Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

Северо-Казахстанская область

Тайыншинский район Донецкая СШ

учитель математики высшей категории

М.Ф. Будзинская

Общественный смотр знаний

по алгебре и началам анализа в 11 классе:

«Функция, её производная и первообразная

на Едином национальном тестировании»

Никогда не беритесь за последующее, не усвоив предыдущего

И.П. Павлов

Ведущая идея моей педагогической практики - максимально раскрыть перед ребёнком спектр приложений математических знаний, чтобы дети поняли, насколько удивительна, заманчива и всесильна математика.

Когда решался вопрос, какую тему я буду рассматривать на этом открытом уроке, я решила однозначно - функция. Потому, что одной из составляющих школьного курса математики является функциональная линия. Особенно много времени на её изучение отводится в старших классах. Поэтому около трети заданий ЕНТ так или иначе связаны с исследованием свойств функций.

Общественный смотр знаний - одна из форм проверки знаний учащихся по определённой теме.

Общественный, т.к. знания проверяет независимая комиссия, а не ведущий уроки учитель.

Общественный, т.к. на смотре присутствуют гости, которые не участвуют в оценке заданий.

Общественный, т.к. на смотре присутствуют члены родительского комитета класса, которые своим присутствием обеспечивают комфортность детям.

Кроме того, что общественный смотр знаний является одной из форм контроля знаний, это также одна из форм подготовки учащихся к ЕНТ, т.к. некоторые цели смотра совпадают с целями ЕНТ: проверка знаний независимой комиссией, нестандартная ситуация, разный уровень заданий по сложности, оценка в баллах и перевод их в существующие сейчас отметки. Т.е. я старалась как можно более максимально приблизить ситуацию к той, что будет у ребят на ЕНТ.

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

Урок общественного смотра знаний объединяет серию уроков по теме «Производная» (10 класс - 8 часов) и серию уроков по теме «Первообразная и интеграл» (11 класс - 12 часов), «Показательная и логарифмическая функция» (11 класс - 5 часов).

Применение тестов, я считаю, обеспечивает объективную оценку знаний и умений учащихся, выявляет факт усвоения знаний и способствует установлению эффективной обратной связи.

Цель урока:

• Образовательная - обобщение и систематизация основных понятий функции и применение их на практике, обобщить понятие производной и первообразной функции;

• Развивающая - способствовать развитию познавательного процесса, логического мышления при установлении связи физических величин с понятием производной, первообразной, развитие монологической речи в ходе объяснений, обоснование выполняемых действий, развитие навыков самостоятельной работы.

• Воспитательная - содействовать воспитанию интереса к теме «Функция», воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности.

Тип урока:

• Урок обобщения и систематизация знаний.

• Отработка умений и навыков при выполнении тестовых заданий.

• Проверка и оценка знаний на данном уровне.

Методы обучения на уроке:

• частично-поисковый;

• репродуктивный;

• системные обобщения.

Формы организации учебной деятельности:

• Индивидуальная,

• фронтальная,

• парная,

• самопроверка,

• взаимопроверка,

• коллективные способы обучения.

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

Оборудование урока: интерактивная доска, научно - практический журнал №1и №2 «Математика для школьников» изд. «Школьная пресса» - 2005г., «Готовимся к единому государственному экзамену по математике», 2005г. выпуск 31, издательство «Школьная пресса». Учебники, дополнительная литература, лист учета знаний, справочники.

1. Ход урока:

Объявление темы урока, девиза, представление жюри, гостей.

Оборудование: интерактивная доска.

Учитель:

Здравствуйте уважаемые гости, коллеги. Здравствуйте ребята.

Мы начинаем наш необычный урок. Необычный потому, что сегодня у нас на уроке присутствует много гостей, поддержать вас пришли ваши родители. И ваши знания буду оценивать не я, а независимая комиссия в лице компетентного жюри (представление жюри). И ещё ваши знания будут оцениваться в баллах, а в конце урока жюри проведет разбалловку по той же схеме, что и на ЕНТ. Так что перед вами стоит задача набрать как можно больше баллов.

И так, тема нашего урока «Функция, её производная и первообразная на Едином национальном тестировании».

Девизом урока у нас будут очень мудрые слова замечательного ученого Павлова «Никогда не беритесь за последующее, не усвоив предыдущего».

Прежде чем говорить о производной функции, её первообразной послушаем немного об истории возникновения и развития функции.

2. Историческая справка. Учащиеся рассказывают биографии ученых, об их достижениях в области математики. Рассказ сопровождается показом слайдов (Приложение №1).

3. Теоретические вопросы:

Учитель: Напоминаю, что функция может быть задана различными способами. Наиболее часто встречается задание функции аналитической формулой и графиком. И нужно уметь устанавливать вид функции и исследовать её свойства как по графику, так и по формуле.

А сейчас мы дадим современное определение функции, области определения и области значений.

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.
Разминка в форме вопросов по готовым графикам (нули функции, промежутки возрастания, убывания функции, область определения, область значений). Графики демонстрируются на интерактивной доске.

1. Что можно сказать об основании показательной функции

у= а^х

Рис.1 Рис.2

2. Какая функция является обратной к показательной функции?

3. Как обозначается логарифмическая функция?

4. Область определения логарифмической функции?

