Учебное пособиеЗадачи по математическому анализу для студентов первого курса первая часть

Автономная некоммерческая образовательная организация

Высшего профессионального образования
«ВОРОНЕЖСКИЙ ЭКОНОМИКО-ПРАВОВОЙ ИНСТИТУТ»
(АНОО ВПО «ВЭПИ»)

Экономический факультет
КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИКИ

Ж.И. Бахтина, Г.А.Курина, Ж.И. Сухачева

КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО КУРСА ВЭПИ
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Воронеж - 2013

Рецензенты: Шабров С.А., д-р физ.-мат. наук, профессор(ВГУ)
Кафедра математического анализа
Воронежского государственного университета

Бахтина Ж.И., Курина Г.А., Сухачева Ж.И. Курс математического анализа
для студентов первого курса. Первая часть: учебное пособие/ Ж.И. Бахтина, Г.А.Курина, Ж.И. Сухачева - Воронеж: ВЭПИ, 2013.- 50 с.,табл.,

В учебном пособии приводятся варианты индивидуальных заданий по курсу математического анализа с подробным решением типовых примеров. Издание предназначено для студентов, обучающихся по направлению «ВПО экономика(бакалавриат)»

Печатается по решению
редакционно-издательского совета
Воронежского экономико-правового института

Ж.И. Бахтина,
Г.А.Курина,
Ж.И. Сухачева

АНОО ВПО Воронежский
экономико-правовой
институт, 2013

При выполнении индивидуальных заданий студент должен соблюдать следующие требования:

1) в заголовке работы ясно написать свою фамилию, инициалы и номер зачетной книжки;

2) работу следует выполнять в тетради чернилами любого цвета (кроме красного), оставляя поля для замечаний преподавателя;

3) решение следует сопровождать объяснениями, писать их аккуратно;

4) Исправленное после замечаний преподавателя решение помещать в той же тетради.

Нужно выполнить индивидуальное задание из варианта, номер которого совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки студента.

На экзамене и зачете студенту могут быть предложены задачи, аналогичные задачам его индивидуального задания по соответствующему разделу программы.

Каждая группа однотипных задач, помещенных в настоящих методических указаниях, содержит одну задачу, номер которой заканчивается цифрой * вместо цифры. Эта задача приводится с кратким решением и может являться образцом при выполнении индивидуального задания.

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

НА ПЛОСКОСТИ.

0-9. Построить прямые, заданные уравнениями; найти точки пересечения этих прямых с осями координат и углы, которые эти прямые образуют с осью OX; найти точки пересечения прямых, заданных уравнениями а) и б).

1. а) y = 2x + 1; б) 4x + 4y - 7 = 0; в) y = 4; г) x = - 3;

2. а) y = x - 3; б) 3x + 2y - 6 = 0; в) y = - 2; г) x = 1;

3. а) y = 3x - 2; б) 3x + 4y - 12 = 0; в) y = - 1; г) x = 3;

4. а) y= 4x - 3; б) x + 2y -4 = 0; в) y = - 3; г) x = 5;

5. а) y = 5x - 4; б) x + 4y - 6 = 0; в) x = - 1; г) y = 2,5;

6. а) y = - 4x + 5; б) 2x - 5y + 12 = 0; в) y = 3; г) x = - 4;

7. а) y = - x + 3; б) 5x - 4y + 20 = 0; в) x = - 2; г) y = 5;

8. а) y = - 5x + 3; б) 4x - 3y + 8 = 0; в) y = - 1,5; г) x = 4,5;

9. а) y = - 2x + 5; б) 2x - 3y - 6 = 0; в) x = - 5; г) y = 1;

10. а) y = - 3x + 2; б) 2x - 2y - 5 = 0; в) y = - 4; г) x = 2;

*. а) y = 2x - 4; б) 2x + 3y + 6 = 0; в) y = 2; г) x = 4.

Решение задачи *.

