Структура профильного экзамена по математике в 2016 году с вариантом задач и подробным решением

Структура и образцы заданий ЕГЭ-2016 (профиль) по математике

Окончательная версия ЕГЭ по математике 2016 состоит из 19 задач, разделенных на две части:

Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня (задания 1-8). Часть 2 содержит 9 заданий повышенного уровня (задания 9-17) и 2 задания высокого уровня сложности (задания 18, 19).

Распределение заданий по уровню сложности

Уровень

сложности

заданий

Количество

заданий

Максимальный

первичный балл

Процент максимального первичного балла за выполнение заданий данного уровня сложности от максимального первичного балла за всю работу, равного 32

Базовый

8

8

25

Повышенный

9

16

50

Высокий

2

8

25

1-12 простые задачи, в которых требуется указать ответ. Заметим, что последние задачи не такие уж и простые. Например,10 - это задача на умение работать с формулами, где как показывает опыт, учащиеся допускают много ошибок, 11 - это текстовая задача, которая традиционно считается «продвинутой». Дальше идет 12 - задача на производную, виды которой очень разнообразны, и для каждой требуется собственный алгоритм решения;

13-19 сложные задачи, причем с каждым номером сложность нарастает. Простого ответа здесь уже недостаточно - нужно полное решение. Эти задачи рассчитаны на сильных учеников, хотя, к примеру, 13 вполне по зубам любому человеку.

Из первой части исключены два задания: задание практико-ориентированной направленности базового уровня сложности и задание по стереометрии повышенного уровня сложности. Максимальный первичный балл уменьшился с 34 до 32 баллов.

Правильное решение каждого из заданий 1-12 оценивается 1 баллом. Задание считается выполненным верно, если экзаменуемый дал правильный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Решения заданий с развернутым ответом оцениваются от 0 до 4 баллов. Полное правильное решение каждого из заданий 13-15 оценивается 2 баллами; каждого из заданий 16 и 17 - 3 баллами; каждого из заданий 18 и 19 - 4 баллами. Проверка выполнения заданий 13-19 проводится экспертами на основе разработанной системы критериев оценивания.

Часть 1

Итак, часть 1 состоит из 8 относительно легких задач по всему школьному курсу математики. За каждую задачу дают по одному баллу.

Несколько советов для тех, кто планирует решать только часть1:

1. Задачи расположены по возрастанию сложности, поэтому решайте все подряд. Задачи 1-8 всегда очень легкие. Это тот минимум, за который точно выдают аттестат. Но не стоит расслабляться, иначе можно допустить глупые ошибки. И не надо торопиться: экзамен длится почти целых 4 часа, и времени на решение этих задач хватит;

2. Если позволяет время, дважды решите всю часть 1, а затем сравните ответы. Это избавит вас от множества ошибок. Эту рекомендацию я повторяю из года в год, и те ученики, которые ей следуют, стабильно получают более высокие баллы.

А теперь кратко разберем каждую задачу.

Задача 1

Обычные задачи из реальной жизни - «задачи с практическим содержанием». Все задачи 1 делятся на 3 класса:

Время - кто быстрее доедет, сколько часов работает магазин и т.п. Самые легкие задачи, которые, к сожалению, встречаются довольно редко (Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут (время московское) и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути? -демоверсия )

Округление с избытком и недостатком. (Сколько билетов (шоколадок, кирпичей- чего угодно) можно купить на 100 рублей? И какая будет сдача? ) Чтобы решить такую задачу, важно знать всего один факт - назовем его законом умножения. Если известна стоимость одного литра бензина p и количество покупаемых литров n, то суммарные расходы составят p · n. Например, если 1 литр стоит 28 рублей, а мы хотим купить 15 литров, то придется заплатить 28 · 15 = 420 рублей.

Кроме того, следует раз и навсегда усвоить, что такое сдача. Задумайтесь: когда вы идете в ларек и покупаете коробку конфет за 350 рублей, но в кармане есть лишь купюра в 1000 рублей, то кассир вернет вам 1000 − 350 = 650 рублей. Это и есть сдача - разность между фактической стоимостью покупки и той суммой, которую вы заплатили. Сдача всегда выражается положительным числом

Проценты - скидки, надбавки и т.д. (В школе немецкий язык изучают 94 учащихся, что составляет 25% всех учащихся школы. Сколько учащихся в школе?)

Согласно спецификациям ЕГЭ по математике, 1 - это задача с практическим содержанием..

Для решения задачи 1 никаких специальных знаний не надо. Достаточно научиться читать условие и правильно считать.

Задача 2

Классическая задача с графиками, которая предлагается на ЕГЭ по математике из года в год. Она очень простая, решается почти всегда устно - достаточно вооружиться ручкой и линейкой.

Сами графики бывают двух видов:

1. Непрерывные - значение функции можно искать в каждой точке, и этих точек на графике бесконечно много. Чаще всего на оси абсцисс отмечают время - секунды, минуты, часы - это самая «непрерывная» величина;

На рисунке точками показана средняя температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 г. По горизонтали указаны номера месяцев; по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.

2. Дискретные - значение функции существует лишь для конечного числа точек. Например, в году всего 12 месяцев, в мире порядка 200 стран.

По идее, дискретные графики содержат меньше информации, и такие задачи должны решаться легче. Но статистика говорит обратное: непрерывные графики решаются хорошо, а ошибки возникают именно в дискретных.

Задача 3

Здесь требуется найти площадь закрашенной фигуры . Часто прямо на чертеже дается координатная сетка, что значительно упрощает решение задачи. А если сетки нет, придется посчитать, но все равно решение будет очень легким.

Все задачи 3 разделяются на 3 класса:

1. Площадь фигуры на координатной сетке - классический вариант задачи на площади. Он же - самый распространенный и самый легкий. Эти задачи решает 80-90% учеников;

2. Площадь фигуры без координатной сетки - усложненная версия предыдущей задачи, как показывает опыт, многие ученики с ними не справляются;

3. Площадь круга или его части . Требует специальных методов решения, поскольку стандартные приемы здесь бесполезны.

Задача 4

Вот она - задача по теории вероятностей. В большинстве случаев для ее решения достаточно знать классическое определение вероятности. Напомню, что вероятность - это отношение количества интересующих нас вариантов к общему количеству вариантов.

Главное - внимательно читайте условие. Например, есть 100 компьютеров, 5 из которых - бракованные. Если нас интересует вероятность нарваться на бракованный компьютер, ответ будет 5 : 100 = 0,05. Но если нам нужны нормальные компьютеры, ответ будет совсем другим: (100 − 5) : 100 = 95 : 100 = 0,95.

Определение Пусть у нас имеется набор из n различных объектов. Пусть из всего этого набора нас устраивает лишь k объектов.

Тогда вероятность P, что мы выберем устраивающий объект из всего набора, рассчитывается по формуле:

Таким образом, задача 4 ЕГЭ по математике сводится к нахождению чисел k и n, которые затем остается лишь разделить друг на друга. Поэтому внимательно читайте условия задач - эти числа почти всегда присутствуют в них. Главное - понять, что от вас требуется.

Задача 5

Это последняя задача, в которой не требуются специальные знания. Здесь предлагают решить простейшее уравнение, которое может быть логарифмическим, показательным или вообще иррациональным.

Для каждого класса уравнений есть свои методы решения, которые учатся за несколько минут. Задачи составлены так, что можно допустить глупую вычислительную ошибку - но ответ при этом получится вполне вменяемый. Не попадайтесь в эту ловушку!

Многих смущают отрицательные числа в ответе. Такое встречается в задачах 5 постоянно, и удивляться этому не следует. В крайнем случае, можно выполнить проверку: подставьте число-ответ в исходное уравнение и посмотрите, что получится. Если все сходится, значит, ответ правильный.

Задача 6

Это геометрическая задача, и для ее решения надо вспомнить материал 8-9 классов. Решается устно, если знать нужные теоремы, либо не решается вообще, если их не знать. Таких теорем несколько, и вот важнейшие из них:

1. Сумма углов в треугольнике равна 180°. А сумма углов в четырехугольнике - 360°;

2. Центральный угол ровно в 2 раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. В частности, вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°;

3. В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают. Кроме того, углы при основании равнобедренного треугольника тоже равны;

С помощью перечисленных фактов (до полноценных теорем они как-то не дотягивают), решается 80% всех задач B6. Остальные 20% требуют дополнительных знаний

Задача 7

В задаче 7 предлагается исследовать функцию с помощью:

1. Графика самой функции. Обычно просят найти точку экстремума или интервал возрастания/убывания;

2. Графика ее производной. В этом случае могут спрашивать что угодно: от все тех же точек экстремума до касательных с заданным углом наклона.

