КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ

Теория вероятностей и математическая статистика

Программа, методические указания и контрольные задания

Составители: Демир Н.Р.

В работе излагаются основные понятия теории вероятности и математической статистики. Предложено большое количество примеров, поясняющих основные положения теоретического курса. Представлены варианты контрольных работ для самостоятельного изучения материала.

Методические указания предназначены для студентов очного и заочного отделения специальностей:

38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям);

38.02.05 Товароведение и экспертиза качества потребительских товаров;

19.02.10 Технология продукции общественного питания (базовой подготовки).

Содержание

Введение

Программа

§ 1. Элементы комбинаторики

§ 2. Основные понятия теории вероятностей

§ 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей

§ 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса

§ 5. Формула Бернулли

§ 6. Локальная теорема Лапласа

§ 7. Интегральная теорема Лапласа

§ 8. Формула Пуассона

§ 9. Дискретные случайные величины.

Закон распределения дискретной случайной величины

§ 10.Числовые характеристики дискретной случайной величины.

§ 11.Непрерывные случайные величины .

Функция распределения вероятностей. Плотность вероятностей.

§ 12.Равномерное и нормальное распределение.

§ 13.Статистическое распределение выборки

§ 14.Эмпирическая функция распределения

§ 15.Полигон и гистограмма

§ 16.Точечные оценки

§ 17.Интервальные оценки

§ 18.Решение типовых задач по математической статистике

§ 19.Элементы теории корреляции

Задачи для контрольной работы

Контрольные вопросы

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Рекомендуемая литература

ВВЕДЕНИЕ

Данные методические указания предназначены для студентов заочных отделений сельскохозяйственных вузов.

Работа содержит программу, методические указания для выполнения контрольных работ, контрольные работы, большое количество примеров.

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом. В конце работы предложена литература по теории вероятности и математической статистики. Хочется порекомендовать следующие замечательные книги [4] и [5], в которых студент сможет найти ответы на все вопросы изучаемого курса теории вероятностей и математической статистики.

В каждом параграфе приведены примеры, пояснение изучаемого вопроса. Надеемся, что рассмотрение этих примеров поможет студентам-заочникам при решении контрольных заданий.

Задачи одного варианта оканчиваются на одну и ту же цифру, совпадающую с последней цифрой номера зачетной книжки. Например, если номер зачетной книжки оканчивается на 6, то все задачи № 06, 16, 26,… входят в контрольную работу варианта № 6.

При оформлении контрольной работы решение задач следует излагать по порядку, подробно, предварительно полностью переписав задание. Работа оформляется на листах формата А4 с одной стороны.

В некоторых случаях (в зависимости от специальности) преподаватель может исключить из контрольной работы те или иные задачи для каждого варианта.

Программа

1. Основы комбинаторики.

2. Случайные события. Алгебра событий.

3. Классическое определение вероятности события.

4. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

5. Полная группа событий.

6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

7. Формула Бернулли.

8. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

9. Формула Пуассона.

10. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины

11. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

12. Функция распределения непрерывной случайной величины и её свойства.

13. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.

14. Плотность распределения и её свойства.

15. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

16. Равномерное распределение.

17. Нормальное распределение.

18. Формулировка центральной предельной теоремы.

19. Статистическое распределение выборки.

20. Эмпирическая функция распределения.

21. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.

22. Выборочные средняя и дисперсия.

23. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность), доверительный интервал.

24. Элементы теории корреляции.

1. Элементы комбинаторики

Общие правила комбинаторики.

Рассмотрим k множеств М, М, М, …, М, содержащих по m, m, m,…, m элементов соответственно. Выбирается по одному элементу из каждого множества и составляется еще одно множество. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества, равно произведению m∙ m∙ m∙…∙ m. В этом и состоит основной принцип произведения комбинаторики.

В задачах теории вероятностей часто рассматриваются различные соединения (комбинации) k элементов из множества, содержащего n элементов (k≤n). Будем рассматривать такие соединения, в которые каждый элемент данного множества может входить не более одного раза, то есть соединения без повторений. Рассмотрим три вида соединений: размещения, перестановки, сочетания.

Определение. Размещениями из n элементов по k элементов называются наборы k элементов, отличающиеся один от другого или самими элементами (составом элементов), или их порядком. Число размещений обозначается A.

Число размещений из n элементов по k элементов находится по формуле:

А=n∙(n-1)∙(n-2)∙…∙(n-(k-1)). (1)

Определение. Перестановками из данных n элементов называются наборы из n элементов, различающихся только порядком.

Перестановки - это частный случай размещений. Число всех перестановок обозначают символом Р. Число Р найти несложно. Для этого в формулу (1) подставляем k=n.

Р=n∙(n-1)∙(n-2)∙…∙(n-(k-1))∙…∙2∙1=n!

Определение. Произведение n первых натуральных чисел называется факториалом числа n и обозначается символом n!(читается «эн факториал»).

Р=1·2·3 …∙n=n! (2)

Приведем некоторые значения факториала:

0!=1, 5!= 1·2·3·4∙5=120,

1!=1, 6!= 1·2·3·4∙5∙6=720,

2!=1·2=2, 7!= 1·2·3·4∙5∙6∙7=5040,

3!=1·2·3=6, 8!= 1·2·3·4∙5∙6∙7∙8=40320,

4!=1·2·3·4=24, 9!= 1·2·3·4∙5∙6∙7∙8∙9=362880.

Определение. Сочетаниями, содержащими k элементов, выбранных из n элементов заданного множества, называются всевозможные наборы k элементов, различающиеся хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначают Сили (.

Число сочетаний из n элементов по k элементов определяется формулой:

С=

Примеры решения задач.

1. Определить, сколько трехзначных чисел можно составить из множества цифр 7,8,9,3,2 без повторений.

Решение. Трехзначные числа можно рассматривать как размещения, так как при замене одной цифры другой или перестановке их местами получаются разные числа. Так как n=5, k=3, то различных чисел будет:

А =5·4·3=60.

2. К кассе за получением (или для уплаты) денег подошли одновременно 4 человека. Сколькими способами они могут выстроиться в очередь?

Решение. Очередь состоит из 4 различных лиц, поэтому в каждом способе составления очереди учитывается порядок их расположения. Таким образом, имеют место перестановки из четырёх человек, их число равно:

Р₄ = 4! = 24.

3.В цехе 18 человек, из них 10 мужчин. На конференцию отбирают 6 человек так, что было 3 мужчины и 3 женщины. Сколько различных списков можно составить?

Решение. 3-х мужчин из 10 человек можно отобрать С различными способами, 3-х женщин из 8 можно отобрать С различными способами. Следовательно, 3-х женщин и 3-х мужчин можно отобрать С · С- различными способами.

Найдем: С ==,

С ==.

Итого, число различных списков:

С ∙ С = 120 · 54 = 6480.

§2. Основные понятия теории вероятностей

Определение. Результат некоторого опыта или эксперимента, который нельзя заранее предсказать назовем случайным событием.

События обозначаются большими латинскими буквами: А, В, С,…

Примеры наиболее часто встречающихся испытаний и событий приведены в таблице.

Определение. Достоверным назовем событие, которое обязательно произойдет в результате опыта.

Например, из урны с 20 красными шарами обязательно будет вынут красный шар.

Определение. Невозможным назовем событие, которое заведомо не произойдет в результате опыта.

Например, из урны с 20 красными шарами не будет вынут зеленый шар.

Испытания

События

1. Бросание монеты.

2. Бросание игральной кости.

3. Извлечение карты из колоды.

4. Извлечение шара из урны.

5. Стрельба по мишени.

6. Учащийся отвечает на вопросы теста.

7. Сажаются семена томата определённого сорта.

1. Выпал герб (орёл); выпала цифра (решка).

2. Выпало 5 очков; выпало 3 очка; выпало чётное число очков; выпало не менее 3-х очков, ...

3. Извлекли бубновую карту; достали туза; вытащили даму пик; извлекли не старше дамы, …

4. Извлекли белый шар; извлекли зелёный шар; вытащили шар с номером 2; …

5. Попадание, промах; выбито 9 очков, …

6. Правильно ответил на все вопросы; на половину вопросов; хотя бы на один вопрос, …

7. Взойдут 9 семян; все взойдут; взойдет не менее 5 семян, …

Очевидно, что ряд таких примеров можно продолжать долго. В разряд испытаний можно отнести процессы, с которыми сталкиваемся достаточно регулярно, например: наблюдение за погодой (здесь событиями являются - ясный день, дождь, снег, ветер и т.д.); выход на работу в определенный день (приход на работу вовремя; опоздание; отгул и т.д.); нахождение в неблагоприятных условиях, при которых можно получить некоторое заболевание (заразиться гриппом; простыть на сквозняке; получить профзаболевание или травму на производстве и т.д.)

Определение. События А и В называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого, в противном случае события называются совместными.

Рассмотрим пример. События: А - из колоды вынута крестовая карта, В - из колоды вынута бубновая карта, D - из колоды вынута дама.

События А и В - несовместные. События А и D - совместные, так как из колоды может быть вынута дама крестей, в этом случае произойдет и событие А - крестовая карта, и событие D - дама.

Определение. События А и называются противоположными, если событие происходит всякий раз, когда не происходит событие А и наоборот.

Например, событие А- выпал герб при бросании монеты и событие - выпала цифра- противоположное.

Определение. События называются равновозможными, если нет основания считать, что одно из них произойдет скорее, чем другое.

Определение. Элементарными событиями назовем все результаты испытания, которые являются попарно несовместными и равновозможными. Те элементарные события, в которых наступает событие А, назовем благоприятствующими появлению события А.

Определение. Вероятностью события А (обозначается Р(А)) называется отношение числа m благоприятствующих исходов к общему числу n элементарных исходов опыта (классическое определение вероятности).

Итак, вероятность события А определяется формулой:

Р(А)= ,

где m - число элементарных событий, благоприятствующих событию А, n - число всех элементарных исходов испытания.

Например, в урне 10 красных и 7 зеленых шаров, достаем 1 шар. Рассмотрим события: А - из урны вынут красный шар, В - из урны вынут зеленый шар. Найдём вероятности этих событий.

Решение: всего в урне 17 шаров, тогда n = 17. Благоприятствующими исходами для события А будет извлечение любого из 10 красных шаров, то есть m = 10, таким образом Р(А)=; аналогично, Р(В)=.

Пример. На конференцию из группы студентов из 20 человек (8 девушек, 12 юношей) отбирают 5 человек. Найти вероятность следующих событий:

А - среди отобранных студентов одни юноши,

В - среди отобранных студентов одни девушки,

С - среди отобранных 2 девушки и 3 юношей.

Решение. Заметим, что общее число исходов для всех трех событий будет одинаковым n= C.

Число благоприятствующих исходов: m_А = C, m_В = C, m_С = C∙С.

Следовательно, получаем вероятность появления события А:

Р(А)== ==

=== 0,051.