5. Как зависит изменение логарифмической функции от основания a?

6. Что можно сказать об основании данных логарифмических функций?

Рис.1 Рис.2

Учитель: При исследовании свойств функции находят её область определения, множество значений, промежутки знакопостоянства, промежутки

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.
монотонности (возрастания, убывания), экстремумы, наибольшие и наименьшие

значения функции на том или ином множестве, проверяют на чётность или нечётность и т.д.

4. Выполнение тестовых заданий №1 - 12 (область определения, область значений функции)

(Все тестовые задания демонстрируются на интерактивной доске).

Задание 1(А). Найдите область определения функции

_x

y = log_{5 15 - 3x}

А). (-∞; 0) U (5; +∞); В). (0; 5); С). [0; 5); D). (0; 3).

Задание 2(А). Укажите область определения функции

₈

y = √3 - log₄ ^x

А). ( 0; +∞); В). (- ∞; 64 ]; С). (0; 1 ]; D). (0; 64 ].

Задание 3(А). Укажите область определения функции

y = ⁴√5 - log₂ ^2х

А). ( 0; 16 ]; В). (0; 2,5 ]; С). (0; 5 ]; D). (0; 2 ].

Задание 4(В). Найдите наибольшее целое значение функции

_{2 2}

у = 4 · 5 ^{2 sin х. + 5cоs х - 3}

А). 25; В). 20; С). 100; D). 75.

Задание 5(А). Укажите промежуток, являющийся областью определения функции

₁₆

y = √2 - log₅ ^х

А). ( 0; 25 ]; В). ( 0; +∞ ); С). (- ∞; 25 ]; D). [ 25; + ∞ ).

Задание 6(А). Найдите множество значений функции

y = 2 + sinх.

А). [ -1; 1 ]; В). [ 0; 2 ]; С). [ 1; 3 ]; D). [ 2; 3 ] .

Задание 7(А). Какое из следующих чисел входит во множество значений функции

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

1 ^х

у = − 2?

8

А) - 6; В). -1; С). - 2; D). -3 .

Задание 8(А). Укажите функцию, область значений которой - промежуток

( 0; + ∞).

₁

А). у = ; В). у = √х; С). у = log₃ х; D). у = 2х² .

х²

Задание 9(А). Найдите нули функции

₃

√2х - 16

у = .

х + 2

А) - 8; В). 2; С). - 2; D). 8 .

Задание 10(В). Найдите наибольшее целое число в области определения функции

у = ln(23 - | 2х - 8 | ).

А) -7; В). 4; С). 15; D). - 8 .

Задание 11(В). Укажите наибольшее целое отрицательное число из области определения функции

₈

у = √ | 3х + 7 | - 25.

А) - 10; В). - 11; С). - 6; D). - 8

Задание 12(В). Укажите наименьшее целое число, которое не входит в область определения функции

у = lg ( | 2х - 3 | - 28 ).

А) - 10; В). - 12; С). 15; D). 31.

Учитель: Для поиска экстремумов, наибольших и наименьших значений, промежутков монотонности чаще всего (но далеко не всегда!) используют производную.

5. Теоретические вопросы по теме «Производная»:

1. Что такое производная функции в точке х₀?

2. Какая функция называется дифференцируемой в точке?

3. Представить на доске правила дифференцирования.

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

4. Назвать формулу производной функции y = хⁿ; y = √х., log_ax, a^x, lnx.

5. Что такое угловой коэффициент прямой?

6. В чём состоит геометрический смысл производной?

7. Назвать уравнение касательной к графику функции ƒ(х) в точке с

абсциссой х₀.

8. Указать условие, при котором касательная образует осью Ох острый угол. 9. Указать условие, при котором касательная образует осью Ох тупой угол. 10. Указать условие, при котором касательная параллельна оси Ох.

Учитель: И конечно, нужно упомянуть о связи между характером монотонности функции (убывает она или возрастает) и знаком её производной на некотором промежутке.

11. Назвать достаточное условие возрастания (убывания) функции:

12. Какие правила необходимо соблюдать при определении экстремума

функции:

13. Как найти критические точки функции.

6. Экспресс - зачет:

1. Найдите производные функций:

sin х, cоs х, tg x, ctg x, x², 3x², а^х, √x, lnx, sin 2x, √2 - x.

Графики производной. Назвать точки экстремумов.

2. Верно ли, что точки х = -1, х = 1, х = 2 являются точками максимума?

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

3. Является ли y(2) наименьшим значением функции, если функция y(x) задана на [-1;3]?

4. D(y)=[1;5]. Назвать критические точки функции.

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

5. Почему функция y=1/x не имеет точек экстремумов?

Тестовые задания по теме: Исследование функции с помощью производной. Геометрический смысл производной.

Задание 1(А). Найдите производную функции у = е^х + 3х².

А) у' = хе^х-1 + 6х; В). у' = е^х + х³; С). у' = е^х + 5х²; D). у' = е^х + 6х.

Задание 2(А). Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

в точке с абсциссой х₀ = 6.

у = 3 ln х + 5,2.

А) 0,5; В). 5,7; С). 18; D). 23,2.

Задание 3 (А). Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции

у = ƒ (х) в точке (2; 5), равен 3. Найдите ƒ' (2).