а) y = 2x - 4. Точку пересечения прямой с осью OY находим, подставляя в уравнение x =0, получаем y = - 4. Точку пересечения прямой с осью OX находим, подставляя в уравнение y = 0, получаем x = 2. По этим точкам строим прямую (см. рис. 1). Угол α, который образует прямая с осью OX, находим из равенства tgα = 2. Отсюда α64°.

б) 2x + 3y + 6 = 0. Аналогично п. а) находим точку пересечения прямой с осью OY: x = 0, y= - 2 и с осью OX: y = 0, x = - 3. По этим точкам строим прямую (см. рис. 1). Запишем уравнение прямой в виде y = - x - 2. Отсюда tg α = - ; α 90° + 34° = 124°.

в) y = 2. Это - прямая, параллельная оси OX (угол α = 0) и проходящая через точку 2 на оси OY (см. рис. 1).

г) x = 4. Это - прямая, параллельная оси OY (угол α = 90°) и проходящая через точку 4 на оси OX (см. рис. 1).

Координаты точки пересечения прямых (а) и (б) находятся из системы, составленной из уравнений этих прямых:

Отсюда x = , y = - 2.

Рис. 1.

10-19. График линейной функции образует с осью OX угол α.Известно, что при x=x₀ функция принимает значение y=y₀. Найти линейную функцию и построить ее график. Указать точки пересечения графика с осями координат.

11. , , ;

12. , ,

13. , ,

14. , , ;

15. , ,

16. , ,

17. , ,

18. , ,

19. , ,

20. , ,

1*. , ,

Решение задачи 1*.

Искомая линейная функция задается уравнением , где . Получим . Точки пересечения с осями:,

; Строим график (см. рис 2).

Рис. 2.

20-29. Треугольник АВС задан координатами вершин. Найти:

1) уравнения сторон треугольника АВС;

2) величины углов треугольника;

3) уравнения высот и точку их пересечения.

20. А (10;-2); В(4;8); С(0;0);

21. А(-3;1); В(3;5); С(-1;-7);

22. А(0;-3) В(-5;1); С(3;7);

23. А(4;0); В(0;0); С (10;-2);

24. А(5; 3); В(-7; -1); С(-1; -3);
25. А(1; 7); В(3; 1); С(-3; -5);
26. А(3; 0); В(-7; -3); С(-1; 5);
27. А(0; 0); В(8; 4); С(-2; 10);
28. А(7; 1); В(-5; -3); С(1; 3);
29. А(1; -5); В(-3; 0); С(7; 3).
2*. А(1; 2); В(5; 0); С(9; 4).

Решение задачи 2*.

1. Чтобы найти уравнения сторон, воспользуемся уравнением
   прямой, проходящей через 2 заданные точки: = .
   Получим уравнение АВ: или .
   Уравнение ВС: или y=x-5.
   Уравнение АС:или y = .

2. Найдем два угла треугольника по формуле tgφ = ,
   где и - угловые коэффициенты прямых, образующих данный угол.

Из рис. 3 видно, что углы А и С - острые, следовательно, tg A>0 и tg C > 0.

Третий угол треугольника найдем из равенства ےА + ﮮВ + ےС = . Получим

tgA = , ﮮA ≈ ;

tgC = = , ےC ≈ ; ﮮB = 180⁰ -ﮮ A - ﮮC ≈ 180⁰ - 40⁰ - 31⁰ = 109⁰ .

3. Высота AH есть отрезок прямой, проходящей через точку А перпендикулярно BC. Следовательно, уравнение АН есть y-y₀ = k(x-x₀), где (x₀,y₀) - координата A, а k = - , где k₀- угловой коэффициент BС. Получаем k₀ = 1, k = - 1, уравнение АН есть y - 2 = - 1(x - 1) или y = - x + 3.

Аналогично находим уравнения высот ВЕ и CF.

Для высоты ВЕ получаем k₀ = , k = -4.Уравнение ВЕ есть y - 0 = - 4(x - 5) или y = - 4x + 20.

Для CF получаем k₀ = - , k = 2.Уравнение CF есть y - 4 = 2(x - 9) или y = 2x - 14.

