ҰБТ есептеріндегі тригонометриялық теңсіздіктер жүйесін, бірлік шеңбер негізінде шешу

ҰБТ есептеріндегі тригонометриялық теңсіздіктер жүйесін,

бірлік шеңбер негізінде шешу

З.Т. Серікбаева,

Қызылорда қаласы №222 Т. Рысқұлов атындағы орта мектептің жоғары санатты

математика пәнінің мұғалімі.

Оқушыларға бірлік шеңберді түсіндірген соң, (Бірлік шеңбер жөнінде "Есептер шығаруда бірлік шеңберді пайдалану" №4 2011 "Математика және физика" ғылыми- әдістемелік журналында айтылып кеткен) енді тригонометриялық теңсіздіктің шешу жолдарын да шеңберден есептеу көрнекті екенін біледі. Шеңберден тригонометриялық функцияларға кері функцияны да анықтайды.

Осы теңсіздіктерді шешуде У өсінен нүктесінен басымызды оңға және солға бұру арқылы шеңбермен қиылысу нүктесін табамыз. Егер теңсіздік кем болса, онда сол табылған нүктелерден төмен орналасқан доға аралығы болады (мыс: 1-сурет). Шеңбер бойынан бірінші нүктесін тапқаннан соң, екінші нүктесін жазу үшін сағат тілімен бағыттас жүреміз. Сағат тілімен бағыттас айналдыратын болсақ, (2-сурет) онда шеңбер бойындағы нүктелер қарама-қарсы таңбамен I ширектегі нүктелер IV ширекке, II ширектегі нүктелер III ширекке, III ширектегі нүктелер II ширекке орналасады. Сонда болады.

1-сурет 2-сурет

Ал егер артық болса, У өсінің нүктесінен басымызды оңға бұрып шеңбермен қиылысқан бірінші нүктесін тапқаннан соң, сағат тіліне қарсы бағытта жүріп,

нүктесінің сол жағында жатқан, (нүктесіне қарағанда симметриялы) шеңбермен қиылысқан екінші нүктесін жазамыз. Осы табылған нүктелерден жоғары орналасқан доға аралығы болады (3-сурет). Нүктелердің табылу жолдары "Бірлік шеңбер" тақырыбында айтылып кеткен.

3-сурет 4-сурет

Бұл теңсіздіктерді шешуде Х өсінің нүктесінен басымызды жоғары көтеру және төмен түсіру арқылы, шеңбер бойымен қиылысқан нүктелерді табамыз. Егер теңсіздік кем болса, онда шеңбермен қиылысқан нүктелермен керіліп тұрған доғаның сол жақ бөлігі, мысалы: ; болса (4-сурет) болады. Ал егер артық болса, онда Х өсінің нүктесінің оң жақ бөлігі. Басымызды жоғары көтеріп шеңбер бойынан бірінші нүктені тапқан соң, сағат тілімен бағыттас жүре отырып, нүктесінен басымызды төмен түсіргендегі шеңбермен екінші қиылысу нүктесін жазамыз. Осы нүктелермен керіліп тұрған доғалардың оң жақ бөлігі аралығы (5-сурет) болады.

5-сурет 6-сурет

Бұл теңсіздіктерді шешуде шеңбер бойында аралығында қарастырамыз. нүкте шеңбер бойында орналасады деп ойлаймыз. Егер теңсіздік кем болса, онда нүктесінен төмен орналасқан доға, яғни аралығы болады. Мысалы: нүктені шеңбер бойына белгілесек, нүктеден төмен орналасқан доға аралығы болады, яғни екен (6-сурет).

Егер теңсіздік артық болса, шеңбердегі нүктесінің жоғарғы бөлігі, аралығы болады

Енді қарастырайық, 7-суретте көріп тұрғандай нүктесінен жоғары аралығы екен.

