции, их графики.
Цель: на данном уроке необходимо отработать навыки в определении значений тригонометрических функций, в построении графиков обратных тригонометрических функций с использованием D(у), Е (у) и необходимых преобразований.
Можно провести математический диктант по материалам учебника (5).
I ВАРИАНТ
II ВАРИАНТ
-
Для каких чисел определен арксинус?
-
Найти а)
;
б) 
.
-
Для каких чисел определен арккосинус?
-
Найти а)
;
б) 
.
3.Расположите в порядке возрастания
arcsin (-0,5), arcsin (-0,7), arcsin 
.
аrcсos 0,9, arcсos (-0,6), arсcos 
.
4.Постройте график функции (схематически)
y = arcsin x
y =arctg x
На данном уроке выполнить упражнения, включающие нахождение области определения и области значения функций типа: y = arcsin 
, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos 
.
Пример. Найти область определения и множество значений функции у = arccos 
.
Решение. Очевидно, что D(у) найдется из условий 
. Решая эту систему, получим D(у) = 
. Из монотонного убывания функции арккосинус следует, что при изменении х от 0 до 1 рассматриваемая функция будет принимать все значения между у(0)= arcсos 0 = 
и у(1) = arcсos 1 = 0. Поэтому Е(у) = 
.
Предложить аналогичные задания из приложения.
Следует построить графики функций:
а) y = arcsin 2x; б) y = 2 arcsin 2x; в) y = arcsin 
; г) y = arcsin 
; д) y = arcsin ;
е) y = arcsin 
; ж) y = arcsin 
.
Обсудить построение графиков, используя презентацию «Графики обратных тригонометрических функций».
Пример. Построим график y = arccos 
-
Д (у):
1 или х2 1, т.е. 
-
Е (у):
, т.к. 
. -
Функция четная, т.к. у (-х) = у (х).
-
Точки пересечения: с Оу (х = 0) график не может пересекаться, т.к. функция определена только при х 1; с Ох (у = 0) график пересекается в (-1; 0) и (1; 0), т.к.
= 1 лишь при х = 1. -
В силу четности достаточно ее исследовать для х 1.
Если х = 1, то у(1) = arccos 1 = 0. Если х + , то 0 ( > 0).
Значит, arccos 
, причем arccos < . Наименьшее у = 0 при х = 1, наибольшего нет.
-
Функция в области определения неотрицательна, т.е. arccos
0. -
Дополнительные точки
; 
.
<Рисунок 1>
В домашнее задание можно включить следующие упражнения: построить графики функций: y = arccos 
, y = 2 arcctg x, y = arccos x. Предложить задания на нахождение области определения из приложения.
Г р а ф и к и о б р а т н ы х ф у н к ц и й
<Рисунок 2>
Уроки №5-6 (2 ч).
Тема: Операции над обратными тригонометрическими функциями.
Цель: Расширить математические познания (это важно для поступающих на специальности с повышенными требованиями к математической подготовке) путем введения основных соотношений для обратных тригонометрических функций.
Материал для урока.
Некоторые простейшие тригонометрические операции над обратными тригонометрическими функциями: sin (arcsin x) = x , x 1; cos (arсcos x) = x , x 1; tg (arctg x)= x , x R;
ctg (arcctg x) = x , x R.
Упражнения.
а) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5 ) = 
.
ctg (arctg x ) = 
; tg (arcctg x ) = .
б) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Пусть arcsin 0,6 = , sin = 0,6;
- cos = 
cos (arcsin x ) = 
; sin (arccos x) = 
.
Замечание: Берем перед корнем знак "+" потому, что = arcsin x удовлетворяет 
.
в) sin (1,5 + arcsin 
).Ответ: 
;
г) ctg ( + arctg 3).Ответ: 
;
д) tg ( - arcctg 4).Ответ: 
.
е) cos (0,5 + arccos 
) . Ответ: 
.
Вычислить:
a) sin (2 arctg 5) .
Пусть arctg 5 = , тогда sin 2 = 
или sin (2 arctg 5) = 
;
б) cos ( + 2 arcsin 0,8).Ответ: 0,28.