Чтобы найти точку пересечения высот, решим систему, составленную из уравнений прямых AH и BE:

Получим x = 5 , y = - 2 есть координаты точки пересечения высот.

Рис.3.

30 - 39. Построить линию, заданную уравнением в полярной системе координат. Найти уравнение этой линии в декартовой системе координат.

30.  = 2(2 - );

31.  = 2(2 + );

32.  = 1 + ;

33.  = 1 - ;

34.  = 1 + ;

35.  = 2 - ;

36.  = - 2 -;

37.  = 2 +;

38.  = 2(1 + );

39.  = 2(1 - );

3*.  = 1 - .

Решение задачи 3*.

Составим таблицу значений функции

1

0,5

1-

1-

0

1-

1

1+

1,7

2

1+

1

Строим график (см. рис. 4). Чтобы найти уравнение линии в декартовой системе координат, выразим  и φ через x и y: = , sinφ= y/, подставим в уравнение. Получим= 1- y/ или =-y.

Рис.4.

КВАДРАТИЧНАЯ И ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИИ.

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

40-49. Построить графики функций. Указать: точки пересечения графика с осями координат; при каких значениях x функция положительна, при каких значениях она отрицательна. В задачах а), б), в) указать точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значение.

40. а) , б) y = в) у= г) у =

41. а) у = 4-, б) у = 3(х-в) у = -, г) у = ;

42. а) у =, б) у =в) у = 3, г) у = ;

43. а) у =б) у =в) у = г) у =;

44. а) y = 1-, б) , в) у = -х+1, г) ;

45. а) y = 9 - х², б) у = (х +0,5) ² -3,в) у = -2х² - 3х +2, г) у = ;

46. а) у = 4х² - 9,б) у = - (х - 0,5)² + 5, в) у = 3х² - 2х -1, г) у =

47. а) у = 9 - 4х², б) у = (х + 2)²- 3, в) у = -3 х² + х + 2, г) у =

48. а) у = 9х² - 4, б) у = -3(х - 2)² + 4, в) у = 2х² - х - 1, г) у =;

49. а) у = 4 - 9х², б) у = (х + 1)² - 3, в) у = -3х² - 2х + 1, г) у = ;

4*. а) у = х² - 2, б) у = - (х + 3)² + 2, в) у = 2х² - 10х + 9, г) у =

Решение задачи 4*.

а) График функции у = х² - 2 получается из графика функции у = х² сдвигом вниз на 2 (см. рис. 5).

Точку пересечения с осью ОУ находим, подставляя в уравнение х = 0, получим

у =2. Точки пересечения с осью ОХ, подставляя в уравнение у = 0, получим х = . Функция положительна при х и х , функция отрицательна при При х =0 функция принимает наименьшее значение у = - 2.

Рис.5.

б) График функции у = - (х+3)² + 2 получается из графика функции у = х² сжатием в 2 раза вдоль оси OY, симметричным отражением относительно оси OX, сдвигом влево на 3 и вверх на 2 (см.рис. 6).

Аналогично п. (а) находим точку пересечения с осью OY: х = 0, у = - + 2 и с осью OX: у = 0, - (х + 3)² + 2 = 0, отсюда х₁ = -1 и х₂ = -5. Функция положительна при -5<x<-1,функция отрицательна при х -1 и при х -5. При х = -3 функция принимает наибольшее значение у = 2.

Рис. 6.

в) Преобразуем выражение функции, выделяя полный квадрат. Получим

у =2х² -10х + 9= 2(х²- 5х + )= 2[(х²- 2х +) + (-+)]= 2[(х-)²-].

Итак, у = 2(х -2,5)² - 3,5.

График функции у = 2(х -2,5)² - 3,5 получается из графика функции у = х²растяжением в 2 раза вдоль оси OY, сдвигом вправо на 2,5 и сдвигом вниз на 3,5

(см. рис.7).