Найдем вероятность появления события В.

Р(В)===== =0,006

Аналогично получаем:

Р(С)== ===

== 0,0795.

Заметим, что вероятность достоверного события равна 1, а вероятность невозможного равна 0. Вероятность случайного события А заключена между 0 и 1. Итак, для любого события верно неравенство: 0 ≤ Р(А) ≤ 1.

§3. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Определение. Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А или события В, или обоих этих событий.

В частности, если события А и В несовместные, то А + В - событие, состоящее в появлении только одного из этих событий.

Определение. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Следствие: вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А+А+…+А) = Р(А) + Р(А) + … + Р(А)

Пример. В ящике 15 деталей, среди которых 5 окрашенных. Сборщик наудачу достает 3 детали. Найти вероятность того, что из трех взятых деталей окрашенной окажется хотя бы одна деталь.

Решение. Требование - хотя бы одна из трёх деталей окрашена - будет осуществлено, если произойдет любое из следующих 3 несовместных событий: В - одна деталь из трех окрашена, С - две детали из трех окрашены, D - три детали окрашены. Интересующее нас событие А можно представить в виде суммы событий: А = В + С + D, и по теореме о вероятности суммы несовместных событий получаем

Р(А) = Р(В) + Р(С) + Р(D).

Р(B) = = = 0,495;

Р(С) = = = 0,220;

Р(D) = = = 0,022;

тогда Р(А) = Р(В) + Р(С) + Р(D) = == 0,736.

(Если сложить числа 0,495, 0,220 и 0,022, то получится 0,737, что не равно 0,736. Погрешность получается в результате округлений.)

Определение. Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления одного из них не меняется от появления или непоявления другого и наоборот.

Пример. Рассмотрим две урны с шарами. В каждой урне по 5 красных и 6 синих шаров. Из каждой урны один за другим вынимаются два шара, но в первой урне шары возвращаются (урна с возвратом), а во второй урне не возвращаются (урна без возврата). Рассмотрим событие А - второй вынутый из урн шар красный. В первом случае (с возвратом) вероятность события А не зависит от того каким был вынут первый шар (красный или синий), а во второй урне (без возврата) вероятность события А зависит от того, какой был вынут первый шар (красный или синий).

Условную вероятность появления события В при условии, что произошло событие А обозначим символом:

Р(А) или P(A/B).

Определение. Произведением двух событий А и В называют событие А∙В, состоящее в совместном появлении этих событий. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Р(А ∙ В) = Р(А) · Р(В)

Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило:

Р(А ∙ В) = Р(А) · Р(В) = Р(В) ∙ Р(А)

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А ∙ В).

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий.

§4. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Определение. Будем говорить, что события В, В, …, В образуют полную группу событий, если:

1. Событие В+ В+ …+ В достоверное;

2. События В_i и В_j - попарно несовместные (i= 1,2,…,n, j= 1,2,…,n, ij).

Утверждение. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна 1.

Пример. Студент на экзамене может получить одну из четырех оценок: «отлично», «хорошо», «удовлетворительно» и «неудовлетворительно». События - получил «отлично»,

- получил «хорошо»,

- получил «удовлетворительно»,

- получил «неудовлетворительно»

попарно несовместные и в сумме - событие достоверное, так как обязательно происходит одно из этих событий. Следовательно, события В, В, В, В₄ образуют полную группу событий.

Для нахождения вероятности события А, которое может произойти при условии осуществления одного из несовместных событий В, В, …, В, образующих полную группу, используется формула:

Р(А)=

Эта формула называется формулой полной вероятности.

События В, В, …, В называются гипотезами.

Пример. В урну, содержащую два шара, опущен зеленый шар. Найти вероятность того, что будет вытащен из урны зеленый шар, если равновероятны первоначальные представления о цвете шаров.

Решение. Событие А- извлечен зеленый шар.

Возможны следующие гипотезы о первоначальном составе шаров:

В- первоначально зеленых шаров не было в урне;

В- был 1 зеленый шар;

В- оба шара зеленые.

По условию задачи гипотезы равновероятны и образуют полную группу событий, следовательно, вероятность каждой из гипотез равна ⅓, то есть Р(В)= Р(В) = Р(В) = ⅓. Тогда условные вероятности наступления события А при появлении каждой из гипотез будут соответственно равны:

Р(А) = ⅓; Р(А) = ⅔; Р(А) =1.

Отсюда по формуле полной вероятности получаем:

Р(А) = Р(В) · Р(А) + Р(В) · Р(А) + Р(В) · Р(А).

Р(А) = ⅓ · ⅓ + ⅓ · ⅔ + ⅔ · 1 = ⅔.

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В, В, …, В, образующих полную группу событий.

Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез В, В, …, В могут быть переоценены по следующей формуле:

Р(B)=,

где i = 1, 2, 3,…, n.

Эта формула называется формулой Байеса.

Пример. Два автомата производят одинаковые детали, поступающие на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй 84%. Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь сделана первым автоматом.

Решение. Рассмотрим событие А - деталь отличного качества.

Можно составить две гипотезы:

В- деталь сделана первым автоматом, причем Р(В) = ⅔, так как его производительность вдвое больше производительности второго автомата.

В- деталь сделана вторым автоматом, причем Р(В) = ⅓.

Условная вероятность появления события А при выполнении гипотезы В равна Р(А) = 0,6.

Условная вероятность появления события А при выполнении гипотезы В равна: Р(А) = 0,84.

Отсюда вероятность появления события А равна:

Р(А) = ⅔ · 0,6 + ⅓ · 0,84 = 0,68.

Тогда вероятность того, что деталь отличного качества сделана первым автоматом, по формуле Байеса равна:

Р(В) = =.

§5. Формула Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же, а именно равна р (0< p < 1). Следовательно, вероятность непоявления события А в каждом испытании также постоянна и равна q = 1 - p.

Часто возникает задача вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит ровно k раз.

Искомая вероятность обозначается P(k).

Например, символ Р (3), означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.

Поставленную задачу можно решить с помощью так называемой формулы Бернулли.

P(k) =,

где .

Вероятности того, что в n испытаниях событие наступит : а)менее t раз; б) более t раз; в) не менее t раз; г) не более t раз находят соответственно по формулам :

a) P(0) + P(1)+…+ P(t-1)= P(k

б) P(t+1) + P(t+2) + … + P(n) = P(k>t),

в) P(t) + P(t +1) + … + P(n) = P(k≥t),

г) P(0) + P(1) +… + P(t) = P(k≤t).

Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р=0,7. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжении каждых из 6 суток постоянна и равна р=0,7. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q =1 - p = 1 - 0,7 = 0,3.

Из условия задачи следует, что n = 6; k=4.

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна:

.

§6. Локальная теорема Лапласа

Формула Бернулли позволяет вычислить вероятность того, что событие появиться в n испытаниях ровно k раз: P(k) =

При применении формулы учитывается, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно.

Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, если число испытаний велико, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно.

Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Локальная теорема Лапласа.

Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n):

Р(k) =

где φ(x) = ; q = 1 - p.

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции φ(x)= ,

соответствующие положительным значениям аргумента x (см. приложение 1).

Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как φ(х) - функция четная, то есть φ(-x) = φ(x).

Пример. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании

равна 0,2.

Решение. По условию, n=400; k=80; p=0,2; q=0,8.

Воспользуемся формулой Лапласа:

Р(80)≈.

Вычислим определяемое данными задачи значение х:

x = (k-np) / = (80 - 400 ∙ 0,2) / 8 = 0

По таблице приложения 1 находим φ(0)=0,3989.

Искомая вероятность:

Р(80)= (1/8)∙0,3989=0,04986.

Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки ввиду их громоздкости опущены): Р(80)=0,0498.

§7. Интегральная теорема Лапласа

Вновь предположим, что производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0<p<1). Как вычислить вероятность P(k,k) того, что событие А появится в n испытаниях не менее k и не более k раз (для краткости будем говорить «от kдо kраз»)? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже.

Интегральная теорема Лапласа.

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P(k, k) того, что событие А появится в n испытаниях от kдо k раз, приближенно равна определенному интегралу:

,

где и .

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл , не выражается через элементарные функции. Таблица для функции Φ(х) = приведена в приложении 2. В таблице даны значения функции Ф(х) для неотрицательных значений х; для х<0 пользуются той же таблицей, так как Ф(х) - функция нечетная: Ф(-х) = - Ф(х). В таблице приведены значения функции лишь до х = 5, так как для x>5 можно принять Ф(х) = 0,5. Функцию Ф(х) часто называют функцией Лапласа.

Пример. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100.

Решение. По условию р = 0,2; q=0,8; n= 400; k=70; k=100.

Вычислим верхний и нижний пределы интегрирования:

.

Таким образом, получаем:

P(70; 100) = Ф (2,5) - Ф(-1,25) = Ф (2,5) + Ф(1,25),

так как Ф(-1,25) = -Ф (1,25).

По таблице приложения 2 находим:

Φ(2,5) = 0,4938, Φ(1,25) = 0,3944.

Искомая вероятность: P(70; 100) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

§8. Формула Пуассона

Пусть производится n независимых испытаний¸ в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности k появлений события в испытаниях используют формулу Бернулли. Если же n велико, то пользуются асимптотической локальной формулой Лапласа. Однако, эта формула непригодна, если вероятность события мала (р ≤ 0,1). В этих случаях (n велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Итак, поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз. Сделаем важное дополнение: произведение n∙p сохраняет постоянное значение, а именно, n∙p=λ.

Формула Пуассона имеет вид:

,

где λ=n∙p.

Эта формула выражает закон Пуассона распределения вероятностей массовых (n велико) и редких (р мало) событий.

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредиться равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут три негодных изделия.

Решение. По условию n=5000; р = 0,0002; k = 3. Найдем λ:

λ = n ∙ p= 5000 ∙ 0,0002 = 1.

Искомая вероятность по формуле Пуассона равна:

§9. Дискретные случайные величины.

Закон распределения дискретной случайной величины

Определение. Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями.

То есть, возможные значения дискретной случайной величины можно перенумеровать. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счетным).

Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, первая строка которой возможные значения x_i, а вторая-вероятности p_i.

В случае, когда множество значений дискретной случайной величины конечно, сумма вероятностей равна единице:

.

Если множество возможных значений случайной величины х бесконечно (счетно), то закон распределения будет иметь следующий вид:

где ряд сходится и его сумма равна единице:

=1.

Закон распределения дискретной случайной величины х может быть также задан аналитически

P(Х = ) = ()

или с помощью функции распределения.

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки M₁(x₁;p₁), M₂(x₂;p₂), …, M_n(x_n;p_n) (x_i- возможные значения, p_i - соответствующие вероятности) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Пример 1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х

1

3

6

8

Р

0,2

0,1

0,4

0,3

Построить многоугольник распределения.

Решение. Построим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения x_i, а по оси ординат-соответствующие вероятности p_i.

