Тест «Геометрический смысл производной».

Задания данного теста предназначены для проверки уровня знаний, умений и навыков по теме: «Геометрический смысл производной».

Задания данного теста соответствуют теории в пределах учебного материала за 10-11 классы. Тесты позволяют в 10 классе оценить степень и качество усвоения материала и могут помочь выпускникам при подготовке к ЕГЭ в 11 классе.

Задания по теме «Геометрический смысл производной» включены как в тесты профильного уровня, так и в тесты базового уровня. Решаются они мгновенно, вполне по силам даже самым слабым ученикам, но, как показывает практика, для безошибочного решения требуются тщательная отработка. При решении этих заданий никаких глубоких теоретических познаний не требуется, достаточно усвоить простой алгоритм и запомнить несколько определений.

В тесте представлены десять вариантов и ответы к ним, минимум теории. Первые восемь вариантов обучающие. В каждом содержится по 4 задания примерно одинакового уровня сложности. Они могут быть использованы для фронтальной работы и работы в парах. При работы с ними можно использовать вспомогательный материал из таблицы : «Выбери пояснение к заданию» .Тесты №9 и №10 содержат по 8 заданий и могут быть использованы для самоконтроля.

В тестах использованы задания для подготовки к ЕГЭ ( базовый и профильный уровень). Варианты сформированы из заданий, взятых из официальных источников:

- ЕГЭ портал 4ege.ru,

- math.reshuege.ru/ Образовательный портал для подготовки к экзаменам Дмитрия Гущина,

- тренировочные варианты от А.А. Ларина.

Алгоритм работы с тестом.

1. Читаем задание.

2. Смотрим, какой задан график - производной или функции.

3. Если задан график производной - выясняем знак:

• производная меньше нуля;

• производная больше нуля;

• производная равна нулю.

4. Если задан график функции - выясняем поведение функции :

• функция убывает ;

• функция возрастает;

• находим максимум и минимум функции.

5. Читаем внимательно вопрос к заданию. Что находим: количество точек, или сумму целых точек, или длину промежутка …?

6. Если в задаче дан график и касательная к нему, то на графике касательной найдём две «хорошие» точки, их координаты должны быть целочисленными. Они обязательно есть! Считаем количество клеток по осям и находим отношение катетов. Обязательно - отношение «ординаты» к «абсциссе». Определим знак этого отношения!

7. Если касательная параллельна оси ОХ, производная функции в точке касания равно нулю.

Тест «Геометрический смысл производной».

Вариант № 1

1

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−9;6].

2.

На рисунке изображён график производной y = f'(x) функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). В какой точке отрезка [−3; 1] функция y = f(x) принимает наименьшее значение?

3.

На рисунке изображён график производной функции и восемь точек на оси абсцисс: ,. В скольких из этих точек функция убывает?

4.

На рисунке изображен график y=f'(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Тест «Геометрический смысл производной».

Вариант № 2

1.

На рисунке изображен график производной функции. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

2.

На рисунке изображён график производной функции определенной на интервале (−8; 9). Найдите количество точек минимума функции принадлежащих отрезку [−4; 8].

3.

На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки убывания функции .

В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

4.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].

Тест «Геометрический смысл производной».

Вариант № 3

1.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

2.

На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y = f(x) параллельна прямой y = 6x или совпадает с ней.

3.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек экстремума функции на отрезке

4.

Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x₀, в которой функция принимает наименьшее значение, если f (−5) ≥ f (5).

Тест «Геометрический смысл производной».

Вариант № 4.

1.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наименьшее значение?

2.

На рисунке изображён график производной функции . На оси абсцисс отмечены шесть точек: , , , , . Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции

3.

На рисунке изображен график производной функции. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой или совпадает с ней.

4.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). В какой точке отрезка [−6; −1] функция f(x) принимает наибольшее значение?

Тест «Геометрический смысл производной».

Вариант № 5.

1.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

2.

На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке

3.

