Теорема Виета

План урока № 49 по алгебре в 8 классе. Тема: Теорема Виета. Цели урока: а) обучения: Научить учащихся решать квадратные уравнения;                                             сформировать понятие теоремы Виета;                      б) воспитания: Формировать мышления, в слуховую и                                             зрительную памяти, приучать к аккуратности                             культуре  устной и письменной речи; в) развития: Развивать умение оперировать с формулами в             различных ситуациях. Комплексное методическое обеспечение: компьютер, мультимедийный                                         проектор, карточки.   Ход урока: I.Организационный момент: 1. проверка посещаемости и готовности учащихся к уроку; 2. ознакомление учащихся с темой и целями урока.   II. Актуализация опорных знаний, умений, навыков и мотивационных состояний: 1. проверка дом. задания:                                         ( 3 минут)     а) По дом. заданиям есть вопросы, если есть проведем  взаимопроверку тетрадей . Соседи по партам поменяли свои тетради между собой.. Соседи – пары есть замечания?     б) Через экран показываем решение заданий . Указать моменты, где могут быть ошибки.    2. Устные упражнения:                                        ( 12 минут)     1) Назвать I-й, II-й и свободный член.           а) 3у2 – 5у +1=0;      в) 12х-7х2+4=0;         д) 5х - х2=0;           б) –х2+х-3=0;           г) 9х – 6+х2=0;          е) х2 – 7=0     2) Имеет ли смысл выражение:           а) √16;        б) √-9;        в) √14;       г) √52 – 24     3) Какие уравнения называется приведенными квадратными уравнениями? Выбери из данных уравнений приведенное квадратное уравнение.                ах2 + вх + с =0 ,         D = в2 – 4ас а =1,       у2 + ру + q = 0,          D = p2 – 4 q ,        p = - в/а; q = c/a                az2 + вz + c = 0,         D = ?                x2 + px + q =0 ,          D = ? Придумайте приведенное квадратное уравнение. Назовите p, q ? ( Например: х2 + 3х + 9 =0, p = 3, q = 9;                      x2 – 4x + 2 = 0, p = - 4, q = 2 )     4)  Найдите корни квадратного уравнения.              1’)    Х2 + 3х – 4 = 0                 p = ?, q = ?                    ( p = 3, q = - 3 )                 D = ?                         ( D = p2  - 4q = 32 – 4 . (- 4) = 9 + 16 = 25 )          x1 = ? , x2 = ?                      ( x1 = -p + √D/ 2a = -3 + √25/ 2*1 = 1,                                                       x2 = -p - √D/ 2a = -3 - √25/ 2 . 1 = -4 ) Найдите х1 + х2 = ?                     (х1 + х2 =-4 +1 = -3 )             - (х1 + х2 ) =?                    ( - (х1 + х2 ) = - ( - 3) = 3)                 х1. х2 =?                       (   х1 . х2 = - 4 . 1 = - 4 ) Есть ли такие коэффициенты в данном квадратном уравнении? Итак: а) p = 3 = - ( x1 + x2) -         ( x1 + x2) = p  ( x1 + x2) = - p б)   x1 . x2 = - 4 = q      x1 . x2 = q 2’) (x + 4)(x – 1) = 0. Найти корни х1=?, х2=? Если а =1, то приведенное квадратное уравнение имеет вид x2 +px +q = 0, где х1 + х2 = -p                                x1 * x2 = q      3’) Можно ли  составить квадратное уравнение с корнями                 а) х1 = - 4, х2 =1 ( Вместе)           Итак случай а) х1 = - 1, х2 = 1          Х1 + х2 = - 4 +1 = -3       -p =3, p = -3          X1 . x2 = -4 . 1 = -4         Уравнение      x2 +px + q = 0                              X2 + 3x -4 = 0 Вывод: Данная формула доказывается теоремой Виета            Давайте запишем число, тему, классную работу.                 б) х1 = 5, х2 = - 2 (Самостоятельно в тетрадях) Случай б) оформляют в тетрадях   III. Формирование новых понятий и способов действий: Доказательство теоремы Виета                                      ( 5 минут ) Т. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение  корней равно свободному члену. Доказательство: х2 + px + q = 0                             D = p2 – 4q , D > 0  ( 2 к.)                             Х1= ( - p - √D)/2 и x2 = ( - p + √D)/2 Найдем сумму и произведение корней: X1 +x2= ( - p - √D)/2 + ( - p + √D)/2 = -2p/2 = -p; X1 *x2= ( - p - √D)/2  . ( - p + √D)/2 = ((-p)2- (√D)2)/4 = (p2 – (p2- 4q))/4= = 4q/4 = q. Итак х1 + x2 = -p,   x1 . x2 = q   Если в квадратном уравнении x2 + px +q =0: D=0, то имеет 1 корень. Т.е. квадратное уравнение имеет 2 равных  корня Если нам надо найти сумму и произведение квадр. уравнения ах2 + вх + с = 0 Равносильное ему приведенное уравнение имеет вид Х2 + в/а . х  + с/а =0 По теореме Виета  : х1 + х2 = - в/а,  x1 . x2 = q = с/а     Запишем дом. Задание: п.23 №573 (в, е, ж, з) . Рассмотреть доказательство обратной теореме Виета.   IV. Закрепление умений и навыков: Решаем совместно 1 пример №573 (а)                                  ( 20 минут ) Х2 – 37 х + 27 =0 a=1, p = -37, q = 27 D = p2 – 4q = (- 37)2 – 4 . 27 = 1369 -108 = 1261 >0, (2 корня) По т.Виета: х1 + х2 = -p = -(-37) = 37                     x1 * x2 = q = 27   Решают самостоятельно №573 (б, г, д) б) у2 + 41у – 371 = 0 а = 1, p = 41, q = -371 D = p2 – 4q =  412 – 4 . ( - 371) = 1681 + 1484 = 3165 >0 (2 к.)  По т.Виета: х1 + х2 = -p = - 41                     x1 * x2 = q = - 371 г) у2 – 19 =0 а =1, p =0 , q = -19 D = p2 – 4q =  02- 4 . 1 .  (- 19) = 76> 0, ( 2 к. ) По т.Виета: х1 + х2 = -p = 0                     x1 * x2 = q = 19 д) 5х2  + 12х + 7 = 0     ( Не приведенное уравнение!) а = 5, в = 12, с = 7 D = 122 – 4 . 5 . 7 = 144 – 140 = 4>0,  ( 2 к. )  По т.Виета: х1 + х2 = - в/а = -12/5                     x1 * x2 = q = с/а = 7/5 Провожу физкультминутку Самостоятельная работа по карточкам:            (5 -10 минут) (Используем копировку, сдают  только копировальные работы на листочки ) 1. Составить квадратное уравнение по данным корням:                             В 1. х1 =  7, х2 = 2                             В 11. х1 = -3, х2 = 5 2. Найти p, q в заданных квадратных уравнениях, если D>0                   при    В 1. х2 – 2х – 4 =0                             В 11. х2 – 6х + 3 =0   V. Итог урока. Теорема Виета  х2 +px + q = 0, D>0, х1 + x2 = -p,   x1 . x2 = q                                                   D=0,  имеет 2 равных корня В не приведенном квад. уравнение ах2 + вх + с =0 По теореме  Виета    х1 + x2 = -в/а,   x1 . x2 = с/а Оценки: …….