Построим точки M₁(1; 0,2), M₂(3; 0,1), M₃(6; 0,4) и M₄(8; 0,3). Соединив эти точки отрезками, получим искомый многоугольник распределения.

Рис.1 Многоугольник распределения.

Пример 2. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в первом опыте равна 0,1. составить закон распределения числа отказавших элементов в первом опыте.

Решение. Дискретная случайная величина Х (число отказавших элементов в первом опыте) имеет следующие возможные значения: = 0 (ни один из элементов устройства не отказал), = 1 (отказал один элемент), = 2 (отказали два элемента), = 3 (отказали три элемента).

Отказы элементов независимы один от другого, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что по условию n = 3, p = 0,1 (следовательно, q = 1 - 0,1 = 0,9), получим:

P₃(0) = q³ = 0,9³ = 0,729;

P₃(1) = C∙p¹∙q³ = 3 ∙ 0,1 ∙ 0,9³ = 0,243;

P₃(2) = С∙р²∙q¹ = 3 ∙ 0,1² ∙ 0,9 = 0,027;

P₃(3) = p³ = 0,1³ = 0,001.

Контроль: 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1.

Получаем закон распределения:

§10. Числовые характеристики дискретной случайной величины

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины М(Х) называется число, равное сумме произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности их появления:

М(Х) = x₁ ∙ p₁ + x₁ ∙ p₁ + … + x_n ∙ p_n

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М(С) = С.

2. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых (то же относится к разности):

М(Х ± У) = М(Х) ± М(У).

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М(Х∙У)=M(Х) ∙ M(У).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(С∙Х)=С∙М(Х).

Определение. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(Х)=M[Х-M(Х)]².

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:

D(Х)=M(Х²)-[M(Х)]².

Доказательство. Математическое ожидание М(Х) есть постоянная величина, следовательно, 2∙М(Х) и М²(Х) есть также постоянные величины. Приняв это во внимание и пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), упростим формулу, выражающую определение дисперсии:

D(X) = M[X-M(X)]² = M[X² - 2∙X∙M(X)+M²(X)] = M(X²)-2∙M(X)∙M(X)+M²(X) =

=M(X²) - 2M²(X) + M²(X) = M(X²) - M²(X).

Итак,

D(X) = M(X²) - [M(X)]².

Квадратная скобка введена в запись формулы для удобства ее запоминания.

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

D(C) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D(C∙X)=C² ∙ D(X).

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(X + Y) = D(X) + D(Y).

4. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

D(X + С) = D(X).

Пример1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х

-5

2

3

4

Р

0,4

0,3

0,1

0,2

Решение. Найдем математическое ожидание Х:

М(Х) = -5 ∙ 0,4 + 2 ∙ 0,3 + 3 ∙ 0,1 + 4 ∙ 0,2 = - 0,3.

Дисперсию можно вычислить, исходя из ее определения, однако воспользуемся формулой:

D(X) = M(X²) - [M(X)]²,

которая быстрее ведет к цели.

Напишем закон распределения Х²:

Х

25

4

9

16

Р

0,4

0,3

0,1

0,2

Найдем математическое ожидание Х²:

М(Х²) = 25 ∙ 0,4+4 ∙ 0,3+9 ∙ 0,1+16 ∙ 0,2 = 15,3.

Найдем искомую дисперсию:

D(X) = M(X²) - [M(X)]² = 15,3 - (-0,3)² = 15,21.

Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

σ(Х) = =3,9.

Определение. Дискретная случайная величина Х, вероятности значений которой находятся по формуле Бернулли, называется распределённой по биномиальному закону. В таком случае говорят, что Х имеет биномиальное распределение.

Теорема.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределённой по биномиальному закону, вычисляются по формулам:

М(Х) = n∙p, D(X) = n∙p∙q, (X) =,

где n - число испытаний;

р - вероятность появления события

q - вероятность непоявления события.

§11. Непрерывные случайные величины.

Функция распределения вероятностей. Плотность вероятностей

Определение. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Для непрерывной случайной величины вводится понятие функции распределения.

Определение. Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют функцию F(х), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее x, то есть

F(х) = P(X < x)

Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения».

Свойства функции распределения:

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]:

0 ≤ F(х) ≤ 1.

2. Функция распределения есть неубывающая функция, то есть

если x> x,

то F(x) ≥ F(x).

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале [a; b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a).

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю:

Р(Х = x)=0.

5. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то

F(x) = 0 при х ≤ a;

F(х) = 1 при х ≥ b.

6. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси Ox, то справедливы следующие предельные соотношения:

.

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения:

f(x) = F'(x).

Часто вместо термина «плотность распределения вероятностей» используют термин «плотность вероятностей» и «дифференциальная функция».

Свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна в любой точке оси Ох:

f(x)≥0 при х(- ∞; +∞).

2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), определяется равенством:

P(a < X < b) = .

3. Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения:

F(x)= .

4. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до +∞ равен единице:

dx = 1.

5. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a;b), то

= 1.

Определение. Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством

М(Х)=,

где f(x) - плотность распределения случайной величины Х.

Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу (a;b), то

М(Х)=.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М(С)=С.

2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

4. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

.

Определение. Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

D(x)=

Как и в случае с дискретной случайной величиной, можно показать, что

D(x)=

В частности, если все возможные значения Х принадлежат интервалу (a;b), то

D(X)=

или

D(X)=.

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

D(C) =0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

D(CХ)=CD(Х).

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

.

4. Дисперсия произведения независимых случайных величин равна произведению дисперсий сомножителей:

.

5. Дисперсия суммы постоянной и независимой случайной величины равна квадрату постоянной на дисперсию независимой случайной величины:

.

Пример. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х

Требуется найти:

1. график F(x),

2. плотность f(x),

3. график f(x),

4. математическое ожидание М(Х),

5. дисперсию D(Х),

6. среднее квадратическое отклонение σ,

7. Р(Х < -2), P( ≤ Х < 1) P(Х ≥ ).

Решение.

1. Построим график функции распределения

F(x)

1

0 2 X

Рис. 2. График функции распределения.

2. Так как плотность f(x) равна первой производной от функции распределения

f(x)= F′(х),

то найдем производные от каждой из функций, составляющих функцию F(x):

.

Тогда получаем функцию f(x):

f(x)=

3. Построим график плотности f(x)

Рис. 3. График плотности f(x).

Заметим, что при х=0 производная F′(х) не существует.

4. Найдем математическое ожидание непрерывной случайной величины Х:

М(Х)== ====.

5. Чтобы найти дисперсию непрерывной случайной величины Х, найдём математическое ожидание случайной величины Х:

М(Х)== = ==2.

Дисперсию найдем по формуле:

D(Х) = M(Х) - M(Х) = 2─= 2 ─1,78 = 0,22.

6. Среднее квадратическое отклонение σ найдем по формуле:

σ(X) === 0,47.

7. Найдем вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала (- ;- 2), то есть Р(Х< - 2):

Р(Х< - 2) = F(- 2) = 0,

Вторую вероятность Р(≤ Х < 1) найдём по формуле Р(a ≤ Х < b)= F(b) - F(a):

Р(≤Х<1)= F(1) - F()=.

Так как события и противоположные, то вероятность события находится по формуле:

Р=1- Р=1- F=1- .

§ 12 Равномерное и нормальное распределения

Равномерное распределение

Определение. Будем говорить, что распределение вероятностей непрерывной случайной величины является равномерным распределением, если плотность вероятности случайной величины Х имеет вид:

f(x)=

Найдем значение с.

Так как плотность вероятности удовлетворяет условию:

=1,

то получаем:

.

Так как f(x)=c на промежутке [a;b], то , следовательно, c =.

Итак, равномерно распределённая случайная величина имеет плотность вероятности:

f(x)=

Пример. Если распределение случайной величины Х - равномерное и задан отрезок [2;8], то b - a = 8 - 2 = 6 и

f(x)=

Найдем числовые характеристики равномерного распределения.

1. Математическое ожидание равномерного распределения.

М(Х)==.

Пример. Для предыдущей задачи найдем математическое ожидание

М(Х)= .

2. Дисперсия равномерного распределения.

D(Х) ==

=.

Пример. Для предыдущей задачи найдем дисперсию:

D(Х) =.

Нормальное распределение

Определение. Случайная величина Х имеет нормальный закон распределения, если ее функция плотности вероятности имеет вид:

f(x)=,

где σ и a- параметры распределения.

Определение. График функции f(x) называется нормальной кривой или кривой нормального распределения.

Методами дифференциального исчисления можно установить, что:

1. кривая симметрична относительно прямой х=a;

2. функция имеет максимум при х=a f(a)= ;

3. по мере удаления х от точки a функция убывает и при х→∞ кривая приближается к оси Ох;

4. кривая выпукла вверх при х є (a- σ; a + σ) и

выпукла вниз при х є (- ∞; a - σ) и х є (a + σ; + ∞).

f(x)

0 a X

Рис. 4. Кривая нормального распределения.

Замечание. Форма кривой изменяется с изменением параметра σ. С возрастанием σ кривая f(x) становится более пологой и растянутой вдоль оси Ох.

Значениям случайной величины, близким к математическому ожиданию, соответствует большая плотность вероятности, то есть малые отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания встречаются чаще, чем большие.

Так как случайная величина определена на всей числовой оси, то при вычислении числовых характеристик рассматривается интеграл на промежутке (- ∞; +∞). Можно показать, что:

М(Х) ==,

D(Х)=,

σ(Х) = σ.

Свойства нормального распределения.

1. Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β), находится по формуле:

Р(α < Х < β) = Ф-Ф,

где Φ(х) - функция Лапласа (см. приложение 2).

2. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ находится по формуле:

Р(<δ)=2Ф().

В частности при a=0 справедливо равенство:

Р(<δ)= 2Ф().

Правило «3 σ».

Для нормально распределенной случайной величины велика вероятность того, что при однократном испытании отклонение величины от ее математического ожидания не превышает среднего квадратического отклонения.

Преобразуем формулу Р(<δ)=2Ф(), положив δ=σ·t. В итоге получим

Р(<σ·t)=2Ф(t).

Если t=3 и, следовательно, σ·t=3σ, то <=, то есть вероятность того, что отклонение от математического ожидания по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973. Это и есть правило «3 σ».

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027.

Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти, что значения нормально распределенной случайной величины выйдут за пределы интервала (a - 3σ; a + 3σ). Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий, можно считать практически невозможным. В этом и состоит сущность правила трех сигм.

Пример 1. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х равны соответственно 11 и 4. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенного в интервале (19;23).

Решение. Воспользуемся формулой:

Р(α<Х<β)=Ф-Ф.

По условию, α = 19; β = 23; а = 11; σ = 4, тогда

Р(19<Х<23)=Ф- Ф= Ф(3) - Ф(2).

По таблице приложения 2 находим: Ф(3)=0,49865, Ф(2)=0,4772.