А) 2,5; В). 2; С). 3; D). 5.

Задание 4(А). Чему равен угол наклона касательной к графику функции

у = −√3 cos х в точке х₀ = π /2 ?

А) 30º; В). 45º; С). 60º; D). 75º.

Задание 5(А). Материальная точка движется по прямой так, что её координата в момент времени t равна

х(t) = t ² + е ^{2 - t}.

Найдите скорость точки в момент времени t = 2.

А) 5; В). 3; С). 2; D). 4

.

Задание 6(А). Материальная точка движется по прямой так, что её скорость в момент времени t равна

v(t) = t² + sin2t.

Найдите ускорение точки в момент времени t = π / 6.

А) π / 3 + 1; В). π / 3 + 0,5; С). π / 3 +√3; D). π / 3 + √3 / 2

Задание 7(С). Найдите абсциссу точки на графике функции

у = х² - 7х + 2,

касательная в которой параллельна прямой у = 5х + 3.

А) 3; В). 6; С). 1; D). 4.

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

Задание 8(В). Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции

ctg x

у = в точке с абсциссой х = π / 4?

2

А) π/4; В). -arctg 2; С). arctg 2; D). 3 π

4

Задание 9(В). Написать уравнение касательной к графику функции

х³ - 1

ƒ(х) = в точке его пересечения с осью Ох.

3

А) у = х - 1; В). у= х + 3; С). у = х - 2; D). у = х + 2.

Задание 10(В). Периметр равнобедренного треугольника равен 12 см. Какова должна быть длина основания треугольника для того, чтобы его площадь была наибольшей?

А) 6; В). 8; С). 5; D). 4.

Учитель: Нахождение первообразной является действием, обратным поиску производной функции.

Теоретические вопросы по теме «Первообразная»:

1. Какая функция называется первообразной для функции ƒ(х) на промежутке?

2. В чём заключается геометрический смысл первообразной?

3. Три правила вычисления первообразной.

4. Как читается формула Ньютона - Лейбница?

5. Найдите первообразные функций:

sin х, cоs х, 1 / cоs² х, 1 / sin² х, х², 3х², 1 / √х.

С помощью первообразной можно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком данной функции и прямыми..

6. Фронтальный опрос (по таблице "Площади фигур")

Вопрос: Как найти площади изображенных фигур?

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

9. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми у=3х+1, у=9-х, у=х+1.

Решение:

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

Вершины, полученного ABC имеют координаты: А(0;1), В(2;7), С(4;5).

Можно заметить, что ABC - прямоугольный (произведение угловых коэффициентов прямых у=х+и у=9-х равно -1). Поэтому применение интеграла для вычисления S(ABC) не рационально. Её всегда можно найти как разность площадей треугольников, у которых известны высота и основание или же можно использовать координатный метод.

IV. Решение уравнений и неравенств:

(материал для работы по карточкам у доски)

Задание 1. Назовите наименьшее целое решение неравенства

0,25 ^{4х + 3} • 0,5 ^{3 - 5х} < 8.

Ответ: -3.

Задание 2. Решите уравнение 2^х = 7 ^1/2log₇⁴.

А) 2; В). 7; С). 1; D). 4.

Задание 3. Пусть х₀ - корень уравнения log ₃ (8 - х) = 2 + log ₃ (х + 2).

х₀² + 1

Найдите значение выражения

х⁴ + 1

А) 2; В). 4; С). 1; D). 3.

Задание 4(В). Решить уравнение: х - √ 2х² - 9х + 5 = 3;

Ответ: 4. (обязательно делаем проверку корней!).

Задание 5(В). Найдите наибольшее целое значение функции

у = 25 · 3 ^{cos 4x cos 3x + sin 4x sin 3x - 2}

Ответ: наибольшее значение функции равно 8⅓,

число 8 - её набольшее целое значение.

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

Задание 7(В). Медиана СМ, проведённая из вершины прямого угла С треугольника АВС, равна 6 см. Найдите площадь треугольника, если один из его углов равен 15º.

Ответ: 36 см².

Задание 8(В). Найдите наименьшее значение функции у =│х - а │при всех действительных значениях параметра а. Ответ: 0.

Задание 9(В). При каких целых значениях параметра р выполняется равенство

р² - 2р + 2

sin α = , 0 < α < π/6?

р² + 1

Задание 10(А). Из двух пунктов М и N, расстояние между которыми 50 км одновременно выехали два мотоциклиста и через 30 минут они встретились. Первый прибыл в М на 25 минут раньше, чем второй прибыл в N. Определить скорость каждого мотоциклиста.

А) 40 км/ч, 50 км/ч;

В). 55 км/ч, 40 км/ч;

С). 65 км/ч, 45 км/ч;

D). 70 км/ч, 50 км/ч;

Е). 60 км/ч, 40 км/ч.

5. Задание группам: «Наши ошибки».

Каждая группа получает задание и обсуждает его. Затем начинается защита решений.

1. Функция возрастает на [-7; 2) и (2; 8], значит она возрастает на [-7; 8]. Верно ли?

2. Производная функции в точке х₀ равна 0, значит х₀ - критическая точка. Верно ли?

3. Производная функции не существует в точке х₀, значит х₀ - критическая точка.

4. Верно ли?

