Электронное пособие по теме Прямая и плоскость

Уравнение прямой на плоскости. Особенности расположения прямой в системе координат. Полуплоскости.

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Положение прямой определяется однозначно, если даны направляющий вектор прямой и некоторая ее точка или две точки прямой.

Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат и в этой системе известны координаты некоторой точки прямой d и направляющего вектора этой прямой.

(1) - каноническое уравнение прямой

(2) - параметрическое уравнение прямой с параметром t.

Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат и в этой системе известны координаты двух точек и прямой d.

(3) - уравнение прямой заданной двумя точками

Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат и дана прямая d, пересекающая ось ординат. Если - направляющий вектор прямой, то число называется угловым коэффициентом прямой d.

Если прямая заданна в аффинной системе координат , то угловой коэффициент, где φ - угол наклона прямой d к оси Ox.

Пусть прямая d задана в аффинной системе координат точкой и угловым коэффициентом k.

(4) - уравнение прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом.

Если в качестве точки взять точку пересечения прямой d с осью ординат, то уравнение (4) примет вид:

(5) - уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если в аффинной системе координат заданна прямая d, которая отсекает на оси Ox - отрезок a, а на оси Oy - отрезок b, то можно составить уравнение прямой в отрезках:

(6)

Прямая является алгебраической линией первого порядка и любая алгебраическая линия первого порядка есть прямая.

Теорема: Линия на плоскости, заданная в аффинной системе координат уравнением первой степени

(7) - есть прямая. Вектор является направляющим вектором этой прямой.

Уравнение (7) называется общим уравнением прямой, а x и y называются текущими координатами точки прямой.

Пусть в аффинной системе координат задана прямая общим уравнением (7). Если некоторые из чисел A, B, C равны нулю, то прямая обладает следующими особенностями расположения относительно системы координат:

Прямая проходит через начало координат C=0;

Прямая параллельна оси Ox A=0, C≠0;

Прямая совпадает с осью Ox A=0, C=0;

Прямая параллельна оси Oy B=0, C≠0;

Прямая совпадает с осью Oy B=0, C=0;

Прямая d раделяет множество точек плоскости, не принадлежащих ей, на два непересекающихся подмножества. Эти подмножества называют полуплоскостями с общей границей d.

Теорема: Если в аффинной системе координат прямая d задана уравнением (7), то полуплоскости с границей d определяются аналитически неравенствами:

(8) ,

(9) .

Примеры решения типовых задач.

1. Дано уравнение прямой. Составить:

А) уравнение с угловым коэффициентом.

Дано: ур-ние прямой.

Решение: - ур-ние прямой с угловым коэффициентом, где

- направляющий вектор, где => ,

- уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пример: Дана прямая .

Решение: Прямая заданна уравнением вида: из условия => A=2, B=-3, C=-18,

=> => =-искомое ур-ние прямой.

B) уравнение в отрезках

Дано: ур-ние прямой.

Решение: -ур-ние прямой в отрезках, где , =>

-ур-ние прямой в отрезках

Пример: Дана прямая .

Решение: Прямая заданна уравнением вида: из условия => A=2, B=-3, C=-18,

=> - искомое ур-ние

2. Записать уравнение прямой:

А) прямая проходит через две точки.

Дано: точка и

Решение: - ур-ние прямой заданной 2-мя точками

Пример: Дано 2 точки А(2,3) и В(-4,-6)

Решение: - ур-ние прямой заданной 2-мя точками, т.к точка и из условия => =>

=> => => =>-искомое ур-ние прямой

В) проходящей через точку параллельно вектору

Дано: точка , вектор

Решение: - каноническое ур-ние прямой

Пример: Дано: точка А(3,-5), вектор b(-4,2)

Решение: - каноническое ур-ние прямой , т.к точка , вектор из условия => =2 => => => - искомое ур-ние прямой

С) проходящей через точку параллельно прямой

Дано: точка , прямая

Решение: - каноническое ур-ние прямой

Т.к. прямые параллельны => - направляющий вектор имеющий координаты => => - искомое ур-ние

Пример: Дано А(2,-1) и прямая

Решение: - каноническое ур-ние прямой. Т.к. прямые параллельны => - направляющий вектор имеющий координаты => из условия => , а т.к точка то из условия => => => => - искомое ур-ние.

D) проходящей через точку перпендикулярно вектору

Дано: точка , вектор

Решение: - каноническое ур-ние прямой

Пример: Дано: точка А(-7,2), вектор h(3,-4)

Решение: - каноническое ур-ние прямой , т.к точка , вектор из условия => =-4 => => => => - искомое ур-ние прямой

Е) проходящей через точку перпендикулярно прямой

Дано: точка , прямая

Решение: - каноническое ур-ние прямой

Из ур-ния прямой =>, что координаты нормального вектора этой прямой Т.к. прямые перпендикулярны, то этот вектор яв-ся направляющим => имеющий координаты => => - искомое ур-ние

Пример: Дано А(-5,2) и прямая

Решение: - каноническое ур-ние прямой

Из ур-ния прямой =>, что координаты нормального вектора этой прямой Т.к. прямые перпендикулярны, то этот вектор яв-ся направляющим => имеющий координаты => из условия => => =-1, а т.к точка то из условия => => => => => - искомое ур-ние прямой

F) через точку и имеющая угловой коэффициент

Дано: , k=a

Решение:- ур-ние прямой с угловым коэффициентом =>

Пример: Дано: А(2,3) и угловой коэффициент k=-5

Решение: - ур-ние прямой с угловым коэффициентом. т.к точка то из условия => , k=-5 => => => - искомое ур-ние прямой