- Преподавателю
- Математика
- Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике
Разработка на тему Алгебраический способ решения текстовых задач по математике
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Бальджиков Б.Б. |
Дата | 08.08.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Муниципальное образовательное казенное учреждение
Бага-Чоносовская средняя общеобразовательная школа имени Боован Бадмы
Алгебраический способ
решения текстовых задач
по математике
(задания В13 по материалам ФИПИ)
Выполнил: учитель математики
Бальджиков Б.Б.
п.Бага-Чонос
2013
Введение
Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой усваивается система математических знаний, умений и навыков, является решение задач. Именно задачи являются тем средством, которое в значительной степени направляет и стимулирует учебно-познавательную активность учащихся.
В обучении математике задачи выступают как цель и средство обучения. Этим определяется их место в процессе обучения математике. Задачи служат также основным дидактическим целям, формируют систему знаний, творческое мышление учащихся, способствуют развитию интеллекта и выполняют познавательную роль в обучении.
Педагогами и методистами признано, что решение задач является важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков, ведущей формой деятельности учащихся в процессе изучения математики, одним из основных средств их математического развития.
В последние годы самые сильные отрицательные эмоции у учащихся на уроках математики вызывает задание решить задачу. Примерно половина из них на государственной (итоговой) аттестации в форме ЕГЭ даже не приступает к решению текстовых задач (задания В13).
Почему так происходит? Зачем надо обучать детей решению текстовых задач и КАК это делать? Эти и другие подобные вопросы все чаще возникают в современной школе. Именно поэтому эта проблема показалась одной из актуальных на сегодняшний день.
Не прекращаются поиски эффективной методики обучения решению текстовых задач в общеобразовательной школе. Решение задач в математическом образовании занимает огромное место.
Решение задач с помощью уравнений ставит перед учащимися много различных проблем, в том числе проблему по отысканию той величины, которую надо обозначить переменной «х».
На первых этапах обучения у них нет опыта, нет никаких ориентиров, что приводит к тупику в решении и потере времени.
Каковы же знания, которые должны быть усвоены учащимися о задачах и их решении?
Это общие представления о задачах и процессах их возникновения из реальных и абстрактных проблемных ситуаций; о составных частях и структуре задач; об основных видах задач в зависимости от характера объекта и требований задачи; общие представления о сущности процесса решения задач и конкретизация их в отношении каждого вида задач; о структуре и этапах процесса решения задач.
Главное - сформировать такой общий подход к решению задач, когда задача рассматривается как объект для анализа, для исследования, а ее решение - как конструирование и изобретение способа решения. Это осуществляется в процессе обучения математике с помощью основополагающих принципов дидактики. Действительно, в обучении реализуются следующие принципы:
-
Принцип научности отражает взаимосвязь с современным научным знанием. Этот принцип воплощается в отборе изучаемого материала, в порядке и последовательности введения научных понятий в учебный процесс.
Принцип научности нацеливает учителя на вовлечение школьников в проведение анализа результатов собственных наблюдений, в самостоятельное их (результатов) исследование.
-
Принцип систематичности и последовательности придает системный характер учебной деятельности, теоретическим знаниям, практическим умениям учащегося. Этот принцип предполагает усвоение знаний в определенном порядке, системе. Требование систематичности и последовательности в обучении нацелено на сохранение преемственности содержательной и процессуальной сторон обучения, при которых каждый урок -это логическое продолжение предыдущего как по содержанию изучаемого учебного материала, так и по характеру, способам выполняемой учениками учебно-познавательной деятельности.
-
Принцип связи обучения с практикой предусматривает, чтобы процесс обучения стимулировал учеников использовать полученные знания в решении практических задач, анализировать и преобразовывать окружающую действительность. Для этого используется анализ примеров и ситуаций из реальной жизни, соотнесение с жизненными ситуациями условия задачи, анализ условия задачи.
-
Принцип доступности требует учета особенностей развития учащихся, анализа материала с точки зрения их реальных возможностей и такой организации обучения, чтобы они не испытывали интеллектуальных, моральных, физических перегрузок.
Доступность должна заключаться в обучении учащихся новому материалу, опираясь на их знания, опыт, особенности мышления. Например, при решении задач с помощью составления уравнений учащиеся должны уметь решать прежде всего сами уравнения.
-
Принцип наглядности означает, что эффективность обучения зависит от целесообразного привлечения органов чувств к восприятию и переработке учебного материала. В процессе обучения используются наглядные средства: модели, рисунки, схемы и т.п. Виды, наглядности, которые могут быть использованы при решении задач, это:
-
экспериментальная наглядность (опыты, эксперименты);
-
символическая и графическая наглядность (графики, схемы и т.п.);
-
внутренняя наглядность (образы, создаваемые речью учителя).
Однако использование наглядности должно быть в той мере, в какой она способствует формированию знаний и умений, развитию мышления. Так, при решении задачи, ученик должен переходить от образного представления процессов, описываемых в ней, к их записи с помощью схем, графиков и оперировать уже со знаками и символами.
Но прежде чем перейти к самим задачам, надо отработать с учащимися умение записывать предложения в виде равенств.
№
п/п
Записать следующие предложения в виде равенств
1
А больше В на 8
А-В=8
В+8=А
А-8=В
2
А меньше В на 7
В-А=7
А+7=В
В-7=А
3
А больше В в 4 раза
А:В=4
А:4=В
4В=А
4
А меньше В в 3 раза
В:А=3
В:3=А
3А= В
5
А составляет 75% от В
А=0,75В
6
А больше В на 24%
А-В=0,24В
А=В+0,24В
7
В меньше А на 45%
А-В=0,45А
А=В+0,45А
Теперь - сами задания В13.
Задачи на движение.
Начнем мы с задач на движение. Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле: S=vt. Из этой формулы можно выразить скорость или время.
В качестве переменной х удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!
Задача (ФИПИ-2013, вариант №4).
Два велосипедиста одновременно отправились в 153-километровый пробег. Первый ехал с скоростью, на 8 км/ч больше, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 8 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
Что здесь лучше всего обозначить за х? Конечно, скорость одного из велосипедистов. Например, скорость второго велосипедиста х км/ч, тем более, что она меньше скорости первого участника движения. В задаче сказано, что первый велосипедист ехал со скоростью, на 8 км/ч больше, чем скорость второго, значит, скорость первого велосипедиста (х+8) км/ч.
Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние -153 км и скорости.
v, км/ч
t, ч
S, км
1 велосипедист
х+8
153
2 велосипедист
х
153
Осталось заполнить графу «время». Его мы найдем по формуле: t=.
Эти данные тоже запишем в таблицу.
v, км/ч
t, ч
S, км
1 велосипедист
х+8
153
2 велосипедист
х
153
Остается записать, что первый велосипедист прибыл к финишу на 8 часов раньше второго. Раньше - значит, времени он затратил меньше на 8 часов, чем второй. Составим уравнение
-=8.
Решим это рациональное уравнение
--8=0.
Приведем дроби в левой части уравнения к одному знаменателю
.
Дробь обращается в нуль, лишь при условиях, что числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
153(х+8)-153х-8х(х+8)=0, х
153х+1224-153х-8х2-64х=0,
-8х2-64х+1224=0.
Разделим обе части уравнения на (-8)
х2+8х-153=0,
х1=-17, х2=9
Так как-17 9, 9, то х1=-17, х2=9 являются корнями данного уравнения.
Так как скорость велосипедиста должна быть положительна, то ответ -17 не подходит под условие задачи. Таким образом, решением данного уравнения является только одно значение х=9.
Значит, 9 км/ч-скорость второго велосипедиста. Еще раз читаем задачу и определяем главный вопрос -найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, то есть надо найти скорость первого велосипедиста. Она будет равна 9+8=17 км/ч.
Ответ: 17.
Следующий тип задач - когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде. При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть - быстрее. Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения. А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.
Задача (ФИПИ-2013, вариант №8).
Расстояние между пристанями А и В равно 48 км. Отчалив от пристани от пристани А в 10 часов утра, теплоход проплыл по течению реки с постоянной скоростью до пристани В. После трехчасовой стоянки у пристани В теплоход отправился в обратный рейс и прибыл в А в тот же день в 22.00. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна х км/ч. Тогда скорость движения теплохода по течению равна (х+4) км/ч, а скорость, с которой он движется против течения (х-4) км/ч. Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 48 км.
Занесем скорости и расстояние в таблицу.
v, км/ч
t, ч
S, км
По течению реки
х+4
48
Против течения реки
х-4
48
Осталось заполнить графу «время». Его мы найдем по формуле: t=.
Эти данные тоже запишем в таблицу.
v, км/ч
t, ч
S, км
По течению реки
х+4
48
Против течения реки
х-4
48
В пункт отправления теплоход вернулся через 12 часов после отплытия из него, при чем стоянка длилась 3 часа, следовательно, 9 часов теплоход плыл - сначала по течению, затем против. Составим уравнение
.
Решим это уравнение
.
48(х-4)+48(х+4)-9(х2-16)=0, а х
-9х2+96х+144=0,
3х2-32х-48=0,
D/4=400,
х1,2=,
х1=12, х2= -1.
Оба корня удовлетворяют условию х, значит, они являются корнями данного уравнения. Но по смыслу задачи скорость движения должна быть положительной величиной, поэтому число -1 не удовлетворяет условию задачи.
Таким образом, 12 км/ч-скорость теплохода в неподвижной воде.
Ответ: 12.
Задачи на совместную работу
Еще один тип задач В13, встречающийся в вариантах ЕГЭ по математике - это задачи на работу.
Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: V=pt. Здесь V - объем работы, t - время, а величина p, которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название - производительность. Она показывает, какой объем работы выполнен за единицу времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики. Количество шариков, которые он надует за час - это и есть его производительность.
Правила решения задач на работу очень просты.
V=pt, то есть работа равна произведению производительности на время. Из этой формулы легко найти t или p.
Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти - объем принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов - объем работы как раз и равна этому количеству.
Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода…) - их производительности складываются. Очень логичное правило.
В качестве переменной удобно взять именно производительность.
Рассмотрим, как все это применяется на практике.
Задача (ФИПИ-2013, вариант №6).
На изготовления 48 деталей первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовления 96 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем ее за х деталей в час. Тогда производительность первого рабочего равна (х+4) деталей в час (он делает на 4 деталь в час больше). По условию задачи, объем работы первого рабочего равен 48 деталей, а второго- 96 деталей. Эти данные тоже запишем в таблицу.
р, деталей в час
t, ч
V, кол-во деталей
1 рабочий
х+4
48
2 рабочий
х
96
Осталось заполнить графу «время». Его мы найдем по формуле: t=.
р, деталей в час
t, ч
V, кол-во деталей
1 рабочий
х+4
48
2 рабочий
х
96
Остается записать, что первый рабочий тратит на 8 часов меньше, чем второй рабочий. Составим уравнение
,
,
96(х+4)-48х-8х(х+4)=0 , х≠0, х≠-4,
96х+384-48х-8х2-32х=0,
-8х2+16х+384=0,
х2-2х-48=0,
х1=8, х2= -6.
Оба корня уравнения удовлетворяют условиям х≠0, х≠-4,
но корень х=-6 не подходит по смыслу задачи.
Таким образом, второй рабочий делает 8 деталей в час.
Ответ: 8.
Решение задач на растворы, смеси и сплавы
Еще один тип задач В13, встречающийся в вариантах ЕГЭ по математике - это задачи на смеси, растворы, сплавы. Задачи на растворы решаются с помощью формулы: m=cM. Здесь m - масса(объем) данного вещества, M - общая масса(объем) смеси (сплава), а величина c- концентрация данного вещества в смеси (сплаве). Она показывает, какую долю полного объема смеси составляют объем компонента. Иногда говорят о процентном содержании вещества в растворе. Эта величина вычисляется по формуле р=с·100%.
Если известно процентное содержание вещества A, то его концентрация находится по формуле .
Так, например, если процентное содержание составляет 80%, то соответствующая концентрация равна 0,8.
Как видно, переход от концентрации к процентному содержанию и наоборот весьма прост.
Задача.
Имеется кусок сплава меди с оловом общей массы 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40%меди?
Примем за х кг массу куска олова, которое надо добавить. Переведем процентное содержание меди 45% и 40% в концентрацию. 45%=0,45 и 40%=0,4. Занесем данные задачи в таблицу.
с
М, кг
m, кг
Первоначальный сплав
0,45
12
Полученный сплав
0,4
12+х
Осталось заполнить графу «Масса вещества». Её мы найдем из формулы m=cM.
с
М, кг
m, кг
Первоначальный сплав
0,45
12
12· 0,45=5,4
Полученный сплав
0,4
12+х
(12+х)·0,4
По закону сохранения массы (объема) вещества имеем
(12+х)·0,4=5,4.
Решим полученное линейное уравнение
4,8+0,4х=5,4,
0,4х=0,6,
х=1,5.
Таким образом, надо добавить 1,5 кг чистого олова.
Ответ: 1,5.
Задача. (Вариант тренировочной работы по математике, 2011г)
Смещали 8 кг 18% раствора некоторого вещества с 12 кг 8% раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.
В задаче требуется найти концентрацию получившегося раствора. Примем за х концентрацию смеси из двух растворов.
с
М, кг
m, кг
1 раствор
0,18
8
2 раствор
0,08
12
Получившийся раствор
х
8+12=20
Осталось заполнить графу «Масса вещества». Её мы найдем из формулы m=cM.
с
М, кг
m, кг
1 раствор
0,18
8
0,18·8=1,44
2 раствор
0,08
12
0,08·12=0,96
Получившийся раствор
х
8+12=20
х·20
По закону сохранения массы вещества
20х=1,44+0,96
20х=2,4
х=0,12.
Таким образом, концентрация получившегося раствора равна 0,12.
Ответ: 0,12.
Задача.
Смешали 40%-ый раствор соляной кислоты с 20%-ым, получили 800 г 25%-го раствора. Сколько граммов 40%-го раствора было взято?
Пусть х г 40%-го раствора соляной кислоты было взято. Переведем процентное содержание кислоты 40%, 20% и 25% в концентрацию: 40%=0,4 и 20%=0,2, 25%=0,25. Занесем данные задачи в таблицу.
с
М, кг
m, кг
1 раствор
0,4
х
2 раствор
0,2
800-х
Получившийся раствор
0,25
800
Осталось заполнить графу «Масса вещества». Её мы найдем из формулы m=cM.
с
М, кг
m, кг
1 раствор
0,4
х
0,4х
2 раствор
0,2
800-х
0,2·(800-х)
Получившийся раствор
0,25
800
800·0,25=200
По закону сохранения массы вещества (соляной кислоты)
0,4х+0,2(800-х)=200
0,4х+160-0,2х=200
0,2х=40
х=200
Значит, взяли 200 г 40% -го раствора соляной кислоты.
Ответ: 200.
Список литературы
-
Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс.: учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2007.
-
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 7 класс.: учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2011.
-
ЕГЭ-2013: Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий/ авторы -составители И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий; под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко.- М.: АСТ: Астрель, 2013.