Чтобы найти точку пересечения с осью OY, подставим х = 0 в исходное уравнение у = 2х² -10х + 9, получим у = 9. Чтобы найти точки пересечения с осью OX, подставим в уравнение у = 0, получим 2х² -10х + 9 = 0. Решая квадратное уравнение, находим

х₁ = и х₂ = Функция положительна при х ₁ и х х_2. Функция отрицательна при х₁хх_2.При х = 2,5 функция принимает наименьшее значение

х = -3,5.

Рис. 7.

г) Преобразуем выражение функции к виду у = + y_0.

Получим у = = = 2 = 2) = +2. Итак, у = +2.

График функции у = -1,5/(x+4)+2 получается из графика функции y = 1/x растяжением в 1,5 раза вдоль оси ОУ, симметричным отражением относительно оси ОХ, сдвигом влево на 4 и вверх со сдвигом на 2. Асимптотами графика будут прямые x= -4 и y= 2 (рис.8.).

Чтобы найти точку пересечения с осью ОУ, подставим x=0 в исходное уравнение у = получим у =

Чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, подставим в уравнение у=0, получим х= положительна при х>-3,25, функции отрицательна при х<-3,25. При х=-4 функция не определена,

Рис. 8.

50-50. Построить линии по их уравнениям в декартовой прямоугольной системе координат. В задачах а), б), в) указать фокусы; в задачах б), в), г) - центр кривой.

50. а) , б) ,

в) , г) ,

51. а) , б) ,

в) , г) ,

52. а) , б) ,

в) , г) ,

53. а) , б) ,

в) , г) ,

54. а) , б) ,

в) , г) ,

55. а) , б) ,

в) , г) ,

56. а) , б) ,

в) , г) ,

57. а) , б) ,

в) , г) ,

58. а) , б) ,

в) , г) .

, б) ,

, г) ;

б)

, г).

Решение задач 5*.

а) Каноническим уравнением параболы является уравнение при этом фокус параболы находится в точке F(;0). Следовательно,, есть уравнение параболы, фокус которой находится в точке F(1,25;0) (см. рис. 9).

Рис. 9.

б) Каноническим уравнением эллипса является уравнение +=1, при этом

фокусы эллипса находятся в точках F₁(-c;0) и F₂(c;0), где c=. Следовательно, a = 3 и b = 1. Фокусы эллипса находятся в точках F₁ (-2;0) и F₂ (2;0). Эллипс вписан в прямоугольник со сторонами x = 3, x = -3, y = 1 , y = -1, центр эллипса находится в начале координат (см. рис.10).

Рис. 10.

в) Каноническим уравнением гиперболы является уравнение , при

этом фокусы гиперболы находятся в точках F₁(-с;0) и F₂(с;0) , где с = . Следовательно, есть уравнение гиперболы с полуосями a=4 и b=4. Фокусы гиперболы находятся в точках F₁(-2; 0) и F₂(2; 0). Асимптотами гиперболы являются прямые y = x , т.е. y = x, которые можно построить как продолжение диагоналей прямоугольника со сторонами x=4, x=-4, y=2 и y=-2. Центр гиперболы находится в начале координат (см. рис. 11)

Рис.11.

г) Уравнением окружности с центром в начале координат и радиусом R является уравнение x²+y²=R². Следовательно, (x+2)²+(y-1)² = 1 есть уравнение окружности с центром в точке с координатами x = - 2 , y = 1 и радиусом R=1 (см. рис. 12).

Рис.12.

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

60-69. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

60. a) ; б) ; в) ; г) ;

д) ;

61. а) ; б) ; в) ; г);

д) ;

62. а) б) ; в); г)

д);

63. а); б) в) г) ;

д)

64. а) б) в) г)

д)

65. а) ; б) в) г)

д)

66. а); б) в) ; г)

д)

67. а) б) в) г) ;

д) ;

68. а) б) в) г) ;

д)

69. а); б) ; в) г);

д) ;

6*. а) б) в) г) д) .

Решение задачи 6*.

а) Разделим числитель и знаменатель на старшую степень x, т.е. на . Получим

=.

