Конспект урока Задачи с параметром

На сегодняшний день задачи с параметрами – неотъемлемая часть ЕГЭ по математике, поэтому учителю, прежде всего, необходимо познакомить учеников с приемами решения этих задач. Цели урока:Знать, что такое уравнение с параметрами, что значит решить такое уравнение. Уметь решать простейшие уравнения с параметрами.Развивать интерес к заданиям исследовательского характера.Работа содержит основные сведения по теме. Рассматриваются примеры с различными подходами к решению, приветствуется коллективный по...
Раздел Математика
Класс 11 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Урок. «Задачи с параметром». Алгебра и начала анализа.11 класс Мордкович А.Г.,

Цели:

  1. Знать, что такое уравнение с параметрами, что значит решить такое уравнение.

  2. Уметь решать простейшие уравнения с параметрами.

  3. Развивать интерес к заданиям исследовательского характера.

Ход урока

Устные упражнения.

1) Определите тип уравнения. Сколько корней у него может быть? Решите его.

а) 2х - 6 = 0, 0х = 6, 0х = 0.

Повторим основные сведения:

ах = в - линейное

а Конспект урока Задачи с параметром0 х = Конспект урока Задачи с параметром- один корень,

а = о, в Конспект урока Задачи с параметром0 - нет корней,

а = 0, в = 0 - х - любое число.

б) Определите количество корней 2х2 - 3х + 8 = 0 (т.к. Д < 0, то нет корней.)

Измените условие так, чтобы полученное уравнение имело два корня.

Повторим основные сведения:

ах2 + вх + с = 0 , а Конспект урока Задачи с параметром0 - квадратное

1. Если Д > 0, то 2 корня,

2. Если Д = 0, то 1 корень,

3. Если Д < 0, то нет корней.

в)Конспект урока Задачи с параметром = 5

Измените условие так, чтобы полученное уравнение не имело корней.

г) lхl = 10

Измените условие так, чтобы полученное уравнение не имело корней.

2) Чем отличаются уравнения ах = 6 и 3х = 6, ах2 + 7х + с = 0 и 2х2-3х+6 = 0?

(Ответ учащихся: в первом и третьем уравнениях не числовые коэффициенты).

Учитель: Действительно, в уравнениях ах = 6 и ах2 + 7х + с = 0 не числовые коэффициенты, а буквенные. Именно такие уравнения и станут предметом нашего изучения на уроке.

3. Изучение нового материала.

1) Определение. Уравнение, в котором помимо переменной содержится буквенное выражение, называется уравнением с параметрами.

Примеры: аx + в = 0 (x - переменная, а и в - параметры),

аx2 + вx + с = 0 (x - переменная, а, в и с - параметры).

2) Чаще всего встречаются две постановки задач.

Первая: для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения.

Вторая: найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.

Определение. Решить уравнение с параметром - значит, для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.

Решение уравнений. (Учащиеся привлекаются к поиску ответов).

1). Простые уравнения без ветвлений:

а) x - а = 0 Ответ: при а Конспект урока Задачи с параметром( - Конспект урока Задачи с параметром, + Конспект урока Задачи с параметром) х = а.

б) 5x = а Ответ: при аКонспект урока Задачи с параметром ( - Конспект урока Задачи с параметром, + Конспект урока Задачи с параметром) х = Конспект урока Задачи с параметром.

в) x : 8 = а Ответ: при а Конспект урока Задачи с параметром(- Конспект урока Задачи с параметром, + Конспект урока Задачи с параметром) х = 8а.

2). Простые уравнения с ветвлениями:

а) аx = 10 Ответ: при а Конспект урока Задачи с параметром0 х = Конспект урока Задачи с параметром, при а = 0 решений нет.

б) 0x = а Ответ: при а Конспект урока Задачи с параметром0 корней нет, при а = 0, х - любое число.

в) [х] = а Ответ: при а < 0 корней нет, при а = 0 х = 0, при а > 0, х = а.

г) (а2 - 4)x = а2 + а - 6

Решение г). Если а2 - 4 Конспект урока Задачи с параметром0, т.е. а Конспект урока Задачи с параметром± 2, то х = Конспект урока Задачи с параметром.