5. Критическая точка является точкой экстремума. Верно ли?

6. Точка экстремума является критической точкой. Верно ли?

Графики производной. Назвать точки экстремумов.

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

Подведение итога урока:

Сегодня на нашем необычном уроке мы много говорили о функциях, способах заданий, области определений и области значений функции. Находили производную и первообразную функции. Мы старались максимально приблизить ситуацию к той, что будет у вас на ЕНТ. За каждое задание вы зарабатывали баллы, и сейчас жюри проведёт разбалловку по той системе, что и на ЕНТ.

Ну, а пока жюри считает баллы, послушайте старинную притчу:

"Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подвёл всех к огромному дверному замку. "Кто откроет этот замок, тот и будет первым помощником." Никто не притронулся даже к замку. Лишь один визирь подошёл и толкнул замок, который открылся. Он не был закрыт на ключ.

Тогда царь сказал: "Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, но надеешься, на собственные силы и не боишься сделать попытку".

Учащиеся делают выводы из сказанного.

Жюри объявляет результаты, оцениваются все учащиеся.

Подведение итогов урока, раздаются карточки с домашним заданием.

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

Карточки для домашнего задания ВАРИАНТ 1.

Задание 1(А). Найдите область определения функции

_x

y = log_{5 15 - 3x}

А). (-∞; 0) U (5; +∞); В). (0; 5); С). [0; 5); D). (0; 3).

Задание 2(В). Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х² - 2;

х = 2; х = 5; и у = 0.

А) 25; В). 34; С). 72; D). 75.

Задание 3(В). Сколько целых чисел содержится в области определения функции

у = √ log₈ (2х + 1) + √ log₁₆ (5 - 2х)?

А) 2; В). 4; С). 3; D). 5

Карточки для домашнего задания ВАРИАНТ 2.

Задание 1(А). Укажите область определения функции

₈

y = √3 - log₄ ^x

А). ( 0; +∞); В). (- ∞; 64 ]; С). (0; 1 ]; D). (0; 64 ].

Задание 2(В). Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² + 7

х = -1, х = - 4 и у = 0.

А) 24; В). 34; С). 42; D). 17.

Задание 3(В). Сколько целых чисел содержится в области определения функции

у = √ log₈ (2х + 1) + √ log₁₆ (5 - 2х)?

Карточки для домашнего задания ВАРИАНТ 3.

Задание 1(А). Укажите область определения функции

₄

y = √5 - log₂ ^2х

А). ( 0; 16 ]; В). (0; 2,5 ]; С). (0; 5 ]; D). (0; 2 ].

Задание 2(В). Сколько целых чисел содержится в области определения функции

у = √ log₈ (2х + 1) + √ log₁₆ (5 - 2х)?

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

А) 2; В). 4; С). 3; D). 5

1

Задание 3(В). Найти функцию, обратную данной у =

х + 7

Карточки для домашнего задания ВАРИАНТ 4.

Задание 1(В). Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х² - 2;

х = 2; х = 5; и у = 0.

А) 25; В). 34; С). 72; D). 75.

Задание 2(А). Укажите область определения функции

₄

y = √5 - log₂ ^2х

А). ( 0; 16 ]; В). (0; 2,5 ]; С). (0; 5 ]; D). (0; 2 ].

Задание 3(В). Найти функцию, обратную данной у = 1

х + 7

Карточки для домашнего задания ВАРИАНТ 5.

Задание 1(В). Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 8х -2х²

и у = 0.

А) 22; В). 21⅓; С). 18⅔; D). 27.

Задание 2(В). Сколько целых чисел содержится в области определения функции

у = √ log₈ (2х + 1) + √ log₁₆ (5 - 2х)?

Задание 3(А). Укажите область определения функции

₈

y = √3 - log₄ ^x

А). ( 0; +∞); В). (- ∞; 64 ]; С). (0; 1 ]; D). (0; 64 ].

Карточки для домашнего задания ВАРИАНТ 6.

Задание 1(В). Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² + 7

х = -1, х = - 4 и у = 0.

А) 24; В). 34; С). 42; D). 17.

Задание 2(В). Найти первообразную функции ƒ(х) = cos5хcos2х + sin5хsin2х.

А) -⅓ cos3х + С; В). -⅓ sin3х + С; С). ⅓ sin3х + С; D). 3 sin3х + С.

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

Задание 3(А). Укажите область определения функции

₈

y = √3 - log₄ ^x

А). ( 0; +∞); В). (- ∞; 64 ]; С). (0; 1 ]; D). (0; 64 ].

Карточки для домашнего задания

Задание 13(В). Сколько целых чисел содержится в области определения функции

√ 16 - х⁴

у = ?

х² + 2х + 1

А) 5; В). 4; С). 2; D). 1.

Задание 14(В). Сколько целых чисел содержится в области определения функции

у = √ log₈ (2х + 1) + √ log₁₆ (5 - 2х)?

А) 2; В). 4; С). 3; D). 1.

ПРИЛОЖЕНИЕ №1.

Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия. Понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг. ) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори, а также в работах Ньютона. (Учащиеся могут рассказать несколько фактов из биографии Ньютона).

Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лейбниц, Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

Однако у создателей дифференциального исчисления возникли проблемы, связанные с тем, что точные определения таких основных понятий как предел, непрерывность, действительное число, отсутствовали, рассуждения содержали логические пробелы, а иногда были ошибочны. Таким образом, "новая" математика не отвечала стандартам строгости, привычным для ученых, воспитанных на классических образцах греческих математиков. Гениальная интуиция таких гигантов, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер помогала им избегать ошибок.

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

Характерны 2 высказывания, относящиеся к 18-му столетию. Известный математик М. Ролль писал, что новая наука есть коллекция гениальных ошибок. А великий французский мыслитель - Вольтер заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано.

Биография

Исаак Ньютон, сын мелкого, но зажиточного фермера, родился в деревне Вулсторп (графство Линкольншир), в год смерти Галилея и в канун гражданской войны. Отец Ньютона не дожил до рождения сына. Мальчик родился болезненным, до срока, но всё же выжил и прожил 84 года. Факт рождения под Рождество Ньютон считал особым знаком судьбы.

По окончании школы (1661) он поступил в Тринити-колледж (Колледж святой Троицы) Кембриджского университета.

Готфрид Лейбниц

Готфрид Вильгельм фон Лейбниц

Дата и место рождения:

1 июля, 1646 (Лейпциг, Германия)

Дата и место смерти:

14 ноября, 1716 (Ганновер, Германия)Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

Значительную часть своих математических открытий Ньютон сделал ещё студентом, в «чумные годы» 1664-1666. В 23 года он уже свободно владел методами дифференциального и интегрального исчислений, включая разложение функций в ряды и то, что впоследствии было названо формулой Ньютона-Лейбница. Тогда же, по его утверждению, он открыл закон всемирного тяготения, точнее, убедился, что этот закон следует из третьего закона Кеплера. Кроме того, Ньютон в эти годы доказал, что белый цвет есть смесь цветов, вывел формулу «бинома Ньютона» для произвольного рационального показателя (включая отрицательные), и др.

Ньютон разработал дифференциальное и интегральное исчисление одновременно с Г. Лейбницем (немного раньше) и независимо от него.

Лейбниц, Готфрид Вильгельм

[править]

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Научная деятельность

Важнейшие научные достижения Лейбница:

• Лейбниц, независимо от Ньютона, создал математический анализ - дифференциальное и интегральное исчисление (см. исторический очерк).

• Лейбниц создал комбинаторику как науку; только он во всей истории математики одинаково свободно работал как с непрерывным, так и с дискретным.

1675: Лейбниц завершает свой вариант математического анализа, тщательно продумывает его символику и терминологию

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

ДОСТИЖЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ

Рене Декарт: В Геометрии он разрабатывает новую область математики - аналитическую геометрию, соединяя ранее существовавшие раздельно дисциплины алгебры и геометрии и решая за счет этого проблемы той и другой области. Из его идей впоследствии возникает главное достижение математики Нового времени - дифференциальное и интегральное исчисления, которые были изобретены Готфридом Лейбницем и Исааком Ньютоном и стали математической основой классической физики.

Математика развивалась стремительно, но без понятия производной многие исследования не имели смысла.

В 1679 году Пьер Ферма находил экстремумы функции, касательные, наибольшие и наименьшие значения функций. Но в своих записях он использовал сложнейшую символику Виета, и поэтому эти исследования не привели к созданию теории интегральных и дифференциальных исчислений.

В 1736 году Исаак Ньютон получил теорию интегральных и дифференциальных исчислений методом флюксий (производных). Но вся теория была осмыслена с точки зрения физики. Математики хотели строгих логических обоснований.

Современник Ньютона Лейбниц предложил новый подход к математическому анализу. Он ввёл обозначения дифференциала, интеграла, функции, такие понятия как ордината, абсцисса, координата. Но в его теории было много "тёмных мест".

И вот в 18 веке величайший математик Леонард Эйлер создал теорию дифференциальных и интегральных исчислений, и в таком виде она изучается и по сей день.

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

Эйлер, Леонард

Леонард Эйлер

Leonhard Euler

Портрет 1756 года, выполненный Эмануэлем Хандманном

Дата рождения:

4 (15) апреля 1707

Место рождения:

Базель, Швейцария

Дата смерти:

7 (18) сентября 1783

Эйлер - самый продуктивный математик в истории, автор более чем 800 работ^{[L 1]} по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. Многие его работы оказали значительное влияние на развитие науки.

Почти полжизни Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург. В 1731-1741 и начиная с 1766 года был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741-1766 годах работал в Берлине, оставаясь почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык, часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики по математике (С. К. Котельников), и по астрономии (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.^{[L 2]}

ПРИЛОЖЕНИЕ №2. для жюри

7. Выполнение тестовых заданий №1 - 12

(область определения, область значений функции)

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

Задание 1(В). Найдите наибольшее целое значение функции

_{2 2}

у = 4 · 5 ^{2 sin х. + 5 cоs х - 3}

А). 25; В). 20; С). 100; D). 75.

Решение: т.к. данная показательная функция является возрастающей, то наибольшее значение функция принимает при наибольшем значении аргумента.

2 sin² х. ⁺ 5 cоs² х - 3 = 2(1 - cоs² х) + 5 cоs² х - 3 = 3 cоs² х -1 → наибольшее значение равно 2. Отсюда получаем:

у = 4 · 5² = 4 ∙ 25 = 100. Ответ: вариант С.