в) arctg 
+ arctg 
.
Пусть = arctg , = arctg ,
тогда tg ( + ) = 
.
г) sin (arcsin + arcsin ).
д) Доказать, что для всех x [-1; 1] верно arcsin x + arccos x = .
Доказательство:
arcsin x = - arccos x
sin (arcsin x ) = sin ( - arccos x)
x = cos (arccos x )
x = x
Для самостоятельного решения: sin (arccos 
), cos (arcsin 
) , cos (arcsin (
)), sin (arctg (- 3)), tg (arccos 
) , ctg (arccos 
).
Для домашнего решения.
1) sin (arcsin 0,6 + arctg 0). Ответ: 
2) arcsin 
+ arcsin 
. Ответ: 
3) ctg ( - arccos 0,6). Ответ: - 0,75
4) cos (2 arcctg 5). Ответ:
5) sin (1,5 - arcsin 0,8). Ответ: - 0,6
6) arctg 0,5 - arctg 3. Ответ: 
Уроки № 7-8 (2ч).
Тема: Операции над обратными тригонометрическими функциями.
Цель: на данном уроке показать использование соотношений в преобразовании более сложных выражений.
Материал для урока.
После проверки домашнего задания можно предложить следующие упражнения:
УСТНО: а) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8); б) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5); в) sin (arctg -3),
cos (arcсtg(
)); г) tg (arccos ), ctg (arccos()).
ПИСЬМЕННО:
1) cos ( arcsin + arcsin + arcsin 
).
Пусть: arcsin = , arcsin = , arcsin = , причём , , I ч, тогда
сos ( + + ) = cos (( + ) + ) = cos cos cos - sin sin cos - sin cos sin + cos sin sin = 
.
2) cos (arctg 5-arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) = 
3) tg ( - arcsin 0,6 ) = - tg (arcsin 0,6 ) =
4) 
Самостоятельная работа поможет выявить уровень усвоения материала
B - I
B - II
1) tg (arctg 2 - arctg ) 
2) cos( - arctg2) 
3) arcsin + arccos 
1) cos ( arcsin 
+ arcsin 
) 
2) sin (1,5 - arctg 3) 
3) arcctg3 - arctg 2 
Для домашнего задания можно предложить:
1) ctg (arctg + arctg + arctg 
);
2) sin2 (arctg 2 - arcctg (
));
3) sin (2 arctg 
+ tg ( arcsin ));
4) sin (2 arctg );
5) tg ( (arcsin 
)).
Уроки № 9-10 (2ч).
Тема: Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями.
Цель: сформировать представление учащихся об обратных тригонометрических операциях над тригонометрическими функциями, основное внимание уделить повышению осмысленности изучаемой теории.
При изучении данной темы предполагается ограничение объема теоретического материала, подлежащего запоминанию.
Материал для урока:
Изучение нового материала можно начать с исследования функции y = arcsin (sin x) и построения ее графика.
1. ОДЗ: R
2. Е(y): .
3. Каждому x R ставится в соответствие y , т.е. 
y такое, что
sin y = sin x.
4. Функция нечетна: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).
5. T = 2
6. График y = arcsin (sin x) на [0; ]:
a) 0 x имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и y .
б) x получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо
sin y = sin ( - x) = sinx , 0 - x .
Итак, 
<Рисунок 3>
Построив y = arcsin (sin x) на [0; ], продолжим симметрично относительно начала координат на [-; 0], учитывая нечетность этой функции. Используя периодичность, продолжим на всю
числовую ось.
Затем записать некоторые соотношения:
arcsin (sin ) = , если ;
arccos (cos ) = , если 0 ;
arctg (tg ) = , если < < ;
arcctg (ctg ) = , если 0 < < .
и выполнить следующие упражнения:
a) arccos(sin 2).Ответ: 2 - ;
б) arcsin (cos 0,6).Ответ: - 0,1;
в) arctg (tg 2).Ответ: 2 - ;
г) arcctg(tg 0,6).Ответ: 0,9 ;
д) arccos (cos ( - 2)) = arccos (cos (2 - ) = 2 - .