В зависимости от представленного графика принципиально различаются и методы решения задачи. Но в целом задача 7 относится к математическому анализу

Задача 8

Снова стереометрия, но теперь довольно серьезная. Если в задаче 6 мы работали исключительно с отрезками, то здесь имеем дело с площадями и объемами.

Школьная стереометрия - классические формулы площади и объема. У каждого многогранника они свои, поэтому материала набирается довольно много. Еще есть риск спутать формулы, поскольку многие из них отличаются буквально парой цифр. Пример задачи:

Часть 2

Задача 9

Обычная тригонометрическая задача по материалам 10-11 классов. Дается, например, синус некоторого угла и координатная четверть, в которой этот угол лежит. Просят найти косинус, тангенс или какое-нибудь выражение с их участием.

Все задачи 9 решаются по одному и тому же алгоритму, потребуются следующие факты:

1. Основное тригонометрическое тождество: sin² x + cos² x = 1. Оно нужно абсолютно во всех задачах 9, и его надо знать наизусть. Это несложно;

2. Знаки синуса, косинуса и тангенса в зависимости от координатной четверти. Сразу отмечу, что главная проблема здесь - это именно знаки тригонометрических функций.

Пример:

.

Задача 10

Еще одна «задача с практическим содержанием». Условия всегда примерно одинаковые: дана формула и несколько коэффициентов, требуется вычислить недостающий коэффициент. Если получается сразу несколько ответов, надо выбрать правильный.

Задачи 10 можно условно разделить на 3 класса:

1. Формулы. Самые обычные формулы из математики, физики и экономики, в которых известны все величины, кроме одной. Ее-то и требуется найти;

2. Функции. Те же формулы, но одна из переменных выбрана как главная. Чаще всего это задачи на камни и мячи, брошенные на определенную высоту;

3. Комбинированные задачи. Включают элементы двух предыдущих. Например, требуется подставить коэффициенты в функцию, а затем выяснить, в какой момент эта функция принимала заданное значение.

Пример

Задача 11

Пожалуй, самая сложная задача части B. Это классическая текстовая задача, причем условия весьма разнообразны: от типовых вопросов на движение и работу до смесей и сплавов.

Научиться решать такие задачи можно только практикой. Причем желательно под руководством учителя, поскольку на первых порах очень важно записывать полное решение. В противном случае рискуем так и не усвоить общие принципы решения текстовых задач.

Можно, конечно, зубрить отдельные варианты. Но еще раз повторюсь: задачи 11 настолько разнообразны, что зубрежка становится бесполезной тратой времени. Куда полезнее немного попрактиковаться и понять общие принципы решения.

Например:

Задача 12

Задача 12 - родом из математического анализа. Здесь требуется найти следующее:

1. Наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке. Иногда отрезок не задан - в этом случае работаем на всей числовой прямой;

2. Точку максимума (минимума) - абсцисса, в которой это наибольшее или наименьшее значение достигается. Чаще всего в таких задачах отрезок вообще не нужен.

Все задачи 12, которые встречаются в ЕГЭ по математике, делятся на два типа:

1. Задачи на поиск максимального или минимального значения функции на отрезке. Иногда отрезок не задан - в этом случае работаем на всей числовой прямой;

2. Задачи на точку максимума/минимума. Решаются чуть проще, зато функции здесь намного разнообразнее.

Но в любом случае, чтобы решить задачу 12, учитесь считать производную

Задачи с полным решением

Задача 13

Здесь предлагается решить тригонометрическое уравнение - довольно примитивное, но которое все-таки чуть сложнее «табличных» sin x = a и cos x = a. При этом все задачи 13 состоят из 2 частей:

1. Собственно, решить тригонометрическое уравнение;

2. Указать корни, принадлежащие заданному отрезку.

Для решения требуется знать:

1. Формулы приведения. Вообще-то, их требуется знать в любом случае - даже если вы не собираетесь решать 13. Например, в задаче 9 они будут очень кстати. Но если в 9 вполне можно обойтись и без формул приведения, то здесь без них никуда;

2. Знаки тригонометрических функций. Когда синус положительный? Когда отрицательный? А косинус? Без этих знаний решить 13 можно разве что наугад;

3. Периодичность тригонометрических функций - очень полезная вещь для решения второй части задачи (про корни на отрезке).

Корни на отрезке можно искать двумя способами: графическим и аналитическим. В первом случае строится график функции и отмечается искомый отрезок. Во втором - подставляются конкретные значения параметра в формулу общего корня. Оба решения правильны и вполне допустимы на экзамене.

Задача 14

Это сложная задача по стереометрии. По условию, нам дан многогранник, в котором проведены дополнительные отрезки и сечения. Требуется найти угол между ними или, в крайнем случае, длину какого-нибудь отрезка.

Как и в предыдущей задаче, здесь можно действовать двумя способами:

1. Графический - нарисовать многогранник, отметить точки и рассчитать требуемую величину. Именно так учат решать задачи 14 в большинстве школ (если вообще учат);

2. Аналитический - добавить систему координат и свести задачу к векторам. Метод весьма нестандартный, но более надежный, поскольку большинство учеников лучше знают алгебру, чем геометрию.

Основное преимущество графического способа - наглядность. Достаточно выяснить расположение отрезков и плоскостей, после чего останется лишь немного посчитать.

Зато аналитический способ не требует никаких дополнительных построений. Но объем вычислений будет намного больше. В школьном курсе стереометрии упор делается на дополнительные построения, которые позволяют выделить искомый угол, а затем рассчитать его величину.

Здесь уместно вспомнить задачи на построение сечений многогранников, которые рассматриваются в 10 классе и у многих вызывают трудности.

Задача 15

Задача 15 - это логарифмическое или показательное неравенство.

В любом случае, исходное неравенство сводится к дробно-рациональному. Главная проблема - правильно пересечь решение этого дробно-рационального неравенства с областью допустимых значений. Составители задач 15 специально подбирают числа так, чтобы в конечном ответе возникали изолированные точки, смешивались «выколотые» и «закрашенные» концы. Поэтому единственный способ научиться решать такие задачи - тренировка. И не просто тренировка, а с предварительным изучением теории.

Задача 16

Еще одна геометрическая задача. На этот раз - планиметрия. В задаче 16 ученики столкнутся как минимум с двумя проблемами:

1. Придется выполнять довольно сложное геометрическое построение, которое требует хорошего знания теории и грамотной работы с чертежом;

2. Кроме того, в условии всегда присутствует неопределенность. Как правило, одна формулировка допускает две различные интерпретации. Соответственно, в задаче будет два разных ответа.

С другой стороны, никаких «сверхъестественных» знаний в этой задаче не требуется. Помимо геометрии, здесь надо знать тригонометрию, а в некоторых случаях - метод координат.

Задача 17

Начинаем решать задачи с экономическим содержанием. Естественно, решение таких задач окажет неоценимую помощь тем, кто собирается поступать в экономические вузы. для экономистов и банкиров решение таких задач станет смыслом жизни.

Банковские задачи появились в ЕГЭ совсем недавно. в прошлом году, а в этом году типы задач стали более разнообразнее и сложнее. Все они решаются по формуле сложных процентов.

SUM=X·(1-p/100)

Пример. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение. Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a. После первой выплаты сумма долга составит S₁ = Sb − x. После второй выплаты сумма долга составит

После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна

После четвёртой выплаты сумма оставшегося долга равна

По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, поэтому

откуда

При S = 6 902 000 и a = 12,5, получаем: b = 1,125 и

Ответ: 2 296 350.

Задача 18

Вот и начинается настоящая жесть. 18 - это задача с параметром. Ее можно решать множеством различных способов, но все они требуют хорошей математической подготовки и умения мыслить нестандартно.

Например, многие задачи можно решить графически. Числа в уравнениях специально подобраны так, чтобы графики функций получались красивыми. Но возникает другой вопрос: как интерпретировать полученный результат? И что делать с параметром? Чтобы ответить на такие вопросы, требуется очень высокий уровень математической подготовки.

Можно пойти другим путем и свести задачу к уравнению или системе уравнений. Но тогда придется «прорываться» через большой объем вычислений, в которых очень легко допустить ошибку. Кроме того, интерпретировать результат в исходных терминах задачи все равно придется.

Наиболее правильный метод - понять, как «ведет» себя исходная функция при различных значениях параметра, и на основании этого решить задачу. Тогда в большинстве случаев мы получим быстрое и очень красивое решение. Но «увидеть» это решение - задача сама по себе не из легких. Поэтому задача 18 оценивается сразу в 4 балла.