7-сурет 8-сурет

Бұл теңсіздіктерді шешуде шеңбер бойында аралығында қарастырамыз .Мысалы: болса, 8-суретте көріп тұрғандай аралығы болады. Ендеше теңсіздік кем болса, онда бірлік шеңбер бойындағы ізделінді нүктесінен сол жағында орналасқан доға аралығы болады. Теңсіздік артық болса, шеңбер бойындағы ізделінді нүктесінен оң жағында орналасқан доға аралығы болады.

Мысалы болса, онда аралығы (9-сурет) болады.

9-сурет 10-сурет

Теңсіздіктердің жауабы сағат тіліне қарсы бағытта жазылады.

Осы әдістерді пайдаланып Ұлттық Бірыңғай Тест есептерінің шығару жолдарын ұсынып отырмын.

№298 Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.

Теңсіздіктерді қанағаттандыратын х-тің мәндерін шеңбер бойына салайық

Бірінші теңсіздіктің жауабын у=0; түзуінің жоғарғы жағын тігінен қызыл сызықтармен, екінші теңсіздіктің жауабын х=0 түзуінің оң жағын көлденеңнен көк сызықтармен белгілейміз. Нәтижесінде шыққан денелер жүйенің шешімі болып табылады.

Периодтарын қосамыз..

Жауабы 10-сурет

Сағат тіліне қарсы бағытта жазамыз

№301 Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.

Теңсіздіктерді қанағаттандыратын

х-тің мәніндерін шеңбер бойына салайық 11-сурет

Синустің жауабы y=түзуінің жоғарғы жағын тігінен қызыл, косинустың жауабы түзуінің оң жағын көк сызықтармен белгілейміз. Шыққан фигуралар аралықтары жүйенің шешімі болады.

Жауабы: 11-сурет

№302 Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.

Теңсіздіктерді қанағаттандыратын

х-тің мәніндерін шеңбер бойына салайық,

синустың жауабын х-өсініңжоғарғы жақ

аралығы (қызыл), тангенстің жауабын көк

сызықтармен белгілесек, нәтижесінде шыққан

фигуралар теңсіздіктердің жауабы болады. 12-сурет

Жауабы: 12-сурет

№303 Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.

Теңсіздіктерді қанағаттандыратын

х-тің мәніндерін шеңбер бойына салайық

тангенстің жауабы 0⁰пен 90⁰ аралығы

яғни көлденең көк сызықпен, синус

0-ден артық болғандықтан Х-өсінің

жоғарғы жақ аралығы (қызыл) болады

Ендеше шыққан денелер жүйенің шешімдері.

периодын қосамыз 13-сурет

Жауабы: 13 -сурет ,.

№305 Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.

Теңсіздіктерді қанағаттандыратын

х-тің мәніндерін шеңбер бойына

салайық синустың мәні -1-ден артық,

ендеше, шеңбер бойындағы 270⁰-тан

басқа нүктелері шешімі болады. 14-сурет

тангенс 1-ден артық болғандықтан,

45⁰пен 90⁰ және 225⁰пен270⁰ аралығы болады. Шыққан денелер шешімі болып табылады. Жауабы сайын қайталанады.

Жауабы:14-сурет

№307 Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.

Теңсіздіктерді қанағаттандыратын

х-тің мәніндерін шеңбер бойына

салайық ( синусты шешуде)

У-өсінен нүктесінен жүргізіл-

ген түзудің төменгі бөлігі, 15-сурет

(косинусті шешуде) Х-өсінен нүктесінен жүргізілген түзудің сол жақ бөлігі, шыққан денелер аралығы шешімі болады. Жауабын жазу барысында үшінші нүкте өзгереді

Жауабы: 15-сурет .

№309 Функцияның анықталу облысын есептеңіз.

;

2)Алымын есептейміз.

периодын қосамыз.

2-ге бөлеміз.

жоғарыда 16-сурет

болғандықтан, бұл нүкте енбейді.

Жауабы:16-сурет

№317 Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.

периодын қосайық.

17-сурет

Жүйенің бірінші теңсіздігін 3-ке бөлеміз.