б) Разделим числитель и знаменатель на старшую степень x, т.е. :

в) Разложим числитель и знаменатель на множители:

.

г) Умножим числитель и знаменатель на выражение :

= = = = -2(3+3) = -12.

д) Воспользуемся тригонометрическими тождествами = ,

1-cos2x==2x. Далее, чтобы выделить первый замечательный предел, умножим числитель и знаменатель на 3x.Получим

= = =

= * ² * = .

70-79. Построить графики функций с помощью преобразований графиков основных элементарных функций.

70. a) у = 3^х-2, б) у = lg(x-0.5), в) у = 2sinx, г) у = cos3x, д) у = 1,5sin(2x+3);

71. а) у = (0,5)^х+2, б) у = lg(х+2), в) у = 1,5cosx, г) у = sin3х, д) у = 2sin(0,5х-1);

72. а) у= 2^х+3, б) у=lg(х+1), в) у=3cosx,

г) у= sin2х, д) у=0,5sin(1,5х-3);

73. а) у=4^х-3, б) у=lg(х+0,5), в) у=1,5sinx,

г) у= cos0,5х, д) у=2,5sin(3х-4);

74. а) y=()^x+ 2, б) y=lg(x-2,5) , в) y=0,5,

г) y=д) y=1,2;

75. а) y=)^x- 2, б) y=lg(x+2,5) , в) y=3,

г) y=д) y=0,5;

76. а) 2^X+ 1, б) y=lg(x-4), в) y=1,2,

г) y=, д) y=0,8

77. а) y=3^x+1, б) y=lg(x+4),в)y=1,2,

г) y=д) y=0,8

78. а) y=(1,5)^x=1, б) y=lg(x-2), в) y=0,5

г) y=, д) y=3

79. а) y=()^x+1, б) y=lg(x-3), в) y=2,

г) y=, д) y=1,2;

7*. а) y=2^x-2, б) y=lg(x-1), в) y=2,5,

г) y=д) y=2.

Решение задачи 7*.

а) График функции y=2^x-2 получается из графиков функций y=2^xсдвигом вниз на 2 (см. рис. 13).

Рис.13.

б) График функции y=lg(x-1) получается из графика функции y=lgx сдвигом вправо на 1 (см. рис. 14).

Рис.14.

в) График функции y = 2,5sinx получается из графика функции y = sinx растяжением в 2,5 раза вдоль оси OY (см. рис.15).

Рис. 15.

г) График функции y=sin0,5xполучается из графика функции y=sinxрастяжением в 2 раза вдоль оси OX. Функция периодична с периодом (см. рис.16).

Рис.16.

д) График функции y = 2sin(3x+4) = 2sin3(x+4/3) получается из графика функции y = sinx растяжением в 2 раза вдоль оси OY, сжатием в 3 раза вдоль оси OXи сдвигом влево на 4/3. Функция периодична с периодом (см. рис.17).

Рис.17.

ПРОИЗВОДНАЯ

80-89. Найти производные функций. В задачах а), б) вычислить производную функции в указанной точке.

80. а) ; б) y =, x₀ = 1; в) y = 2arctg+sin³x;

г) y =; д) .

81. а) y = 5x³-2²-, x₀=-1;

б) y = 3+ 5 ln (3x+1), x₀=0;

в) y = arctg2x;

г) y = ;

д) .

82. а) y = 3³++3 , x₀=1;

б) y = *cos³x , x₀=0;

в) y = 3 arctg²x-

г) y = ;

д)

83. a)y =5 -+4x, x₀= -1;

б) y =3lnx-5arctg, x₀=2;

в) y =;

г) y = ;

д) y= arcsin;

84. a) y = 2, x₀ = 4;

б) y = x₀ = 0;

в) y = 3sin²x - ;

г) y = ;

д) y = arcsin ;

85. а) y= 3- x₀=1;

б) y = , x₀ = ;

в) y = ; г) y = ;

д) y = ;

86. а) y = - x₀=1;

б) y = 2, x₀=0;

в) y = -;

г) y = sin 3x;

д) y = ;

87. а) y= + - , x₀=4;

б) y=arctgx, x₀ =1;

в) y = ;

г) y = ; д) y = ;

88. а) y = 2x - + , x₀=9;

б) y = ,x₀ = 0;

в) y = ;

г) y = ;

д) y =

89. а) y = - + 32, x₀ =;

б) y = , x₀= -1;

в) y = tg;

г) y = ;

д) y = .