При а = -2 уравнение имеет вид: 0х = -4, т.е. не имеет корней.

При а = 2 исходное уравнение принимает вид: 0х = 0, т.е. х - любое число.

Ответ: при а Конспект урока Задачи с параметром± 2 х = Конспект урока Задачи с параметром,

при а = - 2 корней нет,

при а = 2 х - любое число.

4. Закрепление. (Коллективный поиск решения, оформление решения на доске и в тетрадях учащихся).

1) Решить уравнение а (а - 1) = а - 1.

Решение. Перед нами линейное уравнение, имеющее смысл при всех допустимых значениях а. Будем решать его «как обычно»: делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном. Но всегда ли возможно деление? (Нет. Делить на ноль нельзя.)

Придется рассмотреть отдельно случай, когда коэффициент при неизвестном равен 0. Получим:

  1. а = 1, тогда уравнение примет вид 0·х = 0, где х - любое число;

  2. а = 0, тогда 0∙х = - 1 - уравнение корней не имеет;

  3. а Конспект урока Задачи с параметром0, а Конспект урока Задачи с параметром1, тогда а (а - 1)·х = а - 1 Конспект урока Задачи с параметромх = Конспект урока Задачи с параметром.

Ответ: 1) если а Конспект урока Задачи с параметром0, а Конспект урока Задачи с параметром1, то х = Конспект урока Задачи с параметром;

2) если а = 1, то х - любое число;

3) если а = 0, то корней нет.

2) Решить уравнение (а - 1)х2 + 2 (2а - 1)х + 4 а + 3 = 0.

Решение. Рассмотрим два случая:

  1. а = 1 - получим линейное уравнение 2х + 7 = 0, откуда х = - 3,5;

  2. а Конспект урока Задачи с параметром1 - получим квадратное уравнение.

Рассмотрим дискриминант: D = (2а - 1)2 - (а - 1)(4а + 3) = - 3а + 4.

Далее, если а > Конспект урока Задачи с параметром, то D < 0 и уравнение корней не имеет.

Если же а Конспект урока Задачи с параметромКонспект урока Задачи с параметром, то х1,2 = Конспект урока Задачи с параметром.

Ответ: 1) если а > Конспект урока Задачи с параметром, то корней нет;

2) если а = 1, то х = - 3,5;

3) если а Конспект урока Задачи с параметромКонспект урока Задачи с параметроми аКонспект урока Задачи с параметром1, то х1,2 = Конспект урока Задачи с параметром.

3) При каких значениях а уравнение sin 2x - a sin x=0 имеет решения для каждого а, указать их?

Решение.

2sin x cos x - a sin x = 0;

sin x (2 cos x-a) = 0

Sin x = 0 или 2cos x - a = 0

  1. x=πn при любом значении а


  1. cos x = a/2, есть решения, если |а|/2≤1, -2≤а≤2

x = ± arccos a/2 + 2πm, m € Z

Итак, при а € (-∞;+ ∞), х = πn, n € Z

при а € [-2;2], х = ± arcos a/2 + 2πm, m € Z

Ответ: а € (-∞;+ ∞), х = πn, n € Z

а € [-2;2], х = ± arcos a/2 + 2πm, m € Z

Примеры заданий на исследование уравнений.

Особенно часто встречаются задачи на расположение корней квадратного уравнения. При их решении хорошо «работают» графические иллюстрации. Расположение корней относительно заданных точек плоскостью определяется направлением ветвей соответствующей параболы, координатами вершины, а также значениями в заданных точках.

Например.

1) При каких значениях параметра а уравнение (а2 + а + 1)х2 + (2а - 3)х + а - 5 = 0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?

Решение. Пусть f(х) = (а2 + а + 1)х2 + (2а - 3)х + а - 5. Так как а2 + а + 1 >0, то для квадратичной функции f(х) условие задачи может выполняться только при условии f (1) < 0.

Конспект урока Задачи с параметром

Решая неравенство f(1) = а2 + 4а - 7 < 0, получим, что -2 - Конспект урока Задачи с параметром< а < - 2 + Конспект урока Задачи с параметром.

Ответ: -2 - Конспект урока Задачи с параметром< а < - 2 + Конспект урока Задачи с параметром.

2) При каких значениях параметра m корни уравнения (m - 1)х2 - 2mх + m + 3 = 0 положительны?

Решение. Пусть f(х) = (m-1)х2 - 2 mх + m + 3 тогда:

1) если, m = 1,то -2х + 4=0, х= 2- корень положителен;

2) если m Конспект урока Задачи с параметром1, то с помощью рисунка можно получить следующие соотношения:
Конспект урока Задачи с параметромКонспект урока Задачи с параметромКонспект урока Задачи с параметромКонспект урока Задачи с параметромКонспект урока Задачи с параметромКонспект урока Задачи с параметром

Конспект урока Задачи с параметром

Рассмотрим 2 случая:

1) если m-1 < 0 ( рис. а)), тогда из 2 и 3 неравенств последней системы получим m + 3 < 0, т.е. окончательно m < -3.

2) если m -1> 0, ( рис. б)), тогда из 2 и 3 неравенств последней системы получим, что m > 1, т.е. окончательно 1,5 Конспект урока Задачи с параметромm > 1;

Ответ: m Конспект урока Задачи с параметром(-Конспект урока Задачи с параметром; -3) Конспект урока Задачи с параметромКонспект урока Задачи с параметром

Рассмотрим задачи на установления числа корней уравнения.

При каких значениях а уравнение Конспект урока Задачи с параметром имеет единственный корень?

Решение. В силу свойств показательной функции данное показательное уравнение равносильно уравнению

(а-1)х² +2(а+3)х + а = -2,

т.е. исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда уравнение

(а-1)х² +2(а+3)х + а +2 = 0; имеет единственный корень.

При а=1 имеем Конспект урока Задачи с параметром;

При а ≠ 1 квадратное уравнение имеет один корень если Д=0. Д= 5а + 11 ; а=-2.2

Итак, исходное показательное уравнение имеет один корень только при а = 1 и

при а = -2,2

Ответ: а=-2,2, а=1.

Пример 1. При каких значениях параметра, а уравнение 2 cos2x - (2а + 9)cosx + 9а = 0 не имеет корней.

Решение. Пусть у = cosх, тогда исходное уравнение примет вид 2у2 - (2 а + 9)у + 9а = 0, корни которого у1 = а, у2 = 4,5.

Уравнение cosх = 4,5 корней не имеет, а уравнение cosх = а не имеет корней, если Конспект урока Задачи с параметром> 1.

Ответ: (- Конспект урока Задачи с параметром; -1) Конспект урока Задачи с параметром(1; Конспект урока Задачи с параметром).

Задачи на нахождение общего корня двух уравнений.

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение х2 + 3х + 7а -21 =0 и х2 +6х +5а -6 =0 имеют общий корень?

Решение. Исключим параметр а из полученной системы.

Для этого первое уравнение умножим на (-5), второе умножим на 7, а результаты сложим.

Получим: 2х2 + 27х +63 =0, корни которого х1 = -3, х2 = -10,5.

Подставим корни в одно из уравнений и найдем значение параметра а.

Ответ: 3 и - 8,25.

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение х2 - ах + 2 = 0 и 3х2 + (а - 9)х+ 3=0 равносильны?

Решение. Как известно уравнения равносильны, если множество их корней совпадают. Рассмотрим 2 случая.

1) Уравнения не имеют корней (множество корней пусто). Тогда их дискриминанты отрицательны:

Конспект урока Задачи с параметромКонспект урока Задачи с параметромКонспект урока Задачи с параметром

Система неравенств решений не имеет.

2) Уравнения имеют общие корни. Тогда Конспект урока Задачи с параметромКонспект урока Задачи с параметромКонспект урока Задачи с параметромКонспект урока Задачи с параметромКонспект урока Задачи с параметромКонспект урока Задачи с параметромКонспект урока Задачи с параметромКонспект урока Задачи с параметромКонспект урока Задачи с параметромКонспект урока Задачи с параметромКонспект урока Задачи с параметром

Следовательно, данные уравнения могут иметь общие корни только при а = 3 или а = Конспект урока Задачи с параметром.

Проверить самостоятельно!

Задачи с применением геометрической интерпретации.

Решение задач с параметрами может существенно облегчить использование графиков.

Пример 1. Укажите количество корней в зависимости от параметра а: Конспект урока Задачи с параметром.

Решение.

Построим график функции а =Конспект урока Задачи с параметром.
Количество корней можно увидеть на рисунке:

Конспект урока Задачи с параметром


Ответ: 1) если а < 0, то корней нет;

2) если а = 0, а > 4, то 2 корня

3) если 0 < a < 4, то 4 корня.

4) если а = 4, то 3 корня

Итог урока. Самостоятельную работу можно предложить учащимся как в классе, так и в качестве домашней контрольной работы по теме.



















Реши самостоятельно 1 вариант

Реши самостоятельно 2 вариант

1) Решите уравнение: 0 · х = а

1) Решить уравнение: а х = а.

2) Решит уравнение: (в - 2)·х = 5 + в.

2) Решите уравнение (в + 1)·х = 3 - в.

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

с·(с + 1)·х = с2 - 1.

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

2 - 4)·х = (с - 2)·(с+ 1).

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

Конспект урока Задачи с параметром.

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

Конспект урока Задачи с параметром.

5) Решить уравнение Конспект урока Задачи с параметром.

5) Решить уравнение Конспект урока Задачи с параметром.

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

2 + 4х + (5 - n) = 0.

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

2 + 4х + (3 + n) = 0

Реши самостоятельно 1 вариант

Реши самостоятельно 2 вариант

1) Решите уравнение: 0 · х = а

1) Решить уравнение: а х = а.

2) Решит уравнение: (в - 2)·х = 5 + в.

2) Решите уравнение (в + 1)·х = 3 - в.

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

с·(с + 1)·х = с2 - 1.

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

2 - 4)·х = (с - 2)·(с+ 1).

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

Конспект урока Задачи с параметром.

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

Конспект урока Задачи с параметром.

5) Решить уравнение Конспект урока Задачи с параметром.

5) Решить уравнение Конспект урока Задачи с параметром.

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

2 + 4х + (5 - n) = 0.

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

2 + 4х + (3 + n) = 0

ОТВЕТЫ

1 вариант

2 вариант

1) Решите уравнение: 0 · х = а

Ответы: при а = 0, х Конспект урока Задачи с параметромR, при а ≠ 0 корней нет

1) Решить уравнение: а х = а.

Ответы: при а ≠ 0, х = 1, при а = 0, х Конспект урока Задачи с параметромR

2) Решит уравнение: (в - 2)·х = 5 + в.

Ответы:

при в = 2 нет корней; при в ≠2, х = Конспект урока Задачи с параметром;

2) Решите уравнение (в + 1)·х = 3 - в.

Ответы:

при в = -1 нет корней, при в ≠ - 1 Конспект урока Задачи с параметром

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

с·(с + 1)·х = с2 - 1.

Ответ: при с = -1, х Конспект урока Задачи с параметромR

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

2 - 4)·х = (с - 2)·(с+ 1).

Ответ: при с = 2, х Конспект урока Задачи с параметромR

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

Конспект урока Задачи с параметром.

Ответы: при m = 7 нет корней;

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

Конспект урока Задачи с параметром.

Ответы: при m = 8 нет корней.

5) Решить уравнение Конспект урока Задачи с параметром.

Ответы: при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = Конспект урока Задачи с параметром;

5) Решить уравнение Конспект урока Задачи с параметром.

Ответы: при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = Конспект урока Задачи с параметром;

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

2 + 4х + (5 - n) = 0.

Ответы: при n= 0, х = - Конспект урока Задачи с параметром;

при n = 1, х = - 2; при n =4, х = - Конспект урока Задачи с параметром.

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

2 + 4х + (3 + n) = 0.

Ответы: при n = 0, х = -Конспект урока Задачи с параметром;

при n = 1, х = 2; при n = - 4, х = Конспект урока Задачи с параметром;




© 2010-2022