Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике

Раздел Математика
Класс -
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:




Муниципальное образовательное казенное учреждение

Бага-Чоносовская средняя общеобразовательная школа имени Боован Бадмы









Алгебраический способ

решения текстовых задач

по математике

(задания В13 по материалам ФИПИ)




Выполнил: учитель математики

Бальджиков Б.Б.





п.Бага-Чонос

2013


Введение


Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой усваивается система математических знаний, умений и навыков, является решение задач. Именно задачи являются тем средством, которое в значительной степени направляет и стимулирует учебно-познавательную активность учащихся.

В обучении математике задачи выступают как цель и средство обучения. Этим определяется их место в процессе обучения математике. Задачи служат также основным дидактическим целям, формируют систему знаний, творческое мышление учащихся, способствуют развитию интеллекта и выполняют познавательную роль в обучении.

Педагогами и методистами признано, что решение задач является важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков, ведущей формой деятельности учащихся в процессе изучения математики, одним из основных средств их математического развития.

В последние годы самые сильные отрицательные эмоции у учащихся на уроках математики вызывает задание решить задачу. Примерно половина из них на государственной (итоговой) аттестации в форме ЕГЭ даже не приступает к решению текстовых задач (задания В13).

Почему так происходит? Зачем надо обучать детей решению текстовых задач и КАК это делать? Эти и другие подобные вопросы все чаще возникают в современной школе. Именно поэтому эта проблема показалась одной из актуальных на сегодняшний день.

Не прекращаются поиски эффективной методики обучения решению текстовых задач в общеобразовательной школе. Решение задач в математическом образовании занимает огромное место.

Решение задач с помощью уравнений ставит перед учащимися много различных проблем, в том числе проблему по отысканию той величины, которую надо обозначить переменной «х».

На первых этапах обучения у них нет опыта, нет никаких ориентиров, что приводит к тупику в решении и потере времени.

Каковы же знания, которые должны быть усвоены учащимися о задачах и их решении?

Это общие представления о задачах и процессах их возникновения из реальных и абстрактных проблемных ситуаций; о составных частях и структуре задач; об основных видах задач в зависимости от характера объекта и требований задачи; общие представления о сущности процесса решения задач и конкретизация их в отношении каждого вида задач; о структуре и этапах процесса решения задач.

Главное - сформировать такой общий подход к решению задач, когда задача рассматривается как объект для анализа, для исследования, а ее решение - как конструирование и изобретение способа решения. Это осуществляется в процессе обучения математике с помощью основополагающих принципов дидактики. Действительно, в обучении реализуются следующие принципы:

  1. Принцип научности отражает взаимосвязь с современным научным знанием. Этот принцип воплощается в отборе изучаемого материала, в порядке и последовательности введения научных понятий в учебный процесс.

Принцип научности нацеливает учителя на вовлечение школьников в проведение анализа результатов собственных наблюдений, в самостоятельное их (результатов) исследование.

  1. Принцип систематичности и последовательности придает системный характер учебной деятельности, теоретическим знаниям, практическим умениям учащегося. Этот принцип предполагает усвоение знаний в определенном порядке, системе. Требование систематичности и последовательности в обучении нацелено на сохранение преемственности содержательной и процессуальной сторон обучения, при которых каждый урок -это логическое продолжение предыдущего как по содержанию изучаемого учебного материала, так и по характеру, способам выполняемой учениками учебно-познавательной деятельности.

  2. Принцип связи обучения с практикой предусматривает, чтобы процесс обучения стимулировал учеников использовать полученные знания в решении практических задач, анализировать и преобразовывать окружающую действительность. Для этого используется анализ примеров и ситуаций из реальной жизни, соотнесение с жизненными ситуациями условия задачи, анализ условия задачи.

  3. Принцип доступности требует учета особенностей развития учащихся, анализа материала с точки зрения их реальных возможностей и такой организации обучения, чтобы они не испытывали интеллектуальных, моральных, физических перегрузок.

Доступность должна заключаться в обучении учащихся новому материалу, опираясь на их знания, опыт, особенности мышления. Например, при решении задач с помощью составления уравнений учащиеся должны уметь решать прежде всего сами уравнения.

  1. Принцип наглядности означает, что эффективность обучения зависит от целесообразного привлечения органов чувств к восприятию и переработке учебного материала. В процессе обучения используются наглядные средства: модели, рисунки, схемы и т.п. Виды, наглядности, которые могут быть использованы при решении задач, это:

  • экспериментальная наглядность (опыты, эксперименты);

  • символическая и графическая наглядность (графики, схемы и т.п.);

  • внутренняя наглядность (образы, создаваемые речью учителя).

Однако использование наглядности должно быть в той мере, в какой она способствует формированию знаний и умений, развитию мышления. Так, при решении задачи, ученик должен переходить от образного представления процессов, описываемых в ней, к их записи с помощью схем, графиков и оперировать уже со знаками и символами.

Но прежде чем перейти к самим задачам, надо отработать с учащимися умение записывать предложения в виде равенств.