Найдем искомую вероятность (вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (19;23)):

Р(19<Х<23)=0,49865 - 0,4772=0,02145.

Пример 2. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно 5 и среднее квадратическое отклонение равно 2. Написать плотность вероятности Х.

Решение. Плотность нормально распределенрон случайной величины Х имеет вид:

f(x)=.

Подставив a=5 и σ=2, получим:

f(x)=.

§13. Статистическое распределение выборки

Пусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака Х из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение x₁ наблюдалось n₁ раз, значение x₂ наблюдалось n₂ раз, …, значение x_k наблюдалось n_k раз.

Наблюдаемые значения x_i (i = 1, 2, …, n) признака Х называют вариантами, а последовательность всех вариант, записанных в возрастающем порядке, - вариационным рядом. Числа наблюдений n_i называют частотами, их сумма ─ объем выборки. Отношения частот к объему выборки ─ относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант x_i вариационного ряда и соответствующих им частот n_i (сумма всех частот равна объему выборки n) или относительных частот W_i (сумма всех относительных частот равна единице). Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике - соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами (или относительными частотами).

Пример. Задано распределение частот выборки объема n = 20:

В данной выборке получены следующие варианты x₁ = 2; x₂ = 6; x₃ = 12,

соответствующие частоты n₁ = 3; n₂ = 10; n₃ = 7.

Напишем распределение относительных частот.

Решение. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки = 3 + 10 + 7 = 20.

─ относительные частоты:

Напишем распределение относительных частот:

Контроль: сумма всех относительных частот равна единице:

.

§14. Эмпирическая функция распределения

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака Х. Введем обозначения: ─ число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньше х; n - общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события Х<х равна . Если х изменяется, то, вообще говоря, изменится и относительная частота, то есть относительная частота есть функция от х. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Определение. Эмпирическая функция распределения (функция распределения выборки) - функция F^*(x), определяющая для каждого значения х относительную частоту события X<x.

,

где ─ число вариант, меньших х; n - объем выборки.

Например, для того чтобы найти F^*(x₂), надо число вариант, меньших x₂, разделить на объем выборки:

.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F(x) определяет вероятность события X<x, а эмпирическая функция F^*(x) определяет относительную частоту этого же события.

Из теоремы Бернулли следует, что относительная частота события X<x, то есть F^*(x), стремится по вероятности к вероятности этого события, то есть к значению F(x). Другими словами, при больших значениях n числа F^*(x) и F(x) мало отличаются одно от другого в том смысле, что . Уже отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности. Такое заключение подтверждается и тем, что F^*(x) обладает всеми свойствами F(x).

Из определения функции F^*(x) вытекают следующие ее свойства:

1. Значения эмпирической функции принадлежит отрезку [0; 1];

2. F^*(x) - неубывающая функция;

3. Если x₁ ─ наименьшая варианта, то F^*(x) = 0 при х < х₁;

если х_k ─ наибольшая варианта, то F^*(x) = 1 при х > x_k.

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Пример. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Решение. Найдем объем выборки (сумма всех частот n_i):

n = n₁ + n₁ + n₁ = 12 + 18 + 30 = 60.

Наименьшая варианта равна 2 (x₁ = 2), следовательно, F^*(x) = 0 при х ≤ 2 (по свойству 3 функции F^*(x));

значения, меньшие 6 (х<6), а именно x₁ = 2, наблюдались n₁ = 12 раз, следовательно, при 2<x≤6;

значения х<10, а именно x₁ = 2, x₁ = 2 наблюдались n₁ + n₂ = 12 + 18 = 30 раз, следовательно при 6<х≤10.

Так как х =10 - наибольшая варианта, то F^*(x) = 1 при х>10 (по свойству 4 функции F^*(x)).

Искомая эмпирическая функция имеет вид:

Ниже приведен график полученной эмпирической функции.

На графике на соответствующих осях откладывают значения функции F^*(x) и интервалы вариант

Рис. 5. График эмпирической функции.

§15. Полигон и гистограмма

Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.

Определение. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁, n₁), (x₂, n₂), …, (x_k, n_k).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат - соответствующие им частоты n_i. Точки (x_i, n_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Определение. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁, w₁), (x₂, w₂), …, (x_k, w_k).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат w_i. Точки (x_i, w_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

На рисунке изображен полигон относительных частот следующего распределения:

Рис. 6. Полигон относительных частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длинной h и находят для каждого частичного интервала n_i- сумму частот вариант, попавших в i-ый интервал.

Определение. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность частоты).

Рис. 7. Гистограмма частот.

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс, на расстоянии .

Площадь i-го частичного прямоугольника равна = ─ сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки n.

На рисунке 2 изображена гистограмма частот распределения объема n=100, приведенного в таблице 1.

Частичный интервал,

длиною h=5

Сумма частот вариант частичного интервала

Плотность частоты

5 - 10

4

0,8

10 - 15

6

1,2

15 - 20

16

3,2

20 - 25

36

7,2

25 - 30

24

4,8

30 - 35

10

2,0

34 - 40

4

0,8

Определение. Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длинною h, а высоты равны отношению (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадь i-го частичного прямоугольника равна = ─ относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.

Примеры.

1. В результате выборки получена следующая таблица распределения частот.

Построить полигоны частот и относительных частот распределения.

Для начала построим полигон частот.

Рис. 8. Полигон частот.

Чтобы построить полигон относительных частот найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки n.

n = 3 + 10 + 7 = 20.

.

Получаем

Построим полигон относительных частот.

Рис. 9. Полигон относительных частот.

2. Построить гистограммы частот и относительных частот распределения.

Найдем плотность частоты :

Частичный интервал,

длиною h = 3

Сумма частот вариант частичного интервала

Плотность частоты

2 - 5

9

3

5 - 8

10

3,3

8 - 11

25

8,3

11 - 14

6

2

Построим гистограмму частот.

Рис. 10. Гистограмма частот.

Чтобы построить гистограмму относительных частот, нужно найти относительные частоты. Для этого найдем объем выборки n.

.

Теперь найдем относительные частоты :

Получим:

Частичный интервал

Сумма относительных частот

Плотность частоты

2 - 5

0,18

0,06

5 - 8

0,2

0,07

8 - 11

0,5

0,16

11 - 14

0,12

0,04

Плотности частот нужно вычислить. При этом h = 3.

Построим гистограмму относительных частот.

Рис.11. Гистограмма относительных частот.

§16. Точечные оценки

Определение. Статистической оценкой Q^* неизвестного параметра Q теоретического распределения называют функцию f(x₁, x₂, …, x_n) от наблюдаемых случайных значений x₁, x₂, …, x_n.

Определение. Точечной оценкой называют статистическую оценку, которая определяется одним числом Q^* = f(x₁, x₂, …, x_n), где x₁, x₂, …, x_n ─ результаты n наблюдений над количественным признаком Х (выборка).

Определение. Несмещенной называют точечную оценку Q^*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Q при любом объеме выборки, то есть M(Q^*) = Q. Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Выборочная средняя.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Определение. Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения x₁, x₂, …, x_n признака выборки объема n различны, то

Если же все значения признака x₁, x₂, …, x_k имеют соответственно частоты n₁, n₂, …, n_k, причем n₁ + n₂ + … + n_k = n, то

,

где - объем выборки.

Выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней (неизвестного математического ожидания).

Замечание. Если первоначальные варианты ─ большие числа, то для упрощения решения целесообразно вычесть из каждой варианты одно и то же

число С, то есть перейти к условным вариантам u_i = x_i - c. Тогда

.

Выборочная дисперсия.

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия. Эту величину вводят для того, чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг среднего значения .

Определение. Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения . Если значения признака x₁, x₂, …, x_k имеют соответственно частоты n₁, n₂, …, n_k, причем n₁ + n₂ + … + n_k = n, то

Эта оценка является смещенной, так как ,

где D_Г - генеральная дисперсия - среднее арифметическое квадратов отклонения значения признака генеральной совокупности от их среднего значения .

Теорема. Выборочная дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат выборочной средней.

Для вычисления выборочной дисперсии эта формула наиболее удобна.

Замечание. Если перейти к условным вариантам u_i = x_i - c , то дисперсия при этом не изменится. Тогда .

Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.

Пусть из генеральной совокупности в результате n независимых наблюдений

над количественным признаком Х извлечена повторная выборка объема n:

При этом n₁ + n₂ + … + n_k = n. Требуется по данным выборки найти неизвестную генеральную дисперсию D_Г. Если в качестве оценки D_Г принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение D_Г. Объясняется это тем, что математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой D_Г, а равно .

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить на дробь n/(n-1). Сделав это, мы получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают .

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:

.

Более удобна форма:

.

В условных вариантах она имеет вид:

,

причем если u_i = x_i - c, то ; если , то .

Задача 1.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n = 60

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя: ,

где ─ варианта выборки, ─ частота варианты ; объем выборки.

.

Ответ: .

Задача 2.

Выборочная совокупность задана таблицей распределения

Найти выборочную дисперсию.

Решение. Найдем выборочную среднюю

.

Найдем выборочную дисперсию:

,

Ответ: .

§17. Интервальные оценки

Определение. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной вероятностью (надежностью) γ покрывает заданный параметр.

Интервальной оценкой (с надежностью γ) математического ожидания a нормально распределенного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал

,

где = δ - точность оценки,

n - объем выборки,

t - значение аргумента функции Лапласа Ф(t) (см. приложение 2). при котором Ф(t)=γ/2.

При неизвестном σ (и объеме выборки n<30) доверительным будет интервал

,

где S - «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение,

находят по таблице приложения 3 по заданным n и γ.

Интервальной оценкой (с надежностью γ) среднего квадратического отклонения σ нормально распределенного количественного признака Х по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению S служит доверительный интервал:

при q<1,

0 < σ < s∙(1 + q)

при q > 1,

где q находят по таблице приложения 4 по заданным n и γ.

Интервальной оценкой (с надежностью γ) неизвестной вероятности р биноминального распределения по относительной частоте w служит доверительный интервал (с приближенными концами p₁ и p₂)

,

где ,

.

где n - общее число испытаний,

m - число появлений события.

W - относительная частота, равная отношению m/n;

t - значение аргумента функции Лапласа (приложение 2), при котором Ф(t)=γ/2 (γ - заданная надежность).

Замечание. При больших значениях n (порядка сотен) можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала

,

Пример 1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 9:

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

Решение. Выборочную среднюю и «исправленное» среднее квадратическое отклонение найдем соответственно по формулам

, .

Подставим в эти формулы данные задачи:

.

Таким образом, получим =3, s = 1,7.

Найдем искомый доверительный интервал:

.

Значение находят по таблице приложения 3 по заданным n = 9 и γ=0,95: =2,31.

Подставляя s = 1,7; n = 9; получим

1,691 < a < 4.309.