Задание 2(А). Укажите промежуток, являющийся областью определения функции ₁₆

y = √2 - log₅ х

А). ( 0; 25 ]; В). ( 0; +∞ ); С). (- ∞; 25 ]; D). [ 25; + ∞ ).

Решение: 2 - log₅ х ≥ 0, - log₅ х ≥ - 2, log₅ х ≤ 2, х ≤ 25,

х >0; => х >0; => х >0; => х >0;

Ответ: вариант А.

Задание 3(А). Найдите множество значений функции

y = 2 + sinх.

А). [ -1; 1 ]; В). [ 0; 2 ]; С). [ 1; 3 ]; D). [ 2; 3 ] .

Решение: т.к. -1≤ sinх ≤ 1, то Е(у) = [ 2 + (- 1); 2+1]; [ 1; 3 ]. Ответ: вариант С.

Задание 4(А). Какое из следующих чисел входит во множество значений функции 1 ^х

у = − 2?

8

А) - 6; В). -1; С). - 2; D). -3 .

Решение: 1 ^х

> 0 => Е(у) = ( -2; +∞ ). Ответ: вариант В.

8

Задание 5(А). Укажите функцию, область значений которой - промежуток

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

( 0; + ∞).

₁

А). у = ; В). у = √х; С). у = log₃ х; D). у = 2х² .

х²

Решение: Ответ: вариант А.

Задание 6(А). Найдите нули функции

₃

√2х - 16

у = .

х + 2

А) - 8; В). 2; С). - 2; D). 8 .

Решение: 2х - 16 = 0, х = 8.

х ≠ -2. Ответ: вариант D.

Задание 7(В). Найдите наибольшее целое число в области определения функции

у = ln(23 - | 2х - 8 | ).

А) -7; В). 4; С). 15; D). - 8 .

Решение: 23 - | 2х - 8 | > 0;

- | 2х - 8 | > -23;

| 2х - 8 | < 23;

-23 < 2х - 8 < 23;

-15 < 2х < 31;

-7,5 < х < 15,5; Наибольшее целое число 15; Ответ: вариант С.

Задание 8(В). Укажите наибольшее целое отрицательное число из области определения функции

₈

у = √ | 3х + 7 | - 25.

А) - 10; В). - 11; С). - 6; D). - 8

Решение: | 3х + 7 | - 25 ≥ 0;

| 3х + 7 | ≥ 25;

25 ≤ 3х + 7 ≤ -25;

18 ≤ 3х ≤ -32;

6 ≤ х ≤ -10⅔; Наибольшее целое отрицательное число -11; Ответ: вариант В.

Задание 9(В). Укажите наименьшее целое число, которое не входит в область определения функции

у = lg ( | 2х - 3 | - 28 ).

А) - 10; В). - 12; С). 15; D). 31.

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

Решение: | 2х - 3 | - 28 ≤ 0;

| 2х - 3 | ≤ 28;

-28 ≤ 2х - 3| ≤ 28;

-25 ≤ 2х ≤ 31;

-12,5 ≤ х ≤ 15,5; Наименьшее целое число -12; Ответ: вариант В.

Задание 10(В). Сколько целых чисел содержится в области определения функции

√ 16 - х⁴

у = ?

х² + 2х + 1

А) 5; В). 4; С). 2; D). 1.

Решение: 16 - х⁴ ≥ 0; → (4 - х²)(4 + х²) ≥ 0; → (2 - х)(2 + х) ≥ 0; → -2 ≤ х ≤ 2;

х² + 2х + 1 ≠ 0; (х + 1)² ≠ 0; х ≠ -1; х ≠ -1;

Ответ: целых чисел содержится -2; 0; 1; 2 , вариант В.

II. Тестовые задания по теме: Исследование функции с помощью производной. Геометрический смысл производной.

Задание 1(А). Найдите производную функции у = е^х + 3х².

А) у' = хе^х-1 + 6х; В). у' = е^х + х³; С). у' = е^х + 5х²; D). у' = е^х + 6х.

Решение: у' = (е^х + 3х²) ' = е^х + 6х. Ответ: вариант D.

Задание 2(А). Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

в точке с абсциссой х₀ = 6.

у = 3 ln х + 5,2.

А) 0,5; В). 5,7; С). 18; D). 23,2.

Решение: k = у' (х₀). у'(х) = (3 ln х + 5,2) ' = 3/х; у' (х₀) = 3/6 = 0,5; Ответ: вариант А.

Задание 3 (А). Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции

у = ƒ (х) в точке (2; 5), равен 3. Найдите ƒ' (2).

А) 2,5; В). 2; С). 3; D). 5.

Ответ: вариант С.

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

Задание 4(А). Чему равен угол наклона касательной к графику функции

у = −√3 cos х в точке х₀ = π /2 ?

А) 30º; В). 45º; С). 60º; D). 75º.

Решение: tg φ = у' (х₀); tg φ = (−√3 cos х) ' = −√3 ( - sin х ) = √3 sin х = √3;

tg φ = √3; φ = 60º; Ответ: вариант С.

Задание 5(А). Материальная точка движется по прямой так, что её координата в момент времени t равна

х(t) = t ² + е ^{2 - t}.