е) аrcsin (sin ( - 0,6)). Ответ: - 0,6;
ж) аrctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Ответ:2 - ;
з) аrcctg (tg 0,6) = arcctg( ctg ( - 0,6) = - 0,6 0,9.
и) аrcsin (cos (2 arctg (
+ 1))).
1) 
2) arcsin(cos 2 ) = arcsin(
) = .
Для самостоятельного решения можно предложить аналогичные задания:
arccos (sin 0,5).Ответ: 0,5 - 0,5
arctg (ctg 
). Ответ: 
arcsin (sin 1); arcsin (sin3); arcsin (sin4); arcsin (sin5); arcsin (sin6);
Построить график y = arctg (tg x).
<Рисунок 4>
Домашнее задание. Предложить любые задания из приложения.
Уроки № 11-12 (2ч).
Тема: Уравнения с аркфункциями.
Цель: сформировать представление учащихся об уравнениях, содержащих обратные тригонометрические функции, и о методах их решения.
С целью проверки достижения учащимися обязательных результатов обучения можно в начале урока провести математический диктант.
I ВАРИАНТ
II ВАРИАНТ
1.Найдите значение выражения
аrcsin 
- arccos
.
1.Найдите значение выражения
аrcsin (-1) - arccos
.
2.Укажите область определения функции
у = аrcsin (2х-5).
2.Укажите область определения функции
у = arccos (1-х2 ).
3.Укажите область значений функции
у =
arccosх.
3.Укажите область значений функции
у = р - 2 аrcsinх.
4.Найдите значение выражения
аrcsin 0,3 + arсcos 0,3.
4.Найдите значение выражения
аrcsin 0,8 + arсcos 0,8.
5.Известно, что аrcsin х =
. Найдите arccosх.
5.Известно, что аrccos х =
. Найдите arcsin х.
6.Известно, что sin(аrcsin х) = -
Найдите х.
6.Известно, что cos(аrccos х) = -
Найдите х.
7.Известно, что arсcosх =
.
Найдите arсcos(-х).
7.Известно, что arсcos (-х) =
.
Найдите аrсcos х.
8.Вычислите ctg(arctg 
).
8.Вычислите tg(arсctg 
).
Материал для урока.
При решении уравнения с аркфункциями от обеих частей равенства 
придется брать некоторую тригонометрическую функцию f . Для того чтобы получить после этого уравнения с тем же множеством решений, что и исходное, удобно брать в качестве f функцию монотонную на пересечении областей значения функции 
и 
.
Пример 1. Решить уравнение arcctg x =arccos x.
Решение. Областью определения уравнения будет отрезок 
,при этом E(arcctg x)
E(arcсos x)=(0;
. Поэтому от обеих частей уравнения можно брать либо котангенс, либо косинус. Имеем x = ctg(arccos x). Вычислим ctg(arcсos x). Пусть arccos x =
. Тогда 0<<
при 
и соs= x. Отсюда sin=
. Следовательно, получаем x=
x = 0.
Ответ: 0.
Пример 2. Решить уравнение 
.
Решение. Представим уравнение в виде
. Возьмем тангенс от обеих частей уравнения 
, 3х-1=х+3, х=2.
Ответ: 2.
Пример 3. Решите уравнение arcsin 2x = 3 arcsin x.
Решение. Область определения уравнения есть отрезок 
и при этом
E(arcsin 2x)E(3 arcsin x)
. Следовательно,
arcsin 2x = 3arcsin x 2x = sin(3arcsinx).Но sin 3 = sin(3-4 sin
).
Следовательно, arsin 2x = 3 arcsin x 2x = x (3-4x)
Ответ: 0; 0,5; -0,5.
Заметим, что уравнения с аркфункциями можно решать, преобразовывая их так, чтобы не терялись решения. Но тогда обязательна проверка найденных результатов на предмет отсеивания лишних корней.
Пример 4. Решите уравнение arcsin 2x + arctg 3х = р.