Получили доверительный интервал (1,7; 4,3), покрывающий неизвестное математическое ожидание а с надежностью γ = 0,95.

Пример 2. По данным выборки объема n = 40 из генеральной совокупности найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s =1 нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,99.

Решение. Задача сводится к отысканию доверительного интервала

s∙(1 - q) < σ < s∙(1 + q) (если q < 1) или

0 < σ < s∙(1 + q) (если q > 1).

Значение q находят по таблице приложения 4 по заданным n=40 и γ=0,99: q=0,35.

Так как q = 0,35 < 1, то воспользуемся первым соотношением. Подставим s = 1 и q = 0,35.

Получим 1∙(1 - 0,35) < σ < 1∙(1 + 0,35), отсюда 0,65 < σ < 1,35.

Таким образом, полученный доверительный интервал 0,65 < σ < 1,35 покрывает неизвестное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью (доверительной вероятностью) γ = 0,99.

§18. Решение типовых задач по математической статистике

Задача 1. Из крупного стада коров произведена случайная выборка, получено 20 вариант удоя коров за 300 дней лактации (в ц): 35,9; 35,3; 42,7; 45,2; 25,9; 35,5; 33,4; 27,0; 35,9; 38,8; 33,7; 38,6; 40,9; 35,5; 44,1; 37,4; 34,2; 30,8; 38,4; 31,3.

Требуется получить вариационный ряд и построить гистограмму относительных частот; найти основные выборочные характеристики: , s², s, V, s_x; с надежностью 95% указать доверительный интервал для оценки генеральной средней x_Г.

Решение. Запишем исходные данные в виде вариационного ряда, то есть располагая их в порядке возрастания: 25,9; 27,0; 30,8; 31,3; 33,4; 33,7: 34,2; 35,3; 35,3; 35,5; 35,9; 35,9; 37,4; 38,4; 38,6; 38,8; 40,9; 42,7; 44,1; 46,2.

Максимальное значение признака составляет 46,2 ц, а минимальное - 25,9 ц. Разница между ними составляет 20,3 ц. Этот интервал надо разбить на определенное количество классов. При малом объеме выборки (20-40 вариант) намечают 5-6 классов. Возьмем длину интервала ∆x=5. Получаем пять интервалов: первый 25 - 30, второй 30 - 35, третий 35 - 40, четвертый 40 - 45, пятый 45 - 50. С помощью ранжированного ряда определим частоту попадания вариант выборки в каждый интервал. В первый интервал попадет два значения, поэтому n₁= 2. Во второй интервал попадают пять значений, поэтому n₂= 5. Аналогично n₃= 9, n₄=3, n₅= 1.

Теперь найдем относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал:

w₁=n₁/n=2/20=0,1; w₂=n₂/n=5/20=0,25; w₃=n₃/n=9/20=0,45;

w₄=n₄/n=3/20=0,15; w₅=n₅/n=1/20=0,05.

Для проверки вычисляем сумму относительных частот:

w₁+ w₂+ w₃+ w₄+ w₅=0,1+0,25+0,45+0,15+0,05=1.

Тот факт, что в сумме получена единица, подтверждает правильность вычислений.

Вычислим плотности w_i/∆x относительных частот вариант. Получаем

w₁/∆x₁=0,1/5=0,02; w₂/∆x₂=0,25/5=0,05; w₃/∆x₃=0,45/5=0,09;

w₄/∆x₄=0,15/5=0,03; w₅/∆x₅=0,05/5=0,01.

Полученные результаты сведем в таблицу.

Интервал значений

25-30

30-35

35-40

40-45

45-50

Частоты вариант

2

5

9

3

1

Относительные частоты

0,10

0,25

0,45

0,15

0,05

Плотность относительных частот

0,02

0,05

0,09

0,03

0,01

Строим гистограмму относительных частот - ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются интервалы, а высотами соответствующие значения плотностей относительных частот.

Основные выборочные характеристики вычисляются по формулам: - выборочная средняя; - «исправленная» дисперсия; - среднее квадратическое отклонение; - ошибка средней; - коэффициент вариации.

Расчеты удобно проводить с помощью таблицы

№

Результат обследования x_i

x_i-

(x_i-)²

1

35,9

-0,1

0,01

2

35,3

-0,7

0,49

3

42,7

6,7

44,89

4

45,2

9,2

84,64

5

25,9

-10,1

102,01

6

35,3

-0,7

0,49

7

33,4

-2,6

6,76

8

27,0

-9,0

81,00

9

35,9

-0,1

0,01

10

38,8

2,8

7,84

11

33,7

-2,3

5,29

12

38,6

2,6

6,76

13

40,9

4,9

24,01

14

35,5

-0,5

0,25

15

44,1

8,1

65,61

16

37,4

1,4

1,86

17

34,2

-1,8

3,24

18

30,8

-5,2

27,04

19

38,4

2,4

5,76

20

31,3

-4,7

22,09

Σ

720,3

0

490,05

Подставляя полученные значения в формулы, получаем

= 720,3/20 = 36,015;

= 490,05/19 = 25,79;

= 5,08;

= 5,08/4,47 = 1,34;

= 5,08/36∙100% = 14%.

Доверительный интервал для оценки генеральной средней имеет вид:

.

Вычисляем теперь радиус доверительного интервала:

t_γ ∙s_x = 2,10ּ1,34 = 2,8,

где значение = 2,10 находим по таблице приложения 3.

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что во всем стаде средний удой за 300 дней заключен в пределах от = 36 - 2,8 = =33,2 ц (гарантированный минимум) до = 36 + 2,08 = 38,8 ц (возможный максимум).

Задача 2. Для определения средней урожайности сахарной свеклы в колхозе на площади 1000 га была определена ее урожайность на 100 га. Результаты выборочного обследования представлены следующим распределением:

Урожайность, ц/га

23-25

25-27

27-29

29-31

31-33

33-35

35-37

Площадь, га

3

10

6

16

15

30

20

Найти величину, которую следует принять за среднюю урожайность на всем массиве; величину, которую следует принять за среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве; доверительный интервал, в котором с вероятностью 0,95 заключена средняя урожайность на всем массиве.

Решение. В качестве приближенного значения средней урожайности на всем массиве принимаем среднюю арифметическую данного распределения, то есть выборочную среднюю. За значение признака нужно принять середины интервалов. Получим:

(24∙3+2∙10+28∙6+30 ∙16+3 ∙15+34∙30+36∙ 20)/100 = 3200/100 = 32.

Для оценки дисперсии генеральной совокупности применяем формулу

=1/99ּ(3∙(24-32)²+10∙(26-32)²+6∙(28-32)²+

+16∙(30-32)²+15∙(32-32)²+30∙(34-32)²+20∙(36-32)²)= =1/99ּ(192+360+96+64+0+120+320)=1/99ּ1152=11,64.

Отсюда можно найти среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве = = 3,4.

Найдем среднее квадратическое отклонение выборочной средней по формуле

= 3,4/ = 0,34 ц.

Итак, оценка средней урожайности сахарной свеклы на всем массиве равна 32 ц со средней квадратической ошибкой 0,34 ц. Оценка среднего квадратического отклонения урожайности на всем массиве равна 3,4 ц.

Для вычисления доверительного интервала воспользуемся равенством

P() = γ,

согласно которому можно утверждать, что с надежностью γ доверительный интервал покрывает неизвестное математическое ожидание, точность оценки .

Так как n = 100 > 30, то значениеt_γ найдем из условия γ=2Ф(t_γ)=0,95. По таблице приложения 2 находим значение Ф(t_γ)=0,475 и t_γ=1,96.

= 1,96ּ3,4/ = 0,67.

Концы доверительного интервала:

= 32 - 0,67 = 31,33 и = 32 + 0,67 = 32,67.

Таким образом, с вероятностью 0,95 средняя урожайность сахарной свеклы на всем массиве заключена в границах от 31,33 ц до 32,67 ц.

§19. Элементы теории корреляции

Определение. Зависимость двух случайных величин называют корреляционной, если изменение одной случайной величины приводит к

изменению среднего значения другой случайной величины.

Основные задачи теории корреляции:

1. определить есть ли связь между случайными величинами, если есть, то найти уравнение зависимости (уравнение регрессии);

2. определить силу (тесноту) связи между случайными величинами.

Для определения самого факта связи между случайными величинами и тесноты связи служит коэффициент корреляции. Уравнение регрессии позволяет предсказать, какие изменения в среднем будет претерпевать признак при изменении другого признака.

Если уравнения регрессии являются линейными, то есть графиками будут прямые линии, то корреляционная зависимость называется линейной.

Выборочный коэффициент корреляции находится по формуле:

.

Свойства выборочного коэффициента корреляции:

1. Значения коэффициента корреляции изменяются на отрезке [-1;1]:

.

2. Чем модуль больше и ближе к 1, тем теснее связь между изучаемыми признаками.

3. Если , то между признаками функциональная связь.

4. Если , то между изучаемыми признаками нет линейной корреляционной зависимости.

5. Если , то между признаками прямая (положительная) связь, если , то между признаками обратная (отрицательная) связь.

Выборочное уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид:

,

где , - выборочные средние, за приближенные значения σ_y и σ_x принимают соответственно s_x и s_y:

, .

Выборочное уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид:

,

Пример. Были произведены измерения общей длины ствола в см (X) и длины его части без ветвей (Y) 10 молодых сосен. Результаты этого измерения представлены в таблице:

X

25

35

45

55

65

75

85

95

105

115

Y

14

18

19

20

23

23

24

26

29

34

Вычислить выборочный коэффициент корреляции и найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.

Решение. Вычислим выборочный коэффициент корреляции по формуле:

Для вычисления величин, входящих в формулу, составим вспомогательную таблицу (приведена на следующей странице), в которой результаты измерений записаны столбцами. Внизу каждого из столбцов вычислены суммы для нахождения средних и . Далее расположены столбцы, в которых вычисляются разности x_i- и yi-, их квадраты и произведения. Значения этих столбцов суммируются (последняя строка), чтобы получились величины, необходимые для подстановки в формулу. Отметим, что суммы в столбцах, в которых вычислены разности x_i- и

y_i-будут всегда равны нулю.

Находим средние и (смотри данные в таблице, 1-2 столбцы):

= 700/10 = 70, = 230/10 = 23.

Выполнив все вычисления в таблице (3 - 7 столбцы), получаем:

Σ(x_i-)(y_i-) =1520,

Σ(x_i-)² = 8250,

Σ(y_i-)² = 298.

Подставляя эти значения в соответствующую формулу, вычислим коэффициент корреляции:

x_i

y_i

x_i-

(x_i-)²

y_i-

(y_i-)²

(x_i-)(y_i-)

25

35

45

55

65

75

85

95

105

115

14

18

19

20

23

23

24

26

29

34

-45

-35

-25

-15

-5

5

15

25

35

45

2025

1225

625

225

25

25

225

625

1225

2025

-9

-5

-4

-3

0

0

1

3

6

11

81

25

16

9

0

0

1

9

36

121

405

175

100

45

0

0

15

75

210

495

700

230

0

8250

0

298

1520

Таким образом, у выбранных сосен имеет место очень сильная корреляция между общей длиной ствола и длиной его части без ветвей.

