Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)

Раздел Математика
Класс 10 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

МБОУ «Ташлинская средняя общеобразовательная школа»

Тюльганский район

Оренбургская область









Отбор корней в тригонометрических уравнениях


Урок по алгебре и началам анализа

10 класс











Учитель первой категории

Самсонова Ирина Анатольевна










2012 год


МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Название УМК «А. Г. Мордкович» Предмет алгебра и начала анализа Класс 10

Тема урока Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Место и роль урока в изучаемой теме: раздел «Методы решения тригонометрических уравнений», подготовка к единому государственному экзамену

Тип урока Урок обобщения и систематизации знаний и способов деятельности

ЦЕЛЬ: рассмотреть применение арифметического, геометрического, алгебраического способов отбора корней в тригонометрических уравнениях (задания С1 ЕГЭ)

Задачи:

обобщить, систематизировать и углубить знания о разнообразии способов отбора корней в тригонометрических уравнениях;

развивать логическое мышление учащихся, потребность к самообразованию; воспитание познавательной активности, уверенности в себе

Литература: «Первое сентября», журнал «Математика»







Ход урока


  1. Организационный момент

Учитель. Задание С1 КИМов содержит в основном тригонометрическое уравнение или систему тригонометрических уравнений, в которых необходимо выполнить отбор корней. Вы, ребята, уже знакомы с наиболее распространенным способом отбора корней, применяя тригонометрическую окружность; пользовались перебором значений целочисленного параметра, поэтому возникает необходимость рассмотреть различные способы, эффективные для решения конкретной задачи.

2. Актуализация опорных знаний

1. Расставьте в порядке убывания числа:

Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) 3Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс); Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) ; Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) ; Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) ; 2,5; Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) .

2. Расставьте в порядке возрастания числа:

- Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) ; -Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс); - Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) ; -Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс); - 2.

3. Какие частные случаи существуют при решении простейших тригонометрических уравнений?

4.Когда уравнение sin x = a не имеет решений?

Учитель. Задание С1 КИМов содержит в основном тригонометрическое уравнение или систему тригонометрических уравнений, в которых необходимо выполнить отбор корней. Вы, ребята, уже знакомы с наиболее распространенным способом отбора корней, применяя тригонометрическую окружность; пользовались перебором значений целочисленного параметра, поэтому возникает необходимость рассмотреть различные способы, эффективные для решения конкретной задачи.

Тема нашего урока « Отбор корней в тригонометрических уравнениях в заданиях типа С1 . Сформулируйте цель урока. Какие задачи для себя на уроке поставим?


  1. Изучения новых знаний и способов деятельности, закрепления изученного.

(Решение задач С1)

Постановка проблемы

Учитель. Какие способы вы примените к отбору корней в следующих задачах?

  1. Решить уравнение

Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) +2 sin x = 0.

  1. Найти все решения уравнения sin 2x = cosx, принадлежащие отрезку [- Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) ; Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) ].

3. Определить количество корней уравнения

ctg 3x sin 6x - cos6x - cos12x = 0 на промежутке [0; 2Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)

Способы разрешения проблемы

Ученики предлагают свои версии.

Пример 1. 1 СПОСОБ (арифметический)

Решение. Перепишем уравнение в виде

Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) = - 2 sin x.

Это уравнение равносильно системе

Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)

Решим уравнение системы:

5cos x - (2cos2x - 1) = 4(1 - cos2x),

2cos2x + 5cosx - 3 = 0.

Отсюда cosx = 0,5 или cos x = - 3 (нет корней).

Из уравнения cosx = 0,5получим:

x =Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) + 2Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)n, nУрок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)Z, или x = - Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) + 2Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)n, nУрок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)Z.

Проверим для полученных значений x выполнение условия Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)

Для первой серии получаем:

sin (Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) + 2Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)n) = sin Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) = Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) 0.