8*. a) y= 2-++1, x₀ = 1;

б) y = , x₀ = 0;

в) y = ln(3x+2);

г) y = .

Решение задачи 8*.

а) y'(x) = (2+3; y'(1)= + 2 + 3 =6;

б) y'(x) = = ,

y'(0)=

в) y'==(ln(3x+2) += ;

г) y'=

90-99. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x₀ .

90. y = x₀ = 1;

91. y = , x₀ = -1;

92. y = x₀ =;

93. y = ctgx, x₀ = ;

94. y = sinx, x₀ = π;

95. y = , x₀ = 0;

96. y = tgx, x₀ = 0;

97. y = cosx, x₀ = ;

98. y =ctgx, x₀ = ;

99. y = lnx, x₀= 1;

9*. y = e^2x-1, x₀= ;

Решение задач 9*.

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y= f(x) в точке с абсциссой х₀ равен производной этой функции, вычисленной в этой точке х₀: k= f'(x₀). Вычислим производную функции у = е^2х-1. Получим у^'(х)= 2е^2х-1. Тогда k=y'()= 2e⁰=2.

100-109. Написать уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке (x₀;y₀).

100. у = 0,5х³-х+1, х₀=1, у₀=0,5;

101. у = 1,5х²-3х-2, х₀=-1, у₀=2,5;

102. у = х³-3х+1, х₀=2, у₀= 3;

103. у = 3х²+2х-4, х₀=-2, у₀= 4;

104. у = х³-2х²+3, х₀=2, y₀=3;

105. у = х²-3х-2, х₀=1, у₀=-4;

106. у = х³-х+2, х₀=1, у₀=2;

107. у = х²+2х-3, х₀=-1, у₀=-4;

108. у = х³+х-2, х₀=1, у₀=0;

109. у = 2х²-х-2, х₀=2, у₀=4;

10_* у = х³+х-5, х₀=2, у₀=5.

Решение задачи 10_*.

Запишем уравнение касательной как уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (х₀;у₀). Получим у-у₀ = k(x-x₀) или y-5 = k(x-2). Угловой коэффициент касательной равен f(x₀). Найдем у(х) = 3х+1. Тогда k = y(2) = 7. Подставляя k в уравнение, получим y-5 = 7(x-2) или у = 7х-9. Итак, уравнение касательной есть у = 7х-9.

ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

110-119. Исследовать функции и построить их графики.

110. y =

111. y =

112. y = ;

113. y =

114. y = ;

115. y =

116. y =

117. y = ;

118. y = ;

119. y = ;

11*. y =

Решение задачи 11*

1. Область определения функции: x є R, x≠ ±2.

2. y(-x) = -y(x), следовательно, функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. Исследуем ее при х≥0, а при построении графика воспользуемся симметрией.

3. Исследуем функцию на возрастание и экстремумы. Для этого найдем производную функции:

y' = =

y' = 0 при х = 0 и х = 2. y' не существует при х=2. Точки х = 0 , х = 2 и х = 2 разбивают полуось [0;на три интервала. Исследуем интервал (0;2). При х=1 у`=>0. Тогда на всем интервале (0; 2) у`>0, и, следовательно, функция у(х) монотонно возрастает. Аналогично исследуются остальные интервалы. Результат исследования занесем в таблицу

В точке х=2 - точка максимума.

