Работа Малый звездчатый додекаэдр

Введение.

МАТЕМАТИКА ВЛАДЕЕТ НЕ ТОЛЬКО ИСТИНОЙ,
НО И ВЫСШЕЙ КРАСОТОЙ - КРАСОТОЙ ОТТОЧЕННОЙ
И СТРОГОЙ, ВОЗВЫШЕННО ЧИСТОЙ
И СТРЕМЯЩЕЙСЯ К ПОДЛИННОМУ СОВЕРШЕНСТВУ,
КОТОРОЕ СВОЙСТВЕННО ЛИШЬ ВЕЛИЧАЙШИМ
ОБРАЗЦАМ ИСКУССТВА.

Бертран Рассел

Актуальность темы

«Возможно, при виде многогранников кто-нибудь спросит: «Какая от них польза?» На это позволительно ответить так: «А разве всё красивое полезно?» Впрочем, нетрудно усмотреть известную пользу, которую приносят многогранники в качестве декоративных украшений. Ими хорошо украсить комнату или праздничный стол. А как красивы блестящие звёзды на ёлке!

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности - от двухлетнего ребёнка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книги Бранко Грюнбаума «Выпуклые многогранники».Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа). Пчёлы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков. Пять правильных тел изучали Теэтет, Платон, Евклид, Гипсикл и Папп.»

Цель исследования

Вычислить, какой величины должны быть боковые ребра у правильных пятиугольных пирамид, чтобы при добавлении их к граням додекаэдра с ребром а , получился малый звездчатый додекаэдр.

Задачи исследования

1. Рассмотреть правильные многогранники.

2. Познакомиться с звездчатыми формами додекаэдра.

3. Решить задачу о малом звездчатом додекаэдре.

Малый звездчатый додекаэдр

2.1 Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Правильные многогранники

Моя работа связана с фигурой додекаэдр.

Додекаэдр

«В известном смысле додекаэдр представляет наибольшую привлекательность среди платоновых тел, соперничая с икосаэдром, который почти ему не уступает (а быть может, в чём-то и превосходит). Пожалуй, пальму первенства додекаэдр получает за свои три звёздчатые формы, описываемые ниже».

2.2 Звездчатые формы додекаэдра

Если же обратиться к додекаэдру, продолжив его грани, можно обнаружить, что это приведет к образованию трех различных типов отсеков. Вблизи самого додекаэдра имеется 12 пятиугольных пирамид. Эти пирамиды превращают додекаэдр в малый звёздчатый додекаэдр.

За ними следуют 30 клинообразных отсеков, превращающих малый звёздчатый додекаэдр в большой додекаэдр.

Наконец 20 треугольных бипирамид² превращают большой додекаэдр в большой звёздчатый додекаэдр, который, пожалуй, точнее было бы назвать звёздчатым большим додекаэдром. Это завершающая звёздчатая форма додекаэдра, который имеет три такие формы: две из них были открыты Кеплером (1619), третья - Пуансо (1809).

Теперь вас, возможно, заинтересует то обстоятельство, что в отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра н е я в л я е т с я соединением платоновых тел, но образует новый многогранник. На самом деле эти многогранники правильные, поскольку два из них имеют гранями по 12 пересекающихся пентаграмм, а грани третьего - 12 пересекающихся пятиугольников (пентагонов). Коши (1811) доказал, что эти три многогранника, открытые ранее, на самом деле не что иное, как звёздчатые формы додекаэдра .

2.3 Задача (предложенная учителем на факультативе)

Какие боковые ребра должны быть у правильных пятиугольных пирамид, чтобы при добавлении их к граням додекаэдра с ребром а получился малый звездчатый додекаэдр?

АМое решение :

С

В

О

Возьмем правильный пятиугольник со стороной а - одну из граней додекаэдра. Продолжим его ребра. Образуются треугольники, которые являются гранями пятиугольных пирамид малого звездчатого додекаэдра. Тогда отрезок АВ боковое ребро правильной пятиугольной пирамиды и его надо найти в задаче.

1. Расс. САВ - равнобедренный ( = ).

АО медиана, биссектриса и высота ВО = .

2. Расс. АОВ - прямоугольный. =АВ = ОВ:.

3. Найдем ОАВ. Сумма всех углов выпуклого пятиугольника равна

(5-2)180⁰ = 3180⁰ =540⁰. Тогда величина каждого угла выпуклого пятиугольника равна 540⁰:5=108⁰. = = 180⁰-108⁰=72⁰.

4. Найдем _{CAB=180°-(ACB+ABC)=36°OAB=18°(т.к. AO - биссектриса).}

_{5. Из пункта (2) следует AB=OB:sin18°.}

_{6. Найдем sin18°:}

H_{Рассмотрим сектор АВ окружности с центром в точке О и радиуса 1,} АОВ=36°. Тогда ОАВ=ОВА=72°.

_{Проведем хорду АВ, на отрезке ОВ построим точку С так, чтобы АС=АВ, при этом} АСВ=АВС=72°, а САВ=36°.

_{Таким образом,} ОАС=36°, следовательно, ОС=АС.

_{Пусть АВ=х, тогда ОС=х, СВ=1-х. Поскольку АС - биссектриса треугольника ОАВ, справедлива пропорция , откуда х²+х-1=0,(х>0);} .

Рас. ΔОНВ-прямоуг., НОВ = 18⁰ ; sin18⁰ = sin18⁰ =

Подставляя вместо _{, получаем} sin18⁰ = .

7. _{Из пункта (5) следует АВ = :} = _{· =}

_{Ответ: чтобы при добавлении правильных пятиугольных пирамид к граням додекаэдра с ребром а получился малый звездчатый додекаэдр, нужно чтобы боковое ребро правильных пятиугольных пирамид равнялось .}

_{Выводы исследования}

«Кристаллические формы, исключительно примитивные с точки зрения художника, во всяком случае несут в себе нечто от эстетической привлекательности простоты: изучая эти элементарные формы, мы как бы приближаемся к самим основам понятия формы; пытаясь же понять принципы их строения, мы узнаем нечто о природе пространства, о мире, в котором мы живем. В нашем восприятии кристаллических форм есть нечто общее с впечатлением от египетских сфинксов или пирамид (огромная сила эстетического воздействия которых заключена в строгости их очертаний и в простоте) и что-то созвучное нашему отношению к суровости чистой математики».

Баранцев Тарас со своими фигурами.

Список литературы.

1. Винниджер М. «Модели многогранников» М.: Педагогика, 1975.

2. Смирнова И.М. «В мире многогранников» М.: Педагогика, 1990.

3. Энциклопедический словарь юного математика. − М.: Педагогика, 1989.

4. Александров А. Д. «Выпуклые многогранники»- Л., 1950;

5. Литвинова С. А. «За страницами учебника математики», ГЛОБУС,2007г.