Следовательно, первая серия является «посторонней». Для второй серии получаем

sin (Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) + 2Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)n) = - sin Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) = - Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) 0.

Следовательно, все числа второй серии решений уравнения системы являются корнями исходного уравнения.

Ответ: - Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) + 2Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)n, nУрок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)Z.

Учитель. Нахождение значений тригонометрического выражения непосредственно подстановкой при проверке корней (Пример 1.) и перебор значений целочисленного параметра относятся к арифметическому способу

отбора корней в тригонометрических уравнениях.

А если последовательный перебор значений параметров приводит к вычислительным трудностям, промежуток для отбора корней большой, значения обратных тригонометрических, входящих в серии решений не являются табличными?

Ученики предлагают

Пример 2. 1 СПОСОБ (алгебраический)

Решение. Приведем уравнение к виду

cos x (2sin x - 1) = 0.

Отсюда получаем:

cos x = 0 и sin x = 0, 5.

  1. cos x = 0, x = Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) + Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) n, nУрок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)Z. Так как решения должны удовлетворять неравенству - Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) + Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) n ≤Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс), то, сократив на Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) , получим:

-1 ≤Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) + n ≤ Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) или - Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) ≤ n ≤ Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) .

С учетом того, что nУрок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)Z, получаем два значения: n = -1 и n = 0. Если n = 0, то x = Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) , если n = -1, то x = Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) .

  1. sin x = 0, 5

x = Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) или x = Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) , nУрок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)Z

Так как должно выполняться условие - Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) x ≤Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс), то для первой серии имеем:

- Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс),

- Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)

- Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) n Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) ,

следовательно, n = 0.

Отсюда получаем: x = Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) .

Для второй серии имеем:

- Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс),

- Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)

- Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) n Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) .

Последнее неравенство не имеет целочисленных решений.

Ответ: Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) ; Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) .

В этом примере мы применили решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра n и вычислении корней - это алгебраический способ отбора корней.

Динамическая пауза

Снятие напряжения - «Тряпочная кукла»

Задание ТРИЗ

«Кто быстрее?» с разрезанием листа Мёбиуса.

4. Применения изученного, обобщение и систематизация

(Самостоятельная работа учащихся)

Постановка проблемы

Учитель. Какие идеи у вас имеются для решения Примера 3?

(Геометрический способ)

Ученики выполняют самостоятельно, затем делают вывод, что в данном задании удобно использовать при отборе корней числовую окружность.

Учитель. Так как длина промежутка не превосходит 2Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)этот способ эффективнее, он относится к геометрическим способам отбора корней в тригонометрических уравнениях.

Решение. Умножая обе части уравнения на sin3x ≠ 0, получаем:

sin3x - sin3x cos12x = 0,

sin3x (1 - cos12x) = 0.

Отсюда имеем:

Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс) n, kУрок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)Z.

Функции cos 12x и sin3x, входящие в уравнение, имеют основной период, не превосходящий 2Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс), поэтому проведем отбор корней, используя тригонометрическую окружность. Для этого полученные значения в серии решений и серии ограничений изобразим на тригонометрической окружности (на Макете) и в ответ запишем количество точек серии решений, не совпавших с точками серии ограничений.

Ответ: 6.

5. Информация о домашнем задании

1. Дифференцированные задания для каждого ученика

на карточках.

2. Из различных сборников заданий для подготовки к ЕГЭ 2012 выбрать три задачи, в которых можно применить: С1

а) арифметический;

б) алгебраический;

в) геометрический

способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и решить одну из них.

6. Подведение итогов

С какими способами отбора корней в тригонометрических уравнениях мы познакомились на уроке?

Ученики высказывают свои мнения об оптимальности применения различных способов отбора корней при выполнении заданий.

Оценки учителя и самооценка каждого ученика работы на уроке.

7. Рефлексия

Свою деятельность на уроке прошу вас оценить

На лесенку успеха себя установить!

Урок по алгебре и началам анализа на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях (10класс)






© 2010-2022