Найдите скорость точки в момент времени t = 2.

А) 5; В). 3; С). 2; D). 4.

Решение: v(t) = х' (t) = (t ² + е ^{2 - t}) ' = 2 t - е ^{2 - t}; v(2) = 2 ∙ 2 - е ^{2 - 2}= 4 - е⁰ = 3;

Ответ: вариант В.

Задание 6(А). Материальная точка движется по прямой так, что её скорость в момент времени t равна

v(t) = t² + sin2t.

Найдите ускорение точки в момент времени t = π / 6.

А) π / 3 + 1; В). π / 3 + 0,5; С). π / 3 +√3; D). π / 3 + √3 / 2

Решение: а(t) = v′(t) = (t² + sin2t) ' = 2t + 2 cos2t;

а(π/6) = 2∙ π/6 + 2 cos2∙π/6 = π/3 + 2 cos π/3 = π/3 + 2 ∙ ½ = π/3 + 1;

Ответ: вариант А.

Задание 7(С). Найдите абсциссу точки на графике функции

у = х² - 7х + 2,

касательная в которой параллельна прямой у = 5х + 3.

А) 3; В). 6; С). 1; D). 4.

Решение: т.к. касательная параллельна прямой у = 5х + 3 => k = 5, т.е. у' = 5;

у' = (х² - 7х + 2)' = 2х - 7; 2х - 7 = 5; х = 6; Ответ: вариант В.

Задание 8(В). Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции

у = ctg x

2 в точке с абсциссой х ₀= π / 4?

3 π

А) π/4; В). -arctg 2; С). arctg 2; D). 4 ;

′

Решение: tg φ = у' (х₀); у′(х) = ctg x = - 1 ; у′(х₀) = - 1

2 2 sin²х 2 sin²π/4

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

у′ = - 1 = -1; tg φ = -1; φ = π - π/4 = 3π/4; Ответ: вариант D.

2 (√2/2)²

Задание 9(В). Написать уравнение касательной к графику функции

х³ - 1

ƒ(х) = в точке его пересечения с осью Ох.

3

А) у = х - 1; В). у= х + 3; С). у = х - 2; D). у = х + 2.

Решение: у = ƒ(х₀) + ƒ′ (х₀)(х - х₀); у = 0, если х³ - 1 = 0 => х = х₀ = 1;

ƒ′(х) = ⅓ ∙ 3х² = х²; ƒ′(х₀) = 1; ƒ(х₀) = 0 = > у = х - 1; Ответ: вариант А.

Задание 10(В). Периметр равнобедренного треугольника равен 12 см. Какова должна быть длина основания треугольника для того, чтобы его площадь была наибольшей?

А) 6; В). 8; С). 5; D). 4.

Решение: х - длина основания; 12 - х

- длина боковой стороны.

2

Высота по т.Пифагора равна: 12 - х 2 х 2

= √ 36 - 6х ;

2 2

S(x) = ½ х ∙ √ 36 - 6х ;

√ 36 - 6х - 3х = 36 - 9х ; S′(x) = 0; 36 - 9х = 0;

S′(x) = 2 2√36 - 6х 2√36 - 6х х = 4;

Ответ: вариант D.

+ 4

•

III. Тестовые задания по теме: Первообразная.

Площадь криволинейной трапеции. Объем тела вращения.

Задание 1(В). Найти первообразную функции ƒ(х) = cos5хcos2х + sin5хsin2х.

А) -⅓ cos3х + С; В). -⅓ sin3х + С; С). ⅓ sin3х + С; D). 3 sin3х + С.

Решение: ƒ(х) = cos5хcos2х + sin5хsin2х = cos (5х - 2х) = cos3х;

F(х) = ⅓ sin 3х + С; Ответ: вариант С.

Задание 2(А). Найдите первообразную F(х) функции ƒ (х) = 5 + sin х, если

F(0) = 3.

А) F(х) = 5х - cos х; В). F(х) = 5х - cos х + 4; С). F(х) = 5х +cos х ;

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

D). F(х) = 5х + cos х +3.

Решение: F(х) = 5х - cos х + С; F(0) = 3; 5∙ 0 - cos 0 + С = 3; -1 + С = 3; С = 4;

Ответ: вариант В.

Задание 4(В). Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х² - 2;

х = 2; х = 5; и у = 0.

А) 25; В). 34; С). 72; D). 75.

₅ ⁵

Решение: S = ∫ (2х² - 2)dх = 2х³ - 2х = 250 - 10 - 16 + 4 = 78 - 10 + + 4 =72; ² 3 ₂ 3 3

Ответ: вариант С.

Задание 5(В). Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х -х²

и у = х² - х.

А) ½; В). 1; С). ¼; D). ⅓; Е) 2.

Решение: находим абсциссы точек пересечения графиков обеих функций: х - х² = х² - х; -2х² + 2х = 0; -2х ( х - 1) = 0; х=а=0; х=b=1;

Площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций, равна модулю первообразной от разности этих функций.

_{1 1 1}

S = ∫ (х - х² - х² + х)dх = ∫ ( -2х² + 2х) dх = (-2х³ + х²) = - ⅔ + 1 = ⅓;

^{0 0} 3 ⁰

Ответ: вариант D.

