- Преподавателю
- Математика
- Задачи к уроку по теме Угол между скрещивающимися прямыми в многогранниках
Задачи к уроку по теме Угол между скрещивающимися прямыми в многогранниках
Раздел | Математика |
Класс | 11 класс |
Тип | Конспекты |
Автор | Иванова И.А. |
Дата | 25.12.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
-
Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. Найдите угол между прямыми и где - середина ребра - середина ребра
Решение.
Пусть прямая параллельная прямой и точка ее пересечения с Тогда искомый угол между прямыми и равен углу Обозначим угол буквой - средняя линия треугольника поэтому:
Выразим квадрат отрезка по теореме косинусов в двух треугольниках: и
Поскольку и подставляя числовые данные, получим:
Откуда
Ответ:
-
Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна Найдите угол между прямыми и где M - середина ребра - середина ребра
Решение.
Пусть прямая параллельная прямой пересекает прямую в точке Тогда искомый угол между прямыми и равен углу Обозначим угол буквой - средняя линия треугольника поэтому
Выразим квадрат отрезка по теореме косинусов в двух треугольниках: и
Поскольку и подставляя числовые данные, получим:
Откуда
Ответ:
-
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми SB и AD.
Решение.
Прямая параллельна прямой Следовательно, искомый угол - В равнобедренном треугольнике проведём медиану и высоту Имеем:
Из прямоугольного треугольника получаем:
-
Сторона правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 8. Высота этой призмы равна 6. Найти угол между прямыми CA1 и AB1
Решение.
Рассмотрим призму в основании которой лежит ромб ABDC. Эта призма является прямым параллелепипедом. Поэтому Значит, искомый угол Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим: Аналогично, В равнобедренном треугольнике сторона равна Значит,
-
Сторона правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 8. Высота этой призмы равна 6. Найти угол между прямыми CA1 и AB1.
Решение.
Рассмотрим призму в основании которой лежит ромб Эта призма является прямым параллелепипедом. Поэтому Значит, искомый угол Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим: Аналогично, В равнобедренном треугольнике сторона равна Значит,
Примечание.
Для нахождения угла можно было воспользоваться теоремой косинусов:
Откуда
Ответ: или
6)В пирамиде DABC прямые, содержащие ребра DC и AB, перпендикулярны.
а) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку E - середину ребра DB, и параллельно DC и AB. Докажите, что получившееся сечение является прямоугольником.
б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если DC = 24, AB =10
Решение.
а) Построим прямые такие что: тогда искомое сечение параллелограмм Покажем, что прямоугольник:
б) и - середина тогда - средняя линия треугольника значит аналогично Так как прямоугольник, получаем: