Решение уравнений урок 8 класс

Гончарова Мария Федоровна

Учитель математики

МБОУ СОШ № 92 г.о. Самара

Решение уравнений

Алгебра 8 класс

Программно-методическое обеспечение:

 Планирование составлено на основе программы расширенного и углубленного изучения по учебнику "Алгебра" 8 класс автор: А.Г.Мордкович.

 Задачник "Алгебра" 8 класс автор: А.Г.Мордкович.

Тип урока: повторительно-обобщающий, применение теоретических знаний.

Цели урока:

 Образовательные: обобщить и повторить ранее изученный материал по темам:

1. Опорный конспект.

2. Квадратные уравнения и способы их решения.

3. Решение уравнений высших степеней.

 Развивающие:

1. Развивать логическое мышление, интерес и инициативу учащихся.

2. Повышать математическую культуру учащихся.

3. Углубленное изучение математики.

Воспитательные:

1.Формировать у учащихся настойчивость в преодолении трудностей, активность, самостоятельность в выборе способа решения.

Оборудование урока: творческие работы учащихся, выставка математической литературы в помощь восьмикласснику, портреты математиков: Пифагора, Кардано, Тарталья и др., раздаточный материал с уравнениями, задачи повышенной трудности по алгебре из учебного пособия Б.М.Ивлева, конспекты.

Только с алгеброй начинается

строгое математическое учение.

Н.И.Лобачевский

Ход урока.

I. Организационный момент:

1. Приветствие.

2. Готовность учащихся к уроку.

3. Состояние рабочего места учащихся.

4. Отсутствующие на уроке (сообщают дежурные).

II. Сообщение целей и темы урока.

Учитель объявляет тему урока.

Сегодня на уроке мы повторим и обобщим ранее изученный материал по темам:

1. Определение уравнения.

2. Виды квадратных уравнений и способы их решений.

3. Решение уравнений высших степеней.

III. Проверка домашнего задания.

Все учащиеся выполнили домашнюю работу, о выполнении которой доложили ассистенты.

Дома учащиеся учили опорный конспект:"Уравнения" .

IV. Устная работа.

Учитель предлагает одному из учащихся устно изложить опорный конспект (плакат на доске) 2 минуты.

Опорный конспект по алгебре (8 класс).

Уравнения, левые и правые части…

1. а) ;

б) ;

в) 2(х²+1)(х-1)=6х-(х+7).

2. Если Р(х)=0, где Р(х)..., то степень...

3. 1) ах+в=0, где...; х=

2) ax² + bx + c = 0, где …;

- формула корней квадратного уравнения.

а) если а+в+с=0, то...

х₁=1, а х₂=...

б) если а-в+с=0, то...

х₁=..., а х₂=...

3) ах³+вх²+сх+d=0 - уравнение...

а) х³+pх+g=0, для этого уравнения...

4) ах⁴-вх²+с=0 , где a ≠ 0 , называется..., которое решается путем...

4. Для уравнений пятой и более высоких степеней...

Учитель. Цель устной работы: закрепить теоретический материал, который необходим для следующей работы на уроке.

1. Что значит решить уравнение?

Ответ: Решить уравнение - значит найти все его корни или установить, что корней нет.

2. Какие уравнения не отображены в конспекте?

Ответ: Иррациональные уравнения.

3. Какое уравнение называется иррациональным?

Ответ: Уравнение, в котором под знаком квадратного корня содержится переменная, называется иррациональным.

4. Каким методом решают иррациональное уравнение?

Ответ: Иррациональное уравнение решают методом возведения обеих частей в квадрат: решив полученное в итоге рациональное уравнение, надо обязательно сделать проверку, отсеяв возможные посторонние корни.

Учитель приводит высказывание Чосера, английского поэта, средние века.

Посредством уравнений, теорем

Я уйму всяких разрешил проблем.

V. Самостоятельная работа под контролем учителя.

Двое учащихся работают у доски.

Остальные учащиеся решают в тетрадях по вариантам.

Вариант 1

Вариант 2

Решение.

Решение.

х²-8х+16=21-4х

5х-16=х²-4х+4

х₁=5, х₂=1

х₁=5, х₂=4

Проверкой установлено, что 1 - посторонний корень.

Подставив 5 и 4 в исходное уравнение, получаем верное числовое равенство.

Ответ: 5.

Ответ: 4; 5.

Работа проверяется коллективно.

Дополнительные вопросы:

1. Какое уравнение называется квадратным?

Ответ: Уравнение вида ax²+bx+c=0,где а,b,c-любые действительные числа, причем a ≠ 0 .

2. Какое квадратное уравнение называется приведенным?

Ответ: Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент равен 1.

3. Какие бывают квадратные уравнения?

Ответ: Полные и неполные квадратные уравнения.

VI. Комментирование решений неполных квадратных уравнений.

Коллективная работа под контролем учителя.

Решить неполное квадратное уравнение:

а) 2х²-9х=0; х(2х-9)=0; х=0 или х=4,5.

Ответ: 0; 4,5.

б) х²-25=0; х²=25; х=5 или х=-5.

Ответ: -5; 5.

в) 5х²+20=0; 5х²=-20; х²=-4.

Так как, при любых значениях х, то уравнение 5х²+20=0 не имеет корней.

Ответ: нет корней.

г) 7х²=0; х²=0; х=0 - единственный корень уравнения.