4. Исследуем функцию на выпуклость. Для этого найдем вторую производную функции

y''= .

y'' = 0 при х = 0. y'' не существует при х=2. Точки х = 0 , х = 2 и х = 2 разбивают полуось [0;на два интервала. Исследуем интервал (0;2). При х=1 у''>0. Тогда на всем интервале (0; 2) у''>0, и, следовательно, функция у(х) выпукла вниз. Аналогично исследуется второй интервал. Результат исследования занесем в таблицу

5.Исследуем поведение функции вблизи точки x=2, в которой функция не определена:

Следовательно, x=2 - вертикальная асимптота.

Найдем наклонную асимптоту y=kx+b.

Прямая y=-x/3 является наклонной асимптотой.

6. Из уравнения функции находим, что если x=0, то y=0; если y=0, то x=0. Следовательно, единственная точка пересечения графика с осями координат - это точка (0,0).

7. На основании результатов исследования строим график функции сначала для x>=0, а затем симметрично относительно начала координат для x<0 (см. рис.18). Из графика видно, что x=0 - точка перегиба.

8. Из графика видно, что множеством значений функции является все множество действительных чисел.

Рис. 18.

120-129. Решить задачу методами дифференциального исчисления.

120. В полукруг радиуса Rвписан прямоугольный треугольник так, что его гипотенуза совпадает с диаметром полукруга. Какими должны быть катеты треугольника, чтобы его периметр был наибольшим?

121. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна . Какими должены быть стороны треугольника, чтобы его периметр был наименьшим?

122. В полукруг радиуса R вписан прямоугольник так, что одна его сторона лежит на диаметре, а две вершины - на дуге полуокружности. Какими должны быть размеры прямоугольника, чтобы он имел наибольшую площадь? Найти отношение основания прямоугольника к его высоте.

123. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен Р. Каким должен быть радиус полукруга, чтобы окно пропускало наибольшее количество света?

124. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна h. Какими должны быть его катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

125. Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны по 10 см. Определить её большее основание так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.

126. В полукруг радиуса R вписан прямоугольник так, что одна его сторона лежит на диаметре полукруга, а две вершины - на полуокружности. Какими должны быть размеры прямоугольника, чтобы его периметр был наибольшим? Найти отношение высоты прямоугольника к его основанию.

127. Основание треугольника равно 4 см, а высота - 2 см. На какие отрезки должна разбивать основание высота треугольника, чтобы его периметр был наименьшим?

128. В полукруг радиуса R вписана трапеция так, что её основанием является диаметр полукруга. Какими должны быть меньшее основание трапеции и её высота, чтобы площадь трапеции была наибольшей?

129. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и острым углом 60⁰ вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Какими должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

12*. Периметр равнобедренного треугольника равен p. Какими должны быть его стороны, чтобы его площадь была наибольшей.

Решение задачи 12*.

C

A H B

Рис. 19

Пусть основание |AB|=x (см. рис. 19). Тогда боковые стороны |CB|=|CA|= -, а высота |CH|=h по теореме Пифагора равна

h = = . Площадь треугольника

S = xh = .

Определим, на каком отрезке может изменяться x. Ясно, что x≥0 с другой стороны, в треугольнике CBH |HB|≤|CB| т. е. ≤ - или x ≤ . Итак, xϵ [0; ].

Найдем наибольшее значение функции S(x) = на отрезке [0; ]. Для этого вычислим производную

S^'(x) = + = .

S^'(x) = 0 при p² - 3px = 0, т. е. при x = .

S^'(x) не существует при p² - 2px = 0, т. е. при .

Сравним значения функции S(x) на концах отрезка и в точках, где производная равна нулю или не существует. Наибольшее из них будет одновременно наибольшим значением S(x) на всем отрезке

S(0) = 0, S() = = , S() = 0.

Следовательно, наибольшее значение S(x) на отрезке [0; ] равно . Оно достигается при x = .При этом |CB|=|CA|= - = . Итак,чтобы площадь равнобедренного треугольника была наибольшей, все его стороны должны быть равны , т.е. треугольник должен быть равносторонним.

ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

150-159. Найти область определения функции двух переменных. Изобразить на чертеже область определения функции.

150. z = ; 155. z = ;

151. z = ; 156. z= ;

152. z = ; 157. z = ;

153. z = ; 158. z = ;

154. z = ; 159. z = ;

15*. z = .