Задание 6(В). Найдите объём тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = х², х = 1, х = 2, у = 0.

А) 2 1/5π; В). 6 1/5π; С). 2π; D). 1 1/6π; Е) 3 2/3π.

_{2 2}

Решение: V = π ∫ ( х²)² dх = π ∫ х⁴ dх = π х^{5 2} = π [ 2⁵ - 1⁵ ] = π 31

^{1 1} 5 ¹ 5 5 5

IV. Решение уравнений и неравенств:

(материал для работы по карточкам у доски)

Задание 1. Назовите наименьшее целое решение неравенства

0,25 ^{4х + 3}* 0,5 ^{3 - 5х} < 8.

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

Решение: (½)^8х+6∙ (½)^3-5х < 2³; (½)^8х+6+3-5х < (½)^-3, т. к. функция убывающая,

то 3х+9 > -3; 3х > -12; х > -4 => наименьшее целое решение равно -3.

Ответ: -3.

Задание 2. Решите уравнение 2^х = 7 ^1/2log₇⁴.

А) 2; В). 7; С). 1; D). 4.

Решение: 2^х = 7 ^1/2log₇⁴; 2^х = 7 ^log₇4^1/2; 2^х = 4^1/2 ; 2^х = 2; х = 1;

Ответ: вариант С.

Задание 3. Пусть х₀ - корень уравнения log ₃ (8 - х) = 2 + log ₃ (х + 2).

х₀² + 1

Найдите значение выражения х⁴ + 1

А) 2; В). 4; С). 1; D). 3.

8 - х

Решение: log ₃ (8 - х) - log ₃ (х + 2) = 2; log ₃ = 2;

х + 2

8 - х

log ₃ = log ₃ 9;

х + 2

8 - х (-1)² + 1

= 9; х = -1; = 1; Ответ: вариант С.

х + 2 (-1)⁴ + 1

Задание 4(В). Решить уравнение: х - √ 2х² - 9х + 5 = 3;

Решение: - √ 2х² - 9х + 5 = 3 - х;

2х² - 9х + 5 = 9 - 6х + х²; х² - 3х - 4 = 0; х₁ = -1; х₂ = 4;

Проверка: -1 - √2(-1)² - 9(-1) + 5 ≠ 3; 4 - √ 2∙ 4² - 9∙4 + 5 = 3;

-1 - 4 ≠ 3; 4 - 1 = 3;

-5 ≠ 3; 3 = 3.

Ответ: х = 4.

Задание 5(В). Найдите наибольшее целое значение функции

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

у = 25 · 3^{cos 4x cos 3x + sin 4x sin 3x - 2}

Решение: cos 4x cos 3x + sin 4x sin 3x - 2 = cos х - 2 = 1 - 2 = -1;

25

у = 25 · 3^-1 = 25∙ ⅓ = 3 = 8⅓; Ответ: наибольшее целое значение равно 8.

Задание 7(В). Медиана СМ, проведённая из вершины прямого угла С треугольника АВС, равна 6 см. Найдите площадь треугольника, если один из его углов равен 15º.

Решение: СМ - медиана, М - середина АВ => М - центр окружности, описанной около треугольника => АВ = 12 см; АС = 12cos 15º; ВС = 12sin 15º;

А 15º S = ½ АС ∙ ВС;

S = ½ 12 cos 15º ∙ 12sin 15º = 36 sin 30º = 36 ∙ ½ = 18 см² ;

М Ответ: 18 см².

С В

Задание 8(В). Найдите наименьшее значение функции у =│х - а │при всех действительных значениях параметра а.

Решение: т.к. выражение под знаком модуля всегда выражение неотрицательное, то отсюда следует, что наименьшее значение функция у =│х - а | принимает при х = а => наименьшее значение функции будет равно нулю. Ответ: 0.

Задание 9(А). Из двух пунктов М и N, расстояние между которыми 50 км одновременно выехали два мотоциклиста и через 30 минут они встретились. Первый прибыл в М на 25 минут раньше, чем второй прибыл в N. Определить скорость каждого мотоциклиста.

А) 40 км/ч, 50 км/ч;

В). 55 км/ч, 40 км/ч;

С). 65 км/ч, 45 км/ч;

D). 70 км/ч, 50 км/ч;

Е). 60 км/ч, 40 км/ч.

Решение: т.к. мотоциклисты встретились через 30 минут, а это значит, что они были в пути полчаса каждый. За это время первый проехал 30 км, а второй 20 км.

Ответ: вариант Е.

Донецкая СШ Будзинская М.Ф.

Литература:

1. «Математика для школьников», 2005г. №1, научно-практический журнал,

издательство «Школьная пресса».

2. «Математика для школьников», 2005г. №2, научно-практический журнал,

издательство «Школьная пресса».

3. «Готовимся к единому государственному экзамену по математике», 2005г. выпуск 31, издательство «Школьная пресса».

4. Р.Б. Райхмист «Графики функций».

5. С.М. Никольский «Элементы математического анализа».

6. Библиотечка "Квант" "Замечательные ученые".

7. Материал из Википедии - свободной энциклопедии:

«Биографии великих математиков».

8. top100.rambler.ru «Производная. Непрерывность функции. Касательная к графику».

31