Конспект урока Решение задач с помощью квадратных уравнений

Конспект урока . «Решение задач с помощью квадратных уравнений.»

Тип урока: урок обобщающего повторения и систематизации знаний.

Цели урока:

Образовательные: систематизировать знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений и создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений;

Развивающие: формировать учебно-познавательные навыки по работе с дополнительным материалом, развивать логическое мышление, внимание;

Воспитательные: воспитывать интерес к математике, активность, мобильность, взаимопомощь, умение общаться.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация.

Математическая задача иногда столь же увлекательна, как кроссворд, и напряжённая умственная работа может быть столь же желанным упражнением, как стремительный теннис.

Пойа.

Ход урока:

1.Организационный момент.

Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: "Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы".

Проверим, кто из вас порадовал бы Герберта Спенсера.

2.Проверка домашнего задания

Задача. Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 552, а их сумма равна 47. Найдите эти числа. Найдите арифметический способ решения.

Решение. (Один из учащихся воспроизводит решение задачи на доске, объясняет) Разделим сумму чисел на два. 47 :2 = 23,5. Поставим точку с этой координатой на числовую прямую. 23 23,5 24 Это число заключено между целыми натуральными числами 23 и 24. Их сумма равна 47. Проверим, действительно ли произведение их равно 552, 23 * 24 =552. Ответ: 23 и 24.

3. Математический диктант

1 вариант

1. Сформулируйте определение квадратного уравнения.

2)Запишите пример неполного квадратного уравнения.

3)Запишите, чему равен второй коэффициент в уравнении: 2х²+х-3=0

4)Запишите, чему равны: а, в и с в уравнении -зх²+5х=0

5) Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение вида

ах² +с = 0

6. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант положительный?

7. В каком случае квадратное уравнение имеет два равных корня?

8. Напишите формулу дискриминанта квадратного уравнения.

9. Напишите формулу корней квадратного уравнения со вторым четным коэффициентом.

10) Сформулируйте теорему Виета.

11)Чему равна сумма корней квадратного уравнения ах² + вх + с = 0

12) Приведите пример целого рационального уравнения.

2 вариант

1) Какое уравнение называют неполным квадратным уравнением?

2. Запишите пример квадратного уравнения.

3. Запишите, чему равен первый коэффициент в уравнении:

-х² +4х-7 = 0

4. Запишите, чему равны: а, в, с в уравнении 5х² - 8 = 0

5. Сколько корней может иметь неполное квадратное уравнение вида ах² +вх = о

6. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант отрицательный?

7. Какое уравнение называют приведенным квадратным уравнением?

8. Напишите формулу дискриминанта квадратного уравнения со вторым четным коэффициентом.

9. Напишите формулу корней квадратного уравнения.

10) Чему равно произведение корней квадратного уравнения

ах² +вх + с = О

11) Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

12) Приведите пример дробного рационального уравнения.

4. Решение задач (основные понятия).

Многие задачи алгебры, геометрии, физики, техники приводят к необходимости решения квадратных уравнений.

Схема решения задач

1. Анализ условия

2. Выделение главных ситуаций

3. Введение неизвестных величин

4. Установление зависимости между данными задачи и неизвестными величинами

5. Составление уравнения

6. Решение уравнения

7. Запись ответа

Если в уравнении дискриминант положителен, решениями задачи могут быть оба корня уравнения. Иногда бывает, что по смыслу задачи ей удовлетворяет лишь один из корней квадратного уравнения.

Задача1. Произведение двух натуральных чисел равно 84. Одно из чисел на 5 больше другого. Найти эти числа.

Анализируем условие задачи, составляем и решаем уравнение.

Пусть меньшее из данных чисел равно х, тогда большее число равно х+5. По условию произведение этих чисел равно 84. Составим уравнение х(х+5)=84. Получили квадратное уравнение х²+5х-84=0. Решим это уравнение. D=5²-4*1*(-84)=25+336=361=19², х₁=(-5+19):2=7; х₂=(-5-19):2=-12. Второй корень по смыслу задачи не подходит, т.к. даны натуральные числа. Значит меньшее число равно 7, а большее число равно 7+5=12.
Ответ: 7 и 12.

Рассмотрим задачу с геометрическим содержанием, для решения которой, применяется формула площади треугольника.

Задача 2. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 7 см больше другого, а площадь этого треугольника равна 30 см².

Решение. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Длины катетов неизвестны. Площадь равна 30 см².

Пусть х см-длина одного катета, (х+7) см-длина второго катета . Используя формулу площади треугольника составим уравнение: х(х+7)/2=30 . Решим уравнение: х²+7х=60 , х²+7х-60=0, D=289, х₁=-12; х₂=5. Так как длина отрезка величина положительная, то только х=5 удовлетворяет условию задачи. Найдем длину второго катета: 5+7=12 см. Ответ: 5см и 12 см.

Задача 3.Автобус-экспресс отправился от вокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 60км от вокзала. Пассажир, опоздавший на 5 минут на автобус, решил добраться до аэропорта на такси. Скорость такси на 10км/ч больше скорости автобуса. С какой скорость ехал автобус, если он приехал в аэропорт одновременно с такси?

Скорость, км/ч

Время,

ч

Путь,

км

Автобус

Х

60/Х

60

Такси

Х+10

60/(Х+10)

60

Уравнение;

(В тетрадях сделать подробную запись решения.)

720(х+10) - 720х= х (х+10)

Ответ; 80км/ч

Вопросы по решению;

1. Что означает дробь 1/12?

2. Сравните дроби 60/х и 60/(х+10)

3. Являются ли корни полученного уравнения решениями задачи?

Задача 4

Для вывоза песка из карьера в автопарке было заказано несколько одинаковых грузовых автомобилей. Руководство автопарка решило, что на каждую машину можно погрузить на одну тонну груза больше, чем рассчитывали, и поэтому прислало на 4 машины меньше. В итоге все 80 тонн песка были вывезены. Сколько машин было заказано в автопарке?

Тоннаж машин

(т)

Число

Машин

(шт)

Общий груз

(т)

Заказано

х

80

На самом

деле

80

х+4 х-4 4-х х : 4 Ответ 20 машин

Решение задачи обсуждается коллективно. Заполняется таблица, составляется уравнение, которое учащиеся решают самостоятельно в тетрадях. Решение уравнения проецируется на экран с целью самопроверки учащимися.

5.Самостоятельная работа в тетрадях на печатной основе. Проверочная работа №11, задание 4Вариант 1 (стр. 48)Ученик решил прочитать книгу, содержащую 480 страниц, за несколько дней. Но каждый день он читал на 20 страниц больше, чем предполагал, и поэтому прочитал книгу на 4 дня раньше. За сколько дней была прочитана книга? (480/(х-4) - 480/х = 20; х = 12)

Вариант 2 (стр. 50) Теплоход прошёл 18 км по озеру и 40 км по течению реки за 2 ч. Найдите скорость теплохода при движении по озеру, если скорость течения реки равна 3 км/ч (18/х + 40/(х+3) = 2, х = 27)

Вариант 3.(на карточках)

Расстояние между городами скорый поезд, идущий со скоростью 90 км/ч, проходит на 1,5 ч быстрее товарного, который идет со скоростью 60 км/ч. Каково расстояние между городами? (270км.)

Решение задач 1 и 2 вариантов проверить с записью на доске после того, как учащиеся сдадут работы.

1. Подведение итогов урока, выставление оценок.

Домашнее задание: №)487, № 551(2, 4)