На рисунке изображён график функции и восемь точек на оси абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек производная функции положительна?

4.

На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Тест «Геометрический смысл производной».

Вариант № 6.

1.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

2.

На рисунке изображен график функции, определенной на интервале (-3;11) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = - 11

3.

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссойx₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

4.

.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней.

Тест «Геометрический смысл производной».

Вариант № 7.

1.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

2.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссойx₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке

3.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна

4.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Тест «Геометрический смысл производной».

Вариант № 8.

1.

На рисунке изображён график функции и двенадцать точек на оси абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

2.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

3.

На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f'(8).

4.

На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите f'(10).

Тест «Геометрический смысл производной».

Вариант № 9.

1.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

2.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].

3.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наименьшее значение?

4.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

5.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

6.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−9; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x − 19 или совпадает с ней.

7.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

8.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Тест «Геометрический смысл производной».

Вариант № 10.

1.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек минимума функции на отрезке .

2.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). В какой точке отрезка [−6; −1] функция f(x) принимает наибольшее значение?

3.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−9;6].

4.

Функция y = f(x) определена на промежутке (−6; 4). На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция y = f(x) принимает наибольшее значение.

5.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них

6.

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

7.

На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

8.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

Ответы на вопросы теста №1

1 задание

2 задание

3 задание

4 задание

1 вариант

2

1

5

- 19

2 вариант

- 3

2

- 18

5

3 вариант

44

5

3

3

4 вариант

- 7

2

5

- 1

Ответы на вопросы теста №2

1задание

2 задание

3 задание

4 задание

5 вариант

4

1

4

4

6 вариант

5

7

- 0,5

5

7 вариант

4

- 1,25

6

12

8 вариант

7

0,25

1,25

- 0,6

Ответы на вопросы теста №3

1 задание

2 задание

3 задание

4 задание

5 задание

6 задание

7 задание

8 задание

9 вариант

5

1

- 7

5

1,75

3

6

4

10 вариант

1

- 1

2

-2

3

- 0,25

- 2

- 3

Выбери пояснение к заданию

Задан график функции.

1.

Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют интервалам, на которых ее производная положительна.

2.

Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция возрастает.

3.

Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна

4.

Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает.

5.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A , B , C .Тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс будет равен тангенсу угла ACB:

6.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная параллельна прямой y = кx + в или совпадает с ней, значит их угловые коэффициенты равны «к». Найдем количество точек, в которых y'(x₀) = к, это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = к.

7.

Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона данной касательной с положительным направлением оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; −2), B (−2; −5), C (4; −5). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

.

8.

Касательная параллельна прямой y = к или совпадает с ней, следовательно их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции.

Выбери пояснение к заданию.

Задан график производной

1.

В точки максимума производная равна нулю. В этих точках происходит смена знака производной с плюса на минус. Производная меняет знак в точках, лежащих на оси абсцисс.

2.

Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. В этих точках производная равна нулю, точки лежат на оси абсцисс.

3.

На заданном отрезке производная функции положительна, поэтому функция на этом отрезке возрастает. Наибольшее значение функции достигается на правой границе отрезка.

4.

Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна. Наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка.

5.

Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна. Поэтому наименьшее значение функции достигается на правой границе отрезка,

6.

Убыванию функции соответствуют отрицательные значения её производной. Производная отрицательна в точках лежащих ниже оси абсцисс, их ординаты отрицательны.

7.

На заданном отрезке производная функции положительна, следовательно функция на этом отрезке возрастает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка.

8.

Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной. Производная меняет знак в точках лежащих на оси абсцисс.

9.

Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная положительна. Производная положительна в точках лежащих выше оси абсцисс, их ординаты положительны.

10.

В точках максимума и минимума производная равна нулю. Эти точки лежащих на оси абсцисс. Найдём сумма точек экстремума.

11.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Касательная параллельна прямой y = кx + в или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны «к». Найдем количество точек, в которых y'(x₀) = к, это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = к.