Задачи к уроку по теме Сумма углов треугольника

Задачи по теме «Сумма углов треугольника» (подборка задач составлена учителем математики ГБОУ школа 444 с углубленным изучением математики, информатики, физики Андреевой Е.Г.).

1. (устно, по готовому чертежу) В треугольнике АВС проведена биссектриса АD, на продолжении которой отмечена точка Е. Известно, что углы В, АСВ и ВСЕ равны соответственно 74, 56 и 63 градуса. Найдите АЕС.

Ответ: 36 градусов.

2. (устно) В треугольнике один из углов равен сумме двух других. Определите вид треугольника. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника? Чему равны углы равнобедренного прямоугольного треугольника?

3. Докажите, что высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

4. Параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что биссектрисы соответственных и внутренних накрест лежащих углов параллельны, биссектрисы внутренних односторонних углов перпендикулярны.

5. В четырехугольнике АВСD биссектрисы углов А и С параллельны. Докажите, что углы В и D равны.

Доказательство: пусть АЕ и СF - биссектрисы, ЕєВС, FєAD. Тогда углы DFC и EAF , а также ВЕА и ЕСF равны как соответственные. Значит. В треугольниках АВЕ и СFD по два равных угла, а, значит, равны и третьи.

6. Разрежьте треугольник с углами 100 и 60 градусов на два равнобедренных треугольника, треугольник с углами 15 и 105 градусов на три равнобедренных треугольника.

Решение: В первом случае получаем треугольники с углами 100, 40, 40 и 20, 20 и 140 градусов; во втором - 60, 60 и 60; 120, 30 и 30; 15, 15 и 150 градусов.

7. Треугольник АВС - равнобедренный с основанием АС. Отрезок АМ (МєВС) делит его на два равнобедренных треугольника с основаниями АВ и МС. Найдите углы треугольника АВС.

Решение: Пусть угол С равен х, тогда угол АМС тоже х, а смежный с ним угол АМВ=180^о-х. тогда углы ВАМ и АВМ равны , значит,

угол ВАС=+(180^о-2х) = 180^о-х. Но по условию, он равен углу С. Составляя и решая уравнение, получаем .что х=72^о, а, значит, угол при вершине треугольника равен 36^о.

8. Имеется угольник с углами в 90, 60 и 30 градусов. Используя только его, постройте на доске угол в 15 градусов.

Решение:

9. "Доказательство" теоремы о сумме внутренних углов треугольника, не опирающееся на аксиому параллельных прямых. Возьмем произвольный треугольник ABC. На стороне АС его произвольную точку D и соединим ее отрезком с В. Обозначим искомую сумму внутренних углов треугольника буквой х. Имеем: ∠ A + ∠ 2 + ∠ 4 = x, ∠ С + ∠ 3 + ∠ 5 = х. Сложим по частям эти равенства: (∠ A + ∠ C + ∠ 3 + ∠ 2) + (∠ 5 + ∠ 4) = 2х. Выражение в первых скобках - сумма углов треугольника ABC; она равна х. Выражение во вторых скобках равно 180° (как сумма смежных углов). Имеем: х + 180° = 2х и х = 180°. Верно ли это? В чем ошибка? Перед нами софизм. Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются "запрещенные" действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям "очевидности".

10. На стороне квадрата АВСD построен равносторонний треугольник АВМ. Найдите угол ДМС.

Решение: 1 случай. Точка М вне квадрата. Треугольники МВС и МАD - равнобедренные с углом 150 градусов при вершине, значит, их острые углы равны 15 градусам, а, значит. Углы при основании равнобедренного треугольника СМD равны 75 градусов, тогда угол СМD равен 30 градусов.

2 случай. Точка М внутри квадрата (почему она не может «выскочить с другой стороны»?). Аналогично, треугольники МВС и МАD - равнобедренные с углом 30 градусов при вершине, значит, их углы при основании по 75 градусов. А тогда угол СМD равен 360^о-75^о-75^о-60^о=150^о.

11. Бумажный равносторонний треугольник перегнули по прямой так, что одна из вершин попала на противоположную сторону.
    Докажите, что углы двух белых треугольников соответственно равны.

Решение: Введём обозначения так, как показано на рисунке. Исходный треугольник - равносторонний, поэтому ∠MCK = ∠A = ∠B = 60°. Значит, ∠1 + ∠2 = 120°. Из треугольника KBC ∠2 + ∠3 = 120°. Следовательно, ∠1 = ∠3.

Равенство углов 2 и 4 можно либо доказать аналогично, либо воспользоваться тем, что в треугольниках MAC и KBC соответственно равны две пары углов, поэтому равны и третьи углы.

12. Найдите сумму острых углов пятиконечной звезды.

Решение:

13. В четырехугольнике АВСD продолжения сторон АВ и СD, а также продолжения сторон АD и ВС пересекаются под углом 20 градусов. Докажите, что в этом четырехугольнике два угла равны, а два другие отличаются на 40 градусов.

Решение:

14. Треугольник АВС - равнобедренный с основанием АС, ВD - высота. На сторонах АВ и ВС соответственно взяты точки К и М так, что угол КСА=углу ВАМ, угол МАС равен углу КСВ, но АМ и СК - не биссектрисы. При пересечении отрезков ВD, АМ и СК образовался равнобедренный треугольник. Вопрос: сколько прямоугольных треугольников на чертеже?