Конец формы

Задача 19

Это в некотором смысле уникальная задача, и не только для ЕГЭ по математике. По существу, задача 19 всегда решается очень просто - иногда всего в пару строчек. Вот только додуматься до этого решения очень трудно.

Как правило, в задаче 19 все рассуждения строятся вокруг целых чисел. Это классическая арифметика: признаки делимости, четность/нечетность, деление с остатком и прочее. Ничего сложного в этих правилах нет, но увидеть их - значит решить задачу. Или, как минимум, значительно продвинуться к ответу.

Как ни странно, сами задачи 19 бывают очень разными. Многие ученики отмечают, что задачи с факториалами решаются почти всегда. И наоборот, популярные в последнее время условия, начинающиеся с фразы «на доске написаны [...] чисел...», оказываются крайне трудными.

Очевидно, что составители C6 рассчитывают на учеников с очень высоким уровнем математической культуры. На тех, кто способен к весьма изощренным арифметическим выкладкам, кто обладает явной склонностью к изучению математики. Именно поэтому задачу 19 (как, впрочем, и 18) оценивают в 4 балла.

Демонстрационный вариант ЕГЭ

1. Задание 1

Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 100 рублей за штуку и продает с наценкой 30%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1200 рублей?

2. Задание 2 На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1920 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

3. Задание 3 Вектор с концом в точке (5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите ординату точки .

4. Задание 4 . Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится четыре сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

5. Задание 5 Найдите корень уравнения .

6. Задание 6 . В треугольнике угол равен 90°, - высота, угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

7. Задание 7

Прямая является касательной к графику функции . Найдите c.

8. Задание 8. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки параллелепипеда , у которого , , .

9. Задание 9

Найдите значение выражения .

10. Задание 10 . Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Нм) определяется формулой , где - сила тока в рамке, Тл - значение индукции магнитного поля, м - размер рамки, - число витков провода в рамке, - острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,75 Нм?

11. Задание 11 Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 12 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 106 км/ч, и через 48 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

12. Задание 12 . Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

13. Задание 13

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14. Задание 14 В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер и

15. Задание 15 Решите неравенство

16. Задание 16 Дан параллелограмм ABCD, AB = 3, BC = 5, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

17. Задание 17 . 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

18. Задание 18 . Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет более двух решений.

19. Задание 19 . Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и

а) пять;

б) четыре;

в) три

из них образуют геометрическую прогрессию?

Решения и Ответы

1. Задание 1

Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 100 рублей за штуку и продает с наценкой 30%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1200 рублей?

Решение.

С учетом наценки горшок станет стоить 100 + 0,3 100 = 130 рублей. Разделим 1200 на 130:

.

Значит, можно будет купить 9 горшков.

Ответ: 9.

2. Задание 2 На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1920 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение.

Из графика видно, что наименьшая среднемесячная температура в период с пятого по двенадцатый месяц (с мая по декабрь) была в ноябре и составляла 6 °C (см. рисунок).

Ответ: 6

3. Задание 3 Вектор с концом в точке (5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите ординату точки .

Решение.

Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Координаты точки Aвычисляются следующим образом: 5 − x = 3, 3 − y = 1. Откуда x = 2, y = 2.

Ответ: 2

4. Задание 4 Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится четыре сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение.

По условию из любых 200 + 4 = 204 сумок в среднем 200 качественных сумок. Значит, вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна

Ответ: 0,98

5. Задание 5 Найдите корень уравнения .

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: -4

6. Задание 6 В треугольнике угол равен 90°, - высота, угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

углы и равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами, значит,

.

Ответ: 34

7. Задание 7

Прямая является касательной к графику функции . Найдите c.

Решение.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

.

Ответ: 17

8. Задание 8 Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки параллелепипеда , у которого , , .

Решение.

Из рисунка видно, что многогранник является половиной данного прямоугольного параллелепипеда. Следовательно, объём искомого многогранника

Ответ: 120

9. Задание 9

Найдите значение выражения .

Решение.

Выполним преобразования:

.

Ответ: -6

10. Задание 10 . Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Нм) определяется формулой , где - сила тока в рамке, Тл - значение индукции магнитного поля, м - размер рамки, - число витков провода в рамке, - острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,75 Нм?

Решение.

Задача сводится к решению неравенства на интервале при заданных значениях силы тока в рамке , размера рамки м, числа витков провода и индукции магнитного поля Тл:

.