Решение. Так как 
и 
, то -р < arcsin 2x + arctg 3х < р.
Следовательно, уравнение не имеет решение.
Пример 5. Решите уравнение arctg
= 2 arctg (x-1).
Решение. Возьмем тангенс от обеих частей уравнения. Тогда =tg(2arctg(x-1)) или с учётом формулы тангенса двойного угла 
. Отсюда x=1 или x=0. Значение x=0 отсеивается по очевидным причинам. Подставим значение x=1 в исходное уравнение. Получим истинное числовое множество arctg 0=2 arctg 0, так как arctg 0=0.
Ответ: 0.
Пример 6. Решите уравнение: 2arcsin 2х = arccos 7x.
Решение: Определим область допустимых значений переменной х заданного уравнения:
Возьмем косинус от обеих частей уравнения 
. Так как 
и 
тогда 
.
С учетом О.Д.З. получаем
.
Для самостоятельного решения предложить следующие уравнения.
№1. arcsin(2x+1) = arcсos x. Ответ: 0.
№2. arccos(x 
)+ arccos x = 
. Ответ: 0,5
№3. arcsin 
= - arcsin 
. Ответ: 1
№4. arcsin 2x + arcsin x = 
. Ответ: 
№5. arcsin (1-x)- 2 arcsin x = . Ответ: 0
№6. 2 arctg x +3 arcctg x = . Ответ: Ш
№7. arcsin x + arccos (x+1) = . Ответ: Ш
№8. arctg (х+х2) + arctg (х2 - х) = 
Ответ: 
№9. arcsin х = 
+ arccos x. Ответ:
№10. arcsin
+ arcsin 
= arcsin х.
Ответ: 0; 1; -1.
№11. arcсos│х│= arcsin 2х. Ответ: 
№12. arctg 
+ arcsin
=.
Ответ: -1; 0.
Домашнее задание. Предложить задания из приложения.
Уроки № 13-14 (2ч).
Тема: Неравенства с аркфункциями.
Цель: сформировать умение решать простейшие неравенства, содержащих обратные тригонометрические функции; сформировать представление о более сложных неравенствах с аркфункциями и о методах их решения.
Материал для урока.
Простейшими неравенствами с аркфункциями являются следующие соотношения:
аrcsin x 
, arcsin x < , arcsin x > , arcsin x 
и такие же неравенства, левая часть в которых заменена на arccos x , arctg x, arcctg x.
Рассмотрим решение неравенств, содержащих arcsin x.
1.arcsin x.
Если 
, то в силу определения arcsin x решением неравенства будет отрезок -1
. Если 
, то беря от обеих частей неравенства синус и учитывая, что sin t возрастает на множестве , получим в качестве решения отрезок sin 
. Наконец, если 
, то в силу определения arcsin x решений нет, т. е. х
Ш.
2.arcsin x >.
Если 
, то решением неравенства является отрезок . Если , то снова вычисляя синус от обеих частей неравенства, получим в качестве решения промежуток
sin< х ≤ 1. Наконец, если 
, то xШ, так как по определению arcsin x не может быть больше, чем .
3. arcsin x .
Сведем это неравенство к уже изученному случаю. Для этого умножим обе его части на -1 и воспользуемся нечетностью arcsin x: - arcsin x 
arcsin(-x)
. Если теперь обозначить:-x = y, -
, то получим знакомое неравенство arcsin y 
. Опираясь на него, запишем сразу ответ для нашего неравенства:
-если (т.е.
), то xШ,
-если 
(т.е. 
), то -1≤ х < sin ,
-если (т.е.
), то -1≤х≤1.
4.arcsin x < .
Результат получается аналогично предыдущему случаю:
-если то xШ,
-если 
, то -1≤ х < sin ,
-если , то -1≤х≤1.
5.Неравенства arccos x ≥ , arccos x >, arccos x <, arccos x ≤сводятся к предыдущим неравенствам, если учесть, что arcsin x + arccos x = .
Примечание: предложить учащимся самостоятельно решить все простейшие неравенства с аркфункциями.
Рассмотрим решение более сложных неравенств с аркфункциями. Здесь придется брать от обеих частей неравенства синус (косинус) или тангенс (котангенс). Чтобы при этом множество решений исходного неравенства не менялось, надо, чтобы обе части неравенства лежали внутри или совпадали с промежутком монотонности sin t, cos t, tg t, ctg t соответственно. Если множество значений обеих частей неравенства не укладывается в один и тот же промежуток монотонности основной тригонометрической функции, то неравенство следует тождественно преобразовать или выделить промежуток монотонности и решать неравенство отдельно на каждом таком промежутке.
Пример 1. Решить неравенство arctg (x+1) + arctg (1-x) ≥.
Решение. Левая часть неравенства принимает значения на интервале (-; ), на котором ни одна из основных функций sin t, cos t, tg t, ctg t не является монотонной. Поэтому преобразуем неравенство к виду arctg (x+1) ≥ - arctg (1-x) (*). Функция arctg (x+1) ограничена. Следовательно, неравенство (*) надо рассматривать лишь при тех х, при которых
. При этом условии обе части неравенства (*) принимают значения внутри отрезка , и от обеих частей можно взять тангенс:
.
Ответ: х
Пример 2. Решите неравенство сos(arсcos(х2 - 50)) < arсcos(cos50)
Решение. Типичной ошибкой при решении данного неравенства является переход к неравенству
х2 - 50 < 50, которое не является равносильным данному.
На самом деле, допустимые значения исходного неравенства определяются условием │х2 - 50│≤ 1 и только для них сos(arсcos(х2 - 50)) = х2 - 50. Далее, учитывая, что 0≤16-50≤, имеем arсcos(cos50)= arсcos(cos(16-50))=16-50.
Поэтому исходное неравенство равносильно системе 
Отсюда 
Так как 16<51, то 49≤х2<16 и, значит, 7≤│х│< 4
, т.е. 
.
Ответ:
Пример 3. Решите неравенство 
.
Решение. Так как arcctg x = - arctg x, то 16 arctg x 
≥ 
. Отсюда,
16 arctg2 х - 8arctg x + ≤ 0, т.е. (4 arctg x - ) ≤0. Это возможно при 4 arctg x - =0, т.е.
arctg x = , х
и, значит, х = tg =1.
Ответ: 1.
Для самостоятельного решения предложить следующие неравенства.
№1. arcsin
≥ 
. Ответ:.
№2.(arcsinх)2 ≤ 1. Ответ: [-sin1; sin1].
№3. arcsin (log2x) > 0. Ответ: (1;2].
№4. arcsin х < arсcos х. Ответ:
.
№5. arcsin (arctg х) > 0. Ответ:
.
№6. arcsin (х2 - 0,5х -1,5) < -.
Ответ:
.
№7. arсcos х < arcsin 2х. Ответ: 
.
№8. 
Ответ:
.
№9. arсcosх > (arсcos(-х))2 - 2.
Ответ:
.
Домашнее задание. Предложить задания из приложения.
Уроки № 15-16 (2ч).
Контрольная работа.
ВАРИАНТ 1.
ВАРИАНТ 2.
1.Вычислить а) ctg
;
б)2arcsin + 
+ 3arсcos0 -2arсcos- arсtg
+ 2 arсcos
.
1.Вычислить а) sin 
;
б)2arcsin + arсtg(-1) + arсcos
+
arсcos(-1) + 3 arсctg - arсcos
2.Упростить tg(arctg х + arctg у).
2.Упростить sin (arcsin х - arcsin у).
3.Найти область определения функции
у = arcsin 
.
3.Найти область определения функции
у = arсcos 
.
4.Определить знак числа а, если
а = arсcos (-0,6) - arсcos (-0,75).
4.Определить знак числа а, если
а = arсsin 0,3 - arсsin 0,2.
5.Построить график функции а) у = │arсctg х│;
б) у = 2 arсcos х.
5.Построить график функции а) у = │arсsin х│;
б) у = 0,5 arсcos х.