Учащиеся делают вывод: неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня.

Дополнительный вопрос:

1. Что можно сказать о корнях полного квадратного уравнения?

Ответ: Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 может иметь два корня, либо один корень, либо вообще не иметь корней.

2. Обоснуйте ответ.

Графиком функции ax² + bx + c = 0 является парабола, которая может пересекать ось x в двух точках, может иметь одну общую точку с осью, может не пересекать ось х.

Дополнение к ответу учащимися.

Можно определить число корней с помощью дискриминанта.

1) Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

2) Если D=0, то квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет один корень, который находится по формуле:

3) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня:

,

VII. После устной работы провести математический диктант на два варианта: двое учащихся работают у доски.

Диктант проверяется учащимися по вариантам.

Определите число корней квадратного уравнения.

Вариант 1

Вариант 2

1) х²-5х+6=0;

1) 2х²+3х+1=0;

2) х²+3х+24=0;

2) х²+4х+4=0;

3) х²+6х+9=0;

3) 14х²+5х+1=0;

4) х²+7х+2=0;

4) х²-5х+3=0;

5) 5х²-х+1=0.

5) 3х²-3х+4=0.

Учитель. Ребята, а сейчас вам необходимо применить свои знания при решении уравнения с параметром.

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение ax² - аx + 1 = 0 имеет корни.

Решение.

1. Если а=0, то 1=0 - неверно, корней нет.

2. Если уравнение имеет корни, то .

D=а²-4а; , , a ≠ 0.

0

4

а

Ответ:.

Работа проверяется коллективно.

Учитель обращает внимание учащихся на то, что в роли коэффициентов выступают на конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с параметрами.

Решение квадратных уравнений графическим способом рассмотреть на следующем уроке.

VIII. Устная работа проводится с целью закрепления способов решения уравнений высших степеней.

Один из учащихся выступает с кратким сообщением о кубических уравнениях.

1) В середине 16 века стало известно, что итальянские математики нашли способ решения кубических уравнений, что произвело огромное впечатление, а ученых того времени. Первым способ решения кубических уравнений нашел Ферро - профессор из Болоньи.

Венецианский математик Никколо Тарталья в 1535 году самостоятельно вывел формулу корней кубического уравнения, но он не опубликовал свое открытие. Формула корней кубического уравнения вида x³ + px + q=0 была опубликована математиком Кардано. Эта формула сложная и ее редко применяют при решении кубических уравнений.

2) Какие уравнения называют уравнениями высших степеней?

Ответ: Уравнение вида P(x)=0, где P(x) - многочлен, степень которого выше второй.

3) Какие полезные утверждения надо знать, чтобы решать уравнения?

Ответ:

1. Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни уравнения, если они существуют, целые.

2. Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда сумма его коэффициентов равна нулю.

3. Для того, чтобы число (-1) являлось корнем многочлена, необходимо и достаточно, чтобы сумма его коэффициентов, стоящих на четных местах, равнялась сумме коэффициентов, на нечетных местах.

4. Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

5. Если свободный член уравнения равен 1 или -1, то значение x=0 не является корнем уравнения.

IX. Самостоятельная работа учащихся под контролем учителя.

Двое учащихся работают у доски, а остальные учащиеся работают в тетрадях по вариантам.

Решение уравнения.

Вариант 1

Вариант 2

2х⁵+х⁴-10х³-5х²+8х+4=0

2х³-11х²+17х-6=0

Решение.

Решение.

1. Число 1 является корнем уравнения, так как сумма его коэффициентов равна нулю.

х=2; это число является делителем 2 и (-6).

Многочлен Р(х) делится без остатка на (х-2).

2+1-10-5+8+4=0

2х³-11х²+17х-6 х-2

2. Число (-1) является корнем

2х³- 4х²

уравнения.

- 7х²+17х

1-5+4=2-10+8

- 7х²+14х

0=0

3х-6

3. Разложим левую часть

3х-6

уравнения на множители:

0

х⁴(2х+1)-5х²(2х+1)+4(2х+1)=0

Уравнение принимает вид

(2х+1)(х⁴-5х²+4)=0

(х-2)(2х²-7х+3)=0

Корни: х₁= ; х₂=1; х₃=-1; х₄=2; х₅=-2

2х²-7х+3=0

Ответ: -1; ;1; -2: 2.

Ответ: ; 2; 3.

Работа проверяется коллективно.

X. Учитель. Уравнения высших степеней можно решать и другими способами, которые будем применять на следующих уроках.

XI. Обобщение и систематизация учащихся результатов работы.

Учитель. Какие знания вы применяли на уроке?

Учащиеся. Мы повторили:

 Определения рациональных, квадратных уравнений;

 Определение уравнения высших степеней;

 Способы решений этих уравнений.

XII. Подведение итогов урока.

Учитель. В ходе урока мы сумели рассмотреть ряд уравнений и способы их решений.

Учитель благодарит учащихся за хорошую работу на уроке.

13. Учащиеся записывают задание на дом: 35.03(а, б), стр.180.

XIV. Литература:

1) А.Г.Мордкович, Н.П.Николаев. "Алгебра" 8 класс.

Учебник для учащихся образовательных учреждений, 2008г.

2) Л.И. Звавич , А.Р.Рязановский, Задачник. "Алгебра" 8 класс, 2008г.