п/п

Записать следующие предложения в виде равенств

1

А больше В на 8


А-В=8

В+8=А

А-8=В

2

А меньше В на 7


В-А=7

А+7=В

В-7=А

3

А больше В в 4 раза


А:В=4

А:4=В

4В=А

4

А меньше В в 3 раза

В:А=3

В:3=А

3А= В

5

А составляет 75% от В

А=0,75В

6

А больше В на 24%

А-В=0,24В

А=В+0,24В

7

В меньше А на 45%

А-В=0,45А

А=В+0,45А











Теперь - сами задания В13.

Задачи на движение.


Начнем мы с задач на движение. Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле: S=vt. Из этой формулы можно выразить скорость или время.

В качестве переменной х удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!

Задача (ФИПИ-2013, вариант №4).

Два велосипедиста одновременно отправились в 153-километровый пробег. Первый ехал с скоростью, на 8 км/ч больше, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 8 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Что здесь лучше всего обозначить за х? Конечно, скорость одного из велосипедистов. Например, скорость второго велосипедиста х км/ч, тем более, что она меньше скорости первого участника движения. В задаче сказано, что первый велосипедист ехал со скоростью, на 8 км/ч больше, чем скорость второго, значит, скорость первого велосипедиста (х+8) км/ч.

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние -153 км и скорости.

v, км/ч

t, ч

S, км

1 велосипедист

х+8

153

2 велосипедист

х

153

Осталось заполнить графу «время». Его мы найдем по формуле: t=Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике.

Эти данные тоже запишем в таблицу.

v, км/ч

t, ч

S, км

1 велосипедист

х+8

Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике

153

2 велосипедист

х

Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике

153

Остается записать, что первый велосипедист прибыл к финишу на 8 часов раньше второго. Раньше - значит, времени он затратил меньше на 8 часов, чем второй. Составим уравнение

Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике-Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике=8.

Решим это рациональное уравнение

Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике-Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике-8=0.

Приведем дроби в левой части уравнения к одному знаменателю

Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике.

Дробь обращается в нуль, лишь при условиях, что числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

153(х+8)-153х-8х(х+8)=0, хРазработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике

153х+1224-153х-8х2-64х=0,

-8х2-64х+1224=0.

Разделим обе части уравнения на (-8)

х2+8х-153=0,

х1=-17, х2=9

Так как-17Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике 9Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике, 9Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике, то х1=-17, х2=9 являются корнями данного уравнения.

Так как скорость велосипедиста должна быть положительна, то ответ -17 не подходит под условие задачи. Таким образом, решением данного уравнения является только одно значение х=9.

Значит, 9 км/ч-скорость второго велосипедиста. Еще раз читаем задачу и определяем главный вопрос -найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, то есть надо найти скорость первого велосипедиста. Она будет равна 9+8=17 км/ч.

Ответ: 17.

Следующий тип задач - когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде. При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть - быстрее. Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения. А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

Задача (ФИПИ-2013, вариант №8).

Расстояние между пристанями А и В равно 48 км. Отчалив от пристани от пристани А в 10 часов утра, теплоход проплыл по течению реки с постоянной скоростью до пристани В. После трехчасовой стоянки у пристани В теплоход отправился в обратный рейс и прибыл в А в тот же день в 22.00. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна х км/ч. Тогда скорость движения теплохода по течению равна (х+4) км/ч, а скорость, с которой он движется против течения (х-4) км/ч. Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 48 км.

Занесем скорости и расстояние в таблицу.

v, км/ч

t, ч

S, км

По течению реки

х+4

48

Против течения реки

х-4

48

Осталось заполнить графу «время». Его мы найдем по формуле: t=Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике.

Эти данные тоже запишем в таблицу.

v, км/ч

t, ч

S, км

По течению реки

х+4

Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике

48

Против течения реки

х-4

Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике

48

В пункт отправления теплоход вернулся через 12 часов после отплытия из него, при чем стоянка длилась 3 часа, следовательно, 9 часов теплоход плыл - сначала по течению, затем против. Составим уравнение

Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике.

Решим это уравнение

Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике.

48(х-4)+48(х+4)-9(х2-16)=0, а хРазработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике

-9х2+96х+144=0,

2-32х-48=0,

D/4=400,

х1,2=Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике,

х1=12, х2= -1Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике.

Оба корня удовлетворяют условию хРазработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике, значит, они являются корнями данного уравнения. Но по смыслу задачи скорость движения должна быть положительной величиной, поэтому число -1Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, 12 км/ч-скорость теплохода в неподвижной воде.

Ответ: 12.








Задачи на совместную работу

Еще один тип задач В13, встречающийся в вариантах ЕГЭ по математике - это задачи на работу.

Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: V=pt. Здесь V - объем работы, t - время, а величина p, которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название - производительность. Она показывает, какой объем работы выполнен за единицу времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики. Количество шариков, которые он надует за час - это и есть его производительность.

Правила решения задач на работу очень просты.

V=pt, то есть работа равна произведению производительности на время. Из этой формулы легко найти t или p.

Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти - объем принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов - объем работы как раз и равна этому количеству.

Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода…) - их производительности складываются. Очень логичное правило.

В качестве переменной удобно взять именно производительность.