Ответ: 30

11. Задание 11 . Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 12 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 106 км/ч, и через 48 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть скорость второго автомобиля равна км/ч. За 4/5 часа первый автомобиль прошел на 12 км больше, чем второй, отсюда имеем

Ответ: 91

12. Задание 12 Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

.

Ответ: -3

13. Задание 13

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Из данного уравнения получаем:

Значит, или откуда или откуда или

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) ; б)

14. Задание 14 В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер и

Решение.

Пусть и - середины ребер и соответственно. - медиана правильного треугольника следовательно, находится по формуле Прямая проецируется на плоскость основания и прямую Поэтому проекция точки - точка - лежит на отрезке Значит, прямая является проекцией прямой следовательно, угол - искомый.

где - центр основания, значит, - средняя линия треугольника поэтому Тогда и Из прямоугольного треугольника находим:

Из прямоугольного треугольника находим:

Значит, искомый угол равен

Ответ:

15. Задание 15 . Решите неравенство

Решение.

Решение будем искать при условиях:

.

Рассмотрим исходное неравенство на множестве тогда откуда то есть .

Рассмотрим исходное неравенство на множестве тогда откуда то есть или

Ответ: .

16. Задание 16 Дан параллелограмм ABCD, AB = 3, BC = 5, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

Решение.

Окружностей две: каждая из них вписанная в правильный треугольник. Эти треугольники имеют стороны равные 5 и 3 − соответственно. Поэтому радиусы окружностей равны третьей части высоты правильного треугольника.

Для треугольника со стороной 5 радиус равен

Найдем площадь невыпуклого четырехугольника как сумму площадей треугольников и

Для треугольника со стороной 3 радиус равен

Чтобы найти площадь четырехугольника вычтем из площади параллелограмма площади треугольников и

Ответ: или

17. Задание 17 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение.

Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a. После первой выплаты сумма долга составит S₁ = Sb − x. После второй выплаты сумма долга составит

После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна

После четвёртой выплаты сумма оставшегося долга равна

По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, поэтому

откуда

При S = 6 902 000 и a = 12,5, получаем: b = 1,125 и

Ответ: 2 296 350.

18. Задание 18 Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет более двух решений.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1) Если x + 2y − 5 ≥ 0, то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O₁(2; 4) и радиусом

2) Если x + 2y − 5 ≤ 0, то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O₂(0; 0) и радиусом

Полученные окружности пересекаются в двух точках A(−1; 3) и B(3; 1), лежащих на прямойx + 2y − 5 = 0, поэтому в первом случае получаем дугу ω₁ с концами в точках A и B, во втором - дугу ω₂ с концами в тех же точках (см. рис.).

Заметим, что точка лежит на дуге ω₂ и прямая O₂C перпендикулярна прямой O₁O₂.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой O₁O₂ или совпадающую с ней.

При a = −5 прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.

Аналогично, при a = 5 прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.

При прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг ω₂ и ω₁, то есть исходная система имеет два решения.

Аналогично, при прямая m касается дуг ω₂ и ω₁, то есть исходная система имеет два решения.

При или прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.

При −5 < a < 5 прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При или прямая m не пересекает дуги ω₁ и ω₂, то есть исходная система не имеет решений.

Значит, исходная система имеет более двух решений при или

Ответ:

19. Задание 19 Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и

а) пять;

б) четыре;

в) три

из них образуют геометрическую прогрессию?

Решение.

Случай а). Пусть числа где по условию - натуральное число, - искомые члены прогрессии. Их произведение равно но уравнение не имеет натуральных решений. Итак, необходимой прогрессии из 5 чисел не существует.

Случай б). Пусть прогрессия состоит из четырех членов а пятое натуральное число равно Поскольку имеем: что невозможно для натуральных и поскольку разложение числа 1512 не содержит четвертых степеней простых сомножителей отличных от 1. Заметим однако, что знаменатель прогрессии может не быть натуральным числом и исследуем этот случай. Пусть - несократимая дробь, Тогда что невозможно, так как разложение числа 1512 не содержит шестых степеней простых сомножителей отличных от 1.

Случай в). Пусть прогрессия состоит из трех членов а четвертое и пятое натуральные числа равны и Тогда Положим в этом равенстве Далее, полагая получим один из требуемых наборов чисел: 3, 6, 12, 7, 1.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.