Найдем теперь выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.

,

где , .

Тогда σ_y/σ_x=

Подставляя в выборочное уравнение прямой регрессии Y на X: =70, =23, r_B=0,97, σ_y/σ_x=0,19, получим y-23=0,97∙0,19∙(x-70) или y-23=0,18x-12,6.

Окончательно, y=0,18x + 10,4 - искомое уравнение прямой регрессии Y на X.

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

1 группа

01. Старшине роты необходимо составить список из 9 солдат в любом порядке. Сколько различных списков он может составить?

02. Сколькими способами можно переставить буквы в слове АРБУЗ?

03. Сколькими способами можно выбрать две монеты из трех: 1,2,3 копейки?

04. Сколько различных 4-х буквенных сочетаний можно составить из слова КАНДЕЛЯБР?

05. В разрезной азбуке было составлено слово КНИГА. Мальчик случайно уронил эти буквы. Сколькими способами он может их составить?

06. Из группы в 20 голов крупного рогатого скота, предназначенного для откорма, для контрольного определения среднесуточного привеса отбирается группа из 8 животных. Сколькими способами это можно сделать?

07. Из 30-ти человек староста группы должен отобрать 10 человек для уборки свеклы в колхозе. Сколько различных списков он может составить?

08. В ящике 20 шаров, среди которых 12 белых, а остальные - голубые. Отбирают наугад 2 шара. Сколько существует вариантов того, что они белые?

09. В урне 16 шаров, среди которых 9 белых, остальные - красные. Отбирают наугад 3 шара. Сколько вариантов того, что два из них окажутся красными?

10. На фабрике по пошиву флагов имеются следующие цвета ткани: красный, белый, голубой, синий, желтый. Сколько можно сшить 3-х цветных флагов с горизонтальными полосами при условии, что одинаковых быть не должно?

2 группа

11. В коробке имеется 45 карандашей, 10 из которых сломаны. Художник наудачу извлекает 5 карандашей. Найти вероятность того, что извлеченные карандаши сломаны.

12. Кафедра физвоспитания приобрела для футбольной команды 16 футболок с номерами от 1 до 16. Игроки наудачу берут 10 футболок. Найти вероятность того, что футболка под номером 13 окажется не взятой.

13. Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 12, если их произведение равно 48.

14. В читальном зале на полке стоят 37 книг, одна из которых по цитологии. Библиотекарь наудачу берет 8 книг. Найти вероятность того, что среди них нет книги по цитологии.

15. В аудитории находится 40 студентов, 25 из которых не выполнили домашнее задание. Преподаватель наудачу берет тетради у 10 студентов. Найти вероятность того, что все тетради окажутся с выполненным заданием.

16. В магазине имеется 16 плиток шоколада, 12 из которых фабрики «Бабаевский». Покупатель купил три плитки шоколада. Все шоколадки стоят одинаково. Найти вероятность того, что он не купил ни одной шоколадки фабрики «Бабаевский».

17. На грядке посажено 25 кустов средне- и раннеспелого картофеля, из которых 16 раннеспелого сорта. Весь картофель посажен вперемешку. В первый день уборки картофеля выкопано 12 кустов картофеля. Найти вероятность того, что среднеспелого и раннеспелого картофеля выкопано одинаково.

18. Грибник собрал 12 трубчатых и 16 пластинчатых грибов. По дороге домой он уронил три гриба. Найти вероятность того, что он потерял трубчатые грибы.

19. В кодовом замке 10 кнопок с цифрами от 0 до 9. Чтобы его открыть, надо нажать одновременно 3 кнопки. Хозяин, возвращаясь домой, забыл одну цифру в коде замка и стал нажимать третью кнопку наугад. Найти вероятность того, что он откроет замок с первого раза.

20. В парке 15 деревьев. В одном дереве есть дупло, в котором живет белка. Трест зеленого хозяйства провел санитарную рубку, в результате которой было срублено 4 дерева. Найти вероятность того, что белка не осталась без дома.

3 группа

21. Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Известно, что вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, а для другого - 0,7. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадет в мишень.

22. Ящик содержит 90 годных и 10 дефектных деталей. Сборщик последовательно достает из ящика 10 деталей. Найти вероятность того, что среди взятых деталей хотя бы одна дефектная.

23. Два охотника сделали по одному выстрелу по зайцу. Известно, что вероятность попадания для одного из них равна 0,6, а для другого - 0,7. Найти вероятность того, что только один из охотников попадет в зайца.

24. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна р, а для второго - 0,7. Известно, что вероятность попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0,35. Найти р.

25. Охотник выстрелил 3 раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8; а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он попадет хотя бы один раз.

26. В ящике 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу достает 3 детали. Найти вероятность того, что среди взятых деталей не более двух окрашенных.

27. Найти вероятность того, что схема будет работать,

если заданы вероятности работы каждого независимо работающего устройства: р₁ = 0,3, р₂ = 0,4, р₃ = 0,6, р₄ = 0,5.

28. Студент успел подготовить к экзамену 20 вопросов из 30. Какова вероятность того, что из 3 наудачу выбранных вопросов студент знает не менее двух.

29. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопросы билета, равна 0,9, на третий - 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого надо ответить на все вопросы.

30. В команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3 спортсменов. Какова вероятность того, что среди выбранных спортсменов не более двух мастеров спорта?

4 группа

31. В ящик, содержащий 5 шаров, опущен красный шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется красным, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

32. В каждой из трех коробок содержится 9 белых и 7 зеленых шаров. Из первой коробки наудачу взят один шар и переложен во вторую коробку, после чего из второй коробки извлечен один шар и переложен в третью коробку. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей коробки, окажется зеленым.

33. В первом ящике содержится 20 шаров, из них 16 белых, а остальные - синие. Во втором ящике 40 шаров, 8 из которых белые, а остальные синие. Из каждой коробки вынимается по одному шару, а затем из них наудачу извлекают один. Найти вероятность того, что взят синий.

34. В коробку, в которой находится два карандаша, положили зеленый карандаш, после чего из нее вынут один карандаш. Найти вероятность того, что извлеченный карандаш окажется зеленым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе карандашей (по цвету).

35. В ящике содержится 20 деталей, изготовленных на заводе № 1, 40 деталей - на заводе № 2. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества равна 0,7; для детали, изготовленной на заводе № 2, равна 0,4. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

36. Число деталей, изготавливаемых на I,II, III станках относится как 4:3:3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на I станке, является бракованной - 0,2; на II - 0,4; на III - 0.3. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь изготовлена на I станке.

37. В кондитерской продается в среднем 40% шоколадных конфет, 35% - карамельных и 25% мармеладных. Вероятности продажи шоколадных конфет, карамельных и мармеладных - соответственно, равны 0,6; 0,7 и 0,8. Покупатель в кондитерской приобрел конфеты. Найти вероятность того, что он купил мармеладные конфеты.

38. Два принтера печатают одинаковые тексты. Производительность второго принтера в 2 раза больше производительности первого. Первый принтер печатает в среднем 78% листов с текстами отличного качества, а второй 89%. Наудачу взятый лист с текстом оказался отличного качества. Найти вероятность того, что этот лист произведен вторым принтером.

39. В пирамиде 8 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95, для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Найти вероятность того, что он стрелял из винтовки с оптическим прицелом.

40. Событие А может появиться при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, В₃, образующих полную группу событий. Их вероятности равны: Р(В₁)=0,3; Р(В₂)=0,5; Р(В₃)=0,2. Были также найдены условные вероятности события А при появлении событий В₁, В₂, В₃. Они равны соответственно 0,7, 0,8 и 0,6. Событие А произошло. Найти условную вероятность события В₁.

5 группа

41. Монету бросают 3 раза. Найти вероятность того, что «герб» выпадет не менее одного раза.

42. В роддоме родилось 12 детей. Найти вероятность того, что среди них 7 мальчиков. Вероятность рождения мальчика 0,51.

43. Имеются две одинаковые лунки, по которым случайным образом разбрасываются 6 шариков. Найти вероятность того, что в каждую лунку попадет ровно 3 шара. Вероятности попадания в лунки одинаковы.

44. Отрезок MN разделен точкой F в отношении 2:3. На отрезок брошены 2 точки. Найти вероятность того, что они попадут на большую часть отрезка. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок, пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

45. Что вероятнее выиграть у равносильного противника: не менее 3-х партий из 4-х или не менее 6-ти партий из 8-ми?

46. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что «решка» выпадет не менее 2-х и не более 3-х раз.

47. В семье 4 ребенка. Найти вероятность того, что среди них 1 девочка и 3 мальчика. Вероятность рождения мальчика равна 0,51.

48. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть 6 партий из 8-ми или 7 из 10-ти?

49. Посадили 8 сортовых тюльпанов. Вероятность того, что тюльпан взойдет р = 0,8. Найти вероятность того, что взойдет ровно 5 тюльпанов.

50. Отрезок разделен на 2 равные части. На отрезок наудачу брошено 6 точек. Найти вероятность того, что на каждую из 2-х частей попадет по 3 точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

6 группа

51. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 1470 и не более 1500 раз; б) не менее 1470 раз; в) не более 1469 раз.

52. Вероятность появления события в каждом из 21 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний.

53. Монета брошена 20 раз. Найти вероятность того, что число выпадений «герба» будет заключено между числами 12 и16.

54. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз?

55. Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?

56. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.

57. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

58. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.

59. Монета брошена 20 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет ровно 10 раз

60. Монета брошена 40 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет на 6 раз больше, чем «решка».

7 группа

61. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

62. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

63. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной законом распределения:

64. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины X, если задан закон распределения:

65. Найти дисперсию и математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

66. Найти дисперсию дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

67. Найти математическое ожидание числа бракованных изделий в выработке из 5 изделий, если случайная величина Х задана рядом распределения:

68. Распределения содержания кремния в отливках из чугуна при определенном составе шахты таково:

Si%

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

p

0,32

0,25

0,14

0,12

0,08

0,05

0,02

0,01

0,01

Определить математическое ожидание содержания Si в отливах для данного состава шахты.

69. Вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение содержания Si в отливках из чугуна для распределения, приведенного в задаче 68.

70. Вычислить дисперсию числа бракованных изделий для распределения, приведенного в задаче 67.

8 группа

Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(x). Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f(x); 2) математическое ожидание M(Х); 3) дисперсию D(Х); 4) среднеквадратическое отклонение σ(Х); 5) построить графики функций F(x), f(x).