Рассмотрим, как все это применяется на практике.

Задача (ФИПИ-2013, вариант №6).

На изготовления 48 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовления 96 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем ее за х деталей в час. Тогда производительность первого рабочего равна (х+4) деталей в час (он делает на 4 деталь в час больше). По условию задачи, объем работы первого рабочего равен 48 деталей, а второго- 96 деталей. Эти данные тоже запишем в таблицу.

р, деталей в час

t, ч

V, кол-во деталей

1 рабочий

х+4

48

2 рабочий

х

96

Осталось заполнить графу «время». Его мы найдем по формуле: t=Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике.

р, деталей в час

t, ч

V, кол-во деталей

1 рабочий

х+4

Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике

48

2 рабочий

х

Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике

96

Остается записать, что первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий. Составим уравнение

Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике,

Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике,

96(х+4)-48х-8х(х+4)=0 , х≠0, х≠-4,

96х+384-48х-8х2-32х=0,

-8х2+16х+384=0,

х2-2х-48=0,

х1=8, х2= -6.

Оба корня уравнения удовлетворяют условиям х≠0, х≠-4,

но корень х=-6 не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, второй рабочий делает 8 деталей в час.

Ответ: 8.







Решение задач на растворы, смеси и сплавы


Еще один тип задач В13, встречающийся в вариантах ЕГЭ по математике - это задачи на смеси, растворы, сплавы. Задачи на растворы решаются с помощью формулы: m=cM. Здесь m - масса(объем) данного вещества, M - общая масса(объем) смеси (сплава), а величина c- концентрация данного вещества в смеси (сплаве). Она показывает, какую долю полного объема смеси составляют объем компонента. Иногда говорят о процентном содержании вещества в растворе. Эта величина вычисляется по формуле р=с·100%.

Если известно процентное содержание вещества A, то его концентрация находится по формуле Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике .

Так, например, если процентное содержание составляет 80%, то соответствующая концентрация равна 0,8.

Как видно, переход от концентрации к процентному содержанию и наоборот весьма прост.

Задача.

Имеется кусок сплава меди с оловом общей массы 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40%меди?

Примем за х кг массу куска олова, которое надо добавить. Переведем процентное содержание меди 45% и 40% в концентрацию. 45%=0,45 и 40%=0,4. Занесем данные задачи в таблицу.

с

М, кг

m, кг

Первоначальный сплав

0,45

12


Полученный сплав

0,4

12+х


Осталось заполнить графу «Масса вещества». Её мы найдем из формулы m=cM.

с

М, кг

m, кг

Первоначальный сплав

0,45

12

12· 0,45=5,4

Полученный сплав

0,4

12+х

(12+х)·0,4

По закону сохранения массы (объема) вещества имеем

(12+х)·0,4=5,4.

Решим полученное линейное уравнение

4,8+0,4х=5,4,

0,4х=0,6,

х=1,5.

Таким образом, надо добавить 1,5 кг чистого олова.

Ответ: 1,5.

Задача. (Вариант тренировочной работы по математике, 2011г)

Смещали 8 кг 18% раствора некоторого вещества с 12 кг 8% раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.

В задаче требуется найти концентрацию получившегося раствора. Примем за х концентрацию смеси из двух растворов.

с

М, кг

m, кг

1 раствор

0,18

8


2 раствор

0,08

12


Получившийся раствор

х

8+12=20


Осталось заполнить графу «Масса вещества». Её мы найдем из формулы m=cM.

с

М, кг

m, кг

1 раствор

0,18

8

0,18·8=1,44

2 раствор

0,08

12

0,08·12=0,96

Получившийся раствор

х

8+12=20

х·20

По закону сохранения массы вещества

20х=1,44+0,96

20х=2,4

х=0,12.

Таким образом, концентрация получившегося раствора равна 0,12.

Ответ: 0,12.

Задача.

Смешали 40%-ый раствор соляной кислоты с 20%-ым, получили 800 г 25%-го раствора. Сколько граммов 40%-го раствора было взято?

Пусть х г 40%-го раствора соляной кислоты было взято. Переведем процентное содержание кислоты 40%, 20% и 25% в концентрацию: 40%=0,4 и 20%=0,2, 25%=0,25. Занесем данные задачи в таблицу.


с

М, кг

m, кг

1 раствор

0,4

х


2 раствор

0,2

800-х


Получившийся раствор

0,25

800


Осталось заполнить графу «Масса вещества». Её мы найдем из формулы m=cM.

с

М, кг

m, кг

1 раствор

0,4

х

0,4х

2 раствор

0,2

800-х

0,2·(800-х)

Получившийся раствор

0,25

800

800·0,25=200

По закону сохранения массы вещества (соляной кислоты)

0,4х+0,2(800-х)=200

0,4х+160-0,2х=200

0,2х=40

х=200

Значит, взяли 200 г 40% -го раствора соляной кислоты.

Ответ: 200.







Список литературы


  1. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс.: учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2007.

  2. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 7 класс.: учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2011.

  3. ЕГЭ-2013: Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий/ авторы -составители И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий; под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко.- М.: АСТ: Астрель, 2013.

© 2010-2022