Решение задачи 15*.

Функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно, т.е. 1 - у² - х ≥ 0 или х ≤ 1 - у². Линия х = 1 - у² является параболой, а область х ≤ 1 - у² есть часть плоскости, расположенная левее этой параболы (см. рис. 21).

Рис. 20.

170-179. Найти производные первого и второго порядка функции z = f(x,y) и убедиться в том что .

170. z = x³y² + 2x²y + y² + x;

171. z = x²y³ + 3xy² + x +1;

172. z = x⁵y² + 3x⁴y + 3x²y³ + x;

173. z = x⁴y² + 2x³y +2xy² + y;

174. z = 3x²y - 2xy⁵ + 2x - y²;

175. z = x - 2y + x²y³ - 3x²y⁵;

176. z = 1 + x + 2xy + y³ +x³y⁴;

177.z = x³y³ - 2x²y + 2xy³ + x - y;

178.z = x⁵y² + x²y³ + xy⁴ - x;

179.z = 8 + x - y + xy³ +x³y + x³y²;

17*.z = x⁷y³ + 2x + y^4.

Решение задачи 17 .

При вычислении переменная y рассматривается как постоянная. Получаем

При вычислении переменная x рассматривается как постоянная. Получаем

Вычислим производные второго порядка.

=

=

Мы видим, что

180-189. Найти частные производные второго порядка функции z= f (x,y).

180. z=; 186. z=

181. z= ; 187. z=

182. z= cos ; 188. z= cos (xy);

183. z= ; 189. z= x sin (xy);

184. z= sin (xy) ; 18. z=

185. z= .

Решение задачи 18.

Найдем производные первого порядка

= 2x , .

Найдем производные второго порядка

- ,

===.

190-199. Найти точки экстремума функции z = вычислить значения функции в этих точках.

190. z = x²+y²+xy-x-y;

191. z = x²+y²-2x-4x+8;

192. z = x² - 2xy+4²+2x+3;

193. z = 3 + 2y-x²-y²;

194. z = 5+2x+-6y+2xy-x²-2y²;

195. z = 1+4x-x²-y²;

196. z = 3x²+2xy+y²+2x-2y+1;

197. z = xy-x²-y²-2x-4y;

198. z = x²+2xy+3y²-2x+2y;

199. z = -2x²+xy-y²+2x-11y+3;

19*. z = x²-2xy+2y²+4x-2y.

Решение задачи 19*.

Вычислим частные производные первого порядка

=2x-2y+4, = 4y-2x-2. Приравниваем их к нулю.

Решая систему, найдем x=-3, y=-1. Чтобы определить, действительно ли точка (-3,-1) является точкой экстремума, найдем частные производные второго порядка.

=-2.

Так как величина =4 положительна в точке (-3,-1), то эта точка является точкой экстремума. Так как положительна в точке (-3,-1), то (-3,-1) - точка минимума. Найдем значение функции в этой точке z(-3,-1) = -5.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Привалов И.И. Аналитическая геометрия /И. И. Привалов. - М.: Гос. изд-во физ. - мат. лит-ры, 1961. - 229 с.

2. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1,2 / Н. С. Пискунов. - М.: Наука, 2001. - 432 с.

3. Бермант А. Ф. Краткий курс математического анализа / А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. - СПб.: Лань, 2005. - 736 с.

4. Крейн С. Г. Математический анализ элементарных функций / С.Г. Крейн, В.Н. Ушакова. - М.: Гос. изд-во физ. - мат. лит-ры, 1963. - 168 с.

5. Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. / Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. - М.: АСТ, Астрель, 2001. - 656 с.

6. Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу: учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений / Б.П. Демидович - М.: Изд-во Моск. ун-та ЧеРо,1997. - 624с.

7. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н. Берман. - СПб.: 2001. - 432 с.

8. Высшая математика для экономистов: Учебник. /Под ред. Н.Ш. Кремера. - 2-е изд. М.: ЮНИТИ, 2000.

70