6.Решить уравнение сos(arсcos(х+2))=х2
6.Решите уравнение sin(arcsin(4х-1))=3х2
7.Решить уравнение 6 arctg
=2
7.Решите уравнение 2 arсctg(2х-3) =
8.Решить неравенство arcsin х < arсtg х
8.Решите неравенство arcsin х < arссtg х
ПРИЛОЖЕНИЕ.
№1.Найти область определения:
а) y=arcsin 
; б)y= arctg 2x; в)y= arctg 
; г)y= arccos ; д)y=arctg 
; е)y= arcctg 
; ж) y= 
.
№2.Построить графики функций:
a) y = arccos 2x; б) y = 2 arccos x; в) y = arccos (cosx); г) y = arctg (ctgx); д)у =
.
№3.В каких границах заключены дуги:
а) 2 arcsin x; б) 2 arccos х; в) arctg x; г) - arctg x; д) arccos 
; е) arctg x2 - .
№4.Построить: а) arctg (- 0,3); б) arccos ; в) arcsin 
; г) arcctg (-1,5).
№5.Вычислить:
а) arccos (sin 2); б) sin 
; в) arcsin + arcsin ; г) sin ( + 2 arcsin );
д) arctg + arctg ; е) arctg - arctg3; ж) tg ( - arcsin ); з) arctg + arccos 
.
№6. Вычислить:
а) cos (2 arcsin 
); б) tg (arccos ); в) sin (arcctg 
); г) ctg (arctg(-1));
д) cos (2 arcsin ()); е) sin (arcsin + arccos ); ж) cos (arccos (
) + arcsin 
);
№7.Вычислить:
а) sin(2 arctg ) + tg ( arcsin ); б) - cos2 ( - arcsin);
в) tg (2 arcsin 
- arccos ); г) arcctg (tg (arcctg 
+ arcctg )).
№8.Вычислить:
1) arcsin (sin 700); 2) arcsin (sin 2100); 3) arcsin (sin 
); 4) arccos (cos 1700); 5) arccos (cos 6);
6) arctg (tg 
).
№9.Решить уравнения:
1) 2 arctg x +3 arcctg x = 5. Ответ: ctg 5.
2) arcsin2 х + arccos2 х = 
. Ответ: 
3) arcsin 2x = 2 arcsin x. Ответ: 0.
4) 3 arcsin- = 0. Ответ: 0,75.
5) 2 arcsin х + arсcos (1-х) = 0. Ответ: 0.
6) 6 arcsin (х2 - 6х + 8,5) = р. Ответ: 2; 4.
7) tg(3 arctg x) = ctg (3 arctg x). Ответ: 
.
8) arcsin х = arccos x. Ответ: .
№10.Решить неравенства:
1) arcsin х < arcsin 2х. Ответ: (0;0,5].
2) arcsin х2 ≥ 1. Ответ: [-1;- sin1]
[ sin1;1].
3) arсcosх < arcсtg 2x. Ответ: 
.
4) (arctg x)2 - 4 arctg x + 3 > 0. Ответ: 
.
5) arсcos(х2 - х -2)< . Ответ: 
.
6) arсcos(х-1) ≤ 2 arсcosх. Ответ: 
.
Литература.
1.Азаров А.И., Булатов В.И., Федосенко В.С., Шибут А.С. Тригонометрия. Тождества, уравнения, неравенства, системы: Учеб.пособ. Минск, 1999.
2.Зив Б.Г., Алтынов П.И. Алгебра и начала анализа. Геометрия. 10-11 кл.:Уч.-метод.пособие.-М.:Дрофа, 1999.
3.Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: Учеб.пособие для учащихся шк. И классов с углубл.изуч.математики.-М.:Просвещение, 1995.
4.Мерлин А.В, Мерлина Н.И. Нестандартные задачи по математике в школьном курсе. Чебоксары, 1998.
5.Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. - М.: Мнемозина, 2009.
6.Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные заадчи по математике: Справ.пособ. М., 1992.
7.Шахно К.У. Как готовиться к приемным экзаменам в вуз по математике. Минск, 1970.