Осы жүйедегі бірінші теңсіздіктегі n-ге мән беру арқылы шеңбер бойынан теңсіздіктің бірнеше нүктелерін табайық.

Ол үшін 1) n=0 болсын , есептейік: яғни

2)n=1;

яғни,130⁰<x<170⁰; аралығы болады.

3)n=2;

яғни, 250⁰0; аралығы болады. 17-суретте көріп отырғандай бірінші теңсіздіктің қабылдайтын аралығын қызыл сызықтармен белгілесек,

екінші теңсіздіктегі n-ге мән берейік.

m=0; есептесек яғни 60^{0 0}

m=1; есептейік.

Ендеше, аралығы болады.

екінші теңсіздігіміз ол тангенс, қабылдайтын аралығын көк сызықтармен белгілейміз. Екі теңсіздіктің қиылысуы шеңберден паралелограмм фигуралары екені көрініп тұр. Яғни аралығы және периодын қосамыз.

Теңсіздіктерді қанағаттандыратын х-тің мәніндерін шеңбер бойына салайық

Ендеше, теңсіздіктер жүесінің жауабын жазайық.

Жауабы: 17-сурет

№318 Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.

периодын қосайық.

18-сурет

Теңсіздіктерді қанағаттандыратын х-тің мәніндерін шеңбер бойына салайық

Бірінші теңсіздіктегі тангенстің жауап аралығын көлденең көк сызықтарымен белгілейтін болсақ, екінші теңсіздіктегі котангенстің жауап аралығын тігінен қызыл сызықтармен белгілейміз. Нәтижесінде шыққан денелер, осы теңсіздіктер жүйесінің шешімдері болып табылады.

Жауабы: 18-сурет

2011 жыл

19-сурет

нүктесінен басымызды солға және оңға бұру арқылы шеңбермен қиылысу нүктесімен керіліп тұрған доғаның жоғарғы бөлігін тігінен қызыл сызықпен белгілейміз.

нүктесінен басымызды солға және оңға бұру арқылы шеңбермен қиылысу нүктесімен керіліп тұрған доғаның төменгі бөлігін тігінен көк сызықпен белгілейміз

болады.

Жауабын жазу барысында үшінші нүкте өзгереді. Нәтижесін 19-суреттен көруге болады, сағат тіліне қарсы бағытта жазамыз.

периодын қосамыз

2011 жыл

Теңсіздікті шешіңіз:

1) 20-сурет

2)

болғандықтан, нүктесінен басымызды жоғары көтеру, және төмен түсіру арқылы шеңбер бойындағы нүктені белгілеп, сол нүктелердің оң жақ доға аралығын көлденең көк сызықтармен белгілейміз

болғандықтан, түзуінің сол жағын көлденең қызыл сызықтармен белгілейік. Нәтижесін 20- суреттен көруге болады, оған периодын қосамыз.

Жауабын жазу барысында үшінші нүкте өзгереді

2011 жыл 12 нұсқа 15 есеп

21-сурет

нүктесінен басымызды солға және оңға бұру арқылы шеңбермен қиылысу нүктесімен керіліп тұрған доғаның жоғарғы бөлігін тігінен қызыл сызықпен белгілейміз.

болғандықтан, нүктесінен басымызды солға және оңға бұру арқылы шеңбермен қиылысу нүктесімен керіліп тұрған доғаның төменгі бөлігін тігінен көк сызықпен белгілейміз

болады.

Жауабын жазу барысында үшінші нүкте өзгереді. Нәтижесін 21-суреттен көруге болады.

периодын қосамыз

Бірлік шеңберді пайдаланып, жаратылыстану - математика, қоғамдық-гуманитарлық бағытындағы (10-сынып) және Ұлттық Бірыңғай Тест есептерінің шығару жолдары бар, әдістемелік нұсқаулық ретінде пайдалануға арналған 105 беттік "Бірлік шеңбер негізінде тригонометриялық теңсіздіктерді шешу " кітабымнан алынған есептер .

Қызылорда қаласы.