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

9 группа

81. Найти M(x) и D(x) равномерно распределенной случайной величины Х, заданной плотностью f(x):

82. Найти M(x) и D(x) равномерно распределенной случайной величины Х, заданной плотностью f(x):

83. Найти M(x) и D(x) равномерно распределенной случайной величины Х, заданной плотностью f(x):

84. Найти M(x) и D(x) равномерно распределенной случайной величины Х, заданной плотностью f(x):

85. Найти M(x) и D(x) равномерно распределенной случайной величины Х, заданной плотностью f(x):

86. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно 5 и среднее квадратическое отклонение равно 4. Найти плотность вероятностей случайной величины Х.

87. Известно, что случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения, M(Х)=4, σ²=25. Найдите плотность вероятностей случайной величины Х.

88. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 8 и 1. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (10;12).

89. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 15 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (10;15).

90. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 14. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (8;12).

10 группа

Выборка задана в виде распределения частот. а) Найти распределение

относительных частот. б) Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки и построить график функции F(x).

91.

x_i

2

5

7

n_i

1

3

5

92.

x_i

1

4

6

n_i

10

12

25

93.

x_i

3

6

9

n_i

5

15

10

94.

x_i

2

4

8

n_i

10

12

14

95.

x_i

10

15

25

n_i

11

14

16

96.

x_i

2

5

6

n_i

10

15

20

97.

x_i

4

7

8

n_i

5

2

3

98.

x_i

2

5

7

8

n_i

1

3

2

4

99.

x_i

4

7

8

12

n_i

5

2

3

10

100.

x_i

2

3

4

n_i

10

18

20

11 группа

101. Построить полигон частот по данному распределению выборки:

102. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:

103. Построить полигон частот по данному распределению выборки:

104. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:

105. Построить полигон частот по данному распределению выборки:

106. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки:

Частичный интервал

2 - 4

4 - 6

6 - 8

8 - 10

Сумма частот вариант интервала n_i

10

12

16

14

107. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки:

Частичный интервал

5 - 10

10 - 15

15 - 20

20 - 25

25 - 30

Сумма частот вариант интервала, n_i

10

15

20

15

5

108. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению:

Частичный интервал

2 - 5

5 - 8

8 - 11

11 - 14

14 - 17

Сумма относительных частот

вариант интервала, w_i

0,18

0,06

0,16

0,2

0,4

109. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению:

Частичный интервал

0 - 5

5 - 10

10 - 15

Сумма относительных частот вариант интервала, w_i

0,3

0,5

0,2

110. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению:

Частичный интервал

2 - 4

4 - 6

6 - 8

8 - 10

10 - 12

Сумма относительных частот

вариант интервала, w_i

0,1

0,25

0,45

0,15

0,05

12 группа

111. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=40:

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

112. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема n=15:

113. По выборке объема n=81 найдена смещенная оценка D_В=5 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

114. В итоге пяти измерений (без систематических ошибок) длины бруска одним прибором получены следующие результаты: 804, 806, 807, 809, 810. Найти: а) выборочную среднюю длину бруска; б)выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

115. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 27:

116. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 120:

117. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 75:

118. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 20:

119. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 34:

120. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 44:

13 группа

121. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 10:

Оценить с надежностью 0,99 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

122. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=10:

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

123. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 11:

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

124. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n = 20 найдена выборочная средняя = 15 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 2. Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,99.

125. Даны «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,5; выборочная средняя = 3; = 2,20. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания, нормально распределенной случайной величины X .

126. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением σ =8. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания, если выборочная средняя = 16,6, объем выборки n = 25 и заданная надежность γ=0,95.

127. Даны среднее квадратическое отклонение σ = 10, выборочная средняя = 7,8 и объем выборки нормально распределенного признака n = 10.

Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания с заданной надежностью γ=0,95.

128. Количественный признак Х генеральной совокупности распределили нормально. По выборке объема n = 40 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,8. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,999.

129. Количественный признак Х генеральной совокупности распределили нормально. По выборке объема n=10 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=5. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,99.

130. По данным выборки объема n=19 из генеральной совокупности нормально распределенного количественного признака найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 5,4. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,95.

14 группа

Вычислить выборочный коэффициент корреляции и найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.

131.

132.

133.

133.

135.

136.

137.

138.

139.

140.

15 группа

Найти основные выборочные характеристики , s², s, V, s_x; с надежностью 95% указать доверительный интервал для оценки генеральной средней x_Г для следующей выборки:

Номер задачи

141.

142.

143.

144.

145.

146.

147.

148.

149.

150.

40,8

26,4

33,2

29,5

36,1

32,8

33,5

36,4

37,1

39,6

41,0

28,3

30,6

37,9

39,2

32,5

35,6

34,8

36,9

34,2

12,6

18,7

15,3

14,8

19,5

13,7

16,4

15,2

16,3

12,9

18,5

16,5

15,4

13,6

16,9

15,8

17,3

19,6

15,8

19,6

19,7

20,3

25,6

24,3

28,9

29,6

19,4

23,5

25,8

29,4

28,2

26,1

23,9

25,8

23,9

26,9

27,6

25,9

24,7

28,5

18,6

19,5

23,8

15,4

39,7

24,5

19,8

20,5

26,5

23,4

21,6

29,7

29,7

24,6

19,4

16,5

16,8

14,4

13,8

22,4

26,5

18,4

29,4

35,8

26,9

34,2

26,7

34,6

35,1

32,8

30,9

28,7

29,6

31,5

36,4

34,8

39,5

32,9

34,4

30,4

29,8

30,5

31,6

29,6

35,7

36,8

29,4

21,6

29,7

24,6

34,8

36,4

32,1

39,7

34,5

34,8

31,5

34,8

37,9

29,6

45,8

50,4

48,4

53,2

49,5

52,6

48,7

51,9

45,9

46,8

49,5

51,2

46,3

48,7

48,9

48,3

47,6

48,3

49,5

48,6

95,4

82,5

86,9

90,2

89,1

85,6

87,5

86,4

89,3

92,1

90,3

86,9

87,4

90,4

94,6

93,2

87,5

86,4

93,4

86,5

32,5

35,4

18,9

21,5

26,5

23,0

26,1

28,4

19,8

31,5

30,6

25,8

31,0

36,4

26,5

28,7

23,4

26,8

29,4

29,4

11,5

12,4

13,9

18,4

12,0

15,1

16,7

13,8

14,6

12,5

11,8

13,9

14,7

15,8

16,8

13,0

11,2

14,8

17,9

19,6

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется испытанием, событием? Приведите примеры испытаний, событий.

2. Какие события называются достоверными, невозможными, случайными. Приведите примеры этих событий.

3. Какие события называются несовместными, совместными? Приведите примеры.

4. Какие события называются противоположными? Приведите примеры.

5. Сформулируйте классическое определение вероятности. Укажите возможные границы вероятности.

6. Что понимается под суммой двух событий? Приведите примеры.

7. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для несовместных событий.

8. Какие события называют независимыми, зависимыми? Приведите примеры.

9. Что понимается под произведением двух событий? Приведите примеры.

10. Сформулируйте теоремы умножения вероятностей для независимых и зависимых событий.

11. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для совместных событий.

12. Что понимается под полной группой событий? Чему равна сумма вероятностей событий, составляющих полную группу?

13. Приведите формулу полной вероятности, формулу Байеса. При каких условиях они применяются?

14. Приведите формулу Бернулли. При решении какого типа задач она применяется?

15. Сформулируйте локальную теорему Лапласа. При каких условиях она применяются?

16. Сформулируйте интегральную теорему Лапласа.

17. Приведите формулу Пуассона. При каких условиях она применяются?

18. Какие случайные величины называются дискретными? непрерывными? Приведите примеры.

19. Что называется законом распределения дискретной случайной величины? Как он задается?

20. Что называется многоугольником распределения дискретной случайной величины?

21. Дайте определение математического ожидания дискретной случайной величины.

22. Перечислите основные свойства математического ожидания.

23. Дайте определение дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.

24. Перечислите свойства дисперсии.

25. Дайте определение интегральной функции распределения. Перечислите ее свойства.

26. Дайте определение дифференциальной функции распределения. Перечислите ее свойства.

27. Как вычисляются числовые характеристики непрерывной случайной величины.

28. Какое распределение дискретной случайной величины называется биномиальным?

29. Чему равны числовые характеристики случайной величины, распределенной по биномиальному закону?

30. Какое распределение непрерывной случайной величины называется равномерным? Какой параметр характеризует равномерное распределение и как найти его значение?

31. Какое распределение непрерывной случайной величины называется нормальным? Какие параметры характеризуют нормальное распределение?

32. Начертите кривую нормального распределения. Как меняется кривая при изменении параметров нормального распределения?

33. Перечислите свойства нормального распределения.

34. Сформулируйте правило трех сигм.

35. Что понимается под генеральной совокупностью?

36. Что такое выборка? Что называется вариантами выборки и вариационным рядом?

37. Что такое частота появления варианты в выборке?

38. Как получают относительную частоту появления варианты в выборке?

39. Как построить полигоны частот и относительных частот?

40. Как построить гистограммы частот и относительных частот?

41. В чем сущность задачи по определению параметров генеральной совокупности?

42. Какую величину принимают за среднюю генеральной совокупности? Как она вычисляется?

43. Какую величину принимают за дисперсию генеральной совокупности? Как она вычисляется?

44. Как вычисляется среднее квадратическое отклонение средней выборки?

45. Что понимают под доверительным интервалом и доверительной вероятностью?

46. Как вычислить доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины в случае, когда среднее квадратическое отклонение известно; когда среднее квадратическое неизвестно?

47. Дайте определение корреляционной зависимости.

48. В чем состоят две основные задачи теории корреляции?

49. Какую корреляционную зависимость называют линейной?

50. Дайте определение выборочного коэффициента корреляции и перечислите его свойства.

51. Что можно сказать о зависимости двух случайных величин, если коэффициент корреляции r_В = 0, r_В = 1, r_В = -1?

52. Запишите выборочные уравнения прямых регрессий.

