- Преподавателю
- Математика
- Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)
Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)
Раздел | Математика |
Класс | 10 класс |
Тип | Конспекты |
Автор | Самсонова И.А. |
Дата | 25.01.2016 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
МБОУ «Ташлинская средняя общеобразовательная школа»
Тюльганский район
Оренбургская область
Отбор корней в тригонометрических уравнениях
Урок по алгебре и началам анализа
10 класс
Учитель первой категории
Самсонова Ирина Анатольевна
2012 год
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ
Название УМК «А. Г. Мордкович» Предмет алгебра и начала анализа Класс 10
Тема урока Отбор корней в тригонометрических уравнениях
Место и роль урока в изучаемой теме: раздел «Методы решения тригонометрических уравнений», подготовка к единому государственному экзамену
Тип урока Урок обобщения и систематизации знаний и способов деятельности
ЦЕЛЬ: рассмотреть применение арифметического, геометрического, алгебраического способов отбора корней в тригонометрических уравнениях (задания С1 ЕГЭ)
Задачи:
обобщить, систематизировать и углубить знания о разнообразии способов отбора корней в тригонометрических уравнениях;
развивать логическое мышление учащихся, потребность к самообразованию; воспитание познавательной активности, уверенности в себе
Литература: «Первое сентября», журнал «Математика»
Ход урока
-
Организационный момент
Учитель. Задание С1 КИМов содержит в основном тригонометрическое уравнение или систему тригонометрических уравнений, в которых необходимо выполнить отбор корней. Вы, ребята, уже знакомы с наиболее распространенным способом отбора корней, применяя тригонометрическую окружность; пользовались перебором значений целочисленного параметра, поэтому возникает необходимость рассмотреть различные способы, эффективные для решения конкретной задачи.
2. Актуализация опорных знаний
1. Расставьте в порядке убывания числа:
3; ; ; ; 2,5; .
2. Расставьте в порядке возрастания числа:
- ; -; - ; -; - 2.
3. Какие частные случаи существуют при решении простейших тригонометрических уравнений?
4.Когда уравнение sin x = a не имеет решений?
Учитель. Задание С1 КИМов содержит в основном тригонометрическое уравнение или систему тригонометрических уравнений, в которых необходимо выполнить отбор корней. Вы, ребята, уже знакомы с наиболее распространенным способом отбора корней, применяя тригонометрическую окружность; пользовались перебором значений целочисленного параметра, поэтому возникает необходимость рассмотреть различные способы, эффективные для решения конкретной задачи.
Тема нашего урока « Отбор корней в тригонометрических уравнениях в заданиях типа С1 . Сформулируйте цель урока. Какие задачи для себя на уроке поставим?
-
Изучения новых знаний и способов деятельности, закрепления изученного.
(Решение задач С1)
Постановка проблемы
Учитель. Какие способы вы примените к отбору корней в следующих задачах?
-
Решить уравнение
+2 sin x = 0.
-
Найти все решения уравнения sin 2x = cosx, принадлежащие отрезку [- ; ].
3. Определить количество корней уравнения
ctg 3x sin 6x - cos6x - cos12x = 0 на промежутке [0; 2
Способы разрешения проблемы
Ученики предлагают свои версии.
Пример 1. 1 СПОСОБ (арифметический)
Решение. Перепишем уравнение в виде
= - 2 sin x.
Это уравнение равносильно системе
Решим уравнение системы:
5cos x - (2cos2x - 1) = 4(1 - cos2x),
2cos2x + 5cosx - 3 = 0.
Отсюда cosx = 0,5 или cos x = - 3 (нет корней).
Из уравнения cosx = 0,5получим:
x = + 2n, nZ, или x = - + 2n, nZ.
Проверим для полученных значений x выполнение условия
Для первой серии получаем:
sin ( + 2n) = sin = 0.
Следовательно, первая серия является «посторонней». Для второй серии получаем
sin ( + 2n) = - sin = - 0.
Следовательно, все числа второй серии решений уравнения системы являются корнями исходного уравнения.
Ответ: - + 2n, nZ.
Учитель. Нахождение значений тригонометрического выражения непосредственно подстановкой при проверке корней (Пример 1.) и перебор значений целочисленного параметра относятся к арифметическому способу
отбора корней в тригонометрических уравнениях.
А если последовательный перебор значений параметров приводит к вычислительным трудностям, промежуток для отбора корней большой, значения обратных тригонометрических, входящих в серии решений не являются табличными?
Ученики предлагают
Пример 2. 1 СПОСОБ (алгебраический)
Решение. Приведем уравнение к виду
cos x (2sin x - 1) = 0.
Отсюда получаем:
cos x = 0 и sin x = 0, 5.
-
cos x = 0, x = + n, nZ. Так как решения должны удовлетворять неравенству - + n ≤, то, сократив на , получим:
-1 ≤ + n ≤ или - ≤ n ≤ .
С учетом того, что nZ, получаем два значения: n = -1 и n = 0. Если n = 0, то x = , если n = -1, то x = .
-
sin x = 0, 5
x = или x = , nZ
Так как должно выполняться условие - x ≤, то для первой серии имеем:
- ≤,
- ≤
- n ,
следовательно, n = 0.
Отсюда получаем: x = .
Для второй серии имеем:
- ≤,
- ≤
- n .
Последнее неравенство не имеет целочисленных решений.
Ответ: ; .
В этом примере мы применили решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра n и вычислении корней - это алгебраический способ отбора корней.
Динамическая пауза
Снятие напряжения - «Тряпочная кукла»
Задание ТРИЗ
«Кто быстрее?» с разрезанием листа Мёбиуса.
4. Применения изученного, обобщение и систематизация
(Самостоятельная работа учащихся)
Постановка проблемы
Учитель. Какие идеи у вас имеются для решения Примера 3?
(Геометрический способ)
Ученики выполняют самостоятельно, затем делают вывод, что в данном задании удобно использовать при отборе корней числовую окружность.
Учитель. Так как длина промежутка не превосходит 2этот способ эффективнее, он относится к геометрическим способам отбора корней в тригонометрических уравнениях.
Решение. Умножая обе части уравнения на sin3x ≠ 0, получаем:
sin3x - sin3x cos12x = 0,
sin3x (1 - cos12x) = 0.
Отсюда имеем:
n, kZ.
Функции cos 12x и sin3x, входящие в уравнение, имеют основной период, не превосходящий 2, поэтому проведем отбор корней, используя тригонометрическую окружность. Для этого полученные значения в серии решений и серии ограничений изобразим на тригонометрической окружности (на Макете) и в ответ запишем количество точек серии решений, не совпавших с точками серии ограничений.
Ответ: 6.
5. Информация о домашнем задании
1. Дифференцированные задания для каждого ученика
на карточках.
2. Из различных сборников заданий для подготовки к ЕГЭ 2012 выбрать три задачи, в которых можно применить: С1
а) арифметический;
б) алгебраический;
в) геометрический
способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и решить одну из них.
6. Подведение итогов
С какими способами отбора корней в тригонометрических уравнениях мы познакомились на уроке?
Ученики высказывают свои мнения об оптимальности применения различных способов отбора корней при выполнении заданий.
Оценки учителя и самооценка каждого ученика работы на уроке.
7. Рефлексия
Свою деятельность на уроке прошу вас оценить
На лесенку успеха себя установить!