Приложение 1

Таблица значений функции

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3,0

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

0,3989

3970

3910

3814

3683

3521

3332

3123

2897

2661

0,2420

2179

1942

1714

1497

1295

1109

0940

0790

0656

0,0540

0440

0355

0283

0224

0175

0136

0104

0079

0060

0,0044

0033

0024

0017

0012

0009

0006

0004

0003

0002

3989

3965

3902

3802

3668

3503

3312

3104

2874

2637

2396

2155

1919

1691

1476

1276

1092

0925

0775

0644

0529

0431

0347

0277

0219

0171

0132

0101

0077

0058

0043

0032

0023

0017

0012

0008

0006

0004

0003

0002

3989

3961

3894

3790

3652

3485

3292

3079

2850

2613

2371

2131

1895

1669

1456

1257

1074

0909

0761

0632

0519

0422

0339

0270

0213

0167

0129

0099

0075

0056

0042

0031

0022

0016

0012

0008

0006

0004

0003

0002

3988

3956

3885

3778

3637

3467

3271

3056

2827

2589

2347

2107

1872

1647

1435

1238

1057

0893

0748

0620

0508

0413

0332

0264

0208

0163

0126

0096

0073

0055

0040

0030

0022

0016

0011

0008

0006

0004

0003

0002

3986

3951

3876

3865

3621

3448

3251

3034

2803

2565

2323

2083

1849

1626

1415

1219

1040

0878

0734

0608

0498

0404

0325

0258

0203

0158

0122

0093

0071

0053

0039

0029

0021

0015

0011

0008

0006

0004

0003

0002

3984

3945

3867

3752

3605

3429

3230

3011

2780

2541

2299

2059

1826

1604

1394

1200

1023

0863

0721

0596

0488

0396

0317

0252

0198

0154

0119

0091

0069

0051

0038

0028

0020

0015

0010

0007

0005

0004

0002

0002

3982

3939

3857

3739

3589

3410

3209

2989

2756

2516

2275

2036

1804

1582

1374

1182

1006

0848

0707

0584

0478

0387

0310

0246

0194

0151

0116

0088

0067

0050

0037

0027

0020

0014

0010

0007

0005

0003

0002

0002

3980

3932

3847

3726

3572

3391

3187

2966

2732

2492

2251

2012

1781

1561

1354

1163

0989

0833

0694

0573

0468

0379

0303

0241

0189

0147

0113

0086

0065

0048

0036

0026

0019

0014

0010

0007

0005

0003

0002

0002

3977

3925

3836

3712

3555

3372

3166

2943

2709

2468

2227

1989

1758

1539

1334

1145

0973

0818

0681

0562

0459

0371

0297

0235

0184

0143

0110

0084

0063

0047

0035

0025

0018

0013

0009

0007

0005

0003

0002

0001

3973

3918

3825

3697

3538

3352

3144

2920

2685

2444

2203

1965

1736

1513

1315

1127

0957

0804

0669

0551

0449

0363

0290

0229

0180

0139

0107

0081

0061

0043

0034

0025

0018

0013

0009

0006

0004

0003

0002

0001

Приложение 2

Таблица значений функции

x

Ф(x)

x

Ф(x)

x

Ф(x)

x

Ф(x)

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,16

0,17

0,18

0,19

0,20

0,21

0,22

0,23

0,24

0,0000

0,0040

0,0080

0,0120

0,0160

0,0199

0,0239

0,0279

0,0319

0,0359

0,0398

0,0438

0,0478

0,0517

0,0557

0,0596

0,0636

0,0675

0,0714

0,0753

0,0793

0,0832

0,0871

0,0910

0,0948

0,25

0,26

0,27

0,28

0,29

0,30

0,31

0,32

0,33

0,34

0,35

0,36

0,37

0,38

0,39

0,40

0,41

0,42

0,43

0,44

0,45

0,46

0,47

0,48

0,49

0,0987

0,1026

0,1064

0,1103

0,1141

0,1179

0,1217

0,1255

0,1293

0,1331

0,1368

0,1406

0,1443

0,1480

0,1517

0,1554

0,1591

0,1628

0,1664

0,1700

0,1736

0,1772

0,1808

0,1844

0,1879

0,50

0,51

0,52

0,53

0,54

0,55

0,56

0,57

0,58

0,59

0,60

0,61

0,62

0,63

0,64

0,65

0,66

0,67

0,68

0,69

0,70

0,71

0,72

0,73

0,74

0,1915

0,1950

0,1985

0,2019

0,2054

0,2088

0,2123

0,2157

0,2190

0,2224

0,2257

0,2291

0,2324

0,2357

0,2389

0,2422

0,2454

0,2486

0,2517

0,2549

0,2580

0,2611

0,2642

0,2673

0,2703

0,75

0,76

0,77

0,78

0,79

0,80

0,81

0,82

0,83

0,84

0,85

0,86

0,87

0,88

0,89

0,90

0,91

0,92

0,93

0,94

0,95

0,96

0,97

0,98

0,99

0,2734

0,2764

0,2794

0,2823

0,2852

0,2881

0,2910

0,2939

0,2967

0,2995

0,3023

0,3051

0,3078

0,3106

0,3133

0,3159

0,3186

0,3212

0,3238

0,3264

0,3289

0,3315

0,3340

0,3365

0,3389

1,00

1,01

1,02

1,03

1,04

1,05

1,06

1,07

1,08

1,09

1,10

1,11

1,12

1,13

1,14

1,15

1,16

1,17

1,18

1,19

1,20

1,21

1,22

1,23

1,24

1,25

1,26

1,27

0,3413

0,3438

0,3461

0,3485

0,3508

0,3531

0,3554

0,3577

0,3599

0,3621

0,3643

0,3665

0,3686

0,3708

0,3729

0,3749

0,3770

0,3790

0,3810

0,3830

0,3849

0,3869

0,3883

0,3907

0,3925

0,3944

0,3962

0,3980

1,28

1,29

1,30

1,31

1,32

1,33

1,34

1,35

1,36

1,37

1,38

1,39

1,40

1,41

1,42

1,43

1,44

1,45

1,46

1,47

1,48

1,49

1,50

1,51

1,52

1,53

1,54

1,55

0,3997

0,4015

0, 4032

0,4049

0,4066

0,4082

0,4099

0,4115

0,4131

0,4147

0,4162

0,4177

0,4192

0,4207

0,4222

0,4236

0,4251

0,4265

0,4279

0,4292

0,4306

0,4319

0,4332

0,4345

0,4357

0,4370

0,4382

0,4394

1,56

1,57

1,58

1,59

1,60

1,61

1,62

1,63

1,64

1,65

1,66

1,67

1,68

1,69

1,70

1,71

1,72

1,73

1,74

1,75

1,76

1,77

1,78

1,79

1,80

1,81

1,82

1,83

0,4406

0,4418

0,4429

0,4441

0,4452

0,4463

0,4474

0,4484

0,4495

0,4505

0,4515

0,4525

0,4535

0,4545

0,4554

0,4564

0,4573

0,4582

0,4591

0,4599

0,4608

0,4616

0,4525

0,4633

0,4641

0,4649

0,4656

0,4664

1,84

1,85

1,86

1,87

1,88

1,89

1,90

1,91

1,92

1,93

1,94

1,95

1,96

1,97

1,98

1,99

2,00

2,02

2,04

2,06

2,08

2,10

2,12

2,14

2,16

2,18

2,20

2,22

0, 4671

0, 4678

0,4686

0,4693

0,4699

0,4706

0,4713

0,4719

0,4726

0,4732

0,4738

0,4744

0,4750

0,4756

0,4761

0,4767

0,4772

0,4783

0,4793

0,4803

0,4812

0,4821

0,4830

0,4838

0,4846

0,4854

0,4861

0,4868

2,24

2,26

2,28

2,30

2,32

2,34

2,36

2,38

2,40

2,42

2,44

2,46

0,4875

0,4881

0,4887

0,4893

0,4898

0,4904

0,4909

0,4913

0,4918

0,4922

0,4927

0,4931

2,48

2,50

2,52

2,54

2,56

2,58

2,60

2,62

2,64

2,66

2,68

2,70

0, 4934

0,4938

0,4941

0,4945

0,4948

0,4951

0,4953

0,4956

0,4959

0,4961

0,4963

0,4965

2,72

2,74

2,76

2,78

2,80

2,82

2,84

2,86

2,88

2,90

2,92

2,94

0,4967

0,4969

0,4971

0,4973

0,4974

0,4976

0,4977

0,4979

0,4980

0,4981

0,4982

0,4984

2,96

2,98

3,00

3,20

3,40

3,60

3,80

4,00

4,50

5,00

0,4985

0,4986

0,49865

0,49931

0,49966

0,499841

0,499928

0,499968

0,499997

0, 499997

Приложение 3

Таблица значений t_γ = t(γ, n)

γ

n

0,95

0,99

0,999

γ

n

0,95

0,99

0,999

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

2,78

2,57

2,45

2,37

2,31

2,26

2,23

2,20

2,18

2,16

2,15

2,13

2,12

2,11

2,10

4,60

4,03

3,71

3,50

3,36

3,25

3,17

3,11

3,06

3,01

2,98

2,95

2,92

2,90

2,88

8,61

6,86

5,96

5,41

5,04

4,78

4,59

4,44

4,32

4,22

4,14

4,07

4,02

3,97

3,92

20

25

30

35

40

45

50

60

70

80

90

100

120

∞

2,093

2,064

2,045

2,032

2,023

2,016

2,009

2,001

1,996

1,991

1,987

1,984

1,980

1,960

2,861

2,797

2,756

2,720

2,708

2,692

2,679

2,662

2,649

2,640

2,633

2,627

2,617

2,576

3,883

3,745

3,659

3,600

3,558

3,527

3,502

3,464

3,439

3,418

3,403

3,392

3,374

3,291

Приложение 4

Таблица значений q = q(γ, n)

γ

n

0,95

0,99

0,999

γ

n

0,95

0,99

0,999

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1,37

1,09

0,92

0,80

0,71

0,65

0,59

0,55

0,52

0,48

0,46

0,44

0,42

0,40

0,39

2,67

2,01

1,62

1,38

1,20

1,08

0,98

0,90

0,83

0,78

0,73

0,70

0,66

0,63

0,60

5,64

3,88

2,98

2,42

2,06

1,80

0,98

0,90

0,83

0,78

0,73

0,70

0,66

0,63

0,60

20

25

30

35

40

45

50

60

70

80

90

100

150

200

250

0,37

0,32

0,28

0,26

0,24

0,22

0,21

0,188

0,174

0,161

0,151

0,143

0,115

0,099

0,089

0,58

0,49

0,43

0,38

0,35

0,32

0,30

0,269

0,245

0,226

0,211

0,198

0,160

0,136

0,120

0,88

0,73

0,63

0,56

0,50

0,46

0,43

0,38

0,34

0,31

0,29

0,27

0,211

0,185

0,162

Рекомендуемая литература

1. Андронов А.М. , Копытов Е.А., Гринглаз Л.Я. Теория вероятностей и математическая статистика. - Москва: Питер, 2004.- 464с.

2. Бочаров П.П., Печенкин А.В. Теория вероятностей: Учеб. пособие. - М.: Изд-во ун-та Дружбы народов, 1994.

3. Беляев Ю.К., Носко В.П. Основные понятия и задачи математической статистики. - М.: Изд-во МГУ, ЧеРо, 1998.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - Изд. 6-е доп. - М.: Высш.шк., 2002.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов. Изд. 6-е, доп. - М.: Высш. шк., 2002.

6. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник. - М.: Наука, 1988.

7. Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: Госиноиздат, 1948.

8. Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей. - М.: Изд-во МГУ, 1963.

9. Теория вероятностей. Методическое пособие. - Рига: TSI, 2002. - 75с.